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La recta tangente es un concepto fundamental en cálculo diferencial, ya que describe la pendiente de una curva en un punto específico. Al estudiar este concepto, se busca encontrar la ecuación de la recta que toca a la curva en un único punto, sin cortarla, representando así la dirección de la curva en ese instante.
Los ejercicios resueltos que se presentan a continuación tienen como objetivo guiarte paso a paso en la comprensión y aplicación de las técnicas necesarias para hallar la recta tangente a una curva dada.
Hallar los puntos de tangencia
Dada la parábola 
, hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
La bisectriz del primer cuadrante tiene de ecuación 
, por tanto 
.
Derivamos la ecuación de la parábola, pues sabemos que la derivada nos indica la pendiente
e igualamos a 
y despejamos para calcular el valor de x en el que ocurre esto
Evaluamos la función original en este punto 
Entonces
Dada la parábola , hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del segundo cuadrante.
La bisectriz del primer cuadrante tiene de ecuación 
, por tanto 
.
Derivamos la ecuación de la parábola, pues sabemos que la derivada nos indica la pendiente
e igualamos a 
y despejamos para calcular el valor de x en el que ocurre esto
Evaluamos la función original en este punto 
Entonces
Dada la parábola , hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la recta 
.
La pendiente de la recta 
es 
.
Derivamos la ecuación de la parábola, pues sabemos que la derivada nos indica la pendiente
e igualamos a y despejamos para calcular el valor de x en el que ocurre esto
Evaluamos la función original en este punto 
Entonces
Dada la parábola 
, hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la recta 
.
La pendiente de la recta 
es .
Derivamos la ecuación de la parábola, pues sabemos que la derivada nos indica la pendiente
e igualamos a y despejamos para calcular el valor de x en el que ocurre esto
Evaluamos la función original en este punto 
Entonces
Dada la parábola 
, hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la recta 
.
La pendiente de la recta 
es 
.
Derivamos la ecuación de la parábola, pues sabemos que la derivada nos indica la pendiente
e igualamos a 
y despejamos para calcular el valor de x en el que ocurre esto
Evaluamos la función original en este punto 
Entonces
Dada la curva de ecuación 
, halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje 
un ángulo de 
Lo primero que debemos saber es que la pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo que forma con el eje
Es decir 
La derivada de 
nos indica la pendiente de la recta tangente
Como quiero que la recta tangente forme con el eje , estoy pidiendo que la pendiente tenga el valor de 
Entonces,
Despejamos
Al obtener el valor de x hemos obtenido la abscisa. Para obtener el valor de la ordenada, evaluamos el punto 
en la función original
Finalmente
Calcular los puntos en que la tangente a la curva 
es paralela al eje
Las rectas paralelas tienen la misma pendiente. El eje tiene pendiente cero.Entonces quiero que la tangente a la curva tenga pendiente cero. Así que quiero que
Simplificando obtenemos la ecuación
Resolvemos, y evaluamos las soluciones en la función 
Finalmente los puntos donde la tangente a la curva es paralela al eje son:
Se ha trazado una recta tangente a la curva 
, cuya pendiente es y pasa por el punto 
. Hallar el punto de tangencia.
La derivada nos da la pendiente de la recta tangente a la curva
El problema dice que esta pendiente es , entonces
Resolvemos
Obtenemos la ecuación de la recta tangente en estos puntos
1 Abscisa x=1
2 Abscisa x=-1
Pero el punto 
sólo pertenece a la recta 
.
Por tanto el punto de tangencia será 
.
Buscar los puntos de la curva 
, para los cuales la tangente forma un ángulo de con
1Obtener abscisas
Recordemos que la pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo que forma con el eje
Es decir
La derivada de nos indica la pendiente de la recta tangente
Como quiero que la recta tangente forme con el eje , estoy pidiendo que la pendiente tenga el valor de
Entonces,
Despejamos
Factorizamos una x
Una solución es
Las otras soluciones se obtienen cuando
2Obtener ordenadas
Evaluamos los puntos en la función original
Finalmente
¿En qué punto de la curva 
, la tangente es paralela a la cuerda que une los puntos (1, 0) y (e, 1)?
La pendiente de la cuerda tiene que ser igual a la derivada de la función.
Entonces,
Evaluamos este punto en para obtener la ordenada
Finalmente
Calcula la ecuación de la recta
Calcular la ecuación de la tangente a la curva 
en el punto de abscisa: 
Obtener pendiente
Derivamos la función, pues sabemos que la derivada nos indica la pendiente de la recta tangente
Evaluamos en 
Obtener las coordenadas del punto de tangencia
Evaluamos la función original en este punto 
para obtener la ordenada
Obtener la ecuación de la recta tangente
Calcular la ecuación de la normal a la curva en el punto de abscisa:
Obtener pendiente
Derivamos la función, pues sabemos que la derivada nos indica la pendiente de la recta tangente
Evaluamos en
Obtener las coordenadas del punto de tangencia
Evaluamos la función original en este punto para obtener la ordenada
Obtener la ecuación de la recta normal
Dada la ecuación 
, hallar la ecuación de la recta tangente que sea paralela a la recta de ecuación 
La ecuación , al despejar se puede reescribir
Derivando implícitamente la ecuación tenemos:
Y como la derivada nos da la pendiente de la recta tangente, la igualaremos a 3 pues es el valor que buscamos que tenga
Tenemos entonces el sistema de ecuaciones de 2x2
Resolvemos, sustituyendo la segunda ecuación en la primera
Para obtener la ordenada de los puntos sólo basta con sustituir el valor de 
en la ecuación más sencilla del sistema
Obtenemos la ecuación de la recta en estos puntos
1 x=1
2 x=-1
Dada la parábola , hallar la ecuación de la recta tangente que es paralela a la bisectriz del primer cuadrante
1 Encontrar los puntos
La bisectriz del primer cuadrante tiene de ecuación , por tanto .
