Representar las siguientes funciones, estudiando los puntos siguientes 

 

  • Dominio
  • Simetría
  • Puntos de corte con los ejes
  • Asíntotas y ramas parabólicas
  • Crecimiento y decrecimiento
  • Máximos y mínimos
  • Concavidad y convexidad
  • Puntos de inflexión

 

1   \displaystyle  f(x)=3x-x^3

 

 

 

Representar la siguiente función:

 

\displaystyle  f(x)=3x-x^3

 

 

Dominio

 

\displaystyle  D= \mathbb{R}

 

 

Simetría

 

 \displaystyle f(-x)=3(-x)-(-x^3) = (3x-x^3)=f(x)

 

Simetría respecto al origen, es decir, función impar

 

Puntos de corte con los ejes

 

Puntos de corte con OX :

 

\displaystyle  3x-x^3=0 ; \ \ \ x= \pm \sqrt{3} ; \ \ \ x=0 ;

 

 \displaystyle  (-\sqrt{3}, 0 ) ; \ \ \ (0,0) ; \ \ \  (\sqrt{3},0) ;

 

Punto de corte con OY:

 

\displaystyle  (0,0)

 

Asíntotas

 

No tiene asíntotas.

 

 

Ramas parabólicas

 

     \[ \lim_{x \to \infty}\frac{3x-x^3}{x} = \infty  ; \ \ \  \lim_{x \to \infty}\frac{3x-x^3}{x} = -\infty \]

 

Crecimiento y decrecimiento

 

\displaystyle  f´(x)=3-3x^2

 

\displaystyle  f'(x)=0 ; \ \ \ x=-1 \ \ \ x=1;

 

Segmentos crecientes y decrecientes de la función

 

Creciente:

 

\displaystyle  (-1,1)

 

Decreciente:

 

\displaystyle  (- \infty,-1)\cup (1,\infty)

 

Mínimos

 

\displaystyle  (- 1,-2)

 

Máximos

 

(1,2)

 

 

Concavidad y convexidad

 

\displaystyle  f''(x)=-6x; \ \ \ -6x=0; \ \ \ x=0 ;

 

Segmentos cóncavos y convexos de la función

 

Segmento convexo

 

Segmento cóncavo

 

 

Puntos de inflexión

 

 (0, 0)

 

Representación gráfica

 

Gráfica de la función

 

 

 

 

2 \displaystyle  f(x)=x^4 -2x^2 -8

 

 

Representar la siguiente función:

 

\displaystyle  f(x)=x^4 -2x^2 -8

 

 

Dominio

 

D=\mathbb{R}

 

 

Simetría

 

\displaystyle  f(-x)=(-x)^4 -2(-x)^2 -8 = x^4 -2x^2 -8 = f(x)

 

Simetría respecto al eje OY , es decir, la función es par.

 

 

Puntos de corte con los ejes

 

Puntos de corte con OX :

 

 \displaystyle  x^4-2x^2-8=0 ; \ \ \ x= \pm2 ;

 

\displaystyle  (-2,0); \ \ \  (2,0);

 

Punto de corte con OY :

 

\displaystyle  f(0)=-8

 

\displaystyle  (0,-8)

 

 

Asíntotas

 

No tiene asíntotas.

 

 

Ramas parabólicas

 

     \displaystyle  \[ \lim_{x \to \infty}\frac{x^4-2x^2-8}{x} = \infty; \ \ \  \lim_{x \to -\infty}\frac{x^4-2x^2-8}{x} = -\infty \]

 

Crecimiento y decrecimiento

 

\displaystyle  f'(x)=4x^3-4x; \ \ \ 4x^3-4x=0; \ \ \ x=0 ; \ \ \ x= \pm 1

 

Segmentos crecientes y decrecientes de una función

 

Segmento creciente

 

Segmento decreciente

 

 

Mínimos

 

Mínimos de la función

 

 

Máximos

 

Máximo de la función

 

 

Concavidad y convexidad

 

\displaystyle  f''(x)=12x^2-4; \ \ \ 12x^2-4=0 ; \ \ \ x= \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}

 

Segmentos cóncavos y convexos de una función

 

