Representar las siguientes funciones, estudiando los puntos siguientes 

  • Dominio
  • Simetría
  • Puntos de corte con los ejes
  • Asíntotas
  • Crecimiento y decrecimiento
  • Máximos y mínimos
  • Concavidad y convexidad
  • Puntos de inflexión


1   \displaystyle  f(x)=3x-x^3

DominioRecordemos que dependiendo del tipo de función podemos determinar el dominio. En este caso  \displaystyle  f(x)=3x-x^3 , es una función polinomial, entonces su dominio son todos los números reales, es decir,

    \[ \displaystyle  D = \mathbb{R} \]

 

Simetría

Para revisar la simetría comenzamos por evaluar la función en {-x}, y tendremos 3 posibles casos,

1 Una función par si {f(-x) = f(x)},
2 Una función impar si {f(-x) = -f(x)},
3 o no aplica si no regresamos a la función original.

En este caso

     \[\displaystyle f(-x)=3(-x)-(-x)^3 = -3x + x^3 = -(3x-x^3)= -f(x) \]

Por tanto, tenemos simetría respecto al origen, es decir, función impar

 

Puntos de corte con los ejes

Puntos de corte con  OX :

Tenemos corte en este eje si {f(x) = y = 0}, entonces, comenzamos igualando a cero

    \[ \displaystyle  3x-x^3=0; \quad \Rightarrow \quad x(3-x^2) = 0 \]

Por tanto obtenemos cero si

     \[ x= 0 \quad \textrm{y} \quad x^2 = 3 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{3} \]

De aquí tendremos que los puntos de corte del eje  OX son:

    \[ \displaystyle  (-\sqrt{3}, 0 ); \quad (0,0) ;\quad (\sqrt{3},0) \]

Punto de corte con OY:

Tenemos puntos de corte en este eje si {x = 0}, entonces:

    \[{y = f(x) = 3(0)-(0)^3 = 0}\]

.

Por lo tanto el punto de corte con el eje OY es:

    \[\displaystyle  (0,0)\]

 

Asíntotas

Para encontrar las asíntotas, tendríamos que encontrar un punto {a} tal que \displaystyle \lim_{x\to a}f(x) = \infty,

En este caso tenemos una función polinomial la cuál no tiene asíntotas.

 

Crecimiento y decrecimiento

Para saber si una función es creciente o decreciente en un punto, debemos de encontrar los puntos críticos, es decir, donde la derivada se hace cero. Calculamos la derivada \displaystyle  f'(x)

    \[ \displaystyle  f'(x)=3-3x^2\]

Vamos a calcular los puntos críticos

    \[ \displaystyle  f'(x)=3-3x^2 =0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x=\pm 1 \]

Ahora vamos a revisar que signo tiene la función al segmentar el dominio en {(-\infty,-1), (-1,1)} y {(1,\infty)}:

    \[{\begin{matrix} x & (-\infty,-1) & (-1,1) & (1,\infty)\\ f'(x) & - & + & - \end{matrix}}\]

Entonces la función es creciente en el intervalo \displaystyle  (-1,1) y decreciente en \displaystyle  (- \infty,-1)\cup (1,\infty)

Para encontrar los mínimos y máximos, evaluamos los puntos críticos encontrados anteriormente en la segunda derivada. Si es positiva, entonces tenemos un mínimo, si es negativa entonces tenemos un máximo.

[ {f''(x) = -6x} \]

    \[ {f''(-1) = -6(-1) = 6 > 0} \quad \textrm{es un mínimo}\]

    \[{f''(1) = -6(1) = -6 < 0} \quad \textrm{es un máximo}\]

Entonces tenemos un mínimo en \displaystyle  (- 1,-2), y un máximo en {(1,2)}

 

Concavidad y convexidad
Para revisar la concavidad y conexidad usamos la segunda derivada cuando se hace cero y revisamos los intervalos donde la función es positiva y negativa, si es positiva entonces es convexa y si es negativa, entonces es cóncava.