Derivamos la ecuación de la parábola, pues sabemos que la derivada nos indica la pendiente
e igualamos a y despejamos para calcular el valor de x en el que ocurre esto
Evaluamos la función original en este punto
Entonces
2 Recta tangente
Dada la parábola , hallar la ecuación de la recta normal a la bisectriz del primer cuadrante
1 Encontrar los puntos
La bisectriz del primer cuadrante tiene de ecuación , por tanto .
Derivamos la ecuación de la parábola, pues sabemos que la derivada nos indica la pendiente
e igualamos a y despejamos para calcular el valor de x en el que ocurre esto
Evaluamos la función original en este punto
Entonces
2 Recta normal
Determinación de parámetros
Determinar los valores del parámetro b, para qué las tangentes a la curva de la función 
en los puntos de abscisas 
, 
sean paralelas
La derivada de es
Para que sean paralelas se tiene que cumplir que las derivadas en y sean iguales. Es decir
Esto es
Determinar los valores del parámetro b, para qué las tangentes a la curva de la función 
en los puntos de abscisas 
, 
sean paralelas
La derivada de es
Para que sean paralelas se tiene que cumplir que las derivadas en y sean iguales. Es decir
Esto es
Una solución es
La otra es
Hallar los coeficientes de la ecuación 
, sabiendo que su gráfica pasa por 
y por 
, y en este último punto su tangente tiene de pendiente
Obtenemos 
ecuaciones al sustituir el valor de la abscisa en e igualarla al valor de la ordenada de los puntos que pasan por la gráfica
Además la pendiente de la tangente está dada por
Si la pendiente en el punto es 3, esto quiere decir que
Resolviendo el sistema de 3x3 se obtiene:
Y la ecuación queda
La gráfica de la función pasa por los puntos 
y 
, siendo la tangente a la misma en el punto de abscisa paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Hallar el valor numérico de 
y 
Obtenemos ecuaciones al sustituir el valor de la abscisa en e igualarla al valor de la ordenada de los puntos que pasan por la gráfica
Además la pendiente de la tangente está dada por
Si la pendiente en el punto es paralela a la bisectriz cuadrante, esto quiere decir que la pendiente es 
Resolviendo el sistema se obtiene:
Y la ecuación queda
Dada la función 
, determina 
y 
; sabiendo que la curva pasa por los puntos 
. Además las tangentes en los puntos de abscisa y [/latex]-2[/latex] son paralelas al eje
Obtenemos ecuaciones al sustituir el valor de la abscisa en e igualarla al valor de la ordenada de los puntos que pasan por la gráfica
Además la pendiente de la tangente está dada por
Si la pendiente en el punto es paralela a la bisectriz cuadrante, esto quiere decir que la pendiente es
Resolviendo el sistema de 
se obtiene:
Y la ecuación queda
Encontrar el ángulo o área
Dada la función 
, hallar el ángulo que forma la recta tangente a la gráfica de la función en el origen, con el eje de abscisas
La recta tangente a la gráfica tiene pendiente
En el origen esta pendiente es
Recodermos que la pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo que forma con el eje
Entonces
Dada la función 
, hallar el ángulo que forma la recta tangente a la gráfica de la función en el origen, con el eje de abscisas
La recta tangente a la gráfica tiene pendiente
En el origen esta pendiente es
Recodermos que la pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo que forma con el eje
Entonces
Dada la función 
, hallar el ángulo que forma la recta tangente a la gráfica de la función en el origen, con el eje de abscisas
La recta tangente a la gráfica tiene pendiente
En el origen esta pendiente es
Recodermos que la pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo que forma con el eje
Entonces
Dada la función 
, hallar el ángulo que forma la recta tangente a la gráfica de la función en el origen, con el eje de abscisas
La recta tangente a la gráfica tiene pendiente
En el origen esta pendiente es
Recodermos que la pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo que forma con el eje
Entonces
Hallar el área del triángulo determinado por los ejes de coordenadas y la tangente a la curva 
en el punto
Si 
, entonces 
La pendiente de la recta tangente a la curva está dada por la derivada
Evaluamos para obtener la pendiente en
La ordenada del punto se obtiene evaluando en la función original
Finalmente
Intersección con el eje OX
Un vértice es 
Intersección con el eje OY
Otro vértice es 
Y la figura es como a continuación
Como es un triángulo rectángulo, su base y altura están dados por los catetos, que en este caso ambos miden . El área es
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Cual es un buen graficador de funciones con cuadricula en el fondo y ejes coordenados para graficar funciones.He visto uno elaborado por Mariluna Saldivar Pat titulado «¿Que es una funcion lineal? pero no se con que programa hizo el dibujo
Hola en internet esta geogebra y simbolab que son los que yo uso, creo que si preguntas en el buscador te recomiendan otros muy buenos, los que mencione antes trabajo muy bien con ellos y los recomiendo.
Me ayudarian hacer la funcion lineal con grafico
Y=2×+1
La primera derivada se anula en x = 3. Por lo tanto 3 es otro punto crítico de la función del ejemplo.
Hola gracias por la observación, podrías hacernos el favor de mostrarnos la función que se deriva y se encuentran los puntos críticos.
El Punto de inflexión en el ejercicio 2: f(x) = x^3 + x + 1 debe ser (0, 1)
Hola agradecemos tu comentario, tenias razón era un error que ya se corrigió.