1La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 30 \, cm y la proyección de un cateto sobre ella 10.8 \, cm. Hallar el cateto c.

1 Representamos gráficamente el problema

 

triangulo

 

2 Observamos que se obtienen dos triángulos equivalentes por lo que se obtiene

 

\cfrac{c}{30} = \cfrac{10.8}{c}

 

3 Resolviendo para c se tiene

 

\begin{array}{rcl} c^2 & = & 30 \cdot 10.8  \\\\  c & = & \pm \sqrt{30 \cdot 10.8}  \\\\  c & = & \pm 18  \end{array}

 

4 Como las distancias no pueden ser negativas, el valor del cateto solicitado es c = 18 \, cm

 

 

2 En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 4 y 9 metros. Calcular la altura relativa a la hipotenusa.

1 Representamos gráficamente el problema

 

problemas de triangulos 2

 

2 Observamos que se obtienen dos triángulos equivalentes por lo que se obtiene

 

\cfrac{9}{h} = \cfrac{h}{4}

 

3 Resolviendo para h se tiene

 

\begin{array}{rcl} h^2 & = & 4 \cdot 9 \\\\ h & = & \pm \sqrt{4 \cdot 9} \\\\ h & = & \pm 6 \end{array}

 

4 Como las distancias no pueden ser negativas, el valor solicitado es h = 6 \, cm

 

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3 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 405.6 \, m y la proyección de un cateto sobre ella 60 \, m. Calcular los catetos y la altura relativa a la hipotenusa.

1 Representamos gráficamente el problema

 

problemas de triangulos 3

 

2 Observamos que se obtienen dos triángulos equivalentes, como la hipotenusa es 405.6 \, m y la proyección de un cateto es 60 \, m, tenemos que

 

m = 405. 6 - 60 = 345.6 \, m

 

3 Para el cateto c se tiene

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{c}{60} & = & \cfrac{405.6}{c}  \\\\ c^2 & = & 405.6  \cdot 60 \\\\ c & = & \sqrt{405.6 \cdot 60} \\\\ c & = & 156 \end{array}

 

4 Para el cateto b se tiene

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{b}{345.6} & = & \cfrac{405.6}{b} \\\\ b^2 & = & 405.6 \cdot 345.6 \\\\ b & = & \sqrt{405.6 \cdot 345.6} \\\\ b & = & 374.4 \end{array}

 

5 Para la altura h relativa a la hipotenusa se tiene

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{h}{345.6} & = & \cfrac{60}{h} \\\\ h^2 & = & 60 \cdot 345.6 \\\\ h & = & \sqrt{60 \cdot 345.6} \\\\ h & = & 144 \end{array}

 

 

4 Calcular los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es 6 \, cm y la altura relativa de la misma  \sqrt{24} \, cm.

1 Representamos gráficamente el problema

 

problemas de triangulos 4

 

2 Observamos que se obtienen dos triángulos equivalentes, por lo que tenemos que

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{n}{\sqrt{24}} & = & \cfrac{\sqrt{24}}{6} \\\\ n & = & \cfrac{24}{6} \\\\ n & = & 4 \end{array}

 

Así, la hipotenusa mide

 

a = m + n = 6 + 4 = 10

 

3 Para el cateto c se tiene

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{c}{10} & = & \cfrac{4}{c} \\\\ c^2 & = & 4 \cdot 10 \\\\ c & = & \sqrt{4 \cdot 10} \\\\ c & = & 6.32  \end{array}

 

4 Para el cateto b se tiene

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{b}{10} & = & \cfrac{6}{b} \\\\ b^2 & = & 10 \cdot 6 \\\\ b & = & \sqrt{10 \cdot 6} \\\\ b & = & 7.75 \end{array}

 

5 Así, los lados del triángulo son: a = 10 \, cm, \ b = 7.75 \, cm, \ c = 6.32 \, cm

 

 

5Una escalera de 10 \, m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 \, m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?

