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Regla de L'Hôpital

Si f y g son 2 funciones continuas tal que

\left\{\begin{matrix} \lim_{x\rightarrow a} f(x)=0\\ \\ \lim_{x\rightarrow a} g(x)=0\\ \\ g'(x)\not=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.

La regla de L'Hôpital nos dice que

 \displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.

 

Para poder aplicar la regla de L'Hôpital hay que tener un límite de la forma \displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}, y tener una de las siguientes indeterminaciones

  • \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}\rightarrow\frac{0}{0},
  • \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}\rightarrow\frac{\infty}{\infty}

 

A continuación unos ejercicios resueltos  para poder entender de manera más clara

Ejercicios resuletos de la regla de L'Hôpital

 

1 \displaystyle \lim_{x\rightarrow1}\frac{\ln(2x^2-1)}{\tan(x-1)}

 

1 Identificar indeterminación

\displaystyle \lim_{x\rightarrow1}\frac{\ln(2x^2-1)}{\tan(x-1)}=\frac{\ln(2(1)^2-1)}{\tan((1)-1)}=\frac{\ln(1)}{\tan(0)}=\frac{0}{0}

2 Aplicar la regla de L'Hôpital

Derivamos el númerador y denominador del cociente. Tomamos límite.

\displaystyle \lim_{x\rightarrow1}\frac{\frac{4x}{2x^2-1}}{\sec^2(x-1)}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{\frac{4(1)}{2(1)^2-1}}{\sec^2((1)-1)}=\frac{\frac{4}{1}}{1}=4

3 Obtener el límite

\displaystyle \lim_{x\rightarrow1}\frac{\ln(2x^2-1)}{\tan(x-1)}=4

 

2 \displaystyle \lim_{x\rightarrow0}\frac{x-\text{sen}(x)}{x^3}

 

1 Identificar indeterminación

\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}\frac{x-\text{sen}(x)}{x^3}=\frac{(0)-\text{sen}(0)}{(0)^3}=\frac{0}{0}

2 Aplicar la regla de L'Hôpital

Derivamos el númerador y denominador del cociente. Tomamos límite.

\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos(x)}{3x^2}=\frac{1-\cos(0)}{3(0)^2}=\frac{1-1}{0}=\frac{0}{0}

Obtenemos nuevamente una indeterminación por lo que aplicaremos la regla de L'Hôpital otra vez

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\text{sen}(x)}{6x}=\frac{\text{sen}(0)}{6\cdot 0}=\frac{0}{0}

Una vez más

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos(x)}{6}=\frac{\cos(0)}{6}=\frac{1}{6}

3 Obtener el límite

\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}\frac{x-\text{sen}(x)}{x^3}=\frac{1}{6}

 

3 \displaystyle \lim_{x\rightarrow1}\frac{1-\text{cos}(x-1)}{(\ln(x))^2}

 

1 Identificar indeterminación

\displaystyle \lim_{x\rightarrow1}\frac{1-\text{cos}(x-1)}{(\ln(x))^2}=\frac{1-\text{cos}((1)-1)}{(\ln(1))^2}=\frac{0}{0}

2 Aplicar la regla de L'Hôpital

Derivamos el númerador y denominador del cociente. Tomamos límite.

\displaystyle \lim_{x\rightarrow1}\frac{\text{sen}(x-1)}{\frac{2\ln(x)}{x}}=\frac{\text{sen}((1)-1)}{\frac{2\ln(1)}{(1)}}=\frac{0}{0}

Volvemos a aplicar la regla

\displaystyle \lim_{x\rightarrow1}\frac{\text{cos}(x-1)}{\frac{2-2\ln(x)}{x^2}}=\frac{\text{cos}((1)-1)}{\frac{2-2\ln(1)}{(1)^2}}=\frac{1}{2}

3 Obtener el límite

\displaystyle \lim_{x\rightarrow1}\frac{1-\text{cos}(x-1)}{(\ln(x))^2}=\frac{1}{2}

 


4 \displaystyle \lim_{x\rightarrow0}\frac{\text{cos}^2(x)-1}{x^2}

 

1 Identificar indeterminación

\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}\frac{\text{cos}^2(x)-1}{x^2}=\frac{\text{cos}^2(0)-1}{(0)^2}=\frac{0}{0}

2 Aplicar la regla de L'Hôpital

Derivamos el númerador y denominador del cociente. Tomamos límite.

