1Calcular el área de la figura formada por un cuadrado y un triángulo equilátero de lado 4 \, cm

 

Area de poligono 1

1 Calculamos el área T_1 del triángulo. Como el triángulo es equilátero, entonces la altura divide en dos triángulos rectángulos iguales. Aplicando el teorema de Pitágoras encontramos la altura

 

\begin{array}{rcl} h & = & \sqrt{4^2 - 2^2} \\\\ & = & \sqrt{12} \\\\ & = & 2 \sqrt{3} \end{array}

 

Luego el área del triángulo equilátero es igual a la mitad del producto de su base y su altura

 

\begin{array}{rcl} T_1 & = & \cfrac{4 \cdot 2 \sqrt{3}}{2} \\\\ & = & 4 \sqrt{3} \end{array}

 

2 Calculamos el área T_2 del cuadrado. Como un lado del cuadrado coincide con un lado del triángulo equilátero, entonces el cuadrado tiene lado 4 \, cm. El área de un cuadrado es igual al cuadrado de uno de sus lados

 

\begin{array}{rcl} T_2 & = & 4^2 \\\\ & = & 16 \end{array}

 

3 El área solicitada es igual a la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado

 

\begin{array}{rcl} A & = & T_1 + T_2 \\\\  & = & 4\sqrt{3} + 16 \, cm^2 \end{array}

 

 

2Calcular el área del polígono regular de lado 5 \, cm y apotema 7 \, cm

 

area de poligonos 2

1 Para calcular el área empleamos la fórmula para polígonos regulares, la cual es igual a la mitad del producto del perímetro por su apotema

 

A = \cfrac{P \cdot a}{2}

 

2 Calculamos el perímetro

 

\begin{array}{rcl} P & = & 5 \cdot l \\\\ & = & 5 \cdot 7 \\\\ & = & 35 \end{array}

 

3 El área solicitada es

 

\begin{array}{rcl} A & = & \cfrac{35 \cdot 7}{2} \\\\ & = & 122.5 \, cm^2 \end{array}

 

 

3Calcular el área del polígono regular de lado 4 \, cm y la distancia del centro a uno de sus vértices es 4.61 \, cm

 

area de poligonos 3

1 Para calcular el área empleamos la fórmula para polígonos regulares, la cual es igual a la mitad del producto del perímetro por su apotema

 

A = \cfrac{P \cdot a}{2}

 

2 Calculamos el perímetro

 

\begin{array}{rcl} P & = & 4 \cdot l \\\\ & = & 4 \cdot 7 \\\\ & = & 28 \end{array}

 

3 No tenemos el apotema, por lo que trazamos un segmento auxiliar del centro al punto medio de uno de sus lados y obtenemos un triángulo rectángulo, cuya altura es igual al apotema

 

area de poligonos 3.5

 

Calculamos el apotema empleando el teorema de Pitágoras

 

\begin{array}{rcl} a & = & \sqrt{4.61^2 - 2^2} \\\\ & = & 4.15 \, cm \end{array}

 

4 El área solicitada es

 

\begin{array}{rcl} A & = & \cfrac{28 \cdot 4.15}{2} \\\\ & = & 58.1 \, cm^2 \end{array}

 

 

4Calcular el área del cuadrado cuya diagonal es 4 \, cm

 

area de poligonos 4

1 Para calcular el área podemos visualizar el cuadrado como un rombo cuyas dos diagonales son iguales

 

area de poligonos 4.5

 

2 El área es igual a la mitad del producto de las diagonales

 

\begin{array}{rcl} A & = & \cfrac{4 \cdot 4}{2} \\\\ & = & 8 \, cm^2 \end{array}

 

 

5Calcular el área del trapecio que se forma al añadir dos triángulos equiláteros al hexágono regular de lado 4 \, cm y apotema 3.5 \, cm

 

area de poligonos 5

1 Para calcular el área empleamos la fórmula del trapecio, la cual es igual a la mitad del producto de la suma de sus bases por su altura

 

A = \cfrac{(B + b) \cdot h}{2}

 

2 La base mayor es igual a tres veces el lado del hexágono, esto es, 12 \, cm, la base menor es igual 4 \, cm y la altura es igual a dos veces el apotema, es decir,  7 \, cm.

