Estudiar el crecimiento y decrecimiento

 

 

 1  f(x) = 3x - x^3

 1 Al tratarse de un polinomio, su dominio es \mathbb{R}

 

 2 Derivamos la función

 

f'(x) = 3 - 3x^2

 

 3 Igualamos la derivada a cero y despejamos x

 

\begin{array}{rcl} 3 - 3x^2 & = & 0 \\\\ 3(1 - x^2) & = & 0 \\\\ 3(1 - x)(1 + x) & = & 0 \end{array}

 

se obtiene x = 1 y x = -1

 

 4 Los valores anteriores dividen el dominio en tres intervalos:

 

(-\infty, -1), (-1, 1), (1, \infty)

 

 5 Estudiamos el signo de la derivada en cada intervalo: si es positivo, entonces la función es creciente (\nearrow); si es negativo, entonces la función es decreciente (\searrow).

 

Para (-\infty, -1) tomamos x = -2 y sustituimos en la derivada

f'(-2) = 3 - 3(-2)^2 < 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \searrow

 

Para (-1, 1) tomamos x = 0 y sustituimos en la derivada

f'(0) = 3 - 3(0)^2 > 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \nearrow

 

Para (1, \infty) tomamos x = 2 y sustituimos en la derivada

f'(2) = 3 - 3(2)^2 < 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \searrow

 

 6 Concluimos que:

 

La función es creciente en (-1, 1)

 

La función es decreciente en (-\infty, -1) \cup (1, \infty)

 

 

 2  f(x) = x^4 - 2x^2 - 8

 1 Al tratarse de un polinomio, su dominio es \mathbb{R}

 

 2 Derivamos la función

 

f'(x) = 4x^3 - 4x

 

 3 Igualamos la derivada a cero y despejamos x

 

\begin{array}{rcl} 4x^3 - 4x & = & 0 \\\\ 4x(x^2 - 1) & = & 0 \\\\ 4x(x - 1)(x + 1) & = & 0 \end{array}

 

se obtiene x = 0, \ x = 1 y x = -1

 

 4 Los valores anteriores dividen el dominio en cuatro intervalos:

 

(-\infty, -1), \ (-1, 0), \  (0, 1), \  (1, \infty)

 

 5 Estudiamos el signo de la derivada en cada intervalo: si es positivo, entonces la función es creciente (\nearrow); si es negativo, entonces la función es decreciente (\searrow).

 

Para (-\infty, -1) tomamos x = -2 y sustituimos en la derivada

f'(-2) = 4(-2)^3 - 4(-2) < 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \searrow

 

Para (-1, 0) tomamos x = -\cfrac{1}{2} y sustituimos en la derivada

f' \left (-\cfrac{1}{2} \right ) = 4 \left (-\cfrac{1}{2} \right )^3 - 4 \left (-\cfrac{1}{2} \right ) > 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \nearrow

 

Para (0, 1) tomamos x = \cfrac{1}{2} y sustituimos en la derivada

f' \left (\cfrac{1}{2} \right ) = 4 \left (\cfrac{1}{2} \right )^3 - 4 \left (\cfrac{1}{2} \right ) < 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \searrow

 

Para (1, \infty) tomamos x = 2 y sustituimos en la derivada

f'(2) = 4(2)^3 - 4(2) > 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \nearrow

 

 6 Concluimos que:

 

La función es creciente en (-1, 0) \cup (1, \infty)

 

La función es decreciente en (-\infty, -1) \cup (0, 1)

 

 

 3 f(x) = 4 + 15x + 6x^2 - x^3

 1 Al tratarse de un polinomio, su dominio es \mathbb{R}

 

 2 Derivamos la función

 

f'(x) = 15 + 12x - 3x^2

 

 3 Igualamos la derivada a cero y despejamos x

 

\begin{array}{rcl} 15 + 12x - 3x^2 & = & 0 \\\\ -3(x^2 - 4x - 5) & = & 0 \\\\ -3(x + 1)(x - 5) & = & 0 \end{array}

 

se obtiene x = -1 y x = 5

 

 4 Los valores anteriores dividen el dominio en tres intervalos:

 

(-\infty, -1), \ (-1, 5),  \  (5, \infty)

 

 5 Estudiamos el signo de la derivada en cada intervalo: si es positivo, entonces la función es creciente (\nearrow); si es negativo, entonces la función es decreciente (\searrow).

