Halla los puntos

 

1 Dada la parábola  f(x) = x^2, hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Encuentra la ecuación de la recta tangente y normal en dichos puntos.

 

1 Encontrar los puntos

 

La bisectriz del primer cuadrante tiene de ecuación y = x, por tanto m = 1.

Derivamos la ecuación de la parábola, pues sabemos que la derivada nos indica la pendiente

f'(x) =2x

e igualamos a 1 y despejamos para calcular el valor de x en el que ocurre esto

displaystyle 2x=1 hspace{2cm} x=frac{1}{2}

Evaluamos la función original en este punto displaystyle x=frac{1}{2}

displaystyle fleft(frac{1}{2}right)=left(frac{1}{2}right)^2=frac{1}{4}

Entonces

displaystyle text{Punto} hspace{.5cm} longrightarrow hspace{.5cm}left(frac{1}{2},frac{1}{4}right)

 

2 Recta tangente

 

displaystyle text{Punto} hspace{.5cm} longrightarrow hspace{.5cm}left(frac{1}{2},frac{1}{4}right)

text{Pendiente} hspace{.5cm} longrightarrow hspace{.5cm} m=1

displaystyle text{Ecuaci'on de la recta} hspace{.5cm} longrightarrow hspace{.5cm} y-frac{1}{4}=x-frac{1}{2} hspace{.5cm} y=x-frac{1}{4}

 

recta tangente representación gráfica

 

3 Recta normal

 

displaystyle text{Punto} hspace{.5cm} longrightarrow hspace{.5cm}left(frac{1}{2},frac{1}{4}right)

displaystyle text{Pendiente} hspace{.5cm} longrightarrow hspace{.5cm} m_n=-frac{1}{m_t}=-frac{1}{1}=-1

displaystyle text{Ecuaci'on de la recta} hspace{.5cm} longrightarrow hspace{.5cm} y-frac{1}{4}=-left(x-frac{1}{2}right) hspace{.5cm} y=-x+frac{1}{4}

 

2 Dada la curva de ecuación f(x) = 2x^2- 3x - 1, halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45^{o}.

 

Lo primero que debemos saber es que la pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo que forma con el eje OX

Es decir m=tan alpha

 

pendiente de una recta representación gráfica

 

La derivada de f(x) nos indica la pendiente de la recta tangente

f'(x)=4x-3

Como quiero que la recta tangente forme 45^{o} con el eje OX, estoy pidiendo que la pendiente tenga el valor de tan 45^circ

f'(x)=tan 45^circ = 1

Entonces,

4x-3 = 1

Despejamos

4x=4

displaystyle x=frac{4}{4}=1

Al obtener el valor  de x hemos obtenido la abscisa. Para obtener el valor de la ordenada, evaluamos el punto x=1 en la función original

f(1)=2cdot 1^2- 3cdot 1 - 1=-2

Finalmente

text{Punto} hspace{.5cm} longrightarrow hspace{.5cm}left(1,-2right)

 

3 Calcular los puntos en que la tangente a la curva y = x^3 - 3x^2 - 9x + 5 es paralela al eje OX.

 

Las rectas paralelas tienen la misma pendiente. El eje OX tiene pendiente cero.Entonces quiero que la tangente a la curva tenga pendiente cero. Así que quiero que

y'=0

y'= 3x^2- 6x-9=0

Simplificando obtenemos la ecuación

x^2 - 2x- 3 = 0

Resolvemos, y evaluamos las soluciones en la función y

x_1 = 3 hspace{2cm} y_1= -22

x_2 = -1 hspace{2cm} y_2= 10

Finalmente los puntos donde la tangente a la curva es paralela al eje OX son:

A(3,-22)

B(-1,10)

 

4 Se ha trazado una recta tangente a la curva y= x^3, cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (0,-2). Hallar el punto de tangencia.

 

La derivada nos da la pendiente de la recta tangente a la curva

f' (x)= 3x^2

El problema dice que esta pendiente es 3, entonces

3x^2=3

Resolvemos

 x = pm 1

Obtenemos la ecuación de la recta tangente en estos puntos

 

1 Abscisa x=1

text{Ordenada} hspace{.5cm} longrightarrow hspace{.5cm}f(1)=1^3=1

text{Punto} hspace{.5cm} longrightarrow hspace{.5cm}left(1,1right)

text{Pendiente} hspace{.5cm} longrightarrow hspace{.5cm} m=3

text{Ecuaci'on de la recta} hspace{.5cm} longrightarrow hspace{.5cm} y-1=3(x-1) hspace{.5cm} y=3x-2

2 Abscisa x=-1

text{Ordenada} hspace{.5cm} longrightarrow hspace{.5cm}f(-1)=(-1)^3=-1

text{Punto} hspace{.5cm} longrightarrow hspace{.5cm}left(-1,-1right)

text{Pendiente} hspace{.5cm} longrightarrow hspace{.5cm} m=3

text{Ecuaci'on de la recta} hspace{.5cm} longrightarrow hspace{.5cm} y+1=3(x+1) hspace{.5cm} y=3x+2

 

Pero el punto (0, -2) sólo pertenece a la recta y = 3x - 2.