1 Representamos gráficamente el problema

 

problemas de triangulos 5

 

2 Observamos que la altura de la escalera sobre la pared se obtiene con el teorema de Pitágoras

 

h = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8

 

3 Así, la atura solicitada es 8 \, m

 

 

6Determinar el lado de un triángulo equilátero cuyo perímetro es igual al de un cuadrado de 12 \, cm de lado. ¿Serán iguales sus áreas?

1Representamos gráficamente el cuadrado

 

problemas de triangulos 6

 

2Su perímetro es 4 \cdot 12 = 48 \, cm. Para calcular el área empleamos

 

A_c = l^2 = (12)^2 = 144 \, cm^2

 

3El triángulo equilátero tiene sus tres lados iguales, por lo que si su perímetro es de 48 \, cm, entonces cada uno de sus lados mide \cfrac{48}{3} = 16 \, cm

 

problemas de triangulos 6.5

 

4Para encontrar el área requerimos conocer su altura, para esto dividimos el triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos y aplicamos el teorema de Pitágoras

 

h = \sqrt{16^2 - 8^2} = 13.86 \, cm

 

5Para calcular su área, empleamos

 

A_t = \cfrac{b \cdot h}{2} = \cfrac{16 \cdot 13.86}{2} = 110.88 \, cm^2

 

Así, ambas figuras tienen el mismo perímetro, pero distinta área.

 

7Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6 \, cm.

1Representamos gráficamente el problema

 

triangulo circunscrito

 

2El centro de la circunferencia es el baricentro, por tanto r = \cfrac{2 h}{3} y se obtiene

 

6 = \cfrac{2 h}{3} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ h = 9 \, cm

 

3Para encontrar el área del triángulo requerimos conocer su base, para esto dividimos el triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos y aplicamos el teorema de Pitágoras

 

l^2 = 9^2 + \cfrac{l^2}{4} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ l = \cfrac{2 \cdot 9}{\sqrt{3}} = 10.39 \, cm

 

4Para calcular su área, empleamos

 

A_t = \cfrac{b \cdot h}{2} = \cfrac{10.39 \cdot 9}{2} = 46.76 \, cm^2

 

8Determinar el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 \, cm.

1Representamos gráficamente el problema

 

cuadrado circunscrito

 

2Necesitamos conocer un lado del cuadrado, para esto primero calculamos el radio a partir de conocer la circunferencia

 

18.84 = 2 \pi r \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ r = 3 \, cm

 

3Para encontrar el lado del cuadrado, consideramos el triángulo rectángulo isósceles cuyos lados iguales son los radios de la circunferencia

 

l^2 = 3^2 + 3^2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ l = \sqrt{18} \, cm

 

4Así, el área del cuadrado es

 

A_c = l^2 = (\sqrt{18})^2 = 18 \, cm^2

 

9En un cuadrado de 2 \, cm de lado se inscribe un círculo y en este círculo un cuadrado y en este otro círculo. Hallar el área comprendida entre el último cuadrado y el último círculo.

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas de triangulos 9

 

2Necesitamos conocer los radios de los círculos; para esto observamos que el lado del cuadrado de lado 2 \, cm es igual al diámetro del círculo inscrito

 

2 = 2 r_1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ r_1 = 1 \, cm

 

3El díámetro del primer círculo es igual a la diagonal del segundo cuadrado, aplicando e teorema de Pitágoras obtenemos el lado del segundo cuadrado

 

2^2 = l_2^2 + l_2^2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ l_2 = \sqrt{2} \, cm

 

4Así, el área del segundo cuadrado es

 

A_{c2} = l_2^2 = (\sqrt{2})^2 = 2 \, cm^2

 

5El diámetro del segundo círculo es igual al lado del segundo cuadrado

 

\sqrt{2} = 2 r_2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ r_2 = \cfrac{\sqrt{2}}{2} \, cm

 

6El área el segundo círculo es

 

A_{cir2} = \pi \cdot \left(\cfrac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = \cfrac{\sqrt{2}}{2} = 1.57 \, cm^2

 

7Así, el área solicitada es

 

A = A_{c2} - A_{cir2} = 2 -1.57 =0.43 \, cm^2

 

10El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 \, m, las bases miden 40 y 30 \, m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área.