 

3 El área solicitada es

 

\begin{array}{rcl} A & = & \cfrac{(12 + 4) \cdot 7}{2} \\\\ & = & 56 \, cm^2 \end{array}

 

 

6Calcular el área de un paralelogramo de base 6 \, cm y altura 6 \, cm

 

area de poligonos 6

1 Para calcular el área empleamos la fórmula del paralelogramo, la cual es igual al producto de su base por su altura

 

A = a \cdot h

 

2 El área solicitada es

 

\begin{array}{rcl} A & = & 6 \cdot 6} \\\\ & = & 36 \, cm^2 \end{array}

 

 

7Calcular el área del del siguiente cuadrilátero cuyas diagonales miden 8 \, cm y son perpendiculares entre si

 

area de poligonos 7

1 Como las diagonales del cuadrilátero son perpendiculares entre si, el área es igual a la mitad del producto de sus diagonales

 

A = \cfrac{D_1 \cdot D_2}{2}

 

2 El área solicitada es

 

\begin{array}{rcl} A & = & \cfrac{8 \cdot 8}{2} \\\\ & = & 32 \, cm^2 \end{array}

 

 

8Calcular el área de la figura formada por un cuadrado de lado 4 \, cm y dos triángulos iguales cuya separación entre dos de sus vértices es 10 \, cm

 

area de poligonos 8

1 Calculamos el área T_1 de uno de los triángulos. Si consideramos como base el lado del cuadrado, entonces las alturas de ambos triángulos más un lado del cuadrado es igual a 10 \, cm; así la altura de cada triángulo es de 3 \, cm

 

area de poligonos 8.5

 

Luego el área del triángulo es igual a la mitad del producto de su base y su altura

 

\begin{array}{rcl} T_1 & = & \cfrac{4 \cdot 3}{2} \\\\ & = & 6 \, cm^2 \end{array}

 

2 Calculamos el área T_2 del cuadrado, el cual es igual al cuadrado de uno de sus lados

 

\begin{array}{rcl} T_2 & = & 4^2 \\\\ & = & 16 \, cm^2 \end{array}

 

3 El área solicitada es igual a la suma de las áreas de los dos triángulo y del cuadrado

 

\begin{array}{rcl} A & = & 2 \cdot T_1 + T_2 \\\\ & = & 2 \cdot 6 + 16  \\\\  & = & 28 \, cm^2\end{array}

 

 

9Calcular el área de la figura formada por un hexágono regular de área 24 \, cm^2 y seis triángulos equiláteros iguales en cada uno de los lados del hexágono

 

area de poligonos 9

1 Como se conoce el área del hexágono, solamente falta encontrar el área de un triángulo equilátero.

 

2 Triangulamos el hexágono

 

area de poligonos 9.5

 

Notamos que el el hexágono se divide en seis triángulos equiláteros iguales, los cuales coinciden con los triángulos equiláteros externos, ya que tienen un lado en común.

 

3 El área solicitada es igual al doble del área del hexágono

 

\begin{array}{rcl} A & = & 2 \cdot 24 \\\\ & = & 48 \, cm^2\end{array}

 

 

10Calcular el área de un rehilete donde el cuadrado tiene por lado 2 \, cm y la altura de cada triángulo es igual a \cfrac{3}{2} partes del lado del cuadrado

 

area de poligonos 10

1 El área T_1 del cuadrado es igual al cuadrado de su lado

 

\begin{array}{rcl} T_1 & = & l^2 \\\\ & = & 4 \, cm^2\end{array}

 

2 La altura de cada lado es igual a \cfrac{3}{2} partes del lado del cuadrado

 

\begin{array}{rcl} h & = & \cfrac{3}{2} \cdot l \\\\ & = & 3 \, cm\end{array}

 

3 El área T_2 del triángulo es igual a la mitad del producto de su base por su altura

 

\begin{array}{rcl} T_2 & = & \cfrac{2 \cdot 3}{2} \\\\ & = & 3 \, cm^2\end{array}

 

4 El área solicitada es

 

\begin{array}{rcl} A & = & T_1 + 4 \cdot T_2 \\\\ & = & 16 \, cm^2\end{array}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