\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}\frac{-2\cos(x)\text{sin}(x)}{2x}=\frac{-2\cos(0)\text{sin}(0)}{2(0)}=\frac{0}{0}

Utilizamos la siguiente propiedad de la funciones trigonométricas \text{sen}(2x)=2\text{sen}(x)\cos(x), y volvemos aplicar la regla de L'Hôpital

\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}\frac{-2\cos(x)\text{sin}(x)}{2x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{-\text{sin}(2x)}{2x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{-2\text{cos}(2x)}{2}=-1

3 Obtener el límite

\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}\frac{\text{cos}^2(x)-1}{x^2}=-1

 

 

Formas de Indeterminaciones en potencias

 

Las formas indeterminadas 0^0, \infty^01^\infty se obtienen cuando consideramos expresiones de la forma

[f(x)]^{g(x)}

 

Estas indeterminaciones se resuelven primero aplicando propiedades del logaritmo:

Tengo mi función

y=[f(x)]^{g(x)}

 

Aplico logaritmo

\ln(y)=\ln([f(x)]^{g(x)})=g(x)\ln(f(x))

 

Aplico exponencial

y=e^{g(x)\ln(f(x))}

 

Entonces

\lim_{x\to a}[f(x)]^{g(x)}=\lim_{x\to a}e^{g(x)\ln(f(x))}=e^{\lim_{x\to a}{g(x)\ln(f(x))}}

 

Por lo que para resolver el límite inicial, me basta con obtener el límite de su logaritmo

\lim_{x\to a}{g(x)\ln(f(x))}=L

 

Y así, el límite original será

\lim_{x\to a}[f(x)]^{g(x)}=e^L

 

Ejercicios resueltos con indeterminaciones

 

1 \displaystyle\lim_{x\rightarrow0}(\cos(2x))^{\frac{3}{x^2}}

 

1 Identificar indeterminación

\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}(\cos(2x))^{\frac{3}{x^2}}=(\cos(2(0)))^{\frac{3}{(0)^2}}=1^\infty

2 Tomamos límite del logaritmo

\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{3}{x^2}\ln(\cos(2x))=\lim_{x\to 0}\frac{3\ln(\cos(2x))}{x^2}=\frac{3\ln(\cos(2\cdot 0))}{0^2}=\frac{0}{0}

Tenemos forma indeterminada \displaystyle \frac{0}{0}

3 Aplicar regla de L'Hôpital

\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}{\frac{3\frac{-2\text{sen}(2x)}{\cos(2x)}}{2x}}=\lim_{x\rightarrow0}{\frac{-3\tan(2x)}{x}}=\frac{0}{0}

Forma indeterminada \displaystyle \frac{0}{0}

Aplicamos regla de L'Hôpital de nuevo

\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}\frac{-12\csc^2(2x)}{2}=\frac{-12\csc^2(2\cdot 0)}{2}=-6

4 Obtenemos el límite

Por lo tanto

\lim_{x\to 0}\frac{3}{x^2}\ln(\cos(2x))=-6

Y entonces

\lim_{x\rightarrow0}(\cos(2x))^{\frac{3}{x^2}}=e^{-6}

 

2 \lim_{x\rightarrow0}(\cot(x))^{\text{sen}(x)}

 

1 Identificar indeterminación

\lim_{x\rightarrow0}(\cot(x))^{\text{sen}(x)}=(\cot(0))^{\text{sen}(0)}=\infty^0

2 Tomamos límite del logaritmo

\displaystyle \lim_{x\to 0}\text{sen}{(x)}\ln(\cot(x))=\lim_{x\to 0}\frac{\ln(\cot(x))}{\csc (x)}=\frac{\infty}{\infty}

Tenemos forma indeterminada \displaystyle \frac{\infty}{\infty}

3 Aplicar regla de L'Hôpital

Al derivar obtenemos

\displaystyle \frac{\frac{-\csc^2(x)}{\cot (x)}}{-\csc (x)\cot (x)}=\frac{\csc(x)}{\cot^2 (x)}=\frac{\tan^2 (x)}{sen(x)}=\tan(x)\sec(x)

