Halla los puntos

 

1 Dada la parábola  f(x) = x^2, hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Encuentra la ecuación de la recta tangente y normal en dichos puntos.

 

1 Encontrar los puntos

 

La bisectriz del primer cuadrante tiene de ecuación y = x, por tanto m = 1.

Derivamos la ecuación de la parábola, pues sabemos que la derivada nos indica la pendiente

f'(x) =2x

e igualamos a 1 y despejamos para calcular el valor de x en el que ocurre esto

\displaystyle 2x=1 \hspace{2cm} x=\frac{1}{2}

Evaluamos la función original en este punto \displaystyle x=\frac{1}{2}

\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}

Entonces

\displaystyle \text{Punto} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm}\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)

 

2 Recta tangente

 

\displaystyle \text{Punto} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm}\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)

\text{Pendiente} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm} m=1

\displaystyle \text{Ecuaci\'on de la recta} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm} y-\frac{1}{4}=x-\frac{1}{2} \hspace{.5cm} y=x-\frac{1}{4}

 

recta tangente representación gráfica

 

3 Recta normal

 

\displaystyle \text{Punto} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm}\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)

\displaystyle \text{Pendiente} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm} m_n=-\frac{1}{m_t}=-\frac{1}{1}=-1

\displaystyle \text{Ecuaci\'on de la recta} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm} y-\frac{1}{4}=-\left(x-\frac{1}{2}\right) \hspace{.5cm} y=-x+\frac{1}{4}

 

2 Dada la curva de ecuación f(x) = 2x^2- 3x - 1, halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45^{o}.

 

Lo primero que debemos saber es que la pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo que forma con el eje OX

Es decir m=\tan \alpha

 

pendiente de una recta representación gráfica

 

La derivada de f(x) nos indica la pendiente de la recta tangente

f'(x)=4x-3

Como quiero que la recta tangente forme 45^{o} con el eje OX, estoy pidiendo que la pendiente tenga el valor de \tan 45^\circ

f'(x)=\tan 45^\circ = 1

Entonces,

4x-3 = 1

Despejamos

4x=4

\displaystyle x=\frac{4}{4}=1

Al obtener el valor  de x hemos obtenido la abscisa. Para obtener el valor de la ordenada, evaluamos el punto x=1 en la función original

f(1)=2\cdot 1^2- 3\cdot 1 - 1=-2

Finalmente

\text{Punto} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm}\left(1,-2\right)

 

3 Calcular los puntos en que la tangente a la curva y = x^3 - 3x^2 - 9x + 5 es paralela al eje OX.

 

Las rectas paralelas tienen la misma pendiente. El eje OX tiene pendiente cero.Entonces quiero que la tangente a la curva tenga pendiente cero. Así que quiero que

y'=0

y'= 3x^2- 6x-9=0

Simplificando obtenemos la ecuación

x^2 - 2x- 3 = 0

Resolvemos, y evaluamos las soluciones en la función y

x_1 = 3 \hspace{2cm} y_1= -22

x_2 = -1 \hspace{2cm} y_2= 10

Finalmente los puntos donde la tangente a la curva es paralela al eje OX son:

A(3,-22)

B(-1,10)

 

4 Se ha trazado una recta tangente a la curva y= x^3, cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (0,-2). Hallar el punto de tangencia.

 

La derivada nos da la pendiente de la recta tangente a la curva

f' (x)= 3x^2

El problema dice que esta pendiente es 3, entonces

3x^2=3

Resolvemos

 x = \pm 1

Obtenemos la ecuación de la recta tangente en estos puntos

 

1 Abscisa x=1

\text{Ordenada} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm}f(1)=1^3=1

\text{Punto} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm}\left(1,1\right)

\text{Pendiente} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm} m=3

\text{Ecuaci\'on de la recta} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm} y-1=3(x-1) \hspace{.5cm} y=3x-2

2 Abscisa x=-1

\text{Ordenada} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm}f(-1)=(-1)^3=-1

\text{Punto} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm}\left(-1,-1\right)

\text{Pendiente} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm} m=3

\text{Ecuaci\'on de la recta} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm} y+1=3(x+1) \hspace{.5cm} y=3x+2

 

Pero el punto (0, -2) sólo pertenece a la recta y = 3x - 2.

