En este artículo veremos ciertas características de las funciones trigonométricas, como sus graficas, sus dominios, continuidad, etc.

 

Seno

 

Empezaremos con la función seno

 

\displaystyle f(x) = \sin{x}

 

esta función tiene la siguiente grafica:

 

Función seno

 

Notemos que esta función está bien definida para todo número real, por lo tanto su dominio son los números reales \mathbb{R}. Esto nos quiere decir que

 

\displaystyle \text{Dom}{(\sin{(x)})} = \mathbb{R}

 

Ahora, el conjunto imagen (o simplemente imagen o recorrido) de una función es el conjunto de valores que toma la función después de aplicarse sobre todos los elementos del dominio. En este caso, si vemos la imagen, es claro que la imagen es el intervalo cerrado [-1, 1], por lo tanto

 

\displaystyle \text{Img}_{x \in \mathbb{R}}{(\sin{(x)})} = \sin{\mathbb{R}} = [-1, 1]

 

Otra caracteristica importante de la función seno es que es periódica, esto es, existe un número real k \in \mathbb{R} tal que

 

\displaystyle \sin{(x)} = \sin{(x + k)}, \quad \forall x \in \mathbb{R}

 

en este caso el periodo es k = 2\pi radianes.

 

De la gráfica también se nota que la función es continua para todo x \in \mathbb{R}, esto ya que no importa por donde nos acerquemos a un punto sobre la grafica, si es por la izquierda o derecha, siempre llegamos al mismo punto

 

Por último, debemos notar que la función es impar, esto es, para todo x \in \mathbb{R} se cumple que

 

\displaystyle \sin{-x} = -\sin{x}

 

Así, en resumen tenemos lo siguiente:

 

1 Dominio: \mathbb{R}.

 

2 Imagen: [-1, 1].

 

3 Periodo: k = 2\pi.

 

4 Continua: En todo su dominio \mathbb{R}.

 

5 Función impar.

 

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Coseno

 

Analicemos la función coseno

 

\displaystyle f(x) = \cos{x}

 

esta función tiene la siguiente grafica:

 

Función coseno

 

Notemos que esta función está bien definida para todo número real, por lo tanto su dominio son los números reales \mathbb{R}. Esto nos quiere decir que

 

\displaystyle \text{Dom}{(\cos{(x)})} = \mathbb{R}

 

Ahora, el conjunto imagen (o simplemente imagen o recorrido) de una función es el conjunto de valores que toma la función después de aplicarse sobre todos los elementos del dominio. En este caso, si vemos la imagen, es claro que la imagen es el intervalo cerrado [-1, 1], por lo tanto

 

\displaystyle \text{Img}_{x \in \mathbb{R}}{(\cos{(x)})} = \cos{\mathbb{R}} = [-1, 1]

 

Otra caracteristica importante de la función coseno es que es periódica, esto es, existe un número real k \in \mathbb{R} tal que

 

\displaystyle \cos{(x)} = \cos{(x + k)}, \quad \forall x \in \mathbb{R}

 

en este caso el periodo es k = 2\pi radianes.

 

De la gráfica también se nota que la función es continua para todo x \in \mathbb{R}, esto ya que no importa por donde nos acerquemos a un punto sobre la grafica, si es por la izquierda o derecha, siempre llegamos al mismo punto.

 

Por último, debemos notar que la función es par, esto es, para todo x \in \mathbb{R} se cumple que

 

\displaystyle \cos{-x} = \cos{x}

 

Así, en resumen tenemos lo siguiente:

 

1 Dominio: \mathbb{R}.

 

2 Imagen: [-1, 1].

 

3 Periodo: k = 2\pi.

 

4 Continua: En todo su dominio \mathbb{R}.

 

5 Función par.

 

Tangente

 

Analicemos la función tangente

 

\displaystyle f(x) = \tan{x}

 

esta función tiene la siguiente grafica:

 

Función tangente

 

Notemos que esta función está bien definida para casi todo número real. Analicemos porque no está definida en todo número real. Recordemos que la función tangente se define como

 

\displaystyle \tan{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}}

 

Dado que la división entre cero no está definida, la función tangente no está definida cuanto \cos{x} = 0, y esto ocurre para todo x de la forma

 

\frac{\pi}{2} + \pi k en donde k \in \mathbb{Z} es entero. Así, el dominio de la tangente es

 

\displaystyle \text{Dom}{(\tan{(x)})} = \mathbb{R} - \left\{\frac{\pi}{2} + \pi k \quad \Big| \quad k \in \mathbb{Z} \right\}

 

Ahora, el conjunto imagen (o simplemente imagen o recorrido) de una función es el conjunto de valores que toma la función después de aplicarse sobre todos los elementos del dominio. En este caso, si vemos la imagen, es claro que la imagen es todo el conjunto de los reales, esto es \mathbb{R}, por lo tanto

 

\displaystyle \text{Img}_{x \in \text{Dom}}{(\tan{(x)})} = \tan{(\text{Dom})} = \mathbb{R}

 

Otra caracteristica importante de la función tangente es que es periódica, esto es, existe un número real k \in \mathbb{R} tal que

 

\displaystyle \tan{(x)} = \tan{(x + k)}, \quad \forall x \in \text{Dom}

 

en este caso el periodo es k = \pi radianes.