Segmento convexo de la función

 

Segmento cóncavo de la función

 

 

Puntos de inflexión

 

\displaystyle (- \frac{ \sqrt{3}}{3} , - \frac{77}{9} ) \ \ \ \ (   \frac{\sqrt{3}}{3} , -\frac{77}{9}  )

 

Representación gráfica

 

La gráfica de la función

 

 

3  \displaystyle  f(x)= \frac{x^3}{(x-1)^2}

 

 

 

Representar la siguiente función:

 

\displaystyle  f(x)= \frac{x^3}{(x-1)^2}

 

 

Dominio

 

\displaystyle  (x-1)^2=0; \ \ \ x=1; \ \ \ D=\mathbb{R}- \{ 1 \} ;

 

Simetría

 

\displaystyle  f(x)= \frac{-x^3}{(-x-1)^2} No presenta simetría

 

 

Puntos de corte con los ejes

 

Puntos de corte con  OX

 

\displaystyle  \frac{x^3}{(x-1)^2}=0  \ \ \ (0,0)

 

Punto de corte con OY

 

\displaystyle  (0,0)

 

 

Asíntotas

 

Asíntota horizontal:

 

     \[ \lim_{x \to +\infty}\frac{x^3}{(x-1)^2} = +\infty ; \ \ \  \lim_{x \to -\infty}\frac{x^3}{(x-1)^2} = -\infty \]

 

No tiene asintota horizontal

 

Asíntotas verticales:

 

     \displaystyle  \[ \lim_{x \to 1}\frac{x^3}{(x-1)^2} = \infty ;  \ \ \   x=1\]

 

 

Asíntota oblicua:

 

     \displaystyle \[m= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^3}{(x-1)^2}} {x}  = 1 \]

 

      \displaystyle \[ n= \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{(x-1)^2}-x  = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2-x}{x^2-2x+1}=2  \]

 

y=x+2

 

 

 

Crecimiento y decrecimiento

 

 \displaystyle  f'(x)= \frac{x^3-3x^2}{(x-1)^3} ; \ \ \ \frac{x^3-3x^2}{(x-1)^3}=0

 

 \displaystyle  x=0; \ \ \ x=3

 

Segmentos decrecientes y crecientes de la función

 

Creciente: (-\infty,0) \cup (0,1) \cup (3,\infty)

 

Decreciente:   (1,3)

 

 

Mínimos

 

 (3, \frac{27}{4})

 

Concavidad y convexidad

 

 \displaystyle f''(x)= \frac{6x}{(x-1)^4} ; \ \ \ \frac{6x}{(x-1)^4}=0

 

x=0

 

Segmentos convexos y cóncavos de la función

 

Unión de segmentos convexos

 

Segmento cóncavo de una función

 

Puntos de inflexión

 

P.I.(0,0)

 

Representación gráfica

 

Gráfica de las asíntotas

 

 

4\displaystyle f(x)= \frac{x^4+1}{x^2}

 

 

 

Representar la siguiente función:

 

\displaystyle f(x)= \frac{x^4+1}{x^2}

 

 

Dominio

 

\displaystyle x^2=0 ; \ \ \ x=0; \ \ \ D=\mathbb{R}- \{ 0 \}

 

Simetría

 

\displaystyle f(-x)= \frac{(-x)^4+1}{(-x)^2} = f(x)

 

Simetría respecto al eje OY , es decir, se trata de una función par.

 

 

Puntos de corte con los ejes

 

Puntos de corte con OX :

 

\displaystyle \frac{x^4+1}{x^2}=0 ; \ \ \ x^4+1=0; \ \ \ x= \pm \sqrt[4]{-1}

 

No hay puntos de corte con el eje OX

 

Punto de corte con OY :

 

 \displaystyle f(0) = \frac{0^4 +1}{0^2}= \frac{1}{0}

 

No hay puntos de corte con el eje OY

 

Asíntotas

 

Asíntota horizontal:

 

     \displaystyle \[ \lim_{x \to +\infty}\frac{x^4+1}{x^2} = +\infty ; \ \ \  \lim_{x \to -\infty}\frac{x^4+1}{x^2} = -\infty \]

 