    \[ \displaystyle  f''(x)=-6x \quad \Rightarrow \quad -6x=0 \quad \Rightarrow \quad x=0 \]

y en los intervalos

    \[{\begin{matrix} x & (-\infty,0) & (0, \infty)\\ f''(x) & + & - \end{matrix}}\]

Entonces la función es convexa en el intervalo {(-\infty,0)} y cóncava en {(0,\infty)}

 

Puntos de inflexión
Se tiene un punto de inflexión si en un punto {a},

    \[ {f''(a) = 0} \quad \textrm{y} \quad {f'''(a)} \neq 0 \]

{f(x) = 3x-x^3
{f'(x) = 3-3x^2
{f''(x) = -6x \quad \Righarrow \quad -6x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0}

Ahora evaluamos el único punto donde la segunda derivada se hace cero

    \[ {f'''(0) = -6 \neq 0}\]

Cómo el resultado es diferente de cero entonces tenemos un punto de inflexión en {(0,0)}.

Representación gráfica

Gráfica de la función 1


2 \displaystyle  f(x)=x^4 -2x^2 -8

Dominio

    \[ D=\mathbb{R}\]

Simetría

Observemos que

    \[ \displaystyle  f(-x)=(-x)^4 -2(-x)^2 -8 = x^4 -2x^2 -8 = f(x)\]

Por tanto, tenemos simetría respecto al eje OY , es decir, la función es par.

 

Puntos de corte con los ejes

Puntos de corte con OX :

     \[ \displaystyle  x^4-2x^2-8=0 \quad \Rightarrow \quad x= \pm 2 \]

Entonces, los puntos de corte son

    \[\displaystyle  (-2,0); \ \quad \  (2,0)\]

Puntos de corte con OY :

Notemos que

    \[ \displaystyle  f(0)=-8 \]

entonces el punto de corte es

    \[\displaystyle  (0,-8)\]

 

Asíntotas

No tiene asíntotas.

 

Crecimiento y decrecimiento

Calculamos los puntos critimos:

    \[ f'(x)=4x^3-4x \]

igualamos a cero

     \[4x^3-4x=0 \quad \rightarrow \quad x=0 \quad \textrm{y} \quad x= \pm 1 . \]

Ahora revisamos el signo al segmentar el dominio:

    \[ \textrm{si} \quad x\in(-\infty,-1)\quad \Rightarrow \quad f'(x)<0 \]

    \[ \textrm{si} \quad x\in(-1,0)\quad \Rightarrow \quad f'(x)>0 \]

    \[ \textrm{si} \quad x\in(0,1)\quad \Rightarrow \quad f'(x)<0 \]

    \[ \textrm{si} \quad x\in(1,\infty)\quad \Rightarrow \quad f'(x)>0 \]

por lo tanto es creciente en (-1,0)\cup(1,\infty) y decreciente en (-\infty,-1)\cup(0,1)

Evaluando los puntos críticos encontrados en la segunda derivada f''(x) = 12x^2 - 4 obtenemos que

Los puntos mínimos son

    \[ (-1,-9) \quad \textrm{y} \quad (1,-9) \]

Como punto máximo tenemos a

    \[ (0,-8)\]

 

Concavidad y convexidad

Buscamos los puntos donde la segunda derivada se hace cero

    \[ \displaystyle  f''(x)=12x^2-4 \quad \Rightarrow \quad 12x^2-4=0 \quad \Rightarrow \quad x= \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \]

Notemos que

     \[ \textrm{si} \quad x\in\left(-\infty,-\cfrac{\sqrt{3}}{3}\right)\quad \Rightarrow \quad f''(x)>0 \]

    \[ \textrm{si} \quad x\in\left(-\cfrac{\sqrt{3}}{3},\cfrac{\sqrt{3}}{3}\right)\quad \Rightarrow \quad f''(x)<0 \]

    \[ \textrm{si} \quad x\in\left(\cfrac{\sqrt{3}}{3},\infty\right)\quad \Rightarrow \quad f''(x)>0 \]

por lo tanto es convexa en \left(-\infty,-\cfrac{\sqrt{3}}{3}\right)\cup\left(\cfrac{\sqrt{3}}{3},\infty\right) y concava en \left(-\cfrac{\sqrt{3}}{3},\cfrac{\sqrt{3}}{3}\right).

