Continuidad en un intervalo cerrado

 

Una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] si:

1f es continua en x, para todo x perteneciente al intervalo abierto (a, b).
2f es continua en x por la derecha:

 f(x)=lim_{x'rightarrow x^{+}}f(x').

3f es continua en x por la izquierda:

 f(x)=lim_{x'rightarrow x^{-}}f(x').

Una propiedad importante que se deriva del hecho que f es continua en [a, b] es la siguiente.

Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f está acotada en dicho intervalo.

 

Determine si
 begin{equation*} f(x)= begin{cases} x^2 & text{si $x<2$}  4 & text{si $xgeq 2$} end{cases} end{equation*}
es continua en el intervalo [0, 4].

Comenzamos analizando la gráfica de la función f.
Gráfica de función definida a trozos

Podemos observar que f es continua en todos los puntos de [0, 4]. Para realizar este análisis a través de la definición, consideremos primero lo siguiente:

1 Dado que f(x)=x^2 en [0,2) está definida como un polinomio, se sigue que f es continua en ese subintervalo debido a que una función polinómica es continua; en el punto x=0 la función f es continua por la derecha por ser un polinomio.

2 En el intervalo (2,4) la función es continua ya que es la función constante igual a cuatro en todo el intervalo (o también puede considerarse como como una función polinómica de grado de cero). En el x=4, la función es continua por la izquierda.

Lo que resta para que f sea continua en todos los puntos del intervalo es estudiar la continuidad en el punto x=2.

Según la definición, para determinar esto es necesario que los límites laterales coincidan con el valor de la función evaluada en el punto, en este caso, f(2)=4. Los límites laterales son

 begin{eqnarray*} lim_{xrightarrow 2^{-}}f(x)&=&lim_{xrightarrow 2^{-}}x^2=4, lim_{xrightarrow 2^{+}}f(x)&=&lim_{xrightarrow 2^{+}}=4. end{eqnarray*}

Por lo tanto, f es continua en el intervalo [0, 4].

>

La plataforma que conecta profes particulares y estudiantes

¿Te ha gustado este artículo? ¡Califícalo!

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 4,00 (12 nota(s))
Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