1Representamos gráficamente el problema

 

trapecio

 

2 Como las bases suman 70 \, m, entonces los lados suman 110 - 70 = 40 \, m, luego cada lado mide 20 \, m. Para conocer la altura construimos un triángulo rectángulo como en la figura. empleando el teorema de Pitágorasse tiene

 

20^2 = 5^2 + h^2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ h = \sqrt{375} = 19.36 \, m

 

3Calculamos el área del trapecio

 

A = \cfrac{(30 + 40) \cdot 19.36}{2} = 677.6 \, m^2

 

11Si los lados no paralelos de un trapecio isósceles se prolongan, quedaría formado un triángulo equilátero de 6 \, cm de lado. Sabiendo que el trapecio tiene la mitad de la altura del triángulo, calcular el área del trapecio.

1Representamos gráficamente el problema

 

trapecio en triangulo

 

2 Para conocer la altura del triángulo, construimos un triángulo rectángulo cuya base es la mitad de su altura. Empleando el teorema de Pitágoras se tiene

 

h_1 = \sqrt{6^2 - 3^2} = 5.2 \, cm

 

3Calculamos la altura h_2 del trapecio

 

h_2 = \cfrac{h_1}{2} = 2.6 \, cm

 

4Calculamos el área del trapecio

 

A = \cfrac{(6 + 3) \cdot 2.6}{2} = 11.7 \, cm^2

 

12El área de un cuadrado es 2304 \, cm^2 . Calcular el área del hexágono regular que tiene su mismo perímetro.

1Representamos gráficamente el problema

 

hexagono circunscrito

 

2 Para conocer el perímetro del cuadrado, debemos calcular el valor de uno de sus lados

 

l^2 = 2304 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ l = 48 \, cm, \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ P_c = 192 \, cm

 

3Calculamos la apotema del hexágono, para ello requerimos el lado del hexágono  \cfrac{192}{6} = 32

 

a = \sqrt{32^2 - 16^2} = 27.71 \, cm

 

4Calculamos el área del hexágono

 

A = \cfrac{192 \cdot 27.71}{2} = 2660.16 \, cm^2

 

13En una circunferencia de radio igual a 4 \, m se inscribe un cuadrado y sobre los lados de este y hacia el exterior se construyen triángulos equiláteros. Hallar el área de la estrella así formada.

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas de triangulos 13

 

2Necesitamos conocer el lado del cuadrado; para esto observamos que el diámetro de la circunferencia es igual a la diagonal del cuadrado. aplicando el teorema de Pitágoras se obtiene

 

8^2 = l^2 + l^2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ l = \sqrt{32} \, m

 

3El área del cuadrado es

 

A_c = l^2 = (\sqrt{32})^2 = 32 \, m^2

 

4Para encontrar el área del triángulo equilátero, dividimos en dos triángulos rectángulos y aplicamos el teorema de Pitágoras para encontrar la altura

 

h = \sqrt{l^2 - \left( \cfrac{l}{2} \right)^2} = \sqrt{32 - 8} = \sqrt{24} \, m

 

5El área del triángulo es

 

A_t = \cfrac{\sqrt{32} \cdot \sqrt{24}}{2} = 13.86 \, m^2

 

6El área de la estrella es

 

A_e = A_c + 4 A_t =32 + 4 \cdot 13.86 =87.44 \, m^2

 

14A un hexágono regular 4 \, cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra. Hallar el área de la corona circular así formada.

1Representamos gráficamente

 

problemas de triangulos 14

 

2 Calculamos el radio de la circunferencia circunscrita, para esto observamos que el hexágono se divide en seis triángulos equiláteros iguales, por lo que

 

R = 4 \, cm^2

 

3Calculamos el radio de la circunferencia inscrita, este coincide con la altura del triángulo equilátero

 

r = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{12} \, cm

 

4Calculamos el área de la corona circular, la cual se obtiene a partir de la diferencia de áreas de los círculos

 

A_{c} = A_R - A_r = \pi \cdot 4^2 - \pi \cdot (\sqrt{12})^2 = 4 \pi = 12.56 \, cm^2

 

15En una circunferencia una cuerda de 48 \, cm y dista 7 \, cm del centro. Calcular el área del círculo.