 

Puntos de inflexión

Calculando la tercera derivada concluimos que los puntos de inflexion son

\displaystyle (- \frac{ \sqrt{3}}{3} , - \frac{77}{9} ) \ \ \ \ (   \frac{\sqrt{3}}{3} , -\frac{77}{9}  )

 

Representación gráfica

Gráfica de la función 2


3  \displaystyle  f(x)= \frac{x^3}{(x-1)^2}

Dominio
Eliminamos el punto donde se hace cero el denominador

    \[ \displaystyle  (x-1)^2=0\quad \Rightarrow \quad x=1 \]

por tanto

     \[ D=\mathbb{R}- \{ 1 \} \]

 

Simetría

Notemos que

    \[ \displaystyle  f(-x)= \frac{-x^3}{(-x-1)^2} \]

es decir, no presenta simetría.

 

Puntos de corte con los ejes

Puntos de corte con  OX

    \[ \displaystyle  \frac{x^3}{(x-1)^2}=0  \quad \Rightarrow \quad x = 0 \]

Entonces, el punto de corte es (0,0)

 

Punto de corte con OY

Tenemos que

     \[ f(0) = \frac{0^3}{(0-1)^2} = 0 \]

entonces el punto de corte es

    \[ \displaystyle  (0,0) \]

 

Asíntotas

Asíntota horizontal:

Las asíntotas horizontales son rectas horizontales a las cuales la función se va acercando indefinidamente. Las asíntotas horizontales son rectas de ecuación: y = k.

     \[\begin{gathered} \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=k \\ \textrm{o} \\ \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=k \end{gathered} \quad y=k \]

Notemos que

     \[ \lim_{x \to +\infty}\frac{x^3}{(x-1)^2} = +\infty ; \ \ \  \lim_{x \to -\infty}\frac{x^3}{(x-1)^2} = -\infty \]

Entonces no tiene asíntota horizontal.

Asíntotas verticales:

Las asíntotas verticales son rectas verticales a las cuales la función se va acercando indefinidamente sin llegar nunca a cortarlas. Las asíntotas verticales son rectas de ecuación: x = k.

     \[ \lim _{x \rightarrow k} f(x)=\pm \infty \quad \Rightarrow \quad x=k \]

Notemos que

    \[ \displaystyle  \lim_{x \to 1}\frac{x^3}{(x-1)^2} = \infty \]

entonces

     \[ x = 1 \quad \textrm{asíntota vertical }\]

 

Asíntota oblicua:

Las asíntotas oblicuas son rectas de ecuación:

     \[ y = mx + n\]

donde

     \[ m=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}; \quad \quad n=\lim _{x \rightarrow \infty}[f(x)-m x] \]

Sólo hallaremos las asíntotas oblicuas cuando no haya asíntotas horizontales.

En este caso:

     \displaystyle \[m= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^3}{(x-1)^2}} {x}  = 1 \]

 

      \displaystyle \[ n= \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{(x-1)^2}-x  = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2-x}{x^2-2x+1}=2  \]

Entonces la asíntota oblicua tiene ecuación :

     \[ y = x + 2 \]

 

Crecimiento y decrecimiento

Primero encontramos los puntos críticos

     \[ \displaystyle  f'(x)= \frac{x^3-3x^2}{(x-1)^3} \]

igualando a cero

     \[ \frac{x^3-3x^2}{(x-1)^3}=0 \]

tendremos que los puntos críticos son

    \[ \displaystyle  x=0; \ \ \ x=3 \]