Por tanto el punto de tangencia será (1, 1) .

 

5 Buscar los puntos de la curva f(x) = x^4 + 7x^3 + 13x^2 + x +1, para los cuales la tangente forma un ángulo de 45^{o} con OX.

 

1Obtener abscisas

Recordemos que la pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo que forma con el eje OX

Es decir m=tan alpha

La derivada de f(x) nos indica la pendiente de la recta tangente

f'(x)=4x^3 + 21x^2 + 26x +1

Como quiero que la recta tangente forme 45^{o} con el eje OX, estoy pidiendo que la pendiente tenga el valor de tan 45^circ

f'(x)=tan 45^circ = 1

Entonces,

4x^3 + 21x^2 + 26x +1 = 1

Despejamos

4x^3 + 21x^2 + 26x = 0

Factorizamos una x

x(4x^2 + 21x + 26) = 0

Una solución es

x_1 = 0

Las otras soluciones se obtienen cuando

4x^2 + 21x + 26 = 0

x_2=-2

displaystyle x_3=-frac{13}{4}

2Obtener ordenadas

Evaluamos los puntos en la función original f(x) = x^4 + 7x^3 + 13x^2 + x +1

x_1 = 0 hspace{.5cm} longrightarrow hspace{1cm} y_1=1

x_2 = -2 hspace{.5cm} longrightarrow hspace{1cm} y_2=11

displaystyle x_3 = frac{13}{4} hspace{.5cm} longrightarrow hspace{1cm} y_3=frac{1621}{256}

Finalmente

displaystyle text{Puntos} hspace{.5cm} longrightarrow hspace{.5cm} left{begin{matrix} left(0,1right)     \ left(-2,11right)  \ left(frac{13}{4},frac{1621}{256}right) end{matrix}right.

 

6 ¿En qué punto de la curva y = ln x, la tangente es paralela a la cuerda que une los puntos (1, 0) y (e, 1)?

 

La pendiente de la cuerda tiene que ser igual a la derivada de la función.

displaystyle text{Pendiente de la cuerda}  hspace{.5cm}rightarrow hspace{.5cm} m=frac{1-0}{e-1}=frac{1}{e-1}

displaystyle text{Derivada de la funci'on}  hspace{.5cm}rightarrow hspace{.5cm} f'(x)=frac{1}{x}

Entonces,

displaystyle frac{1}{e-1}=frac{1}{x} hspace{2cm} x=e-1

Evaluamos este punto en f(x) para obtener la ordenada

f(e-1)=ln (e-1)

Finalmente

text{Punto}  hspace{.5cm}rightarrow hspace{.5cm} (e-1, ln (e-1))

 

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Vamos

Calcula la ecuación de la recta

 

7 Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a la curva f(x) = ln tan 2x en el punto de abscisa: x = pi/8.

 

1 Recta tangente

Obtener pendiente

Derivamos la función, pues sabemos que la derivada nos indica la pendiente de la recta tangente

displaystyle f'(x) =frac{2(1+tan^2 (2x))}{tan (2x)}

Evaluamos en x=frac{pi}{8}

displaystyle f'left(frac{pi}{8}right) =frac{2left(1+tan^2 left(2cdot left(frac{pi}{8}right)right)right)}{tan left(2cdot left(frac{pi}{8}right)right)}=4

Obtener las coordenadas del punto de tangencia

displaystyle text{Abscisa} hspace{.5cm} longrightarrow hspace{.5cm} frac{pi}{8}

Evaluamos la función original en este punto displaystyle x=frac{pi}{8} para obtener la ordenada

displaystyle text{Ordenada} hspace{.5cm} longrightarrow hspace{.5cm} fleft(frac{pi}{8}right)= ln tan 2cdot left(frac{pi}{8}right)=0

Obtener la ecuación de la recta tangente

displaystyle text{Punto} hspace{.5cm} longrightarrow hspace{.5cm}left(frac{pi}{8},0right)

text{Pendiente} hspace{.5cm} longrightarrow hspace{.5cm} m=4

displaystyle text{Ecuacion de la recta} hspace{.5cm} longrightarrow hspace{1cm} y-0=4left( x-frac{pi}{8}right) hspace{1cm} y=4x-frac{pi}{2}

