Ejercicios propuestos
Resolver los siguientes ejercicios realizando lo que se indica en cada caso:

1 Hallar el dominio y el recorrido de las siguientes funciones definidas a trozos, y además representarlas gráficamente.

  •  f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}2 x+4 & \text { si } & x>0 \\ 4-2 x & \text { si } & x<0\end{array} \quad\right.
  •  f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}1 & \text { si } & x \leq 1 \\ x & \text { si } & 1<x \leq 3 \\ -x+6 & \text { si } & 3<x \leq 6 \\ 0 & \text { si } & 6<x\end{array}\right.
  •  f(x)=\left\{\begin{array}{lll} x^{2} & \text { si } & x<2 \\ 1 & \text { si } & x=2 \\ 4 & \text { si } & x>2 \end{array}\right.

1 Comencemos con la gráfica de la función (notemos que en cero no esta definida)
Función en trozos
A partir de la gráfica podemos notar que
Dominio:  D = \mathbb{R} - \{0\}
Recorrido:  R = (4, \infty). 2 Gráfica:
Funcion en trozos 2
Notemos que
Dominio:  D = \mathbb{R}
Recorrido:  R = [0,3]

3 Observemos que la gráfica esta definida en todos los reales pero no es continua
Funcion por trozos
Y de la gráfica
Dominio:  D = \mathbb{R}
Recorrido:  R = [0,\infty).

2Hallar el dominio, el recorrido y representar gráficamente las siguientes funciones en valor absoluto:

  •  f(x) = |x - 2|
  •  f(x) = |x^2 - 4x + 3|
  •  f(x) = |x| - x

1  f(x) = |x - 2| :
Se iguala a cero la función sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.

     \[x -2 = 0 \quad \quad \Rightarrow \quad \quad x= 2 \]

Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo
signos de intervalos
Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función

    \[ f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}-(x-2) & \text { si } & x<2 \\ x-2 & \text { si } & x \geq 2\end{array}\right. \]

Representamos gráficamente la función resultante
Valor absoluto funcionY obtenemos que
Dominio : D = \mathbb{R}
Recorrido :  R = [0, \infty)

2  f(x) = |x^2 - 4x + 3|
Se iguala a cero la función sin el valor absoluto y se calculan sus raíces.

     \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1 , \quad x = 3 \]

Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo
signos

Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función

     \[ f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} x^{2}-4 x+3 & \text { si } & x<1 \\ -\left(x^{2}-4 x+3\right) & \text { si } & 1 \leq x<3 \\ x^{2}-4 x+3 & \text { si } & x \geq 3 \end{array}\right. \]

Representamos la función resultante
Funcion a trozos

Por lo tanto

     \[ D = \mathbb{R} \]

     \[ R = [0, \infty ) \]

3  f(x) = |x| - x
Se iguala a cero la función sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.

    \[ x = 0 \]

Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo
signos

Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función

     \[ f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} -x-x & \text { si } & x<0 \\ x-x & \text { si } & x \geq 0 \end{array}\right. \]

es decir

    \[ f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} -2 x & \text { si } & x<0 \\ 0 & \text { si } & x \geq 0 \end{array}\right. \]

La gráfica de la función resultante es
Valor absoluto 3
Entonces

     \[ D = \mathbb{R} \]

    \[ R = [0, \infty) \]

3 Representa gráficamente las funciones de la parte entera de x:

  • f(x) = x + 1 - E(x)
  •  f(x) = 2x - E(x)

1 f(x) = x + 1 - E(x)
Primero tabulemos un par de puntos y después realicemos la gráfica

x  f(x)
0 1
0.5 1.5
0.9 1.9
1 1
1.5 1.5
1.9 1.9

Gráfica:

Funcion con parte entera

 

 

 

 

2  f(x) = 2x - E(x)
Funcion con parte entera

4 Representa las funciones racionales y determina su centro

  •  f(x) = \frac{6}{x}
  • f(x)=\frac{6}{x}+3
  •  f(x)=\frac{6}{x}-3
  •  f(x)=\frac{6}{x+3}
  • f(x)=\frac{6}{x-3}
  •  f(x)=\frac{6}{x-3}+4
  •  f(x)=\frac{3x+9}{x+1}

