Ejercicios propuestos

1

Dada la parábola f(x) = x², hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

 

Dada la parábola f(x) = x², hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

y = xm= 1

f'(a) = 1.

2

Dada la curva de ecuación f(x) = 2x² − 3x − 1, halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45°.

 

Dada la curva de ecuación f(x) = 2x² − 3x − 1, halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45°.

 

Dada la curva de ecuación f(x) = 2x² − 3x − 1, halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45°.Solución

3

Determinar los valores del parámetro b, para qué las tangentes a la curva de la función f(x) = b²x³ + bx² + 3x + 9 en los puntos de abscisas x = 1, x = 2 sean paralelas.

 

Determinar los valores del parámetro b, para qué las tangentes a la curva de la función f(x) = b²x³ + bx² + 3x + 9 en los puntos de abscisas x = 1, x = 2 sean paralelas.

Para que sean paralelas se tiene que cumplir que las derivadas en x = 1 y x = 2 sean iguales.

f'(1) = f'(2)

f'(x) = 3b²x² + 2bx + 3

f'(1) = 3b² + 2b + 3

f'(2) = 12b² + 4b + 3

3b² + 2b + 3 = 12b² + 4b + 3

9b² + 2b = 0

b = 0 b = −2/9

4

Calcular los puntos en que la tangente a la curva y = x³ − 3x² − 9x + 5 es paralela al eje OX.

 

Calcular los puntos en que la tangente a la curva y = x³ − 3x² − 9x + 5 es paralela al eje OX.

y' = 3x² − 6x − 9;     x² − 2x − 3 = 0 (simplificando por 3)

x1 = 3 y1 = −22

x2 = −1y2 = 10

A(3, −22) B(−1, 10)

5

Se ha trazado una recta tangente a la curva y= x³, cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (0,−2). Hallar el punto de tangencia.

 

Se ha trazado una recta tangente a la curva y= x³, cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (0,−2). Hallar el punto de tangencia.

Sea el punto de tangencia (a, f(a))

f' (x)= 3x²f' (a)= 3a²

3a² = 3a = ±1

Las ecuaciones de la rectas tangentes son:

a = 1 f(a) = 1

y − 1 = 3(x − 1) y = 3x −2

a = −1 f(a) = −1

y + 1= 3(x + 1) y = 3x + 2

El punto (0, −2) pertenece a la recta  y = 3x − 2.

Por tanto el punto de tangencia será (1, 1) .

6

Buscar los puntos de la curva f(x) = x4 + 7x³ + 13x² + x +1, para los cuales la tangente forma un ángulo de 45º con OX.

 

Buscar los puntos de la curva f(x) = x4 + 7x³ + 13x² + x +1, para los cuales la tangente forma un ángulo de 45º con OX.

m = 1

f'(x) = 4x³ + 21x² + 26x +1

4x³ + 21x² + 26x +1 = 1

x1 = 0 x2 = −2 x3 = 13/4

Las segundas coordenadas se obtienen sustituyendo en la función

P(0, 4) Q(−2, 4) R(13/4, 1621/256)

7

Dada la función f(x) = tg x, hallar el ángulo que forma la recta tangente a la gráfica de la función f(x) en el origen, con el eje de abscisas.

 

Dada la función f(x) = tg x, hallar el ángulo que forma la recta tangente a la gráfica de la función f(x) en el origen, con el eje de abscisas.

f′(x) = 1 + tg² x       f′(0) = 1 = m

y = x

α = arc tg 1 = 45º

8

Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a la curva f(x) = ln tg 2x en el punto de abscisa: x = π/8.

 

Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a la curva f(x) = ln tg 2x en el punto de abscisa: x = π/8.

9

Hallar los coeficientes de la ecuación y = ax² + bx + c, sabiendo que su gráfica pasa por (0, 3) y por (2, 1)., y en este último punto su tangente tiene de pendiente 3.

 

Hallar los coeficientes de la ecuación y = ax² + bx + c, sabiendo que su gráfica pasa por (0, 3) y por (2, 1)., y en este último punto su tangente tiene de pendiente 3.

Pasa por (0, 3) 3 = c

Pasa por (2, 1) 1= 4a + 2b + c

y' = 2ax + b 3 = 4a + b

Resolviendo el sistema se obtiene:

a = 2 b = −5 c = 3

10

La gráfica de la función y = ax² + bx + c pasa por los puntos (2, 3) y (3, 13). siendo la tangente a la misma en el punto de abscisa 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Hallar el valor numérico de a, b y c.

 

La gráfica de la función y = ax² + bx + c pasa por los puntos (2, 3) y (3, 13). siendo la tangente a la misma en el punto de abscisa 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Hallar el valor numérico de a, b y c.

Pasa por (2, 3) 3 = 4a + 2b + c

Pasa por (3, 13)13 = 9a + 3b +c

y' = 2ax + b 1 = 2a + b

Resolviendo el sistema se obtiene:

a = 3 b = −5 c =1

11

Dada la función  f(x) = ax³ + bx² + cx + d, determina a, b, c y d; sabiendo que la curva pasa por los puntos (−1, 2) (2, 3), y que las tangentes a ellas en los puntos de abscisa 1 y −2 son paralelas al ejes de abscisas.

 

Dada la función  f(x) = ax³ + bx² + cx + d, determina a, b, c y d; sabiendo que la curva pasa por los puntos (−1, 2) (2, 3), y que las tangentes a ellas en los puntos de abscisa 1 y −2 son paralelas al ejes de abscisas.

f(−1) = 2 −a + b − c + d = 2

f(2) = 3 8a + 4b + 2c + d = 3

f′(−1) = 0 3a + 2b + c = 0

f′(2) = 0 12a − 4b + c = 0

a = − 2 /9 b = − 1 /3 c = 4/3 d = 31/9

12

¿En qué punto de la curva y = ln x, la tangente es paralela a la cuerda que une los puntos (1, 0) y (e, 1)?

 

¿En qué punto de la curva y = ln x, la tangente es paralela a la cuerda que une los puntos (1, 0) y (e, 1)?

La pendiente de la cuerda tiene que ser igual a la derivada de la función.

13

Dada la ecuación 9x²+ y²= 18, hallar la ecuación de la recta tangente que sea paralela a la recta de ecuación 3x − y + 7 = 0.

 

Dada la ecuación 9x²+ y²= 18, hallar la ecuación de la recta tangente que sea paralela a la recta de ecuación 3x − y + 7 = 0.

Sea el punto de tangencia (a, b)

y = 3x + 7 m = 3

Derivando implícitamente tenemos:

14

Hallar el área del triángulo determinado por los ejes de coordenadas y la tangente a la curva xy = 1 en el punto x = 1.

 

Hallar el área del triángulo determinado por los ejes de coordenadas y la tangente a la curva xy = 1 en el punto x = 1.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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