 

Para (-\infty, -1) tomamos x = -2 y sustituimos en la derivada

f'(-2) = 15 + 12(-2) - 3(-2)^2 < 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \searrow

 

Para (-1, 5) tomamos x = 0 y sustituimos en la derivada

f' \left (0 \right ) = 15 + 12(0) - 3(0)^24  > 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \nearrow

 

Para (5, \infty) tomamos x = 6 y sustituimos en la derivada

f'(6) = 15 + 12(6) - 3(6)^2 < 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \searrow

 

 6 Concluimos que:

 

La función es creciente en (-1, 5)

 

La función es decreciente en (-\infty, -1) \cup (5, \infty)

 

 

 4 f(x) = 3x^4 - 20x^3 - 6x^2 + 60x - 8

 1 Al tratarse de un polinomio, su dominio es \mathbb{R}

 

 2 Derivamos la función

 

f'(x) = 12x^3 - 60x^2 - 12x + 60

 

 3 Igualamos la derivada a cero y despejamos x

 

\begin{array}{rcl} 12x^3 - 60x^2 - 12x + 60 & = & 0 \\\\ 12(x^3  - 5x^2 - x + 5) & = & 0 \\\\ (x^2 - 1)(x - 5) & = & 0 \\\\ (x + 1)(x - 1)(x - 5) & = & 0 \end{array}

 

se obtiene x = \pm 1 y x = 5

 

 4 Los valores anteriores dividen el dominio en cuatro intervalos:

 

(-\infty, -1), \ (-1, 1), \ (1, 5),  \  (5, \infty)

 

 5 Estudiamos el signo de la derivada en cada intervalo: si es positivo, entonces la función es creciente (\nearrow); si es negativo, entonces la función es decreciente (\searrow).

 

Para (-\infty, -1) tomamos x = -2 y sustituimos en la derivada

f'(-2) = 12(-2)^3 - 60(-2)^2 - 12(-2) + 60 < 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \searrow

 

Para (-1, 1) tomamos x = 0 y sustituimos en la derivada

f' \left (0 \right ) = 12(0)^3 - 60(0)^2 - 12(0) + 60  > 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \nearrow

 

Para (1, 5) tomamos x = 2 y sustituimos en la derivada

f'(2) = 12(2)^3 - 60(2)^2 - 12(2) + 60 < 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \searrow

 

Para (5, \infty) tomamos x = 6 y sustituimos en la derivada

f' \left (6 \right ) = 12(6)^3 - 60(6)^2 - 12(6) + 60  > 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \nearrow

 

 6 Concluimos que:

 

La función es creciente en (-1, 1) \cup (5, \infty)

 

La función es decreciente en (-\infty, -1) \cup (1, 5)

 

 

 5  f(x) = x + \cfrac{4}{x}

 1 Su dominio es \mathbb{R} - \{0\}

 

 2 Derivamos la función

 

f'(x) = 1  - \cfrac{4}{x^2}

 

 3 Igualamos la derivada a cero y despejamos x

 

\begin{array}{rcl} 1  - \cfrac{4}{x^2} & = & 0 \\\\ \left ( 1 - \cfrac{2}{x}\right ) \left ( 1 + \cfrac{2}{x}\right ) & = & 0  \end{array}

 

se obtiene x = \pm 2

 

 4 Los valores anteriores junto con x = 0 dividen el dominio en cuatro intervalos:

 

(-\infty, -2), \ (-2, 0), \ (0, 2),  \  (2, \infty)

 

 5 Estudiamos el signo de la derivada en cada intervalo: si es positivo, entonces la función es creciente (\nearrow); si es negativo, entonces la función es decreciente (\searrow).