Revisamos los signos al segmentar el dominio

    \[ \textrm{si} \quad x\in(-\infty,0) \quad \Rightarrow \quad f'(x)>0 \]

    \[ \textrm{si} \quad x\in(0,1) \quad \Rightarrow \quad f'(x)>0 \]

    \[ \textrm{si} \quad x\in(1,3) \quad \Rightarrow \quad f'(x)<0 \]

    \[ \textrm{si} \quad x\in(3,\infty) \quad \Rightarrow \quad f'(x)>0 \]

entonces

     \[ \textrm{Creciente}: (-\infty,0) \cup (0,1) \cup (3,\infty) \]

     \[ \textrm{Decreciente}: (1,3) \]

Evaluando los puntos críticos encontrados en la segunda derivada obtenemos que

     \[ \textrm{Mínimos} : (3, \frac{27}{4})\]

 

Concavidad y convexidad
Calculando la segunda derivada y encontrando donde se hace cero

    \[ \displaystyle f''(x)= \frac{6x}{(x-1)^4} ; \ \ \ \frac{6x}{(x-1)^4}=0 \quad \Rightarrow x= 0 \]

Evaluando en los intervalos cercanos

x\in\left(-\infty,0\right)\quad \Rightarrow f''(x)<0

x\in\left(0,1\right)\quad \Rightarrow f''(x)>0

x\in\left(1,\infty\right)\quad \Rightarrow f''(x)>0

por lo tanto es convexa en \left(0,1\right)\cup\left(1,\infty\right) y concava en \left(-\infty,0\right)

 

Puntos de inflexión

P.I.(0,0)

 

Representación gráfica

Gráfica de las asíntotas y de la funcion


4\displaystyle f(x)= \frac{x^4+1}{x^2}

Dominio
Eliminamos el punto donde el denominador se hace cero

    \[ \displaystyle x^2=0 \quad \Rightarrow \quad x=0 \quad \Rightarrow \quad D=\mathbb{R}- \{ 0 \}\]

 

Simetría

Notemos que

    \[ \displaystyle f(-x)= \frac{(-x)^4+1}{(-x)^2} = f(x) \]

Entonces tenemos simetría respecto al eje OY , es decir, se trata de una función par.

 

Puntos de corte con los ejes

Puntos de corte con OX :

Igualamos a cero y obtenemos

    \[ \displaystyle \frac{x^4+1}{x^2}=0 \quad \Rightarrow \quad x^4+1=0 \quad \Rightarrow \quad x= \pm \sqrt[4]{-1} \]

Por tanto, no hay puntos de corte con el eje OX

Punto de corte con OY :

Similarmente

     \[\displaystyle f(0) = \frac{0^4 +1}{0^2}= \frac{1}{0}\]

Por tanto, no hay puntos de corte con el eje OY

 

Asíntotas

Asíntota horizontal:

     \displaystyle \[ \lim_{x \to +\infty}\frac{x^4+1}{x^2} = +\infty ; \ \ \  \lim_{x \to -\infty}\frac{x^4+1}{x^2} = -\infty \]

Es decir, no hay asíntota horizontal

 

Asíntotas verticales:

     \displaystyle  \[ \lim_{x \to 0}\f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{x^4+1}{x^2} = \infty ; \ \ \ x=0 \]

 

Asíntota oblicua:

 

     \[ m= \lim_{x \to \infty }  \frac{ \frac{x^4+1}{x^2} }{x} = \lim_{x \to \infty } \frac{x^4+1}{x^3}= \infty  \]

Es decir, no tiene.

Crecimiento y decrecimiento

Observemos que

    \[ f'(x)= \frac{2(x^4-1)}{x^3}; \ \ \ \frac{2(x^4-1)}{x^3}; \ \ \ x= \pm 1  \]

de aqui

    \[ x\in(-\infty,-1)\quad \Rightarrow \quad f'(x)<0 \]

     \[ x\in(-1,0)\quad \Rightarrow \quad f'(x)>0 \]

     \[ x\in(0,1) \quad \Rightarrow \quad f'(x)<0 \]

     \[ x\in(1,\infty) \quad \Rightarrow \quad f'(x)>0 \]

Por lo tanto la función será creciente en (-1,0)\cup(1,\infty) y decreciente en (-\infty,-1)\cup(0,1).