 

De la gráfica también se nota que la función es continua para todo x \in \text{Dom}, esto ya que no importa por donde nos acerquemos a un punto sobre la grafica, si es por la izquierda o derecha, siempre llegamos al mismo punto.

 

Por último, debemos notar que la función es impar, esto es, para todo x \in \text{Dom} se cumple que

 

\displaystyle \tan{-x} = -\tan{x}

 

Así, en resumen tenemos lo siguiente:

 

1 Dominio: \mathbb{R} - \left\{\frac{\pi}{2} + \pi k \quad \Big| \quad k \in \mathbb{Z} \right\}.

 

2 Imagen: \mathbb{R}.

 

3 Periodo: k = \pi.

 

4 Continua: En todo su dominio, pero no en todo \mathbb{R}.

 

5 Función impar.

 

Cosecante

 

Analicemosla función cosecante

 

\displaystyle f(x) = \csc{x}

 

esta función tiene la siguiente grafica:

 

Función cosecante

 

Notemos que esta función está bien definida para caso todo número real, para entender por qué no está definida sobre todo \mathbb{R} recordemos que la función cosecante es el recíproco de la función seno, esto es

 

\displaystyle \csc{x} = \frac{1}{\sin{x}}

 

Dado que la división entre cero no está bien definida, la cosecante no está definida para los valores de x en los cuales el seno es igual a cero; estos valores son x = k\pi, en donde k \in \mathbb{Z} es entero. Por lo tanto, el dominio de la cosecante es

 

\displaystyle \text{Dom}{(\csc{(x)})} = \mathbb{R} - \left\{\pi k \quad \Big| \quad k \in \mathbb{Z} \right\}

 

Ahora, el conjunto imagen (o simplemente imagen o recorrido) de una función es el conjunto de valores que toma la función después de aplicarse sobre todos los elementos del dominio. En este caso, primero recordemos que la imagen del seno es [-1, 1]. Tomaremos dos casos, primero cuando la imagen de seno está en (0, 1] y otro cuando la imagen del seno está en [-1, 0).

 

Empecemos con (0, 1], es claro que

 

\displaystyle \csc(x) = \frac{1}{\sin{x}} \in [1, \infty), \quad \sin{x} \in (0, 1]

 

Ahora con [-1, 0), es claro que

 

\displaystyle \csc(x) = \frac{1}{\sin{x}} \in (-\infty, -1], \quad \sin{x} \in [-1, 0)

 

Por lo tanto, la imagen de la cosecante es la unión de las imágenes de estos dos casos

 

\displaystyle \text{Img}_{x \in \text{Dom}}{(\csc{(x)})} = (-\infty, -1] \cup [1, \infty)

 

Otra caracteristica importante de la función cosecante es que es periódica, esto es, existe un número real k \in \mathbb{R} tal que

 

\displaystyle \csc{(x)} = \csc{(x + k)}, \quad \forall x \in \text{Dom}

 

en este caso el periodo es k = 2\pi radianes.

 

De la gráfica también se nota que la función es continua para todo x \in \text{Dom}, esto ya que no importa por donde nos acerquemos a un punto sobre la grafica, si es por la izquierda o derecha, siempre llegamos al mismo punto.

 

Por último, debemos notar que la función es impar, esto es, para todo x \in \text{Dom} se cumple que

 

\displaystyle \csc{-x} = -\csc{x}

 

Así, en resumen tenemos lo siguiente:

 

1 Dominio: \mathbb{R} - \left\{\pi k \quad \Big| \quad k \in \mathbb{Z} \right\}.

 

2 Imagen: (-\infty, -1] \cup [1, \infty).

 

3 Periodo: k = 2\pi.

 

4 Continua: En todo su dominio, pero no en todo \mathbb{R}.

 

5 Función impar.

 

Secante

 

Analicemosla función secante

 

\displaystyle f(x) = \sec{x}

 

esta función tiene la siguiente grafica:

 

Función secante

 

Notemos que esta función está bien definida para caso todo número real, para entender por qué no está definida sobre todo \mathbb{R} recordemos que la función secante es el recíproco de la función coseno, esto es

 

\displaystyle \sec{x} = \frac{1}{\cos{x}}

 