 

Para (-\infty, -2) tomamos x = -3 y sustituimos en la derivada

f'(-3) = 1  - \cfrac{4}{(-3)^2} > 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \nearrow

 

Para (-2, 0) tomamos x = -1 y sustituimos en la derivada

f' \left (-1 \right ) = 1  - \cfrac{4}{(-1)^2}  < 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \searrow

 

Para (0, 2) tomamos x = 1 y sustituimos en la derivada

f'(1) = 1  - \cfrac{4}{(1)^2} < 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \searrow

 

Para (2, \infty) tomamos x = 3 y sustituimos en la derivada

f' \left (3 \right ) = 1  - \cfrac{4}{(6)^2}  > 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \nearrow

 

 6 Concluimos que:

 

La función es creciente en (-\infty, 2) \cup (2, \infty)

 

La función es decreciente en (-2, 0) \cup (0, 2)

 

 

 6  f(x) = \cfrac{x + 1}{x^2 + x - 2}

 1 El denominador se anula en x = 1, \ x = -2 por lo que el dominio es \mathbb{R} - \{-2, 1\}

 

 2 Derivamos la función

 

\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \cfrac{x^2 + x - 2 - (x + 1)(2x + 1)}{\left (x^2 + x - 2 \right )^2} \\\\  & = & -\cfrac{x^2 + 2x + 3}{\left (x^2 + x - 2 \right )^2} \end{array}

 

 3 Igualamos la derivada a cero y despejamos x

 

\begin{array}{rcl} -\cfrac{x^2 + 2x + 3}{\left (x^2 + x - 2 \right )^2} & = & 0 \end{array}

 

el numerador no se anula en los números reales ya que su determinante es negativo.

 

 4 De esta forma solamente queda por estudiar el dominio:

 

(-\infty, -2), \ (-2, 1),  \  (1, \infty)

 

 5 Estudiamos el signo de la derivada en cada intervalo: si es positivo, entonces la función es creciente (\nearrow); si es negativo, entonces la función es decreciente (\searrow).

 

Para (-\infty, -2) tomamos x = -3 y sustituimos en la derivada

f'(-3) = -\cfrac{(-3)^2 + 2(-3) + 3}{\left ((-3)^2 + (-3) - 2 \right )^2} < 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \searrow

 

Para (-2, 1) tomamos x = 0 y sustituimos en la derivada

f' \left (0 \right ) = -\cfrac{(0)^2 + 2(0) + 3}{\left ((0)^2 + (0) - 2 \right )^2}  < 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \searrow

 

Para (1, \infty) tomamos x = 2 y sustituimos en la derivada

f' \left (2 \right ) = -\cfrac{(2)^2 + 2(2) + 3}{\left ((2)^2 + (2) - 2 \right )^2} < 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \searrow

 

 6 Concluimos que:

 

La función es decreciente en todo su dominio \mathbb{R} - \{ -2, 1 \}

 

 

 7  \cfrac{x^3}{(x - 1)^2}

 1 El denominador se anula en x = 1 por lo que el dominio es \mathbb{R} - \{1\}

 

 2 Derivamos la función

 

\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \cfrac{3x^2 (x - 1)^2 - 2(x - 1)x^3}{\left (x - 1 \right )^4} \\\\  & = & \cfrac{x^2(x - 1)(3x - 3 - 2x}{\left (x - 1 \right )^4} \\\\  & = & \cfrac{x^2(x - 3)}{(x - 1)^3}  \end{array}

 

 3 Igualamos la derivada a cero y despejamos x

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{x^2(x - 3)}{(x - 1)^3} & = & 0 \end{array}

 

se obtiene x = 0, \ x = 3.

