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Cálculo de distancia

 

1La rueda de un camión tiene 90 cm de radio. ¿Cuánto ha recorrido el camión cuando la rueda ha dado 100 vueltas?

 

Dado que el radio de la rueda es   r=90\: cm=0.9\: m entonces su diámetro es  \large \phi=1.8\:m .Por otro lado, recordemos que el perímetro representa la longitud de la circunferencia, y esto equivale a lo que el camión recorre al dar una vuelta. Considerando esto tenemos que el perímetro de la rueda es \large P=\pi \phi=\pi (1.8\: m)=1.8\pi\: m .Finalmente, dado que nos interesa saber la distancia  recorrida del camión durante 100 vueltas, entonces: \large L=100P=100(1.8\pi\: m)=180 \pi \: m\approx 565.486\: m.

2Un faro barre con su luz un ángulo plano de 180°. Si el alcance máximo del faro es de 7 millas, ¿cuál es la longitud máxima en metros del arco correspondiente?

 

Recordemos que si un arco de longitud s de una circunferencia de radio r subtiende un ángulo central de \theta radianes, entonces \large s=r\theta .  Esta fórmula es la que se utilizará para resolver el problema planteado, sin embargo necesitamos el ángulo en radianes, es decir\large \theta=\frac{(128^\circ)(2\pi)}{360^{\circ}}=\frac{32}{45}\pi Luego, la longitud de arco es\large s=\left(7\:mi \right)\left(\frac{32}{45}\pi \right)=\frac{224}{45}\pi\approx15.638\:mi En este problema consideremos que \large 1\:mi=1852\:m  ya que esta es la unidad de longitud utilizada en navegación marítima y aérea.  Por lo tanto la longitud en metros del arco es: \large s=(15.638\:mi)(1852\:m)=28 961.576\:m 

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Cálculo de área

3La longitud de una circunferencia es 43.96 cm. ¿Cuál es el área del círculo?

 

La longitud de la circunferencia representa el perímetro de la misma, el cual se calcula con la fórmula siguiente:P=2\pi r,donde r representa el radio del círculo. Podemos reescribir la expresiónde la manera siguiente:\displaystyle r=\frac{P}{2\pi}

 

El área del círculo se calcula con la fórmula:

 

A=\pi r^2

 

Si  sustituyimos el valor de r obtenido previamente obtenemos:

 

\displaystyle A=\pi \left(\frac{P}{2\pi} \right)^2= \frac{\pi P^2 }{4 \pi^2}=\frac{P^2}{4 \pi}

 

Finalmente considerando el valor numérico de P, el área del círculo es:

 

\displaystyle A=\frac{\left(43.96\:cm\right)^2}{4 \pi}\approx 153.781\:cm^2

 

 


4El área de un sector circular de 90^o es 4 \pi \:cm^2. Calcular el radio del círculo al que pertenece y la longitud de la circunferencia.

 

La fórmula para calcular el área de un sector circular es\displaystyle A=\frac{\pi r^2 n}{360}donde n representa el número de gradosr es el radio asociado del sector circular.

 

De esta expresión tenemos:

 

\displaystyle r=\sqrt{\frac{360 A}{\pi n}}

 

Luego, sustituyendo los valores numéricos del problema, tenemos que el radio del círculo al que pertenece el sector circular es

 

\displaystyle r=\sqrt{\frac{360 (4\pi\:cm^2)}{\pi (90^\circ)}}=\sqrt{16 \:cm^2}=4\:cm

 

Finalmente, la longitud de la circunferencia (perímetro) es

 

P=2\pi r=2\pi (4\:cm)=8\pi\:cm\approx 25.132\:cm

 

5Hallar el área de un sector circular cuya cuerda es el lado del triángulo equilátero inscrito, siendo 2 cm el radio de la circunferencia.

 

La fórmula para calcular el área de un sector circular es:\displaystyle A=\frac{\pi r^2 n}{360},donde n  es el número de gradosn  es el radio asociado del sector circular.

 

Dado que los ángulos internos de un triángulo equilátero miden todos 60^o , y considerando que el vértice del ángulo central del arco coincide con el centro de la circunferencia (ver figura), este ángulo mide

 

n=2(60^\circ)=120^\circ

grafica de circunferencia y triangulo equilatero

 

El área del sector circular es:

 

\displaystyle A=\frac{\pi (2\:cm)^2 (120)}{360}=\frac{4}{3}\pi\:cm^2\approx 4.188\:cm^2

 

6Dadas dos circunferencias concéntricas de radio 8 y 5 /:cm respectivamente, se trazan los radios OA y OB, que forman un ángulo de 60^\circ. Calcular el área del trapecio circular formado.