Por tanto el punto de tangencia será (1, 1) .

 

5 Buscar los puntos de la curva f(x) = x^4 + 7x^3 + 13x^2 + x +1, para los cuales la tangente forma un ángulo de 45^{o} con OX.

 

1Obtener abscisas

Recordemos que la pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo que forma con el eje OX

Es decir m=\tan \alpha

La derivada de f(x) nos indica la pendiente de la recta tangente

f'(x)=4x^3 + 21x^2 + 26x +1

Como quiero que la recta tangente forme 45^{o} con el eje OX, estoy pidiendo que la pendiente tenga el valor de \tan 45^\circ

f'(x)=\tan 45^\circ = 1

Entonces,

4x^3 + 21x^2 + 26x +1 = 1

Despejamos

4x^3 + 21x^2 + 26x = 0

Factorizamos una x

x(4x^2 + 21x + 26) = 0

Una solución es

x_1 = 0

Las otras soluciones se obtienen cuando

4x^2 + 21x + 26 = 0

x_2=-2

\displaystyle x_3=-\frac{13}{4}

2Obtener ordenadas

Evaluamos los puntos en la función original f(x) = x^4 + 7x^3 + 13x^2 + x +1

x_1 = 0 \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{1cm} y_1=1

x_2 = -2 \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{1cm} y_2=11

\displaystyle x_3 = \frac{13}{4} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{1cm} y_3=\frac{1621}{256}

Finalmente

\displaystyle \text{Puntos} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm} \left\{\begin{matrix} \left(0,1\right)\ \ \ \ \ \\ \left(-2,11\right)\ \ \\ \left(\frac{13}{4},\frac{1621}{256}\right) \end{matrix}\right.

 

6 ¿En qué punto de la curva y = \ln x, la tangente es paralela a la cuerda que une los puntos (1, 0) y (e, 1)?

 

La pendiente de la cuerda tiene que ser igual a la derivada de la función.

\displaystyle \text{Pendiente de la cuerda}  \hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} m=\frac{1-0}{e-1}=\frac{1}{e-1}

\displaystyle \text{Derivada de la funci\'on}  \hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} f'(x)=\frac{1}{x}

Entonces,

\displaystyle \frac{1}{e-1}=\frac{1}{x} \hspace{2cm} x=e-1

Evaluamos este punto en f(x) para obtener la ordenada

f(e-1)=\ln (e-1)

Finalmente

\text{Punto}  \hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} (e-1, \ln (e-1))

 

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Calcula la ecuación de la recta

 

7 Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a la curva f(x) = \ln \tan 2x en el punto de abscisa: x = \pi/8.

 

1 Recta tangente

Obtener pendiente

Derivamos la función, pues sabemos que la derivada nos indica la pendiente de la recta tangente

\displaystyle f'(x) =\frac{2(1+\tan^2 (2x))}{\tan (2x)}

Evaluamos en x=\frac{\pi}{8}

\displaystyle f'\left(\frac{\pi}{8}\right) =\frac{2\left(1+\tan^2 \left(2\cdot \left(\frac{\pi}{8}\right)\right)\right)}{\tan \left(2\cdot \left(\frac{\pi}{8}\right)\right)}=4

Obtener las coordenadas del punto de tangencia

\displaystyle \text{Abscisa} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm} \frac{\pi}{8}

Evaluamos la función original en este punto \displaystyle x=\frac{\pi}{8} para obtener la ordenada

\displaystyle \text{Ordenada} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm} f\left(\frac{\pi}{8}\right)= \ln \tan 2\cdot \left(\frac{\pi}{8}\right)=0

Obtener la ecuación de la recta tangente

\displaystyle \text{Punto} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm}\left(\frac{\pi}{8},0\right)

\text{Pendiente} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm} m=4

\displaystyle \text{Ecuacion de la recta} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{1cm} y-0=4\left( x-\frac{\pi}{8}\right) \hspace{1cm} y=4x-\frac{\pi}{2}

 

2 Recta normal

 

\displaystyle \text{Punto} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm}\left(\frac{\pi}{8},0\right)

\displaystyle \text{Pendiente} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm} m_n=-\frac{1}{m_t}=-\frac{1}{4}

\displaystyle \text{Ecuacion de la recta} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{1cm} y-0=-\frac{1}{4} \left(x-\frac{\pi}{8}\right) \hspace{1cm} y=-\frac{x}{4}+\frac{\pi}{32}

 

8 Dada la ecuación 9x^2+ y^2= 18, hallar la ecuación de la recta tangente que sea paralela a la recta de ecuación 3x - y + 7 = 0.

