Cálculo de distancia

 

1 La rueda de un camión tiene 90 cm de radio. ¿Cuánto ha recorrido el camión cuando la rueda ha dado 100 vueltas?

Dado que el radio de la rueda es    r=90\: cm=0.9\: m entonces su diámetro es  \large \phi=1.8\:m .

Por otro lado, recordemos que el perímetro representa la longitud de la circunferencia, y esto equivale a lo que el camión recorre al dar una vuelta. Considerando esto tenemos que el perímetro de la rueda es \large P=\pi \phi=\pi (1.8\: m)=1.8\pi\: m .

Finalmente, dado que nos interesa saber la distancia  recorrida del camión durante 100 vueltas, entonces:

 \large L=100P=100(1.8\pi\: m)=180 \pi \: m\approx 565.486\: m.

 

2 Un faro barre con su luz un ángulo plano de 180°. Si el alcance máximo del faro es de 7 millas, ¿cuál es la longitud máxima en metros del arco correspondiente?

Recordemos que si un arco de longitud s de una circunferencia de radio r subtiende un ángulo central de \theta radianes, entonces \large s=r\theta .  Esta fórmula es la que se utilizará para resolver el problema planteado, sin embargo necesitamos el ángulo en radianes, es decir

\large \theta=\frac{(128^\circ)(2\pi)}{360^{\circ}}=\frac{32}{45}\pi

Luego, la longitud de arco es

\large s=\left(7\:mi \right)\left(\frac{32}{45}\pi \right)=\frac{224}{45}\pi\approx15.638\:mi

En este problema consideremos que \large 1\:mi=1852\:m  ya que esta es la unidad de longitud utilizada en navegación marítima y aérea.  Por lo tanto la longitud en metros del arco es:

 \large s=(15.638\:mi)(1852\:m)=28 961.576\:m

 

 

Cálculo de área

 

3 La longitud de una circunferencia es 43.96 cm. ¿Cuál es el área del círculo?

La longitud de la circunferencia representa el perímetro de la misma, el cual se calcula como \large P=2\pi r, donde \large r representa el radio del círculo. De esta expresión tenemos que

\large r=\frac{P}{2\pi}

Por otro lado, el área del círculo se calcula con la fórmula \large A=\pi r^2.  Sustituyendo el valor de \large r obtenido previamente tenemos que

\large A=\pi \left(\frac{P}{2\pi} \right)^2= \frac{\pi P^2 }{4 \pi^2}=\frac{P^2}{4 \pi}

Finalmente considerando el valor numérico de \large P, tenemos que el área del círculo es

\large A=\frac{\left(43.96\:cm\right)^2}{4 \pi}\approx 153.781\:cm^2

 

4 El área de un sector circular de 90° es 4π cm². Calcular el radio del círculo al que pertenece y la longitud de la circunferencia.

La fórmula para calcular el área de un sector circular es \large A=\frac{\pi r^2 n}{360}, donde \large n es el número de grados y \large r es el radio asociado del sector circular. De esta expresión tenemos que

\large r=\sqrt{\frac{360 A}{\pi n}}

Luego, sustituyendo los valores numéricos del problema, tenemos que el radio del círculo al que pertenece el sector circular es

\large r=\sqrt{\frac{360 (4\pi\:cm^2)}{\pi (90^\circ)}}=\sqrt{16 \:cm^2}=4\:cm

Finalmente, la longitud de la circunferencia (perímetro) es

\large P=2\pi r=2\pi (4\:cm)=8\pi\:cm\approx 25.132\:cm

 

5 Hallar el área de un sector circular cuya cuerda es el lado del triángulo equilátero inscrito, siendo 2 cm el radio de la circunferencia.

 La fórmula para calcular el área de un sector circular es \large A=\frac{\pi r^2 n}{360}, donde \large n es el número de grados y \large r es el radio asociado del sector circular.  Dado que los ángulos internos de un triángulo equilátero miden todos \large 60^\circ, y además considerando que el vértice del ángulo central del arco coincide con el centro de la circunferencia (ver figura), entonces este ángulo mide \large n=2(60^\circ)=120^\circ.

Ejercicio 5_circunferencia Problema 5.

Por lo tanto el área del sector circular es  \large A=\frac{\pi (2\:cm)^2 (120)}{360}=\frac{4}{3}\pi\:cm^2\approx 4.188\:cm^2

 

6 Dadas dos circunferencias concéntricas de radio 8 y 5 cm respectivamente, se trazan los radios OA y OB, que forman un ángulo de 60°. Calcular el área del trapecio circular formado.