 

 4 Los valores anteriores junto con x = 1 dividen el dominio en cuatro intervalos:

 

(-\infty, 0), \ (0, 1),  \  (1, 3), \  (3, \infty)

 

 5 Estudiamos el signo de la derivada en cada intervalo: si es positivo, entonces la función es creciente (\nearrow); si es negativo, entonces la función es decreciente (\searrow).

 

Para (-\infty, 0) tomamos x = -3 y sustituimos en la derivada

f'(-3) = \cfrac{(-3)^2(-3 - 3)}{(-3 - 1)^3} > 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \nearrow

 

Para (0, 1) tomamos x = 0.5 y sustituimos en la derivada

f' \left (0.5 \right ) = \cfrac{0.5^2(0.5 - 3)}{(0.5 - 1)^3}  > 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \nearrow

 

Para (1, 3) tomamos x = 2 y sustituimos en la derivada

f' \left (2 \right ) = \cfrac{2^2(2 - 3)}{(2 - 1)^3} < 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \searrow

 

Para (3, \infty) tomamos x = 4 y sustituimos en la derivada

f' \left (4 \right ) = \cfrac{4^2(4 - 3)}{(4 - 1)^3} > 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \nearrow

 

 6 Concluimos que:

 

La función es creciente en (-\infty, 0) \cup (0, 1) \cup (3, \infty)

 

La función es decreciente en (1, 3)

 

 

 8  \cfrac{x^4 + 1}{x^2}

 1 El denominador se anula en x = 0 por lo que el dominio es \mathbb{R} - \{0\}

 

 2 Derivamos la función

 

\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \cfrac{4x^3 \cdot x^2 - 2x(x^4 + 1)}{x^4} \\\\  & = & \cfrac{2x(2x^4 - x^4 - 1)}{x^4} \\\\  & = & \cfrac{2(x^4 - 1)}{x^3}  \end{array}

 

 3 Igualamos la derivada a cero y despejamos x

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{2(x^4 - 1)}{x^3} & = & 0 \\\\  2(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) & = & 0 \end{array}

 

se obtiene x = \pm 1.

 

 4 Los valores anteriores junto con x = 0 dividen el dominio en cuatro intervalos:

 

(-\infty, -1), \ (-1, 0),  \  (0, 1), \  (1, \infty)

 

 5 Estudiamos el signo de la derivada en cada intervalo: si es positivo, entonces la función es creciente (\nearrow); si es negativo, entonces la función es decreciente (\searrow).

 

Para (-\infty, -1) tomamos x = -3 y sustituimos en la derivada

f'(-3) = \cfrac{2((-3)^4 - 1)}{(-3)^3} < 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \searrow

 

Para (-1, 0) tomamos x = -0.5 y sustituimos en la derivada

f' \left (-0.5 \right ) = \cfrac{2((-0.5)^4 - 1)}{(-0.5)^3}  > 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \nearrow

 

Para (0, 1) tomamos x = 0.5 y sustituimos en la derivada

f' \left (0.5 \right ) = \cfrac{2(0.5^4 - 1)}{0.5^3} < 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \searrow

 

Para (1, \infty) tomamos x = 4 y sustituimos en la derivada

f' \left (4 \right ) = \cfrac{2(4^4 - 1)}{4^3} > 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \nearrow

 

 6 Concluimos que:

 

La función es creciente en (-1, 0) \cup (1, \infty)

 

La función es decreciente en (-\infty, -1) \cup (0, 1)

 

 

 9  \cfrac{x^2}{2 - x}

 1 El denominador se anula en x = 2 por lo que el dominio es \mathbb{R} - \{2\}

 

 2 Derivamos la función

 

\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \cfrac{2x (2 - x) - (-1)x^2}{(2 - x)^2} \\\\  & = & \cfrac{x(4 - 2x + x)}{(2 - x)^2} \\\\  & = & \cfrac{x(4 - x)}{(2 - x)^2}  \end{array}

 

 3 Igualamos la derivada a cero y despejamos x

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{x(4 - x)}{(2 - x)^2} & = & 0  \end{array}

 

se obtiene x = 0, \ x = 4.