Entonces

 \lim_{x\to 0} \tan(x)\sec(x)=\tan(0)\sec(0)=0\cdot 1=0

4 Obtenemos el límite original

Por lo tanto

\lim_{x\to 0}\text{sen}{(x)}\ln(\cot(x))=0

Y entonces

\lim_{x\rightarrow0}(\cot(x))^{\text{sen}(x)}=e^{0}=1

 

3 \lim_{x\rightarrow0}x^{\text{tan}(x)}

 

1 Identificar indeterminación

\lim_{x\rightarrow0}x^{\text{tan}(x)}=\lim_{x\rightarrow0}(0)^{\text{tan}(0)}=\infty^0

2 Tomamos límite del logaritmo

\displaystyle \lim_{x\to 0}\tan (x)\ln(x)=\lim_{x\to 0}\frac{\ln(x)}{\cot (x)}=\frac{-\infty}{\infty}

Tenemos forma indeterminada \displaystyle \frac{-\infty}{\infty}

3 Aplicar regla de L'Hôpital

Al derivar obtenemos

\displaystyle \frac{\frac{1}{x}}{-\csc^2 (x)}=-\frac{\sin^2(x)}{x}

Entonces

\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{x}}{-\csc^2 (x)}= \lim_{x\to 0}-\frac{\sin^2(x)}{x}=-\frac{\sin^2(0)}{0}=\frac{0}{0}

Aplicamos L'Hôpital de nuevo

 \displaystyle \lim_{x\to 0}-\frac{2\sin(x)\cos (x)}{1}=-\frac{2\sin(0)\cos (0)}{1}=0

4 Obtenemos el límite original

Por lo tanto

\lim_{x\to 0}\tan (x)\ln(x)=0

Y entonces

\lim_{x\rightarrow0}x^{\text{tan}(x)}=e^{0}=1

 

4 \displaystyle\lim_{x\rightarrow2}\left(\frac{x}{2} \right )^{\frac{1}{x-2}}

 

1 Identificar indeterminación

\displaystyle \lim_{x\rightarrow2}\left(\frac{x}{2} \right )^{\frac{1}{x-2}}=\left(\frac{2}{2} \right )^{\frac{1}{(2)-2}}=1^\infty

2 Calculamos el límite del logaritmo

\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{1}{x-2}\ln\left(\frac{x}{2} \right )=\lim_{x\to 2}\frac{\ln\left(\frac{x}{2} \right )}{x-2}=\frac{\ln\left(\frac{2}{2} \right )}{2-2}=\frac{0}{0}

Tenemos forma indeterminada \displaystyle \frac{0}{0}

3 Aplicar regla de L'Hôpital

Al derivar obtenemos

\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{\frac{1/2}{x/2}}{1}=\lim_{x\to 2}\frac{1}{x}=\frac{1}{2}

4  Obtenemos el límite original

Por lo tanto

\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{1}{x-2}\ln\left(\frac{x}{2} \right )=\frac{1}{2}

Y entonces

\displaystyle \lim_{x\rightarrow2}\left(\frac{x}{2} \right )^{\frac{1}{x-2}}=e^{\frac{1}{2}}=\sqrt{e}

 

Ejercicios resuletos de la indeterminacion infinito menos infinto

 

En estos casos tenemos que tener en ver que tan "rápido" las funciones se van a infinito. Además si son fracciones, se ponen a común denominador.

 

1 \displaystyle \displaystyle \lim_{x\to 0}\left(\cot(x)-\frac{1}{x}\right)

 

1 Identificar indeterminación

\displaystyle \lim_{x\to 0}\left(\cot(x)-\frac{1}{x}\right)=\cot(0)-\frac{1}{0}=\infty-\infty

2 Reescribimos la expresión

\lim_{x\to 0}\left(\cot(x)-\frac{1}{x}\right)=\lim_{x\to 0}\left(\frac{\cos(x)}{\text{sen}(x)}-\frac{1}{x}\right)=\lim_{x\to 0}\left(\frac{x\cos(x)-\text{sen}(x)}{x\text{sen}(x)}\right)=\frac{0}{0}

3 Aplicar regla de L'Hôpital

Al derivar obtenemos

\displaystyle \lim_{x\to 0}\left(\frac{\cos(x)-x\text{sen}(x)-\cos(x)}{\text{sen}(x)+x\cos(x)}\right)=\lim_{x\to 0}\left(\frac{-x\text{sen}(x)}{\text{sen}(x)+x\cos(x)}\right)=\frac{0}{0}