 

2 Recta normal

 

displaystyle text{Punto} hspace{.5cm} longrightarrow hspace{.5cm}left(frac{pi}{8},0right)

displaystyle text{Pendiente} hspace{.5cm} longrightarrow hspace{.5cm} m_n=-frac{1}{m_t}=-frac{1}{4}

displaystyle text{Ecuacion de la recta} hspace{.5cm} longrightarrow hspace{1cm} y-0=-frac{1}{4} left(x-frac{pi}{8}right) hspace{1cm} y=-frac{x}{4}+frac{pi}{32}

 

8 Dada la ecuación 9x^2+ y^2= 18, hallar la ecuación de la recta tangente que sea paralela a la recta de ecuación 3x - y + 7 = 0.

 

La ecuación 3x - y + 7 = 0, al despejar y se puede reescribir

y= 3x + 7 hspace{1cm}Rightarrowhspace{1cm} m=3

Derivando implícitamente la ecuación tenemos:

displaystyle y'=frac{-18x}{2y}=frac{-9x}{y}

Y como la derivada nos da la pendiente de la recta tangente, la igualaremos a 3 pues es el valor que buscamos que tenga

displaystyle frac{-9x}{y}=3 hspace{2cm} y=-3x

Tenemos entonces el sistema de ecuaciones de 2x2

left{begin{matrix} 9x^2+ y^2= 18\ y=-3x       end{matrix}right.

Resolvemos, sustituyendo la segunda ecuación en la primera

9x^2+ (-3x)^2= 18 hspace{2cm} 18x^2=18 hspace{2cm} x=pm 1

Para obtener la ordenada de los puntos sólo basta con sustituir el valor de x en la ecuación más sencilla del sistema

y=-3cdot 1 hspace{2cm} y=pm -3

y=-3cdot (-1) hspace{2cm} y=pm 3

Obtenemos la ecuación de la recta en estos puntos

 

1 x=1

text{Punto} hspace{.5cm} longrightarrow hspace{.5cm}(1,-3)

text{Pendiente} hspace{.5cm} longrightarrow hspace{.5cm} m=3

text{Ecuaci'on de la recta} hspace{.5cm} longrightarrow hspace{1cm} y+3=3(x-1) hspace{1cm} y=3x-6

2 x=-1

text{Punto} hspace{.5cm} longrightarrow hspace{.5cm}(-1,3)

text{Pendiente} hspace{.5cm} longrightarrow hspace{.5cm} m=3

text{Ecuaci'on de la recta} hspace{.5cm} longrightarrow hspace{1cm} y-3=3(x+1) hspace{1cm} y=3x+6

 

Determina los parámetros

 

9 Determinar los valores del parámetro b, para qué las tangentes a la curva de la función f(x) = b^2x^3 + bx^2 + 3x + 9 en los puntos de abscisas x = 1, x = 2 sean paralelas.

 

La derivada de f(x) es

f'(x) = 3b^2x^2 + 2bx + 3

Para que sean paralelas se tiene que cumplir que las derivadas en x = 1 y x = 2 sean iguales. Es decir

f'(1) = f'(2)

Esto es

3b^2 + 2b + 3 = 12b^2 + 4b + 3

9b^2+ 2b = 0

b(9b+ 2) = 0

Una solución es

b = 0

La otra es

displaystyle 9b+2 = 0hspace{1cm} 9b=-2 hspace{1cm} b=-frac{2}{9}

 

10 Hallar los coeficientes de la ecuación y = ax^2 + bx + c, sabiendo que su gráfica pasa por (0, 3) y por (2, 1), y en este último punto su tangente tiene de pendiente 3.

 

Obtenemos 2 ecuaciones al sustituir el valor de la abscisa en y e igualarla al valor de la ordenada de los puntos que pasan por la gráfica

text{Pasa por } (0, 3) hspace{.5cm}rightarrow hspace{.5cm} acdot 0^2 + bcdot 0 + c = 3 hspace{.5cm}rightarrow hspace{.5cm}3 = c

text{Pasa por } (2, 1) hspace{.5cm}rightarrow hspace{.5cm} acdot 2^2 + bcdot 2 + c = 1 hspace{.5cm}rightarrow hspace{.5cm} 4a + 2b + c=1

Además la pendiente de la tangente está dada por

y'= 2ax + b

Si la pendiente en el punto (2, 1) es 3, esto quiere decir que

4a + b=3

Resolviendo el sistema de 3x3 se obtiene:

a=2hspace{1cm} b=-5 hspace{1cm} c=3

Y la ecuación queda

y = 2x^2 -5x + 3

 

11 La gráfica de la función y = ax^2 + bx + c pasa por los puntos (2, 3) y (3, 13), siendo la tangente a la misma en el punto de abscisa 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Hallar el valor numérico de a, b y c.