Ademas, los puntos mínimos estan dado por (-1,2) y (1,2)

 

Concavidad y convexidad

Observemos que

    \[ \displaystyle  f''(x)= \frac{2(x^4+3)}{x^4}; \ \ \ 2(x^4+3)=0; \ \ \ x= \pm \sqrt[4]{-3}  \]

entonces

    \[ x\in(-\infty,0)\quad \Rightarrow \quad f''(x)>0 \]

    \[ x\in(0,\infty)\quad \Rightarrow \quad f''(x)>0 \]

De aqui concluimos que la función es convexa en (-\infty,0)\cup(0,\infty).

 

Puntos de inflexión

No hay punto de inflexión.

 

Representación gráfica

 

Gráfica de la función con una misma asíntota


5  \displaystyle  f(x)=\frac{x^2}{2-x}

Dominio

Eliminamos el mundo donde el denominador se anula

     \[ \displaystyle  2-x=0 \quad \Rightarrow \quad x=2 \quad \Rightarrow \quad D =\mathbb{R} - \{  2\} \]

 

Simetría

    \[ \displaystyle f(-x) = \frac{(-x)^2}{2-(-x)} = \frac{x^2}{2+x} \]

 

No presenta simetría

 

Puntos de corte con los ejes

Puntos de corte con OX :

    \[ \displaystyle \frac{x^2}{2-x}=0 \quad \Rightarrow \quad (0,0) \]

 

Punto de corte con OY :

     \[ \displaystyle  f(0)=\frac{0^2}{2-0}=0 \quad \Rightarrow \quad (0,0) \]

 

Asíntotas

Asíntota horizontal:

Notemos que

     \[ \displaystyle  \lim_{x \to \infty }\frac{x^2}{(2-x)} = \infty \]

 

Entonces, no tiene.

 

Asíntotas verticales:

    \[ \displaystyle  \[ \lim_{x \to 2 }\frac{x^2}{(2-x)} = \infty \quad \Rightarrow \quad x=2  \]

 

Asíntota oblicua

     \displaystyle  \[ m= \lim_{x \to \infty }\frac{ \frac{x^2}{2-x}}{x} = -1 \]

 

     \displaystyle \[ n= \lim_{x \to \infty } \frac{x^2}{(2-x)}+x = -2 \]

entonces

    \[ \displaystyle  y=-x-2 \]

 

Crecimiento y decrecimiento

Encontramos puntos críticos

     \[ \displaystyle f'(x) = \frac{4x-x^2}{(2-x)^2}; \ \ \ \frac{4x-x^2}{(2-x)^2}=0; \quad \Rightarrow \quad x=0 \quad \textrm{y} \quad x=4 \]

Evaluando en los intervalos

     \[ \begin{array}{ccccc} x & (-\infty, 0) & (0,2) & (2,4) & (4, \infty) \\ f^{\prime}(x) & - & + & + & - \end{array} \]

Es decir, tendremos que es creciente en (0,2)\cup(2,4) y decreciente en (-\infty,0) \cup (4,\infty).

Evaluamos los puntos críticos encontrados en la segunda derivada, para encontrar los mínimos y máximos.

Tendremos que  (0,0) es un minimo y (4,-8) un máximo.

 

Concavidad y convexidad

\displaystyle  f''(x)= \frac{8}{(2-x)^3}; \ \ \ \frac{8}{(2-x)^3}=0 ;

Puesto que no tenemos solución, dividiremos los intervalos del dominio a partir del 2 que no pertenece al dominio.

Obteniendo

     \[ \begin{array}{ccc} x & (-\infty, 2) & (2, \infty) \\ f^{\prime \prime}(x) & + & - \end{array}\]

Por tanto, tenemos que de  (-\infty,2) convexa y de  (2, \infty).

 

Puntos de inflexión

No hay punto de inflexión.