Obtengo otra indeterminación, por lo que vuelvo a aplicar la reglar

\displaystyle \lim_{x\to 0}\left(\frac{-\text{sen}(x)-x\cos(x)}{2\text{cos}(x)+x\text{sen}(x)}\right)=\left(\frac{-\text{sen}(0)-(0)\cos(0)}{2\text{cos}(0)+(0)\text{sen}(0)}\right)=\frac{0}{2}=0

4 Obtenemos el límite

Por lo tanto

\displaystyle \lim_{x\to 0}\left(\cot(x)-\frac{1}{x}\right)=0

 

2 \displaystyle \lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\text{sen}(x)}\right)

 

1 Identificar indeterminación

\displaystyle \lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\text{sen}(x)}\right)=\frac{1}{0}-\frac{1}{\text{sen}(0)}=\infty-\infty

2 Reescribimos la expresión

\displaystyle \lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\text{sen}(x)}\right)=\lim_{x\to 0}\left(\frac{\text{sen}(x)-x}{x\text{sen}(x)}\right)=\frac{0}{0}

3 Aplicar regla de L'Hôpital

Al derivar obtenemos

\displaystyle \lim_{x\to 0}\left(\frac{\text{cos}(x)-1}{\text{sen}(x)+x\cos(x)}\right)=\frac{0}{0}

Obtengo otra indeterminación, por lo que vuelvo a aplicar la reglar

\displaystyle \lim_{x\to 0}\left(\frac{-\text{sin}(x)}{2\text{cos}(x)-x\text{sen}(x)}\right)=\frac{0}{2}=0

4 Obtenemos el límite

Por lo tanto

\displaystyle \displaystyle \lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\text{sen}(x)}\right)=0

 

Indeterminación cero por infinito

 

Estas formas de indeterminación se pueden transformar a casos que ya vimos, como \displaystyle \frac{0}{0} ó \displaystyle \frac{\infty}{\infty}.

 

Como se muestra a continuación, tenemos que

 

\lim_{x\to a}f(x)g(x)=0\cdot\infty

donde \lim_{x\to a}f(x)=0 y \lim_{x\to a}g(x)=\infty

Entonces lo podemos reescribir de tal manera que sea más fácil sacar la derivada

\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)g(x)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}=\frac{0}{0}

ó

\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)g(x)=\lim_{x\to a}\frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}}=\frac{\infty}{\infty}

Teniendo esto ya podemos usar la regla de L'Hôpital

Ejercicios resueltos de la indeterminación cero por infinito

 

1 \lim_{x\to 0^+}x\ln(x)

 

1 Identificar indeterminación

\lim_{x\to 0^+}x\ln(x)=(0)\ln(0)=(0)(-\infty)

2 Reescribimos la expresión

\displaystyle \lim_{x\to 0^+}x\ln(x)=\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}}=\frac{-\infty}{\infty}

Indeterminación de tipo \displaystyle \frac{\infty}{\infty}

3 Aplicar regla de L'Hôpital

Al derivar obtenemos

\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to 0^+}-\frac{x^2}{x}=\lim_{x\to 0^+}-x=0

4 Obtenemos el límite

Por lo tanto

\lim_{x\to 0^+}x\ln(x)=0

 

2 \displaystyle \lim_{x\to \frac{\pi}{4}}(\tan(x)-1)\sec(2x)

 

1 Identificar indeterminación

\displaystyle \lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\text{sen}(x)}\right)=\frac{1}{0}-\frac{1}{\text{sen}(0)}=\infty-\infty

2 Reescribimos la expresión

\displaystyle \lim_{x\to \frac{\pi}{4}}(\tan(x)-1)\sec(2x)=(\tan(\frac{\pi}{4})-1)\sec(2\frac{\pi}{4})=0\cdot\infty

Expresamos lo mismo de una manera conveniente para poder aplicar la regla de L'Hôpital

\displaystyle \lim_{x\to \frac{\pi}{4}}(\tan(x)-1)\sec(2x)=\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}\frac{\tan(x)-1}{\frac{1}{sec(2x)}}=\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}\frac{\tan(x)-1}{\cos(2x)}=\frac{0}{0}

3 Aplicar regla de L'Hôpital

Al derivar obtenemos

\displaystyle \lim_{x\to \frac{\pi}{4}}\frac{\sec^2(x)}{-2\text{sen}(2x)}=\frac{\sec^2(\frac{\pi}{4})}{-2\text{sen}(2\frac{\pi}{4})}=-1

4 Obtenemos el límite

Por lo tanto

\displaystyle\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}(\tan(x)-1)\sec(2x)=-1

 

Ejercicios diversos de indeterminaciones y regla de L'Hôpital

 

1 \displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{\ln(x)}{x-1}

 

1 Identificar indeterminación

\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{\ln(x)}{x-1}=\frac{0}{0}

2 Aplicar la regla de L'Hôpital

Derivamos el númerador y denominador del cociente. Tomamos límite.

