Ejemplos de problemas que involucran áreas de diversas figuras para su resolución.

1 En una plaza de forma circular de radio 250m se van a poner 7 farolas cuyas bases son círculos de un 1m de radio, el resto de la plaza lo van a utilizar para sembrar césped. Calcula el área del césped.

Primero calculamos el área total de la plaza. Recordemos que el área de un circulo es

    \[ A = \pi r^2. \]

Puesto que el radio de la plaza es de 250m, entonces el área total es

    \[ A_{plaza} = \pi (250m)^2 = 62500\pi m^2 . \]

Ahora bien, se ponen 7 farolas con bases circulares de radio 1, entonces calculamos el area ocupada por las 7 farolas:

     \[ A_{farolas} = 7 \(\pi (1)^2 \) = 7\pi m ^2\]

Por tanto el area del césped debe ser

     \begin{align*} A_{cesped} &= A_{plaza} - A_{farolas} \\ &= 62500\pi m^2 - 7\pi m^2 \\ &= 62493\pi m^2 \\ &= 196327.55 m^2 \end{align*}

Plaza con faroles

2 Sobre un círculo de 4 cm de radio se traza un ángulo central de 60^{\circ}. Hallar el área del segmento circular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco correspondiente.

Angulo de 60
Calculemos primeramente el área del sector del circulo formada por los 60^{\circ}: A_{sector} = \frac{60}{360}\(\pi r^2 \) = \frac{\pi(4^2)}{6} = \frac{8}{3}\pi cm^2 Después debemos calcular el área del triangulo equilátero formado con los dos radio y la cuerda; para esto comenzaremos calculando su altura. Usando el teorema de Pitágoras tendremos que

     \[ h = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{12} \]

y entonces el área del triangulo es

     \[ A_{Triangulo} = \frac{4\sqrt{12}}{2} = 6.93 cm^2. \]

Con lo anterior calculamos el área del segmento buscado

    \begin{align*} A_{segmento} &= A_{sector} - A_{triangulo} \\ &= \frac{8}{3}\pi cm^2 - 6.93cm^2\\ &= 1.45 cm^2 \end{align*}

3 Si los lados no paralelos de un trapecio isósceles se prolongan, quedaría formado un triángulo equilátero de 6 cm de lado. Sabiendo que el trapecio tiene la mitad de la altura del triángulo y base menor de 3 cm, calcular el área del trapecio.

Trapecio isósceles
Recordemos que la formula para calcular el área del trapecio es la siguiente

     \[ A = \frac{(B+b)h}{2} \]

donde

  • B: Base mayor.
  • b: Base menor.
  • h: altura.

Para encontrar la altura del trapecio debemos calcular primero la altura del triangulo:

     \[ h_{triangulo} = \sqrt{6^2 - 3^2} = 5.2 cm \]

entonces

     \[ h_{trapecio} = \frac{5.2}{2} = 2.6 cm. \]

Como ya tenemos la altura del trapecio procedemos a calcular el area

     \[ A = \frac{(6 + 3)2.6}{2} = 11.70 cm^2 \]

4 El área de un cuadrado es 2304 cm². Calcular el área del hexágono regular que tiene su mismo perímetro.

Hexagono y apotema
Primero encontramos el lado del cuadrado considerando que su área es lado x lado

     \[l^2 = 2304cm \quad \Rightarrow \quad l = \sqrt{2304} = 48cm, \]

puesto que su lado es de 48cm entonces su perímetro es

    \[ p = 4l = 4(48) = 192cm.\]

Tenemos que el cuadrado y el hexágono tienen el mismo perímetro, tambien sabemos que un hexágono tiene 6 lado, por tanto la medida del lado del hexágono es

    \[ l_{Hex} = \frac{192}{6} = 32 cm \]

Recordando el área del hexágono

     \[\frac{p*a}{2} \]

donde

  • p perimetro
  • a apotema
Hexagono

Por lo que nos falta calcular la apotema del hexágono para poder calcular su área

    \[ a = \sqrt{32^2 - 16^2} = 27.71 cm \]

entonces

     \[a_{hex} = \frac{(192)(27.71)}{2} = 2660. 43 cm^2 \]

5 A un hexágono regular de 4 cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra. Hallar el área de la corona circular así formada.

Primero tenemos que R = 4 cm y por tanto el apotema seria

    \[ r = a = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{12}cm\]

Restando el área de las dos circunferencias, tendríamos que el área de la corona es

    \[A = \pi \( 4^2 - (\sqrt{12})^2) = 4\pi = 12.56 cm \]

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