Cálculo de dominio de funciones

 

1Calcular el dominio de f(x) = \cfrac{2x^2 - 3}{(x^2 - 9)(x^2 - 4)}

1Igualamos a cero el denominador

 

(x^2 - 9)(x^2 - 4) = 0

 

2Factorizamos el denominador

 

(x - 3)(x + 3)(x - 2)(x + 2) = 0

 

3Igualando los factores a cero se obtienen las raíces

 

x = \pm 2, \ \ \ x =\pm 3

 

4El dominio es

 

\mathbb{R} - \{\pm 2, \pm 3\}

 

2Calcular el dominio de f(x) = \left\{ \begin{array}{lcl} \cfrac{x}{x + 4} & & si \ x<0 \\\\  \sqrt{\cfrac{3}{x - 3}} & & si \ x>0  \end{array} \right.

1En el primer trozo se tiene que cumplir que el denominador sea distinto de cero, lo cual se cumple para x = -4, luego el dominio para la primera parte es

 

(-\infty, -4) \cup (-4, 0)

 

2En el segundo trozo al ser 3 una constante siempre será positivo, solo estudiamos que el denominador sea mayor que cero

 

x - 3 > 0

 

Luego el dominio para la segunda parte es

 

(3, \infty)

 

3El dominio de la función es

 

(-\infty, -4) \cup (-4, 0) \cup (3, \infty)

 

Simetría de funciones

 

1Indica si la función f(x) = \cfrac{x^2}{1 - x^2} es par o impar.

1Sustituimos -x en la función

 

f(-x) = \cfrac{(-x)^2}{1 - (-x)^2}

 

2Realizamos los desarrollos

 

f(-x) = \cfrac{x^2}{1 - x^2} = f(x)

 

3Como f(-x) = f(x), la función es simétrica respecto al eje de ordenadas. Concluimos que la función es par.

 

 

2Indica si la función f(x) = \cfrac{x}{1 - x^2}es par o impar.

1Sustituimos -x en la función

 

f(-x) = \cfrac{(-x)}{1 - (-x)^2}

 

2Realizamos los desarrollos

 

f(-x) = -\cfrac{x}{1 - x^2} = -f(x)

 

3Como f(-x) = -f(x), la función es simétrica respecto al origen. Concluimos que la función es impar.

 

Crecimiento y decrecimiento de funciones

 

1Estudia el crecimiento o decrecimiento de la función f(x) = |x| en x = -2

1Tomamos un incremento h = 0.001 en el punto x = -2

 

f (-2 + 0.001) = -1.999

 

2La función será creciente o decreciente en el punto x = -2 si lo es en el intervalo [-2, -1.999]. Para comprobarlo, calculamos la tasa de variación en el intervalo dado

 

f(-1.999) - f(-2) = 1.999 - 2 = -0.001 < 0

 

3Como la tasa de variación es negativa en [-2, -1.999], concluimos que la función es decreciente.

 

 

2Estudia el crecimiento o decrecimiento de la función f(x) = 1 + \sqrt{x + 3} en x = 0

1Tomamos un incremento h = 0.001 en el punto x = 0

 

f (0 + 0.001) = 1 + \sqrt{3.001}

 

2La función será creciente o decreciente en el punto x = 0 si lo es en el intervalo [0, 0.001]. Para comprobarlo, calculamos la tasa de variación en el intervalo dado

 

f(0.001) - f(0) = 1 + \sqrt{3.001} - (1 + \sqrt{3}) > 0

 

3Como la tasa de variación es positiva en [0, 0.001], concluimos que la función es creciente.

 

Función inversa

1Hallar la función inversa de f(x) = \sqrt[3]{x - 1}

1Se escribe la función con x e y

 

y = \sqrt[3]{x - 1}

 

2Elevamos al cubo en los dos miembros

 

y^3 = x - 1

 

3Se despeja la variable x en función de la variable y

 

x = y^3 + 1

 

4Se intercambian las variables

 

f^{-1}(x) = x^3 + 1

 

 

2Dadas las funciones siguientes f(x) = \cfrac{x + 2}{2x + 1}, \ \ \ g(x) = \sqrt{x}

 

Calcular:

Ag \circ f

Bf \circ g

Cf^{-1}

Dg^{-1}

EProbar que: f^{-1} \circ f = i

ACalculamos la composición g \circ f

 

g \circ f = g \left( f(x) \right) = g \left( \cfrac{x + 2}{2x + 1} \right) = \sqrt{\cfrac{x + 2}{2x + 1}}

 

BCalculamos la composición f \circ g

 

f \circ g = f(g(x)) = f(\sqrt{x}) = \cfrac{\sqrt{x} + 2}{2\sqrt{x} + 1}

 

Cf^{-1}

 

Se escribe la función con x e y

 

y = \cfrac{x + 2}{2x + 1}

 

Se despeja la variable x en función de la variable y

 

x = \cfrac{2 - y}{2y - 1}

 

Se intercambian las variables

 

f^{-1}(x) = \cfrac{2 - x}{2x - 1}

 

Dg^{-1}

 

Se escribe la función con x e y

 

y = \sqrt{x}

 

Elevamos al cuadrado en los dos miembros y despejamos x

 

y^2 = x

 

Se intercambian las variables

 

g^{-1}(x) = x^2

 

EProbar que: f^{-1} \circ f = i

Realizamos la composición de funciones

 

f^{-1} \circ f = f^{-1}(f(x)) = \cfrac{2 - \cfrac{x + 2}{2x + 1}}{ 2 \cdot \cfrac{x + 2}{2x + 1} - 1}

 

Realizamos las operaciones

 

f^{-1} \circ f = \cfrac{\cfrac{4x + 2 - x - 2}{2x + 1}}{\cfrac{2x + 4 -2x - 1}{2x + 1}}

 

Simplificamos

 

f^{-1} \circ f = \cfrac{3x}{3} = x

 

Se cumple que la composición de una función con la función inversa es la función identidad

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