 

 4 Los valores anteriores junto con x = 2 dividen el dominio en cuatro intervalos:

 

(-\infty, 0), \ (0, 2),  \  (2, 4), \  (4, \infty)

 

 5 Estudiamos el signo de la derivada en cada intervalo: si es positivo, entonces la función es creciente (\nearrow); si es negativo, entonces la función es decreciente (\searrow).

 

Para (-\infty, 0) tomamos x = -3 y sustituimos en la derivada

f'(-3) = \cfrac{-3(4 - (-3))}{(2 - (-3))^2} < 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \searrow

 

Para (0, 2) tomamos x = 1 y sustituimos en la derivada

f' \left (1 \right ) = \cfrac{1(4 - 1)}{(2 - 1)^2}  > 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \nearrow

 

Para (2, 4) tomamos x = 3 y sustituimos en la derivada

f' \left (3 \right ) = \cfrac{3(4 - 3)}{(2 - 3)^2} > 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \nearrow

 

Para (4, \infty) tomamos x = 5 y sustituimos en la derivada

f' \left (5 \right ) = \cfrac{5(4 - 5)}{(2 - 5)^2} < 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \searrow

 

 6 Concluimos que:

 

La función es creciente en (0, 2) \cup (2, 4)

 

La función es decreciente en (-\infty, 0) \cup (4, \infty)

 

 

 10  f(x) = \cfrac{x}{1 + x^2}

 1 El denominador no se anula por lo que el dominio es \mathbb{R}

 

 2 Derivamos la función

 

\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \cfrac{1 (1 + x^2) - 2x \cdot x}{(1 + x^2)^2} \\\\  & = & \cfrac{1 + x^2 - 2x^2}{(1 + x^2)^2} \\\\  & = & \cfrac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2}  \end{array}

 

 3 Igualamos la derivada a cero y despejamos x

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2} & = & 0 \\\\ \cfrac{(1 - x)(1 + x)}{(1 + x^2)^2}  \end{array}

 

se obtiene x = \pm 1.

 

 4 Los valores anteriores dividen el dominio en tres intervalos:

 

(-\infty, -1), \ (-1, 1),  \  (1, \infty)

 

 5 Estudiamos el signo de la derivada en cada intervalo: si es positivo, entonces la función es creciente (\nearrow); si es negativo, entonces la función es decreciente (\searrow).

 

Para (-\infty, -1) tomamos x = -3 y sustituimos en la derivada

f'(-3) = \cfrac{1 - (-3)^2}{(1 + (-3)^2)^2} < 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \searrow

 

Para (-1, 1) tomamos x = 0 y sustituimos en la derivada

f' \left (0 \right ) = \cfrac{1 - 0^2}{(1 + 0^2)^2}  > 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \nearrow

 

Para (1, \infty) tomamos x = 5 y sustituimos en la derivada

f' \left (5 \right ) = \cfrac{1 - 5^2}{(1 + 5^2)^2} < 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \searrow

 

 6 Concluimos que:

 

La función es creciente en (-1, 1)

 

La función es decreciente en (-\infty, -1) \cup (1, \infty)

 

 

 11  f(x) = x + \sqrt{x}

 1 El dominio está conformado por los valores donde el radicando es mayor o igual que cero, por lo que el dominio es (0, \infty)

 

 2 Derivamos la función

 

\begin{array}{rcl} f'(x) & = & 1 + \cfrac{1}{2 \sqrt{x}}  \end{array}

 

 3 Igualamos la derivada a cero y despejamos x

 

\begin{array}{rcl} 1 + \cfrac{1}{2 \sqrt{x}} & = & 0 \\\\ \cfrac{2 \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} & = & 0  \end{array}

 

se obtiene \sqrt{x} = -\cfrac{1}{2} lo cual no tiene solución.