\displaystyle \lim_{x\rightarrow1}\frac{1}{x}=\frac{1}{1}=1

3 Obtener el límite

\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{\ln(x)}{x-1}=1

 

2 \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{x-\frac{3}{2}\sin 2x}

 

1 Identificar indeterminación

\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{x-\frac{3}{2}\sin 2x}=\frac{0}{0}

2 Aplicar la regla de L'Hôpital

Derivamos el númerador y denominador del cociente. Tomamos límite.

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{3\cos 3x}{1-3\cos 2x}=-\frac{3}{2}

3 Obtener el límite

\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{x-\frac{3}{2}\sin 2x}=-\frac{3}{2}

 

3 \lim_{x\to 0}(\arcsin x \cot x)

 

1 Identificar indeterminación

\lim_{x\to 0}(\arcsin x \cot x)= 0\cdot \infty

2 Reformulación del problema

Solo expresando de diferente manera podremos encontrar las condiciones para aplicar regla de L'Hôpital

\displaystyle \lim_{x\to 0}(\arcsin x \cot x)= \lim_{x\to 0}\frac{\cos x\arcsin x}{\sin x}=\frac{0}{0}

3 Aplicar la regla de L'Hôpital

Derivamos el númerador y denominador del cociente. Tomamos límite.

 \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{-\sin x \arcsin x +\frac{\cos x}{\sqrt{1-x^2}}}{\cos x}=1

4 Obtener el límite

\lim_{x\to 0}(\arcsin x \cot x)=1

 

4 \displaystyle \lim_{x\to 0}\left[\frac{1}{2}\frac{\text{sen }x}{\tan x}(1+\tan 2x)^{\frac{4}{x}} \right ]

 

1 Identificar indeterminación

\displaystyle \lim_{x\to 0}\left[\frac{1}{2}\frac{\text{sen }x}{\frac{\text{sen }x}{\cos x}}(1+\tan 2x)^{\frac{4}{x}} \right ]=\frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\cos x \lim_{x\to 0} (1+\tan 2x)^{\frac{4}{x}} =\frac{1}{2} \lim_{x\to 0} (1+\tan 2x)^{\frac{4}{x}}=1^{\infty}

2 Calculamos el límite del logaritmo

\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{4}{x} \ln(1+\tan 2x)=\lim_{x\to 0}\frac{4 \ln(1+\tan 2x)}{x}=\frac{0}{0}

Tenemos forma indeterminada \displaystyle \frac{0}{0}

3 Aplicar la regla de L'Hôpital

Derivamos el númerador y denominador del cociente. Tomamos límite.

\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{4 \ln(1+\tan 2x)}{x}=4 \lim_{x\to 0}\frac{2 \sec^2 x}{1+\tan 2x}=8 \lim_{x\to 0}\frac{1+\tan^2 x}{1+\tan 2x}=8

4 Obtener el límite

\displaystyle \lim_{x\to 0}\left[\frac{1}{2}\frac{\text{sen }x}{\tan x}(1+\tan 2x)^{\frac{4}{x}} \right ]=\frac{1}{2}e^8

 

5  \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)-\sin x}{x\sin x}

 

1 Identificar indeterminación

\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)-\sin x}{x\sin x}=\frac{0}{0}

2 Calculamos el límite del logaritmo

\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{4}{x} \ln(1+\tan 2x)=\lim_{x\to 0}\frac{4 \ln(1+\tan 2x)}{x}=\frac{0}{0}

Tenemos forma indeterminada \displaystyle \frac{0}{0}

3 Aplicar la regla de L'Hôpital

Derivamos el númerador y denominador del cociente. Tomamos límite.