1Representamos gráficamente

 

circulo

 

2 Consideramos el triángulo rectángulo como se muestra en la figura y empleando el teorema de Pitágoras, calculamos el radio

 

r = \sqrt{24^2 + 7^2} = 25 \, cm

 

3Calculamos el área del círculo

 

A = \pi \cdot 25^2 = 1962.5\, cm^2

 

16Los catetos de un triángulo rectángulo inscrito en una circunferencia miden 22.2 \, cm y 29.6 \, cm respectivamente. Calcular el área del círculo.

1Representamos gráficamente

 

circunferencia y triangulo

 

2 La hipotenusa concide con el diámetro del círculo. Empleando el teorema de Pitágoras, calculamos el radio

 

2r = \sqrt{22.2^2 + 29.6^2} = 37 \, cm \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ r = 18.5

 

3Calculamos el área del círculo

 

A = \pi \cdot 18.5^2 = 1074.67\, cm^2

 

17Calcular el lado de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de 10 \, cm de radio.

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas de triangulos 17

 

2Consideramos el triángulo rectángulo de lado \cfrac{l}{2}, hipotenusa 10 y lado restante 5. Aplicando el teorema de Pitágoras se obtiene

 

\left ( \cfrac{l}{2} \right )^2 = 10^2 - 5^2 = 75\ \ \ \Longrightarrow \ \ \ l = 2 \sqrt{75} = 17.32 \, cm

 

 

18Sobre un círculo de 4 \, cm de radio se traza un ángulo central de 60^o. Hallar el área del segmento circular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco correspondiente.

1Representamos gráficamente el problema

 

triangulo inscrito en un circulo

 

2El área del sector es

 

A_s = \cfrac{\pi \cdot 4^2 \cdot 60}{360} = 8.38 \, cm^2

 

3Para encontrar la altura del triángulo, aplicamos el teorema de Pitágoras

 

h^2 = 4^2 - 2^2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ h = 3.46 \, cm

 

4Calculamos el área del triángulo equilátero

 

A_t = \cfrac{4 \cdot 3.46}{2} = 6.93 \, cm^2

 

5El área del segmento circular es

 

A_{segmento} = A_s - A_t = 8.38 - 6.93 = 1.45 \, cm^2

 

19Dado un triángulo equilátero de 6 \, m de lado, hallar el área de uno de los sectores determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vértices.

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas de triangulos 19

 

2El centro de la circunferencia es el baricentro, por tanto r = \cfrac{2 h}{3}

 

3Para encontrar la altura del triángulo, aplicamos el teorema de Pitágoras

 

h^2 = 6^2 - 3^2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ h = 5.17 \, m

 

4Calculamos el radio

 

r = \cfrac{2 \cdot 5.17}{3} = 3.46 \, m

 

5El área de uno de los sectores determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vértices es

 

A = \cfrac{\pi \cdot 3.46^2 \cdot 120}{360} = 12.57 \, m^2

 

20Calcular el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de 8 \, m de diagonal.

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas de triangulos 20

 

2Necesitamos conocer los radios de los círculos; para esto observamos que el diámetro de la circunferencia circunscrita es igual a la diagonal del cuadrado

 

2 r_1 = 8 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ r_1 = 4 \, m

 

3El díámetro de la circunferencia inscrita es igual al lado del cuadrado, aplicando e teorema de Pitágoras obtenemos

 

8^2 = l^2 + l^2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ l = \sqrt{32} \, m \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ r_2 = \cfrac{\sqrt{32}}{2}

 

4El área de la corona circular es

 

A = A_1 - A_2 = 4^2 \pi - 8\pi = 25.12 \, m^2

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