 

 4 Solamente se tiene que estudiar el dominio en su totalidad:

 

(0, \infty)

 

 5 Estudiamos el signo de la derivada en este intervalo: si es positivo, entonces la función es creciente (\nearrow); si es negativo, entonces la función es decreciente (\searrow).

 

Para (0, \infty) tomamos x = 1 y sustituimos en la derivada

f'(1) = 1 + \cfrac{1}{2 \sqrt{1}} > 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \nearrow

 

 6 Concluimos que:

 

La función es creciente en todo su dominio (0, \infty)

 

 

 12  f(x) = \sqrt{x + 1}

 1 El dominio está conformado por los valores donde el radicando es mayor o igual que cero, por lo que el dominio es (-1, \infty)

 

 2 Derivamos la función

 

\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \cfrac{1}{2 \sqrt{x + 1}}  \end{array}

 

 3 Igualamos la derivada a cero y despejamos x

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{1}{2 \sqrt{x + 1}} & = & 0   \end{array}

 

lo cual no tiene solución.

 

 4 Solamente se tiene que estudiar el dominio en su totalidad:

 

(-1, \infty)

 

 5 Estudiamos el signo de la derivada en este intervalo: si es positivo, entonces la función es creciente (\nearrow); si es negativo, entonces la función es decreciente (\searrow).

 

Para (-1, \infty) tomamos x = 1 y sustituimos en la derivada

f'(1) = \cfrac{1}{2 \sqrt{1 + 1}} > 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \nearrow

 

 6 Concluimos que:

 

La función es creciente en todo su dominio (-1, \infty)

 

 

 13  f(x) = e^{-(x - 1)^2}

 1 Al tratarse de una función exponencial, su dominio es \mathbb{R}

 

 2 Derivamos la función

 

f'(x) = -2(x - 1) e^{-(x - 1)^2}

 

 3 Igualamos la derivada a cero y despejamos x

 

\begin{array}{rcl} -2(x - 1) e^{-(x - 1)^2} & = & 0 \end{array}

 

se obtiene x = 1

 

 4 Los valores anteriores dividen el dominio en dos intervalos:

 

(-\infty, 1), \  (1, \infty)

 

 5 Estudiamos el signo de la derivada en cada intervalo: si es positivo, entonces la función es creciente (\nearrow); si es negativo, entonces la función es decreciente (\searrow).

 

Para (-\infty, 1) tomamos x = 0 y sustituimos en la derivada

f'(0) = -2(0 - 1) e^{-(0 - 1)^2} > 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \nearrow

 

Para (1, \infty) tomamos x = 2 y sustituimos en la derivada

f' \left (2 \right ) = -2(2 - 1) e^{-(2 - 1)^2}  < 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \searrow

 

 6 Concluimos que:

 

La función es creciente en (-\infty, 1)

 

La función es decreciente en (1, \infty)

 

 

 14  f(x) = e^{\frac{1}{x}}

 1 El exponente no está definido para x = 0 por lo que el dominio es \mathbb{R} - \{0\}

 

 2 Derivamos la función

 

f'(x) = -\cfrac{1}{x^2} \cdot e^{\frac{1}{x}}

 

 3 Igualamos la derivada a cero y despejamos x

 

\begin{array}{rcl} -\cfrac{1}{x^2} \cdot e^{\frac{1}{x}} & = & 0 \end{array}

 

lo cual no tiene solución en \mathbb{R} - \{0\}

 

 4 El dominio consta de dos intervalos:

 

(-\infty, 0), \  (0, \infty)

 

 5 Estudiamos el signo de la derivada en cada intervalo: si es positivo, entonces la función es creciente (\nearrow); si es negativo, entonces la función es decreciente (\searrow).