 

Representación gráfica

 

Gráfica de las asíntotas de la función

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6   \displaystyle f(x) = \frac{x}{1+x^2}

Dominio

    \[ D= \mathbb{R} \]

 

Simetría

    \[ \displaystyle f(-x) = \frac{-x}{1+(-x^2)} = f(x)  \]

 

Tenemos simetría respecto al origen, es decir, se trata de una función impar.

 

Puntos de corte con los ejes

Punto de corte con OX :

 

    \[ \displaystyle \frac{x}{1+x^2}= 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0\]

entonces el punto de corte es  (0,0)

 

Punto de corte con OY :

Tenemos

     \[\displaystyle f(0) = \frac{0}{1+0^2}=0 \]

entonces el punto de corte es

     \[\displaystyle (0,0) \]

 

Asíntotas

Asíntota horizontal:

     \[ \displaystyle \lim_{x \to \infty }\frac{x}{1+x^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad y=0 \]

 

No tiene asíntotas verticales ni oblicuas.

 

Crecimiento y decrecimiento

Encontramos los puntos críticos

    \[ \displaystyle f'(x) = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2} \quad \Rightarrow \quad  \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}=0 \quad \Rightarrow \quad x= \pm 1   \]

Revisamos el signo tiene la función al segmentar el dominio

     \[ \begin{array}{cccc} x & (-\infty,-1) & (-1,1) & (1, \infty) \\ f^{\prime}(x) & - & + & - \end{array}\]

De donde tenemos que la función es creciente de (-1,1) y decreciente en (-\infty, -1) \cup (1, \infty).

Y evaluando los puntos criticos en la segunda derivada, tendremos que

     \[ (-1, -\frac{1}{2}) \quad \textrm{minimo} \]

     \[ (1, \frac{1}{2}) \quad \textrm{máximo} \]

 

Concavidad y convexidad

Calculamos los puntos donde se hace cero la segunda derivada

    \[ \displaystyle f''(x)= \frac{2x^3-6x}{(1+x^2)^3} \quad \Rightarrow \quad \frac{2x^3-6x}{(1+x^2)^3}=0 \quad \Rightarrow \quad x=0\ quad \textrm{y} \quad x= \pm \sqrt{3} \]

Revisamos el signo en los intervalos

     \[ \begin{array}{ccccc} x & (-\infty,-\sqrt{3}) & (-\sqrt{3}, 0) & (0, \sqrt{3}) & (\sqrt{3}, \infty) \\ f^{\prime \prime}(x) & - & + & - & + \end{array} \]

Por tanto, tenemos que la función es convexa en  (-\sqrt{3}, 0) \cup (\sqrt{3}, \infty) y es cóncava en  (-\infty,-\sqrt{3}) \cup (0, \sqrt{3}) .

 

Puntos de inflexión

     \[ \left(-\sqrt{3}, \frac{-\sqrt{3}}{4}\right); \quad \ (0,0); \quad \ \left(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4}\right) \]

 

Representación gráfica

Representación de la gráfica


7   \displaystyle f(x) = \frac{x^2-3x+2}{x^2+1}

Dominio

    \[ D= \mathbb{R} \]

 

Simetría

     \[ \displaystyle \frac{x^2+3x+2}{x^2+1} \]

No presenta simetría

 

Puntos de corte con los ejes

Puntos de corte con OX :

 

    \[ \displaystyle \frac{x^2-3x+2}{x^2+1}=0 \quad \Rightarrow \quad x^2-3x+2=0 \quad \Rightarrow \quad (2,0) \quad \textrm{y} \quad (1,0) \]

 

Punto de corte con OY :

    \[ \displaystyle   f(0)= \frac{(0)^2+3 \cdot (0)+2}{(0)^2+1} \quad \Rightarrow \quad (0,2)  \]

 

Asíntotas

Asíntota horizontal:

 

     \[  \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^2-3x+2 } {x^2+1}  = 1 ; \ \ \ y=1 \]

 

No hay asíntotas verticales ni oblicuas.