 

La ecuación 3x - y + 7 = 0, al despejar y se puede reescribir

y= 3x + 7 \hspace{1cm}\Rightarrow\hspace{1cm} m=3

Derivando implícitamente la ecuación tenemos:

\displaystyle y'=\frac{-18x}{2y}=\frac{-9x}{y}

Y como la derivada nos da la pendiente de la recta tangente, la igualaremos a 3 pues es el valor que buscamos que tenga

\displaystyle \frac{-9x}{y}=3 \hspace{2cm} y=-3x

Tenemos entonces el sistema de ecuaciones de 2x2

\left\{\begin{matrix} 9x^2+ y^2= 18\\ y=-3x \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.

Resolvemos, sustituyendo la segunda ecuación en la primera

9x^2+ (-3x)^2= 18 \hspace{2cm} 18x^2=18 \hspace{2cm} x=\pm 1

Para obtener la ordenada de los puntos sólo basta con sustituir el valor de x en la ecuación más sencilla del sistema

y=-3\cdot 1 \hspace{2cm} y=\pm -3

y=-3\cdot (-1) \hspace{2cm} y=\pm 3

Obtenemos la ecuación de la recta en estos puntos

 

1 x=1

\text{Punto} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm}(1,-3)

\text{Pendiente} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm} m=3

\text{Ecuaci\'on de la recta} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{1cm} y+3=3(x-1) \hspace{1cm} y=3x-6

2 x=-1

\text{Punto} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm}(-1,3)

\text{Pendiente} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm} m=3

\text{Ecuaci\'on de la recta} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{1cm} y-3=3(x+1) \hspace{1cm} y=3x+6

 

Determina los parámetros

 

9 Determinar los valores del parámetro b, para qué las tangentes a la curva de la función f(x) = b^2x^3 + bx^2 + 3x + 9 en los puntos de abscisas x = 1, x = 2 sean paralelas.

 

La derivada de f(x) es

f'(x) = 3b^2x^2 + 2bx + 3

Para que sean paralelas se tiene que cumplir que las derivadas en x = 1 y x = 2 sean iguales. Es decir

f'(1) = f'(2)

Esto es

3b^2 + 2b + 3 = 12b^2 + 4b + 3

9b^2+ 2b = 0

b(9b+ 2) = 0

Una solución es

b = 0

La otra es

\displaystyle 9b+2 = 0\hspace{1cm} 9b=-2 \hspace{1cm} b=-\frac{2}{9}

 

10 Hallar los coeficientes de la ecuación y = ax^2 + bx + c, sabiendo que su gráfica pasa por (0, 3) y por (2, 1), y en este último punto su tangente tiene de pendiente 3.

 

Obtenemos 2 ecuaciones al sustituir el valor de la abscisa en y e igualarla al valor de la ordenada de los puntos que pasan por la gráfica

\text{Pasa por } (0, 3) \hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} a\cdot 0^2 + b\cdot 0 + c = 3 \hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm}3 = c

\text{Pasa por } (2, 1) \hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} a\cdot 2^2 + b\cdot 2 + c = 1 \hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} 4a + 2b + c=1

Además la pendiente de la tangente está dada por

y'= 2ax + b

Si la pendiente en el punto (2, 1) es 3, esto quiere decir que

4a + b=3

Resolviendo el sistema de 3x3 se obtiene:

a=2\hspace{1cm} b=-5 \hspace{1cm} c=3

Y la ecuación queda

y = 2x^2 -5x + 3

 

11 La gráfica de la función y = ax^2 + bx + c pasa por los puntos (2, 3) y (3, 13), siendo la tangente a la misma en el punto de abscisa 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Hallar el valor numérico de a, b y c.