 

Para (-\infty, 0) tomamos x = -1 y sustituimos en la derivada

f'(-1) = -\cfrac{1}{(-1)^2} \cdot e^{\frac{1}{-1}} < 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \searrow

 

Para (0, \infty) tomamos x = 2 y sustituimos en la derivada

f' \left (2 \right ) = -\cfrac{1}{2^2} \cdot e^{\frac{1}{2}}  < 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \searrow

 

 6 Concluimos que:

 

La función es decreciente en (-\infty, 0) \cup (0, \infty)

 

 

 15  f(x) = e^x (2x^2 + x - 8)

 1 El dominio es \mathbb{R}

 

 2 Derivamos la función

 

f'(x) = e^x (2x^2 + x - 8) + e^x (4x + 1)

 

 3 Igualamos la derivada a cero y despejamos x

 

\begin{array}{rcl} e^x (2x^2 + x - 8) + e^x (4x + 1) & = & 0  \\\\  e^x (2x^2 + 5x - 7) & = & 0 \end{array}

 

de lo cual se obtiene x = 1, \ x = -\cfrac{7}{2}

 

 4 Los valores anteriores dividen el dominio en tres intervalos:

 

\left (-\infty, -\cfrac{7}{2} \right ), \  \left (-\cfrac{7}{2}, 1 \right ), \ (1, \infty)

 

 5 Estudiamos el signo de la derivada en cada intervalo: si es positivo, entonces la función es creciente (\nearrow); si es negativo, entonces la función es decreciente (\searrow).

 

Para \left (-\infty, -\cfrac{7}{2} \right ) tomamos x = -4 y sustituimos en la derivada

f'(-4) = e^{-4} (2(-4)^2 + 5(-4) - 7) > 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \nearrow

 

Para \left (-\cfrac{7}{2}, 1 \right ) tomamos x = 0 y sustituimos en la derivada

f' \left (0 \right ) = e^{0} (2(0)^2 + 5(0) - 7)  < 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \searrow

 

Para \left (1, \infty \right ) tomamos x = 2 y sustituimos en la derivada

f'(-4) = e^{2} (2(2)^2 + 5(2) - 7) > 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \nearrow

 

 6 Concluimos que:

 

La función es creciente en \left (-\infty, -\cfrac{7}{2} \right ) \cup (1, \infty)

 

La función es decreciente en \left (-\cfrac{7}{2}, 1 \right )

 

 

 16  f(x) = (x - 1) e^{-x}

 1 El dominio es \mathbb{R}

 

 2 Derivamos la función

 

f'(x) = e^{-x}  - e^{-x} (x - 1)

 

 3 Igualamos la derivada a cero y despejamos x

 

\begin{array}{rcl} e^{-x}  - e^{-x} (x - 1) & = & 0  \\\\  e^{-x} (2 - x) & = & 0 \end{array}

 

de lo cual se obtiene x = 2

 

 4 El valor anterior divide el dominio en dos intervalos:

 

\left (-\infty, 2 \right ), \  \ (2, \infty)

 

 5 Estudiamos el signo de la derivada en cada intervalo: si es positivo, entonces la función es creciente (\nearrow); si es negativo, entonces la función es decreciente (\searrow).

 

Para \left (-\infty, 2 \right ) tomamos x = 0 y sustituimos en la derivada

f'(0) = e^{-0} (2 - 0) > 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \nearrow

 

Para \left (2, \infty \right ) tomamos x = 3 y sustituimos en la derivada

f' \left (3 \right ) = e^{-3} (2 - 3)  < 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \searrow

 

 6 Concluimos que:

 

La función es creciente en \left (-\infty, 2 \right )

 

La función es decreciente en \left (2, \infty \right )

 

 

 17  f(x) = \cfrac{1}{2\sqrt{2 \pi}}\cdot e^{-\frac{1}{2} x^2}

 1 El dominio es \mathbb{R}

 

 2 Derivamos la función

 

f'(x) = -\cfrac{x}{2\sqrt{2 \pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2} x^2}

 

 3 Igualamos la derivada a cero y despejamos x

 

\begin{array}{rcl} -\cfrac{x}{2\sqrt{2 \pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2} x^2} & = & 0  \end{array}

 

de lo cual se obtiene x = 0

 

 4 El valor anterior divide el dominio en dos intervalos:

 

\left (-\infty, 0 \right ), \  (0, \infty)

 

 5 Estudiamos el signo de la derivada en cada intervalo: si es positivo, entonces la función es creciente (\nearrow); si es negativo, entonces la función es decreciente (\searrow).

