Name: Indeterminacion uno elevado a infinito
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Marta

11 junio 2018

Temas

Primer método de resolución de la indeterminación
Segundo método de resolución de la indeterminación

El objetivo de esta sección es encontrar el límite de funciones que se indeterminan de la forma $\displaystyle 1^\infty$ .

Recordemos que el número de euler $\displaystyle e = 2.718281828459...$ es el valor a quien converge el siguiente límite:

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x} =e$

Mostraremos dos métodos para resolver los límites mencionados.

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Primer método de resolución de la indeterminación

La idea es resolver el siguiente límite usando el resultado anterior y cierto proceso.

$\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} \left(\frac{2x + 1}{x+2} \right)^{\frac{1}{x-1}}$

1 Para comenzar notemos que el límite se indetermina de la forma $\displaystyle 1^\infty$ , es decir, por un lado queda

$\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} \left(\frac{2x + 1}{x+2} \right)=1$

y por otro lado

$\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}}\frac{1}{x-1}}=\infty$

llegando a que la indeterminación es de la forma siguiente: $\displaystyle 1^\infty$

2 Para quitar esta indeterminación, a la base le sumamos y restamos $\displaystyle 1$ . Esto no altera el valor del límite, pues estamos sumando un cero.

$\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} \left(\frac{2x + 1}{x+2} \right)^{\frac{1}{x-1}} = \lim_{x \to 1^{+}} \left( 1+\frac{2x + 1}{x+2} -1 \right)^{\frac{1}{x-1}}$

3 Ponemos al mismo común denominador en los dos últimos sumandos y reducimos la

expresión:

$\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} \left( 1+\frac{2x + 1}{x+2} -\frac{x+2}{x+2} \right)^{\frac{1}{x-1}} =\lim_{x \to 1^{+}} \left(1 + \frac{x-1 }{x+2} \right)^{\frac{1}{x-1}}$

recordando que

$\displaystyle \frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{b}{a}$

4 En el segundo, sumando, realizamos el inverso del inverso.

$\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} \left(1 + \frac{1 }{\frac{x+2}{x-1}} \right)^{\frac{1}{x-1}}$

5 Elevamos al denominador y a su inverso

$\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} \left( \left( 1 + \frac{1 }{\frac{x+2}{x-1}} \right)^{\frac{1}{x-1}} \right)^{\frac{x-1}{x+2}\frac{x+2}{x-1}}$

6 Si hacemos

$\displaystyle c = \frac{x+2}{x-1}$

recordando que

$\displaystyle (a^b)^c = a^{bc}$

y reducimos y reordenamos

$\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} \left( \left( 1 + \frac{1 }{\frac{x+2}{x-1}} \right)^{\frac{x+2}{x-1}} \right)^{\frac{x-1}{x+2}\frac{1}{x-1}}=\lim_{x \to 1^{+}} \left( \left( 1 + \frac{1 }{c} \right)^{c} \right)^{\frac{1}{x+2}}$

notamos que:

$\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} c = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{x+2}{x-1} = \infty$

7 Usando la igualdad vista al inicio tendremos que

$\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} e^{\frac{1}{x+2}} = e^{\frac{1}{3}}$

Así, hemos logrado encontrar el límite deseado.

Segundo método de resolución de la indeterminación

En este segundo método usaremos la siguiente igualdad:

$\displaystyle \lim_{x \to a} \left( \frac{f(x)}{g(x)}\right)^{h(x)} = e^{\lim_{x \to a} h(x) \left( \frac{f(x)}{g(x)} - 1 \right) }$

1 Notemos que el limite $\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} \left( \frac{2x+1}{x+2} \right)^{\frac{1}{x-1}}$ se indetermina de la forma $\displaystyle 1^{\infty}$ .

2 Usando la igualdad vista previamente con

$\displaystyle f(x) = 2x+1$

$\displaystyle g(x) = x+2$

$\displaystyle h(x) = \frac{1}{x-1}$

tenemos:

$\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} \left( \frac{2x+1}{x+2} \right)^{\frac{1}{x-1}} = e^{\lim_{x\to 1^{+}} \frac{1}{x-1} \left( \frac{2x+1}{x+2} -1 \right)}$

3 Poniendo al mismo común denominador tenemos:

$\displaystyle e^{\lim_{x\to 1^{+}} \frac{1}{x-1} \left( \frac{2x+1}{x+2} -\frac{x+2}{x+2} \right)}$

4 Resolvemos la resta en el exponente y así tenemos lo siguiente:

$\displaystyle e^{\lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{x-1} \left( \frac{x-1}{x+2} \right)}$

5 Eliminado el factor común del numerador y denominador tendremos:

$\displaystyle e^{\lim_{x\to 1^{+}} \left( \frac{1}{x+2} \right)}$

6 Así, resolviendo el límite en el exponente tenemos:

$\displaystyle e^\frac{1}{3}$

Con lo cual hemos sorteado la indeterminación.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Comentarios

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Duran

Octubre

Me gustaría saber cuál es el desarrollo matemático de la transformación del segundo método.

Superprof

Diciembre

Hola Duran, hemos actualizado la página con más detalle en cada paso. Espero que nuestras nuevas explicaciones te puedan ayudar a entender mejor la materia. Si no es el caso, no dudes en escribirnos con tus preguntas. ¡Un saludo!

sevilla

Octubre

el primer límite no existe no? porque no es igual en los 2 laterales

Superprof

Mayo

Hola, ¿nos puedes precisar con más detalle el ejercicio? ¡Un saludo!

Leon

Noviembre

¿Porque 1^infinito da una indeterminación?

Superprof

Diciembre

Hola Leon, una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda determinar, sino que la aplicación de las propiedades de los límites tal como las hemos enunciadas no son válidas. Igual que 1^infinito, hay 6 otras indeterminaciones, el límite de cuales pueden ser diferentes según cada caso. En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para resolver cada una de las indeterminaciones. Para saber más, te invitamos a usar la lupa en la esquina derecha, arriba, y buscar todas nuestra páginas sobre las indeterminaciones. Un saludo,

Indeterminación en el exponente de 1

Primer método de resolución de la indeterminación

Segundo método de resolución de la indeterminación

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