Asíntotas verticales:

     \displaystyle  \[ \lim_{x \to 0}\f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{x^4+1}{x^2} = \infty ; \ \ \ x=0 \]

 

Asíntota oblicua:

 

     \[ m= \lim_{x \to \infty }  \frac{ \frac{x^4+1}{x^2} }{x} = \lim_{x \to \infty } \frac{x^4+1}{x^3}= \infty  \]

 

No tiene

 

Ramas parabólicas

 

     \displaystyle \[ m= \lim_{x \to \infty }  \frac{ \frac{x^4+1}{x^2} }{x} = \frac{x^4+1}{x^3} = - \infty    \]

 

     \displaystyle  \[ n= \lim_{x \to \infty }  \frac{ \frac{x^4+1}{x^2} }{x} = \frac{x^4+1}{x^3} =  \infty    \]

 

Crecimiento y decrecimiento

 

f'(x)= \frac{2(x^4-1)}{x^3}; \ \ \ \frac{2(x^4-1)}{x^3}; \ \ \ x= \pm 1

 

Crecimiento y decrecimiento de la función

 

Unión de segmentos crecientes de la función

 

Unión de segmentos decrecientes de la función

 

Mínimos

 

Mínimos relativos de la función

 

Concavidad y convexidad

 

\displaystyle  f''(x)= \frac{2(x^4+3)}{x^4}; \ \ \ 2(x^4+3)=0; \ \ \ x= \pm \sqrt[4]{-3}

 

Segunda derivada, segmentos cóncavos y convexos

 

Unión de segmentos convexos de la ecuación

 

 

Puntos de inflexión

 

No hay punto de inflexión.

 

 

Representación gráfica

 

Gráfica de la función con una misma asíntota

 

 

5  \displaystyle  f(x)=\frac{x^2}{2-x}

 

 

 

Representar la siguiente función:

 

\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{2-x}

 

Dominio

 

 \displaystyle  2-x=0; \ \ \ x=2; \ \ \ D=\mathbb{R} - \{  2\} ;

 

Simetría

 

 \displaystyle f(-x) = \frac{(-x)^2}{2-(-x)} = \frac{x^2}{2+x}

 

No presenta simetría

 

Puntos de corte con los ejes

 

Puntos de corte con OX :

 

\displaystyle \frac{x^2}{2-x}=0 ; \ \ \ (0,0)

 

Punto de corte con OY :

 

 \displaystyle  f(0)=\frac{0^2}{2-0}=0

 

\displaystyle  (0,0)

 

Asíntotas

 

Asíntota horizontal:

 

    \displaystyle  \[ \lim_{x \to \infty }\frac{x^2}{(2-x)} = \infty ; \]

 

No tiene

 

Asíntotas verticales:

 

     \displaystyle  \[ \lim_{x \to 2 }\frac{x^2}{(2-x)} = \infty ; \ \ \ x=2  \]

 

Asíntota oblicua

 

     \displaystyle  \[ m= \lim_{x \to \infty }\frac{ \frac{x^2}{2-x}}{x} = -1 \]

 

     \displaystyle \[ n= \lim_{x \to \infty } \frac{x^2}{(2-x)}+x = -2 \]

 

\displaystyle  y=-x-2

 

Crecimiento y decrecimiento

 

 \displaystyle f'(x) = \frac{4x-x^2}{(2-x)^2}; \ \ \ \frac{4x-x^2}{(2-x)^2}=0; \ \ \ x=0; \ \ \ x=4

 

Primera derivada para determinar segmentos crecientes y decrecientes

 

Segmentos crecientes, Unión

 

Segmentos decrecientes, Unión

 

Mínimos

 

Mínimo de la función

 

Máximos

 

\displaystyle  ( 4, -8)

 

Concavidad y convexidad

 

\displaystyle  f''(x)= \frac{8}{(2-x)^3}; \ \ \ \frac{8}{(2-x)^3}=0 ;

 

Sin solución.

 

Criterio de segunda derivada

 

Segmento de la función que es convexo

 

Segmento de la función que es cóncavo

 

Puntos de inflexión

 

No hay punto de inflexión.