 

Para \left (-\infty, 0 \right ) tomamos x = -1 y sustituimos en la derivada

f'(-1) = -\cfrac{-1}{2\sqrt{2 \pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2} (-1)^2} > 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \nearrow

 

Para \left (0, \infty \right ) tomamos x = 1 y sustituimos en la derivada

f' \left (1 \right ) = -\cfrac{1}{2\sqrt{2 \pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2} 1^2}  < 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \searrow

 

 6 Concluimos que:

 

La función es creciente en \left (-\infty, 0 \right )

 

La función es decreciente en \left (0, \infty \right )

 

 

 18  f(x) = x + \ln (x^2 - 1)

 1 El dominio es (-\infty, -1) \cup (1, \infty)

 

 2 Derivamos la función

 

f'(x) = 1 + \cfrac{2x}{x^2 - 1}

 

 3 Igualamos la derivada a cero y despejamos x

 

\begin{array}{rcl} 1 + \cfrac{2x}{x^2 - 1} & = & 0  \\\\  \cfrac{x^2 + 2x - 1}{x^2 - 1} & = & 0 \end{array}

 

de lo cual se obtiene empleando la fórmula de la ecuación de segundo grado x = -1 - \sqrt{2}

 

 4 El valor anterior divide el dominio en:

 

\left (-\infty, -1 - \sqrt{2} \right ), \  (-1 - \sqrt{2}, -1)  (1, \infty)

 

 5 Estudiamos el signo de la derivada en cada intervalo: si es positivo, entonces la función es creciente (\nearrow); si es negativo, entonces la función es decreciente (\searrow).

 

Para \left (-\infty, -1 - \sqrt{2} \right ) tomamos x = -5 y sustituimos en la derivada

f'(-5) = 1 + \cfrac{2(-5)}{(-5)^2 - 1} > 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \nearrow

 

Para \left (-1 - \sqrt{2}, -1 \right ) tomamos x = -2 y sustituimos en la derivada

f' \left (-2 \right ) = 1 + \cfrac{2(-2)}{(-2)^2 - 1}  < 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \searrow

 

Para \left (1, \infty \right ) tomamos x = 2 y sustituimos en la derivada

f' \left (2 \right ) = 1 + \cfrac{2(2)}{(2)^2 - 1}  > 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \nearrow

 

 6 Concluimos que:

 

La función es creciente en \left (-\infty, -1 - \sqrt{2} \right ) \cup (1, \infty)

 

La función es decreciente en \left (-1 - \sqrt{2}, -1 \right )

 

 

 19  f(x) = \cfrac{\ln x}{x}

 1 El dominio es (0, \infty)

 

 2 Derivamos la función

 

f'(x) = \cfrac{1 - \ln x}{x^2}

 

 3 Igualamos la derivada a cero y despejamos x

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{1 - \ln x}{x^2} & = & 0   \end{array}

 

de lo cual se obtiene x = e

 

 4 El valor anterior divide el dominio en:

 

\left (0, e \right ), \  (e, \infty)

 

 5 Estudiamos el signo de la derivada en cada intervalo: si es positivo, entonces la función es creciente (\nearrow); si es negativo, entonces la función es decreciente (\searrow).

 

Para \left (0, e \right ) tomamos x = 1 y sustituimos en la derivada

f'(1) = \cfrac{1 - \ln 1}{1^2} > 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \nearrow

 

Para \left (e, \infty \right ) tomamos x = 3 y sustituimos en la derivada

f' \left (3 \right ) = \cfrac{1 - \ln 3}{3^2}  < 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(x) \  \searrow

 

 6 Concluimos que:

 

La función es creciente en \left (0, e \right )

 

La función es decreciente en \left (e, \infty \right )

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