El área del trapecio circular formado (ver figura) se puede calcular así:\Delta A=A_e-A_idonde A_e representa el área del sector circular de la circunferencia externa (cuyo radio es r_e=8\:cm), mientras queA_i representa el área del sector circular de la circunferencia interna (cuyo radio es r_i=5\:cm). Por lo tanto 

\displaystyle \Delta A=A_e-A_i=\frac{\pi r^2_e n} {360}-\frac{\pi r^2_i n} {360}=\frac{\pi n(r^2_e-r^2_i)} {360}

 

grafica circunferencias concentricas
Luego, sustituymos los valores numéricos en la fórmula y obtenemos el área:
\displaystyle \Delta A=\frac{\pi (60^\circ)[(8\:cm)^2-(5\:cm)^2]} {360}=\frac{13}{2}\pi\:cm^2\approx 20.42\:cm^2

7En un parque de forma circular de 700 \:m de radio hay situada en el centro una fuente, también de forma circular, de 5 \:m de radio. Calcula el área de la zona de paseo.

 

La Figura muestra en color gris el área correspondiente a la zona de paseo. Esta zona corresponde al área delimitada por dos circunferencias concéntricas, es decir, una corona circular.El área de una corona circular se calcula como sigue:A=\pi(r_e^2-r_i^2) 

donde r_e es el radio mayor (radio externo)

r_i es el radio menor (radio interno).
representacion grafica de corona circular representando un parque en problema matematica

 

Ahora bien,  de los datos del problema tenemos:
r_e=700\:m
r_i=5\:m
Por lo tanto, el área de la zona de paseo en el parque es:
A=\pi[(700\:m)^2-(5\:m)^2]\approx 1539301.86\:m^2

8La superficie de una mesa está formada por una parte central cuadrada de 1 :\m de lado y dos semicírculos adosados en dos lados opuestos. Calcula el área.

 

Dado que la parte central de la mesa es un cuadrado, entonces los dos semicírculos laterales son iguales y forman un solo círculo  con diámetro d=1\:m (ver figura).
representacion gradica de una circunferencia de mesa en problema de matematicas

El área de la mesa es
\displaystyle A=A_{\text{cuad}}+A_{\text{circ}}=L^2+\pi\left(\frac{d}{2} \right )^2
  L es la longitud de la mesa
d es el diámetro del círculo.
Sustituyendo valores numéricos, obtenemos el área de la mesa:
A=(1\:m)^2+\pi\left(\frac{1\:m}{2} \right)^2\approx1.785\:m^2

9Calcula el área de la parte sombreada, si el radio del círculo mayor mide 6 :\cm y el radio de los círculos pequeños miden 2 :\cm.
grafica de circunferencia con circulos

De acuerdo a la figura geométrica dada, el área sombreada se calcula comoA_{\text{sombreada}}=A_{T}-4A_{p}[latex]A_{T}[/latex] es el área del círculo mayor de radio r_m=6\:cm

 

A_{p} es el área de cada uno de los círculos pequeños de radio r_p=2\:cm

 

Por lo tanto, tenemos que

 

A_{\text{sombreada}}=\pi r_m^2-4\pi r_p^2=\pi\left(r_m^2-4r_p^2 \right).

Finalmente sustituyendo los valores numéricos, se tiene que el área de la parte sombreada es:
A_{\text{sombreada}}=\pi\left[(6\:cm)^2-4(2\:cm)^2 \right]=20 \pi\:cm^2\approx62.832 \:cm^2

10Calcula el área de la parte sombreada, siendo AB = 10\:cm, ABCDun cuadrado y APC y AQC arcos de circunferencia de centros B y D.

 

grafica de segmento circularrepresentación gráfica de segmento circular dentro de un cuadrado Dado que ambos segmentos circulares son iguales, sin perdida de generalidad podemos analizar cualquiera de estos. Note que cada segmento circular consta de un triángulo isósceles y un sector circular cuya apertura es 90^\circ. Por lo tanto, 

\displaystyle A_{\text{segmento}}=A_{\text{sector}}-A_{\text{triangulo}}=\frac{\pi r^2 n}{360}-\frac{\overline{AD}\cdot\overline{DC}}{2}

Finalmente sustituyendo datos numéricos en la expresión anterior, el área de 1 segmento circular es

 

\displaystyle A_{\text{segmento}}=\frac{\pi (10\:cm)^2 (90^\circ)}{360}-\frac{(10\:cm)\cdot(10\:cm)}{2}\approx 28.54\:cm^2

 

y el área sombreada buscada entonces es

 

A_{\text{sombreada}}=2A_{\text{segmento}}=2(28.54\:cm^2)=57.08\:cm^2

 


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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