 

Obtenemos 2 ecuaciones al sustituir el valor de la abscisa en y e igualarla al valor de la ordenada de los puntos que pasan por la gráfica

\text{Pasa por } (2, 3) \hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} a\cdot 2^2 + b\cdot 2 + c = 3 \hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm}4a+2b+c=3

\text{Pasa por } (3, 13) \hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} a\cdot 3^2 + b\cdot 3 + c = 13 \hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} 9a + 3b + c=13

Además la pendiente de la tangente está dada por

y'= 2ax + b

Si la pendiente en el punto x=1 es paralela a la bisectriz cuadrante, esto quiere decir que la pendiente es m=1

2a + b=1

Resolviendo el sistema se obtiene:

a=3\hspace{1cm} b=-5 \hspace{1cm} c=1

Y la ecuación queda

y = 3x^2 -5x + 1

 

12 Dada la función  f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, determina a, b, c y d; sabiendo que la curva pasa por los puntos (-1, 2) (2, 3). Además las tangentes en los puntos de abscisa 1 y [/latex]-2[/latex] son paralelas al eje OX.

 

Obtenemos 2 ecuaciones al sustituir el valor de la abscisa en f(x) e igualarla al valor de la ordenada de los puntos que pasan por la gráfica

\text{Pasa por } (-1,2) \hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} f(-1)=2 \hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} -a+b-c+d=2

\text{Pasa por } (2,3) \hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} f(2)=3 \hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} 8a + 4b + 2c+d=3

Además la pendiente de la tangente está dada por

y'= 3ax^2 + 2bx+c

Si la pendiente en el punto x=1 es paralela a la bisectriz cuadrante, esto quiere decir que la pendiente es m=1

f′(1) = 0 \hspace{1cm}\rightarrow \hspace{1cm} 3a + 2b + c = 0

f′(-2) = 0 \hspace{1cm}\rightarrow \hspace{1cm}12a - 4b + c = 0

Resolviendo el sistema de 4x4 se obtiene:

\displaystyle a=-\frac{2}{9}\hspace{1cm} b=-\frac{1}{3} \hspace{1cm} c=\frac{4}{3} \hspace{1cm} d=\frac{31}{9}

Y la ecuación queda

\displaystyle f(x) = -\frac{2}{9}x^3 -\frac{1}{3}x^2+ \frac{4}{3} x+ \frac{31}{9}

 

Encuentra el ángulo o área

 

13 Dada la función f(x) = \tan x, hallar el ángulo que forma la recta tangente a la gráfica de la función f(x) en el origen, con el eje de abscisas.

 

La recta tangente a la gráfica tiene pendiente

f′(x) = 1 + \tan^2 x

En el origen esta pendiente es

m= f′(0) = 1 + \tan^2 0 = 1

Recodermos que la pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo que forma con el eje OX

m=\tan \alpha

Entonces

\alpha = \arctan 1= 45^\circ

 

14 Hallar el área del triángulo determinado por los ejes de coordenadas y la tangente a la curva xy = 1 en el punto x = 1.

 

Si xy=1, entonces \displaystyle y=\frac{1}{x}

La pendiente de la recta tangente a la curva está dada por la derivada

\displaystyle y'=-\frac{1}{x^2}

Evaluamos para obtener la pendiente en x=1

\displaystyle y'=-\frac{1}{1^2}=-1

La ordenada del punto se obtiene evaluando en la función original

\displaystyle y=\frac{1}{1}=1

Finalmente

\text{Punto} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm}(1,1)

\text{Pendiente} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm} m=-1

\text{Ecuacion de la recta} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{1cm} y-1=-(x-1) \hspace{1cm} y=-x+2

Intersección con el eje OX

0=-x+2 \hspace{2cm} x=2

Un vértice es (2,0)

Intersección con el eje OY

y=-0+2=2

Otro vértice es (0,2)

Y la figura es como a continuación

recta tangente a una curva representación gráfica

Como es un triángulo rectángulo, su base y altura están dados por los catetos, que en este caso ambos miden 2. El área es

\displaystyle S=\frac{b\cdot h}{2}=\frac{2\cdot 2}{2}=2u^2

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