\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{1+x}-\cos x}{\sin x+x\cos x}=\frac{0}{0}

Aplicamos la regla de lopital otra vez

\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{-\frac{1}{(1+x)^2}+\sin x}{\cos x+\cos x-x\sin x}=-\frac{1}{2}

4 Obtener el límite

\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)-\sin x}{x\sin x}=-\frac{1}{2}

 

6  \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1+\sin x - e^x}{\arctan^2 x}

 

1 Identificar indeterminación

\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1+\sin x - e^x}{\arctan^2 x}=\frac{0}{0}

2 Aplicar la regla de L'Hôpital

Derivamos el númerador y denominador del cociente. Tomamos límite.

\displaystyle \frac{\cos x - e^x}{\frac{2\arctan x}{1+x^2}}=\frac{0}{0}

Aplicamos la regla de L'Hôpital otra vez

\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{-\sin x -e^x}{\frac{2-4x\arctan x}{(1+x^2)^2}}=-\frac{1}{2}

3 Obtener el límite

\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1+\sin x - e^x}{\arctan^2 x}=-\frac{1}{2}

 

7 \displaystyle\lim_{x\to 0}\left[\frac{1}{\ln(1+x)}-\frac{1}{x}\right]

 

1 Identificar indeterminación

\displaystyle \lim_{x\to 0}\left[\frac{1}{\ln(1+x)}-\frac{1}{x}\right]=\infty-\infty

2 Reescribimos la expresión

\displaystyle \lim_{x\to 0}\left[\frac{1}{\ln(1+x)}-\frac{1}{x}\right]=\lim_{x\to 0} \frac{x- \ln (1+x)}{x\ln(1+x)}

Indeterminación \displaystyle \frac{0}{0}

3 Aplicar la regla de L'Hôpital

\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\frac{1}{x}}{\ln(1+x)+\frac{x}{1+x}}=\lim_{x\to 0} \frac{x}{\ln(1+x) + x\ln (1+x)+x}=\frac{0}{0}

Aplicamos la regla de L'Hôpital otra vez

\displaystyle\lim_{x\to 0 }\frac{1}{\frac{1}{1+x}+\ln (1+x)+\frac{x}{1+x}+1}=\frac{1}{2}

4 Obtener el límite

\displaystyle\lim_{x\to 0}\left[\frac{1}{\ln(1+x)}-\frac{1}{x}\right]=\frac{1}{2}

 

8 \displaystyle\lim_{x\to 0}\left( \frac{1+\tan x}{1+\sin x}\right)^{\frac{1}{\sin x}}

 

1 Identificar indeterminación

\displaystyle \lim_{x\to 0}\left( \frac{1+\tan x}{1+\sin x}\right)^{\frac{1}{\sin x}}=1^\infty

2 Tomamos límite del logaritmo

\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1}{\sin x} \ln(\frac{1+\tan x}{1+\sin x})=\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+\tan x)-\ln(1+\sin x)}{\sin x} =\frac{0}{0}

Tenemos forma indeterminada \displaystyle \frac{0}{0}

3 Aplicar la regla de L'Hôpital

\displaystyle \frac{\frac{1+\tan^2x}{1+\tan x}-\frac{\cos x}{1+\sin x}}{\cos x}=\frac{0}{1}=0

4 Obtener el límite original

\displaystyle \lim_{x\to 0}\left( \frac{1+\tan x}{1+\sin x}\right)^{\frac{1}{\sin x}}=e^0

 

9  \lim_{x\to 0}x^{\sin x}

 

1 Identificar indeterminación

 \lim_{x\to 0}x^{\sin x} =0^0

2 Tomamos límite del logaritmo

\lim_{x\to 0}\sin x \ln(x)=0\cdot (-\infty)

Rescribimos de manera conveniente

\displaystyle \lim_{x\to 0} \ln(x)=\frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sin x}} =\frac{-\infty}{\infty}

Tenemos forma indeterminada \displaystyle \frac{\infty}{\infty}

3 Aplicar la regla de L'Hôpital

\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{-\cos x}{\sin^2 x}}=\lim_{x\to 0}-\frac{\sin^2 x}{x \cos x}=\frac{0}{0}

Aplicamos la regla de L'Hôpital otra vez

\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{-2\sin x \cos x}{\cos x-x\sin x}=\frac{0}{1}=0

4 Obtener el límite original

\lim_{x\to 0}x^{\sin x}=e^0= 1

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