1  f(x) = \frac{6}{x}
Hipérbola con gráfica
Hiperbola centrada origenY el centro de la hipérbola es:(0, 0)

2 f(x)=\frac{6}{x}+3

Notemos que  f(x)= \frac{6}{x} se desplaza 3 unidades hacia arriba, entonces
Grafica hiperbola

Por lo tanto el centro de la hipérbola es: (0, 3)

3 f(x)=\frac{6}{x}-3

En este caso  f(x)= \frac{6}{x} se desplaza 3 unidades hacia abajo, entonces
Grafica de la funcion

Entonces, el centro de la hipérbola es: (0, -3)

4  f(x)=\frac{6}{x+3}
En este caso  f(x)= \frac{6}{x} se desplaza 3 unidades hacia la izquierda
Hiperbola desplazada

El centro de la hipérbola es: (−3, 0)

5  f(x)=\frac{6}{x-3}
 f(x)= \frac{6}{x} se desplaza 3 unidades hacia la derecha, entonces
Hiperbola

El centro de la hipérbola es: (3, 0)

6  f(x)=\frac{6}{x-3}+4
Tenemos que  f(x)= \frac{6}{x} se desplaza hacia la derecha 3 unidades y4 hacia arriba
Hiperbola

El centro de la hipérbola es: (3, 4)

7  f(x)=\frac{3x+9}{x+1}
Notemos que

     \begin{align*} \frac{6}{x+1} + 3 &= \frac{6 + 3(x+1)}{x+1}\\ &= \frac{6 + 3x + 3}{x+1} \\ &= \frac{3x + 9}{x+1} \end{align*}

Es decir, \frac{3x + 9}{x+1} = \frac{6}{x+1} + 3, y de aquí es mas sencillo ver que  \frac{6}{x} se desplaza hacia la izquierda 1 unidad y 3 unidades hacia arriba.
Hiperbola desplazada
El centro de la hipérbola es: (−1, 3)

5 Representa las funciones exponenciales:

  •  f(x) = 3^x
  • f(x)= \( \frac{2}{5}\)^x

1 f(x) = 3^x
Notemos que

x  f(x)
-3 1/27
-2; 1/9
-1 1/3
0 1
1 3
2 9
3 27
Funcion exponencial

 

 

 

 

 

 

2 f(x) = \( \frac{2}{5}\)^x
Notemos que
grafica función exponencial

 

 

 

 

 

pues al tabular tenemos algo así

x  f(x)
−3 15.625
−2 6.25
−1 2.5
0 1
1 0.4
2 0.16
3 0.064

6 Representa las funciones logarítmicas:

  •  f(x) = \log_2 x
  •  f(x) = \log_{1/2} x

1  f(x) = \log_2 x
Tabulamos unos puntos para ver el comportamiento

x  f(x)
1/8 -3
1/4 -2
1/2 -1
1 0
2; 1
4 2
8 3

Su representación gráfica quedaría
Grafica funcion logaritmica

 

 

 

 

 

 

2  f(x) = \log_{1/2} x
La gráfica que obtenemos es
Grafica funcion logaritmica

 

 

 

 

 

 

Al igual que en el ejercicio anterior se podría tabular para ver su comportamiento.

7 Representa las funciones trigonométricas:

  • f(x) = \cos \( x + \frac{\pi}{2} \)
  • f(x) = \textrm{sen} (2x)

1 f(x) = \cos \( x + \frac{\pi}{2} \)

0 0
π/4 -0.7
π/2 -1
3π/4 -0.7
π 0
5π/4 0.7
3π/2 1
7π/4 0.7;
0

Funcion trigonometrica

2 f(x) = \textrm{sen} (2x)

0 0
π/4 1
π/2 0
3π/4 -1
π 0
5π/4 1
3π/2 0
7π/4 -1
0

Grafica funcion trigonometrica

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