El área del trapecio circular formado (ver figura) se puede calcular como  \large \Delta A=A_e-A_i, donde \large A_e representa el área del sector circular de la circunferencia externa (cuyo radio es \large r_e=8\:cm), mientras que \large A_i representa el área del sector circular de la circunferencia interna (cuyo radio es \large r_i=5\:cm). Por lo tanto

\large \Delta A=A_e-A_i=\frac{\pi r^2_e n} {360}-\frac{\pi r^2_i n} {360}=\frac{\pi n(r^2_e-r^2_i)} {360}

Ejercicio 6_circunferencia Problema 6: circunferencias concéntricas.

Luego, sustituyendo los valores numéricos tenemos que el área buscada es:
\large \Delta A=\frac{\pi (60^\circ)[(8\:cm)^2-(5\:cm)^2]} {360}=\frac{13}{2}\pi\:cm^2\approx 20.42\:cm^2

7 En un parque de forma circular de 700 m de radio hay situada en el centro una fuente, también de forma circular, de 5 m de radio. Calcula el área de la zona de paseo.

La Figura muestra en color gris el área correspondiente a la zona de paseo. Esta zona corresponde al área delimitada por dos circunferencias concéntricas, es decir, una corona circular. El área de una corona circular se calcula como sigue

\large A=\pi(r_e^2-r_i^2)

donde \large r_e es el radio mayor (radio externo) y \large r_i es el radio menor (radio interno).

Ejercicio 6_circunferencia Problema 6: Corona circular.

Ahora bien,  de los datos del problema tenemos que \large r_e=700\:m y \large r_i=5\:m. Por lo tanto, el área de la zona de paseo en el parque es:
\large A=\pi[(700\:m)^2-(5\:m)^2]\approx 1539301.86\:m^2

8 La superficie de una mesa está formada por una parte central cuadrada de 1 m de lado y dos semicírculos adosados en dos lados opuestos. Calcula el área.

Dado que la parte central de la mesa es un cuadrado, entonces los dos semicírculos laterales son iguales y forman un solo círculo  con diámetro \large d=1\:m(ver figura).

Ejercicio 7_circunferencia Problema 7: representación gráfica de la mesa.

Por lo tanto, el área de la mesa es \large A=A_{\text{cuad}}+A_{\text{circ}}=L^2+\pi\left(\frac{d}{2} \right )^2, donde \large L es la longitud de la mesa y \large d es el diámetro del círculo. Por lo tanto, sustituyendo valores numéricos, tenemos que el área de la mesa es:
\large A=(1\:m)^2+\pi\left(\frac{1\:m}{2} \right)^2\approx1.785\:m^2

9 Calcula el área de la parte sombreada, si el radio del círculo mayor mide 6 cm y el radio de los círculos pequeños miden 2 cm.

Problema 9_circunferencia Problema 9: Esbozo gráfico.

 

De acuerdo a la figura geométrica dada, el área sombreada se calcula como \large A_{\text{sombreada}}=A_{T}-4A_{p}, donde \large A_T es el área del círculo mayor de radio \large r_m=6\:cm y \large A_p es el área de cada uno de los círculos pequeños de radio \large r_p=2\:cm. Por lo tanto, tenemos que

\large A_{\text{sombreada}}=\pi r_m^2-4\pi r_p^2=\pi\left(r_m^2-4r_p^2 \right).

Finalmente sustituyendo los valores numéricos, se tiene que el área de la parte sombreada es:
\large A_{\text{sombreada}}=\pi\left[(6\:cm)^2-4(2\:cm)^2 \right]=20 \pi\:cm^2\approx62.832 \:cm^2

 

10 Calcula el área de la parte sombreada, siendo AB = 10 cm, ABCD un cuadrado y APC Y AQC arcos de circunferencia de centros B y D.

Problema 10_circunferencia Problema 10: calcular el área sombreada mostrada.

Notemos que la sección sombreada se puede dividir en dos segmentos circulares iguales como se muestra en las figuras siguientes.

 

Problema 10_sol_a Segmento circular 1.

Problema 10_sol_B Segmento circular 2.

Dado que ambos segmentos circulares son iguales, sin perdida de generalidad podemos analizar cualquiera de estos. Note que cada segmento circular consta de un triángulo isósceles y un sector circular cuya apertura es \large 90^\circ. Por lo tanto,

\large A_{\text{segmento}}=A_{\text{sector}}-A_{\text{triangulo}}=\frac{\pi r^2 n}{360}-\frac{\overline{AD}\cdot\overline{DC}}{2}

Finalmente sustituyendo datos numéricos en la expresión anterior, el área de 1 segmento circular es

\large A_{\text{segmento}}=\frac{\pi (10\:cm)^2 (90^\circ)}{360}-\frac{(10\:cm)\cdot(10\:cm)}{2}\approx 28.54\:cm^2

y el área sombreada buscada entonces es \large A_{\text{sombreada}}=2A_{\text{segmento}}=2(28.54\:cm^2)=57.08\:cm^2

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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