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Límite infinito
Límite menos infinito

Límite infinito

Definimos:

$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=+\infty$

Si para todo $\displaystyle N>0$ existe un $\displaystyle \delta >0$ tal que, para todo $x$ , si $\displaystyle 0<\left | x-a \right |<\delta$ , entonces $\displaystyle f(x)>N$

1Compruebe que

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2}=+\infty$

Solución:

Primero observemos la gráfica de la función

aquí notamos claramente que cuando $\displaystyle x \to 0$ , la función $\displaystyle \frac{1}{x^2}$ crece indeterminadamente, es decir $\displaystyle \frac{1}{x^2} \to \infty$

Demostremos.

Sea $\displaystyle N>0$ cualquier valor real positivo no cero, existe $\displaystyle \delta = \frac{1}{\sqrt{N}}>0$ tal que, para todo $\displaystyle x$ si

$\displaystyle 0<\left | x-0 \right |<\frac{1}{\sqrt{N}}$

entonces, quitando al cero

$\displaystyle 0<\left | x\right |<\frac{1}{\sqrt{N}}$

elevando al cuadrado

$\displaystyle x^2<\left ( \frac{1}{\sqrt{N}} \right )^2$

quitando la raíz

$\displaystyle x^2<\frac{1}{N}$

reestructurando

$\displaystyle N<\frac{1}{x^2}$

concluyendo

$\displaystyle \frac{1}{x^2}>N$

llegando así a la demostración del límite

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Límite menos infinito

Definimos:

$\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=-\infty$

Si para todo $\displaystyle N<0$ existe un $\displaystyle \delta > 0$ tal que, para todo $\displaystyle x$ , si $0<\left | x-a \right |<\delta$ , entonces $\displaystyle f(x)<N$

2Compruebe que

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\left (-\frac{1}{x^2} \right )=-\infty$

Solución:

Primero observemos la gráfica de la función

aquí notamos claramente que cuando $\displaystyle x \to 0$ , la función $\displaystyle \frac{-1}{x^2}$ decrece indeterminadamente, es decir $\displaystyle -\frac{1}{x^2} \to -\infty$

Demostremos

Sea $\displaystyle N<0$ cualquier valor real negativo no cero (con $\displaystyle -N>0$ ), existe $\displaystyle \delta=\frac{1}{\sqrt{-N}}>0$ tal que, para todo $\displaystyle x$ si

$\displaystyle 0<\left | x-0 \right |<\frac{1}{\sqrt{-N}}$

entonces, quitando al cero

$\displaystyle 0<\left | x\right |<\frac{1}{\sqrt{-N}}$

elevando al cuadrado

$\displaystyle x^2<\left ( \frac{1}{\sqrt{-N}} \right )^2$

quitando la raíz

$\displaystyle x^2<\frac{1}{-N}$

reestructurando

$\displaystyle -N<\frac{1}{x^2}$

concluyendo

$\displaystyle -\frac{1}{x^2}<N$

llegando así a la demostración del límite

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Ramiro

Noviembre 2020

Holaa Me podrian ayudar a demostrar el Lim de ×/x-1 cuando x tiende a 1 y el limites es igual a infinito porfa??

Limites infinitos

Límite infinito

Límite menos infinito

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¿Cuales son las propiedades de los límites?

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Estudio de una funcion

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¿Como leer las coordenadas en el plano?

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