 

Crecimiento y decrecimiento

    \[ \displaystyle f'(x)= \frac{3x^2-2x-3}{(x^2+1)^2}; \ \quad \ \frac{3x^2-2x-3}{(x^2+1)^2}=0\]

entonces

    \[ \displaystyle x= \frac{1+\sqrt{10} }{3}; \ \ \ \ x= \frac{1- \sqrt{10}}{3}\]

Revisamos el signo al segmentar el dominio de la función

     \[ \begin{array}{cccc} x & (-\infty,\frac{1- \sqrt{10}}{3}) & (\frac{1- \sqrt{10}}{3},\frac{1+ \sqrt{10}}{3}) & (\frac{1+ \sqrt{10}}{3}), \infty) \\ f^{\prime}(x) & + & - & + \end{array} \]

Por tanto tenemos que es creciente de (-\infty,\frac{1- \sqrt{10}}{3})\cup (\frac{1+ \sqrt{10}}{3}), \infty) y decreciente de (\frac{1- \sqrt{10}}{3},\frac{1+ \sqrt{10}}{3})

Evaluando los puntos críticos en la segunda derivada encontramos que

     \[ (\frac{1- \sqrt{10}}{3}), \frac{\sqrt{10} + 3}{2})) \quad \ \textrm{es un maximo} \]

     \[ (\frac{1+ \sqrt{10}}{3}), \frac{3 - \sqrt{10}}{2})) \quad \ \textrm{es un minimo} \]

 

Con los datos obtenidos representamos:

 

Representación gráfica de la función


8    \displaystyle  f(x)= x+ \sqrt{x}

Dominio

Puesto que se esta calculando la raiz de "x" en la funcion tendremos que

     \[ D = [0, \infty)\]

 

Simetría

     \[  \displaystyle f(-x)= -x + \sqrt{-x} \]

No presenta simetría.

 

Puntos de corte con los ejes

Puntos de corte con OX :

 

    \[ \displaystyle x+ \sqrt{x}=0 \quad \Rightarrow \quad x=0 \]

por lo que el punto de corte es

     \[ \displaystyle  (0,0) \]

 

Punto de corte con OY :

     \[ f(0)=0+\sqrt{0} = 0 \]

por lo que el punto de corte es

     \[ (0,0) \]

 

Asíntotas

No tiene asíntotas.

 

Crecimiento y decrecimiento

    \[ \displaystyle f'(x)=1+ \frac{1}{2 \sqrt{x} } \quad \Rightarrow \quad \frac{2 \sqrt{x} +1}{2 \sqrt{x}}=0 \]

Por lo tanto, los puntos críticos son

    \[ \displaystyle  2 \sqrt{x} +1=0 \ \quad \ \ \sqrt{x}= - \frac{1}{2}\]

 

Puesto que no tiene solución, solo consideramos el intervalo del dominio

     \[ \begin{array}{cc} x & (0, \infty) \\ f^{\prime}(x) & + \end{array} \]

Es decir, es una función creciente.

 

Máximo y mínimos

No existen extremos locales.

 

Concavidad y convexidad
Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero

    \[ \displaystyle  f''(x)=\frac{-1}{ 4x \sqrt{x} } ; \ \quad \ \frac{ -1}{4x \sqrt{x}}=0; \]

Al no tener solución, tomamos el intervalo del dominio, obteniendo

     \[ \begin{array}{cc} x & (0, \infty) \\ f^{\prime \prime}(x) & - \end{array} \]

Por lo que es una funcion concava.

 

Puntos de inflexión

No hay punto de inflexión.

 

Representación gráfica

Gráfica sin puntos de inflexion

9  \displaystyle f(x) =(x-1)e^{-x}

Dominio

     \[ \displaystyle  D= \mathbb{R}\]

 

Simetría

     \[ \displaystyle f(-x) = (-x-1)e^x \]

No presenta simetría.