 

Obtenemos 2 ecuaciones al sustituir el valor de la abscisa en y e igualarla al valor de la ordenada de los puntos que pasan por la gráfica

text{Pasa por } (2, 3) hspace{.5cm}rightarrow hspace{.5cm} acdot 2^2 + bcdot 2 + c = 3 hspace{.5cm}rightarrow hspace{.5cm}4a+2b+c=3

text{Pasa por } (3, 13) hspace{.5cm}rightarrow hspace{.5cm} acdot 3^2 + bcdot 3 + c = 13 hspace{.5cm}rightarrow hspace{.5cm} 9a + 3b + c=13

Además la pendiente de la tangente está dada por

y'= 2ax + b

Si la pendiente en el punto x=1 es paralela a la bisectriz cuadrante, esto quiere decir que la pendiente es m=1

2a + b=1

Resolviendo el sistema se obtiene:

a=3hspace{1cm} b=-5 hspace{1cm} c=1

Y la ecuación queda

y = 3x^2 -5x + 1

 

12 Dada la función  f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, determina a, b, c y d; sabiendo que la curva pasa por los puntos (-1, 2) (2, 3). Además las tangentes en los puntos de abscisa 1 y [/latex]-2[/latex] son paralelas al eje OX.

 

Obtenemos 2 ecuaciones al sustituir el valor de la abscisa en f(x) e igualarla al valor de la ordenada de los puntos que pasan por la gráfica

text{Pasa por } (-1,2) hspace{.5cm}rightarrow hspace{.5cm} f(-1)=2 hspace{.5cm}rightarrow hspace{.5cm} -a+b-c+d=2

text{Pasa por } (2,3) hspace{.5cm}rightarrow hspace{.5cm} f(2)=3 hspace{.5cm}rightarrow hspace{.5cm} 8a + 4b + 2c+d=3

Además la pendiente de la tangente está dada por

y'= 3ax^2 + 2bx+c

Si la pendiente en el punto x=1 es paralela a la bisectriz cuadrante, esto quiere decir que la pendiente es m=1

f′(1) = 0 hspace{1cm}rightarrow hspace{1cm} 3a + 2b + c = 0

f′(-2) = 0 hspace{1cm}rightarrow hspace{1cm}12a - 4b + c = 0

Resolviendo el sistema de 4x4 se obtiene:

displaystyle a=-frac{2}{9}hspace{1cm} b=-frac{1}{3} hspace{1cm} c=frac{4}{3} hspace{1cm} d=frac{31}{9}

Y la ecuación queda

displaystyle f(x) = -frac{2}{9}x^3 -frac{1}{3}x^2+ frac{4}{3} x+ frac{31}{9}

 

Encuentra el ángulo o área

 

13 Dada la función f(x) = tan x, hallar el ángulo que forma la recta tangente a la gráfica de la función f(x) en el origen, con el eje de abscisas.

 

La recta tangente a la gráfica tiene pendiente

f′(x) = 1 + tan^2 x

En el origen esta pendiente es

m= f′(0) = 1 + tan^2 0 = 1

Recodermos que la pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo que forma con el eje OX

m=tan alpha

Entonces

alpha = arctan 1= 45^circ

 

14 Hallar el área del triángulo determinado por los ejes de coordenadas y la tangente a la curva xy = 1 en el punto x = 1.

 

Si xy=1, entonces displaystyle y=frac{1}{x}

La pendiente de la recta tangente a la curva está dada por la derivada

displaystyle y'=-frac{1}{x^2}

Evaluamos para obtener la pendiente en x=1

displaystyle y'=-frac{1}{1^2}=-1

La ordenada del punto se obtiene evaluando en la función original

displaystyle y=frac{1}{1}=1

Finalmente

text{Punto} hspace{.5cm} longrightarrow hspace{.5cm}(1,1)

text{Pendiente} hspace{.5cm} longrightarrow hspace{.5cm} m=-1

text{Ecuacion de la recta} hspace{.5cm} longrightarrow hspace{1cm} y-1=-(x-1) hspace{1cm} y=-x+2

Intersección con el eje OX

0=-x+2 hspace{2cm} x=2

Un vértice es (2,0)

Intersección con el eje OY

y=-0+2=2

Otro vértice es (0,2)

Y la figura es como a continuación

recta tangente a una curva representación gráfica

Como es un triángulo rectángulo, su base y altura están dados por los catetos, que en este caso ambos miden 2. El área es

displaystyle S=frac{bcdot h}{2}=frac{2cdot 2}{2}=2u^2

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