 

Representación gráfica

 

Gráfica de las asíntotas de la función

 

 

6   \displaystyle f(x) = \frac{x}{1+x^2}

 

 

 

Representar la siguiente función:

 

 \displaystyle  f(x) = \frac{x}{1+x^2}

 

Dominio

 

\displaystyle 1+x^2=0; \ \ \ D= \mathbb{R}

 

 

Simetría

 

 \displaystyle f(-x) = \frac{-x}{1+(-x^2)} = f(x)

 

Simetría respecto al origen, es decir, se trata de una función impar.

 

Puntos de corte con los ejes

 

Punto de corte con OX :

 

 \displaystyle \frac{x}{1+x^2}; \ \ \ (0,0)

 

Punto de corte con OY :

 

 \displaystyle f(0) = \frac{0}{1+o^2}=0

 \displaystyle (0,0)

 

Asíntotas

 

Asíntota horizontal:

 

     \displaystyle \[ \lim_{x \to \infty }\frac{x}{1+x^2} = 0 ; \ \ \ y=0 \]

 

No tiene asíntotas verticales ni oblicuas.

 

Crecimiento y decrecimiento

 

 

 \displaystyle f'(x) = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}; \ \ \   \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}=0 ; \ \ \ x= \pm 1

 

Función decreciente , creciente

 

Segmento creciente de la gráfica

 

Unión de segmentos crecientes de la gráfica

 

Mínimos

 

Punto mínimo de la gráfica

 

Máximos

 

Punto máximo de la gráfica

 

 

Concavidad y convexidad

 

 

\displaystyle f''(x)= \frac{2x^3-6x}{(1+x^2)^3}; \ \ \ \frac{2x^3-6x}{(1+x^2)^3}=0 ; \ \ \ x=0; \ \ \ x= \pm \sqrt{3}

 

Convexo, conexo

 

Unión de intervalos convexos

 

Unión de intervalos cóncavos

 

 

Puntos de inflexión

 

Puntos de inflexión de la gráfica

 

 

Representación gráfica

 

Representación de la gráfica

 

 

7   \displaystyle f(x) = \frac{x^2-3x+2}{x^2+1}

 

 

 

Representar la siguiente función:

 

\displaystyle f(x) = \frac{x^2-3x+2}{x^2+1}

 

 

Dominio

 

\displaystyle x^2+1=0; \ \ \ x= \pm \sqrt{-1}; \ \ \ D= \mathbb{R} ;

 

Simetría

 

 \displaystyle \frac{x^2+3x+2}{x^2+1}

No presenta simetría

 

Puntos de corte con los ejes

 

Puntos de corte con OX :

 

 \displaystyle \frac{x^2-3x+2}{x^2+1}=0; \ \ \ x^2-3x+2=0; \ \ \ (2,0) \ \ \ (1,0)

 

Punto de corte con OY :

 

\displaystyle   f(0)= \frac{(0)^2+3 \cdot (0)+2}{(0)^2+1}; \ \ \ (0,2)

 

Asíntotas

Asíntota horizontal:

 

     \displaystyle \[  \lim_{x \to \infty} \frac{x^2-3x+2 } {x^2+1}  = 1 ; \ \ \ y=1 \]

 

No hay asíntotas verticales ni oblicuas.

 

Crecimiento y decrecimiento

 

 \displaystyle f'(x)= \frac{3x^2-2x-3}{(x^2+1)^2}; \ \ \ \frac{3x^2-2x-3}{(x^2+1)^2}=0;

 

 \displaystyle x= \frac{1+\sqrt{10} }{3}; \ \ \ \ x= \frac{1- \sqrt{10}}{3};

 

Intervalos crecientes y decrecientes

 

Creciente:

 

Unión de intervalos crecientes de la gráfica

 

 

Intervalo decreciente

 

Máximos

 

Punto máximo de la gráfica

 

Mínimos

 

Punto mínimo de la gráfica

 

Con los datos obtenidos representamos:

 

Representación gráfica de la función

 

 

8    \displaystyle  f(x)= x+ \sqrt{x}

 

 

 

Representar la siguiente función:

 

 \displaystyle f(x)= x+ \sqrt{x}

 

Dominio

 

 \displaystyle x+ \sqrt{x}=0 ; \ \ \ x \geq 0

 

Dominio

 

Simetría

 

 \displaystyle f(-x)= -x + \sqrt{-x}

 

No presenta simetría.