Dado que la división entre cero no está bien definida, la secante no está definida para los valores de x en los cuales el coseno es igual a cero; estos valores son x = \frac{\pi}{2} + k\pi, en donde k \in \mathbb{Z} es entero. Por lo tanto, el dominio de la secante es

 

\displaystyle \text{Dom}{(\sec{(x)})} = \mathbb{R} - \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi \quad \Big| \quad k \in \mathbb{Z} \right\}

 

Ahora, el conjunto imagen (o simplemente imagen o recorrido) de una función es el conjunto de valores que toma la función después de aplicarse sobre todos los elementos del dominio. En este caso, primero recordemos que la imagen del coseno es [-1, 1]. Tomaremos dos casos, primero cuando la imagen de coseno está en (0, 1] y otro cuando la imagen del coseno está en [-1, 0).

 

Empecemos con (0, 1], es claro que

 

\displaystyle \sec(x) = \frac{1}{\cos{x}} \in [1, \infty), \quad \cos{x} \in (0, 1]

 

Ahora con [-1, 0), es claro que

 

\displaystyle \sec(x) = \frac{1}{\cos{x}} \in (-\infty, -1], \quad \cos{x} \in [-1, 0)

 

Por lo tanto, la imagen de la secante es la unión de las imágenes de estos dos casos

 

\displaystyle \text{Img}_{x \in \text{Dom}}{(\sec{(x)})} = (-\infty, -1] \cup [1, \infty)

 

Otra caracteristica importante de la función secante es que es periódica, esto es, existe un número real k \in \mathbb{R} tal que

 

\displaystyle \sec{(x)} = \sec{(x + k)}, \quad \forall x \in \text{Dom}

 

en este caso el periodo es k = 2\pi radianes.

 

De la gráfica también se nota que la función es continua para todo x \in \text{Dom}, esto ya que no importa por donde nos acerquemos a un punto sobre la grafica, si es por la izquierda o derecha, siempre llegamos al mismo punto.

 

Por último, debemos notar que la función es par, esto es, para todo x \in \text{Dom} se cumple que

 

\displaystyle \sec{-x} = \sec{x}

 

Así, en resumen tenemos lo siguiente:

 

1 Dominio: \mathbb{R} - \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi \quad \Big| \quad k \in \mathbb{Z} \right\}.

 

2 Imagen: (-\infty, -1] \cup [1, \infty).

 

3 Periodo: k = 2\pi.

 

4 Continua: En todo su dominio, pero no en todo \mathbb{R}.

 

5 Función par.

 

Cotangente

 

Analicemosla función cotangente

 

\displaystyle f(x) = \cot{x}

 

esta función tiene la siguiente grafica:

 

Cotangente

 

Notemos que esta función está bien definida para caso todo número real, para entender por qué no está definida sobre todo \mathbb{R} recordemos que la función cotangente está definida como

 

\displaystyle \cot{x} = \frac{\cos{x}}{\sin{x}}

 

Dado que la división entre cero no está bien definida, la cotangente no está definida para los valores de x en los cuales el seno es igual a cero; estos valores son x = k\pi, en donde k \in \mathbb{Z} es entero. Por lo tanto, el dominio de la cotangente es

 

\displaystyle \text{Dom}{(\cot{(x)})} = \mathbb{R} - \left\{\pi k \quad \Big| \quad k \in \mathbb{Z} \right\}

 

Ahora, el conjunto imagen (o simplemente imagen o recorrido) de una función es el conjunto de valores que toma la función después de aplicarse sobre todos los elementos del dominio. En este caso es claro que, al igual que con la tangente, la imagen son todos los números reales, esto es

 

\displaystyle \text{Img}_{x \in \text{Dom}}{(\cot{(x)})} = \mathbb{R}

 

Otra caracteristica importante de la función cotangente es que es periódica, esto es, existe un número real k \in \mathbb{R} tal que

 

\displaystyle \cot{(x)} = \cot{(x + k)}, \quad \forall x \in \text{Dom}

 

en este caso el periodo es k = \pi radianes.

 

De la gráfica también se nota que la función es continua para todo x \in \text{Dom}, esto ya que no importa por donde nos acerquemos a un punto sobre la grafica, si es por la izquierda o derecha, siempre llegamos al mismo punto.

 

Por último, debemos notar que la función es impar, esto es, para todo x \in \text{Dom} se cumple que

 

\displaystyle \cot{-x} = -\cot{x}

 

Así, en resumen tenemos lo siguiente:

 

1 Dominio: \mathbb{R} - \left\{\pi k \quad \Big| \quad k \in \mathbb{Z} \right\}.

 

2 Imagen: \mathbb{R}.

 

3 Periodo: k = \pi.

 

4 Continua: En todo su dominio, pero no en todo \mathbb{R}.

 

5 Función impar.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