Límite infinito

 

Definimos:

 

\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=+\infty

 

Si para todo \displaystyle N>0 existe un \displaystyle \delta >0 tal que, para todo x , si \displaystyle 0<\left | x-a \right |<\delta, entonces \displaystyle f(x)>N

 

1Compruebe que

 

\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2}=+\infty

 

Solución:

 

Primero observemos la gráfica de la función

 

grafica del reciproco de la x cuadrada

 

aquí notamos claramente que cuando \displaystyle x \to 0 , la función\displaystyle \frac{1}{x^2} crece indeterminadamente, es decir \displaystyle \frac{1}{x^2} \to \infty

 

Demostremos.

 

Sea \displaystyle N>0 cualquier valor real positivo no cero, existe \displaystyle \delta = \frac{1}{\sqrt{N}}>0  tal que, para todo\displaystyle x si

 

\displaystyle 0<\left | x-0 \right |<\frac{1}{\sqrt{N}}

 

entonces, quitando al cero

\displaystyle 0<\left | x\right |<\frac{1}{\sqrt{N}}

elevando al cuadrado

\displaystyle x^2<\left ( \frac{1}{\sqrt{N}} \right )^2

quitando la raíz

\displaystyle x^2<\frac{1}{N}

reestructurando

\displaystyle N<\frac{1}{x^2}

concluyendo

\displaystyle \frac{1}{x^2}>N

 

llegando así a la demostración del límite

 

 

 

Definimos:

 

\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=-\infty

 

Si para todo \displaystyle N<0 existe un \displaystyle \delta > 0 tal que, para todo \displaystyle x , si 0<\left | x-a \right |<\delta, entonces \displaystyle f(x)<N

 

2Compruebe que

 

\displaystyle \lim_{x \to 0}\left (-\frac{1}{x^2} \right )=-\infty

 

Solución:

 

Primero observemos la gráfica de la función

 

grafica de limite al menos infinito

 

aquí notamos claramente que cuando \displaystyle x \to 0, la función \displaystyle \frac{-1}{x^2}  decrece indeterminadamente, es decir \displaystyle -\frac{1}{x^2} \to -\infty

 

Demostremos

 

Sea \displaystyle N<0 cualquier valor real negativo no cero (con \displaystyle -N>0 ), existe \displaystyle \delta=\frac{1}{\sqrt{-N}}>0 tal que, para todo \displaystyle x si

 

\displaystyle 0<\left | x-0 \right |<\frac{1}{\sqrt{-N}}

 

entonces, quitando al cero

\displaystyle 0<\left | x\right |<\frac{1}{\sqrt{-N}}

elevando al cuadrado

\displaystyle x^2<\left ( \frac{1}{\sqrt{-N}} \right )^2

quitando la raíz

\displaystyle x^2<\frac{1}{-N}

reestructurando

\displaystyle -N<\frac{1}{x^2}

concluyendo

\displaystyle -\frac{1}{x^2}<N

 

llegando así a la demostración del límite

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