 

 

Puntos de corte con los ejes

 

Puntos de corte con OX :

 

 \displaystyle x+ \sqrt{x}=0 ; \ \ \ x=0

  \displaystyle  (0,0)

 

Punto de corte con OY :

 

  f(0)=0+\sqrt{0} = 0

 

  (0,0)

 

 

Asíntotas

 

No tiene asíntotas.

 

Crecimiento y decrecimiento

 

 \displaystyle f'(x)=1+ \frac{1}{2 \sqrt{x} } ; \ \ \ \frac{2 \sqrt{x} +1}{2 \sqrt{x}}=0;

 

 \displaystyle  2 \sqrt{x} +1=0 ; \ \ \ \ \sqrt{x}= - \frac{1}{2};

 

Sin solución

 

Una gráfica creciente

 

Intervalo creciente de la gráfica

 

 

Máximo y mínimos

 

No existen extremos locales.

 

Concavidad y convexidad

 

 \displaystyle  f''(x)=\frac{-1}{ 4x \sqrt{x} } ; \ \ \ \frac{ -1}{4x \sqrt{x}}=0;

 

Sin solución

 

Calculo del intervalo cóncavo de la gráfica

 

Intervalo cóncavo de la gráfica

 

 

Puntos de inflexión

 

No hay punto de inflexión.

 

Representación gráfica

 

Gráfica sin puntos de inflexion

 

 

9 \displaystyle f(x) = e^{\frac{1}{x}}

 

 

 

Representar la siguiente función:

 

 \displaystyle f(x) = e^{\frac{1}{x}}

 

Dominio

 

 \displaystyle D= \mathbb{R} -\{ 0 \}

 

 

Simetría

 

 \displaystyle  f(-x) = e^{\frac{1}{-x}}

 

No presenta simetría.

 

 

Puntos de corte con los ejes

 

Puntos de corte con OX :

 

  \displaystyle  e^{\frac{1}{x}} =0

No hay puntos de corte con el eje OX .

 

Punto de corte con OY:

 

 \displaystyle f(0) = e^{\frac{1}{0}}

 

No hay puntos de corte con el eje OY .

 

No tiene puntos de corte con ninguno de los ejes

 

Asíntotas

 

Asíntota horizontal:

 

    \displaystyle \[ \lim_{x \to \infty  } e^{\frac{1}{x}} = e^0 =1 ;  \ \ \   y=1 \]

 

Asíntotas verticales

 

    \displaystyle  \[ \lim_{x \to 0  } e^{\frac{1}{x}} = \infty  ;  \ \ \   x=0 \]

 

No tiene asíntotas oblicuas.

 

 

Crecimiento y decrecimiento

 

 \displaystyle f'(x)= -\frac{1}{x^2} e^{\frac{1}{x} }; \ \ \ -\frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}}=0; \ \ \ e^{\frac{1}{x}}=0;

Sin solución.

 

Segmentos decrecientes

 

Unión de intervalos decrecientes en una función

 

 

Máximo y mínimos

 

No existen extremos locales.

 

Concavidad y convexidad

 

\displaystyle f'' (x)= \frac{e^{\frac{1}{x}}(2x+1) }{x^4}; \ \ \ \frac{e^{\frac{1}{x} }(2x+1)}{x^4}=0 ;

 

Calculo de intervalos cóncavos y convexos

 

Intervalos convexos y cóncavos

 

Intervalos unidos convexos

 

Intervalo cóncavo de la ecuación

 

 

Puntos de inflexión

 

Punto de inflexión para la gráfica

 

 

Representación gráfica

 

Gráfica de la función con asíntotas

 

 

10  \displaystyle f(x) =(x-1)e^{-x}

 

 

 

Representar la siguiente función:

 

\displaystyle   f(x) =(x-1)e^{-x}

 

 

Dominio

 

  \displaystyle  D= \mathbb{R}

 

 

Simetría

 

 \displaystyle f(-x) = (-x-1)e^x

 

No presenta simetría.