 

Puntos de corte con los ejes

Puntos de corte con OX :

 

    \[\displaystyle  (x-1)e^{-x}=0 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \quad \Rightarrow \quad (1,0) \]

 

Punto de corte con OY :

 

    \[ \displaystyle f(0)= (0-1)e^{-0} \quad \Rightarrow \quad (0,-1) \]

 

Asíntotas

Asíntota horizontal:

 

     \[ \displaystyle \lim_{x \to \infty} (x-1)e^{-x} =  \lim_{x \to \infty} \frac{x-1}{e^x} = 0 ; \ \ \ y=0  \]

No hay asíntotas verticales ni oblicuas.

 

Crecimiento y decrecimiento

    \[ \displaystyle f'(x)=e^{-x}(2-x); \ \ \ 2-x=0; \ \ \ x=2 \]

verificando el signo

     \[ \begin{array}{ccc} x & (-\infty, 2) & (2, \infty) \\ f^{\prime}(x) & + & - \end{array} \]

De donde deducimos que la función es creciente de (-\infty,2) y decreciente de (2, \infty)

Evaluando los puntos críticos en la segunda derivada, encontramos que

     \[ (2, e^{-2}) \quad \textrm{es un maximo}\]

 

Concavidad y convexidad

Calculamos la segunda derivada y encontramos los puntos que la anulan

    \[ \displaystyle f''(x)=e^{-x}(x-3); \ \ \ x-3=0; \ \ \ x=3 \]

Se segmenta el dominio en (-\infty,3)u(3, \infty) y observando el signo de la segunda derivada en estos intervalos

     \[ \begin{array}{ccc} x & (-\infty, 3) & (3, \infty) \\ f^{\prime \prime}(x) & - & + \end{array} \]

Por tanto, la función em el intervalo (3, \infty) es convexa y en el intervalo (-infty, 3) es concava.

 

Puntos de inflexión

 P.I.(3,2e^{-a}

 

Representación gráfica

Representación de la gráfica según la ecuación


10 \displaystyle f(x)= \frac{\ln x}{x}

Dominio

     \[ \displaystyle  x>0 ; \ \ \ D=(0, \infty )  \]

 

Simetría

     \[ \displaystyle f(-x)= \frac{\ln (-x) }{ -x } \]

No presenta simetría.

 

Puntos de corte con los ejes

Puntos de corte con OX :

     \[ \displaystyle \frac{\ln x}{x}=0; \ \ \ \ln x=0 \quad \Rightarrow \quad e^0=x \]

es decir,  x = 1 y el punto de corte sería

    \[ (1,0) \]

 

Punto de corte con OY :

     \[ \displaystyle f(0)= \frac{\ln 0}{0}  \]

No corta con el eje OY

 

Asíntotas

Asíntota horizontal:

     \[ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{ \ln x}{x}  = 0 ; \ \quad \ y=0  \]

 

Asíntotas verticales

 

     \[ \displaystyle \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln x}{x}= \infty; \ \quad \ x=0  \]

 

Crecimiento y decrecimiento
Calculamos puntos criticos

    \[ \displaystyle f'(x)= \frac{1- \ln x}{x^2}; \ \ \ \frac{1- \ln x}{x^2}=0; \ \ \ 1-\ln x =0; \]

obteniendo como punto critico  x= e . Entonces

     \[ \begin{array}{ccc} x & (0, e) & (e, \infty) \\ f^{\prime}(x) & + & - \end{array} \]

por tanto la función es creciente de (0,e) y decreciente de  (e, \infty). Encontramos un máximo en  (e, e^{-1}).

 

Concavidad y convexidad

Igualando la segunda derivada a cero

    \[ \displaystyle f''(x)= \frac{2 \ln x -3}{x^3}\]

    \[ \begin{align*} \frac{2 \ln x -3 }{x^3}=0 \\ &\Rightarrow 2 \ln x -3 = 0 \\ &\Rightarrow ln x =\frac{3}{2} \\ &\Rightarrow e^{\frac{3}{2}}=x \end{align*} \]

Segmentando el dominio y observando el signo de la segunda derivada concluimos que la función es convexa de (e^{\frac{3}{2}}, \infty) y cóncava de (0,e^{\frac{3}{2}}).

 

Representación gráfica

Una gráfica


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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