El objetivo de esta sección es encontrar el límite de funciones que se indeterminan de la forma \displaystyle 1^\infty.

 

Recordemos que el número de euler \displaystyle e = 2.718281828459...   es el valor a quien converge el siguiente límite:

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x} =e

 

Mostraremos dos métodos para resolver los límites mencionados.

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Primer método de resolución de la indeterminación

 

La idea es resolver el siguiente límite usando el resultado anterior y cierto proceso.

 

\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} \left(\frac{2x + 1}{x+2} \right)^{\frac{1}{x-1}}

 

1 Para comenzar notemos que el  límite se indetermina de la forma \displaystyle 1^\infty , es decir, por un lado queda

 

\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} \left(\frac{2x + 1}{x+2} \right)=1

 

y por otro lado

 

\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}}\frac{1}{x-1}}=\infty

 

llegando a que la indeterminación es de la forma siguiente: \displaystyle 1^\infty

 

2 Para quitar esta indeterminación, a la base le sumamos y restamos \displaystyle 1 . Esto no altera el valor del límite, pues estamos sumando un cero.

 

\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} \left(\frac{2x + 1}{x+2} \right)^{\frac{1}{x-1}} = \lim_{x \to 1^{+}} \left( 1+\frac{2x + 1}{x+2} -1 \right)^{\frac{1}{x-1}}

 

3 Ponemos al mismo común denominador en los dos últimos sumandos  y reducimos la

expresión:

 

\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} \left( 1+\frac{2x + 1}{x+2} -\frac{x+2}{x+2} \right)^{\frac{1}{x-1}} =\lim_{x \to 1^{+}} \left(1 + \frac{x-1 }{x+2} \right)^{\frac{1}{x-1}}

 

recordando que

 

\displaystyle \frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{b}{a}

 

4 En el segundo, sumando, realizamos el inverso del inverso.

 

\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} \left(1 + \frac{1 }{\frac{x+2}{x-1}} \right)^{\frac{1}{x-1}}

 

5 Elevamos al denominador y a su inverso

 

\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} \left( \left( 1 + \frac{1 }{\frac{x+2}{x-1}} \right)^{\frac{1}{x-1}} \right)^{\frac{x-1}{x+2}\frac{x+2}{x-1}}

 

6 Si hacemos

 

\displaystyle c = \frac{x+2}{x-1}

,

 

recordando que

 

\displaystyle (a^b)^c = a^{bc}

 

y reducimos y reordenamos

 

\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} \left( \left( 1 + \frac{1 }{\frac{x+2}{x-1}} \right)^{\frac{x+2}{x-1}} \right)^{\frac{x-1}{x+2}\frac{1}{x-1}}=\lim_{x \to 1^{+}} \left( \left( 1 + \frac{1 }{c} \right)^{c} \right)^{\frac{1}{x+2}}

 

notamos que:

 

\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} c = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{x+2}{x-1} = \infty

 

 

7 Usando la igualdad vista al inicio tendremos que

 

\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} e^{\frac{1}{x+2}} = e^{\frac{1}{3}}

 

Así, hemos logrado encontrar el límite deseado.

 

Segundo método de resolución de la indeterminación

 

En este segundo método usaremos la siguiente igualdad:

 

\displaystyle \lim_{x \to a} \left( \frac{f(x)}{g(x)}\right)^{h(x)} = e^{\lim_{x \to a} h(x) \left( \frac{f(x)}{g(x)} - 1 \right) }

 

1 Notemos que el limite \displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} \left( \frac{2x+1}{x+2} \right)^{\frac{1}{x-1}} se indetermina de la forma \displaystyle 1^{\infty} .

 

2 Usando la igualdad vista previamente con

\displaystyle f(x) = 2x+1

\displaystyle g(x) = x+2

\displaystyle h(x) = \frac{1}{x-1}

 

tenemos:

\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} \left( \frac{2x+1}{x+2} \right)^{\frac{1}{x-1}}  = e^{\lim_{x\to 1^{+}} \frac{1}{x-1} \left( \frac{2x+1}{x+2}  -1 \right)}

 

3 Poniendo al mismo común denominador tenemos:

 

\displaystyle e^{\lim_{x\to 1^{+}} \frac{1}{x-1} \left( \frac{2x+1}{x+2}  -\frac{x+2}{x+2} \right)}

4 Resolvemos la resta en el exponente y así tenemos lo siguiente:

 

\displaystyle e^{\lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{x-1} \left( \frac{x-1}{x+2}   \right)}

 

5 Eliminado el factor común del numerador y denominador tendremos:

 

\displaystyle e^{\lim_{x\to 1^{+}}  \left( \frac{1}{x+2}   \right)}

 

6 Así, resolviendo el límite en el exponente tenemos:

\displaystyle e^\frac{1}{3}

 

Con lo cual hemos sorteado la indeterminación.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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Duran
Duran
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6 Oct.

Me gustaría saber cuál es el desarrollo matemático de la transformación del segundo método.

Superprof
Superprof
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19 Dic.

Hola Duran, hemos actualizado la página con más detalle en cada paso. Espero que nuestras nuevas explicaciones te puedan ayudar a entender mejor la materia. Si no es el caso, no dudes en escribirnos con tus preguntas. ¡Un saludo!

sevilla
sevilla
Guest
17 Oct.

el primer límite no existe no? porque no es igual en los 2 laterales

Superprof
Superprof
Admin
25 May.

Hola, ¿nos puedes precisar con más detalle el ejercicio? ¡Un saludo!

Leon
Leon
Guest
28 Nov.

¿Porque 1^infinito da una indeterminación?

Superprof
Superprof
Admin
26 Dic.

Hola Leon, una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda determinar, sino que la aplicación de las propiedades de los límites tal como las hemos enunciadas no son válidas. Igual que 1^infinito, hay 6 otras indeterminaciones, el límite de cuales pueden ser diferentes según cada caso. En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para resolver cada una de las indeterminaciones. Para saber más, te invitamos a usar la lupa en la esquina derecha, arriba, y buscar todas nuestra páginas sobre las indeterminaciones. Un saludo,