El objetivo de esta sección es encontrar el límite de funciones que se indeterminan de la forma \displaystyle 1^\infty.

 

Recordemos que el número de euler \displaystyle e = 2.718281828459...   es el valor a quien converge el siguiente límite:

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x} =e

 

Mostraremos dos métodos para resolver los límites mencionados.

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Primer método de resolución de la indeterminación

 

La idea es resolver el siguiente límite usando el resultado anterior y cierto proceso.

 

\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} \left(\frac{2x + 1}{x+2} \right)^{\frac{1}{x-1}}

 

1 Para comenzar notemos que el  límite se indetermina de la forma \displaystyle 1^\infty , es decir, por un lado queda

 

\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} \left(\frac{2x + 1}{x+2} \right)=1

 

y por otro lado

 

\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}}\frac{1}{x-1}}=\infty

 

llegando a que la indeterminación es de la forma siguiente: \displaystyle 1^\infty

 

2 Para quitar esta indeterminación, a la base le sumamos y restamos \displaystyle 1 . Esto no altera el valor del límite, pues estamos sumando un cero.

 

\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} \left(\frac{2x + 1}{x+2} \right)^{\frac{1}{x-1}} = \lim_{x \to 1^{+}} \left( 1+\frac{2x + 1}{x+2} -1 \right)^{\frac{1}{x-1}}

 

3 Ponemos al mismo común denominador en los dos últimos sumandos  y reducimos la

expresión:

 

\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} \left( 1+\frac{2x + 1}{x+2} -\frac{x+2}{x+2} \right)^{\frac{1}{x-1}} =\lim_{x \to 1^{+}} \left(1 + \frac{x-1 }{x+2} \right)^{\frac{1}{x-1}}

 

recordando que

 

\displaystyle \frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{b}{a}

 

4 En el segundo, sumando, realizamos el inverso del inverso.

 

\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} \left(1 + \frac{1 }{\frac{x+2}{x-1}} \right)^{\frac{1}{x-1}}

 

5 Elevamos al denominador y a su inverso

 

\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} \left( \left( 1 + \frac{1 }{\frac{x+2}{x-1}} \right)^{\frac{1}{x-1}} \right)^{\frac{x-1}{x+2}\frac{x+2}{x-1}}

 

6 Si hacemos

 

\displaystyle c = \frac{x+2}{x-1}

,

 

recordando que

 

\displaystyle (a^b)^c = a^{bc}

 

y reducimos y reordenamos

 

\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} \left( \left( 1 + \frac{1 }{\frac{x+2}{x-1}} \right)^{\frac{x+2}{x-1}} \right)^{\frac{x-1}{x+2}\frac{1}{x-1}}=\lim_{x \to 1^{+}} \left( \left( 1 + \frac{1 }{c} \right)^{c} \right)^{\frac{1}{x+2}}

 

notamos que:

 

\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} c = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{x+2}{x-1} = \infty

 

 

7 Usando la igualdad vista al inicio tendremos que

 

\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} e^{\frac{1}{x+2}} = e^{\frac{1}{3}}

 

Así, hemos logrado encontrar el límite deseado.

 

Segundo método de resolución de la indeterminación

 

En este segundo método usaremos la siguiente igualdad:

 

\displaystyle \lim_{x \to a} \left( \frac{f(x)}{g(x)}\right)^{h(x)} = e^{\lim_{x \to a} h(x) \left( \frac{f(x)}{g(x)} - 1 \right) }

 

1 Notemos que el limite \displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} \left( \frac{2x+1}{x+2} \right)^{\frac{1}{x-1}} se indetermina de la forma \displaystyle 1^{\infty} .

 

2 Usando la igualdad vista previamente con

\displaystyle f(x) = 2x+1

\displaystyle g(x) = x+2

\displaystyle h(x) = \frac{1}{x-1}

 

tenemos:

\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} \left( \frac{2x+1}{x+2} \right)^{\frac{1}{x-1}}  = e^{\lim_{x\to 1^{+}} \frac{1}{x-1} \left( \frac{2x+1}{x+2}  -1 \right)}

 

3 Poniendo al mismo común denominador tenemos:

 

\displaystyle e^{\lim_{x\to 1^{+}} \frac{1}{x-1} \left( \frac{2x+1}{x+2}  -\frac{x+2}{x+2} \right)}

4 Resolvemos la resta en el exponente y así tenemos lo siguiente:

 

\displaystyle e^{\lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{x-1} \left( \frac{x-1}{x+2}   \right)}

 

5 Eliminado el factor común del numerador y denominador tendremos:

 

\displaystyle e^{\lim_{x\to 1^{+}}  \left( \frac{1}{x+2}   \right)}

 

6 Así, resolviendo el límite en el exponente tenemos:

\displaystyle e^\frac{1}{3}

 

Con lo cual hemos sorteado la indeterminación.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