 

 

Puntos de corte con los ejes

 

Puntos de corte con OX :

 

 \displaystyle  (x-1)e^{-x}=0 ; \ \ \ (1,0)

 

Punto de corte con OY :

 

 \displaystyle f(0)= (0-1)e^{-0} ; \ \ \ (0,-1)

 

 

Asíntotas

 

Asíntota horizontal:

 

    \displaystyle \[ \lim_{x \to \infty} (x-1)e^{-x} =  \lim_{x \to \infty} \frac{x-1}{e^x} = 0 ; \ \ \ y=0  \]

 

No hay asíntotas verticales ni oblicuas.

 

 

Crecimiento y decrecimiento

 

\displaystyle f'(x)=e^{-x}(2-x); \ \ \ 2-x=0; \ \ \ x=2 ;

 

Calculando tramos crecientes y decrecientes

 

Tramo creciente

 

Tramo decreciente

 

Máximos

 

Punto máximo en la gráfica

 

 

Concavidad y convexidad

 

\displaystyle f''(x)=e^{-x}(x-3); \ \ \ x-3=0; \ \ \ x=3 ;

 

Calculando los tramos cóncavos y convexos de la función

 

Tramo Convexo

 

Tramo cóncavo

 

 

Puntos de inflexión

 

 P.I.(3,2e^{-a}

 

 

Representación gráfica

 

Representación de la gráfica según la ecuación

 

 

11 \displaystyle f(x)= \frac{\ln x}{x}

 

 

 

Representar la siguiente función:

 

 \displaystyle f(x)= \frac{\ln x}{x}

 

Dominio

 

 \displaystyle  x>0 ; \ \ \ D=(0, \infty )

 

 

Simetría

 

\displaystyle f(-x)= \frac{\ln (-x) }{ -x }

 

No presenta simetría.

 

 

Puntos de corte con los ejes

 

Puntos de corte con OX :

 

 \displaystyle \frac{\ln x}{x}=0; \ \ \ \ln x=0 ; \ \ \ e^0=x ;

 

 (1,0)

 

Punto de corte con OY :

 

 \displaystyle f(0)= \frac{\ln 0}{0}

 

No corta con el eje OY

 

 

Asíntotas

 

Asíntota horizontal:

 

    \displaystyle \[ \lim_{x \to \infty} \frac{ \ln x}{x}  = 0 ; \ \ \ y=0  \]

 

Asíntotas verticales

 

    \displaystyle \[ \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln x}{x}= \infty \ \ \ x=0  \]

 

 

Crecimiento y decrecimiento

 

\displaystyle f'(x)= \frac{1- \ln x}{x^2}; \ \ \ \frac{1- \ln x}{x^2}=0; \ \ \ 1-\ln x =0; \ \ \ x=e;

 

Tramo creciente y tramo decreciente de la función

 

tramo creciente de la función

 

Tramo decreciente de la función

 

Máximos

 

Punto máximo de la función en la gráfica

 

 

Concavidad y convexidad

 

\displaystyle f''(x)= \frac{2 \ln x -3}{x^3}; \ \ \ \frac{2 \ln x -3 }{x^3}=0;

 

\displaystyle 2 \ln x -3 = 0; \ \ \ ln x =\frac{3}{2}; \ \ \ e^{\frac{3}{2}}=x

 

 

Un segmento creciente y uno decreciente

 

Convexo

 

Cóncavo

 

 

Puntos de inflexión

 

Puntos de inflexión relacionados a e

 

Representación gráfica

 

Una gráfica

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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ESPERANZA DURAN
ESPERANZA DURAN
Invité
16 Jun.

ME ENCANTA VUESTRA PÁGINA, ME PARECE QUE LOS TEMAS ESTÁN MUY BIEN DESARROLLADOS Y CON MUCHAS ACTIVIDADES, LA CONSULTO A MENUDO PARA AYUDAR A MI HIJA DESDE CASA, GRACIAS POR TODO

Superprof
Superprof
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18 Jun.

¡Gracias Esperanza! Nos encanta saber que os está siendo útil nuestra página 🙂