Utilizar el criterio de la segunda derivada para calcular los máximos y mínimos locales de las siguientes funciones:

 

1 f(x)=x^{3}-3x+2

Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada:

f(x)&=&x^3-3x+2  f^prime(x)&=&3x^2-3 f^{primeprime}(x)&=&6x

 

Ahora encontremos los puntos críticos x^* a través de la solución (o soluciones) de la  ecuación f^prime(x)=0, es decir 3x^2-3=0. Las soluciones de esta ecuación son x_1=1, x_2=-1 .

 

Finalmente se evalúa  f^{prime prime}(x) en los puntos críticos x^* y determinar si f^{prime prime}(x^ast)>0 o f^{prime prime}(x^ast)<0.

Tenemos entonces que

f^{prime prime}(x_1)=6x_1=6(1)=6>0 f^{prime prime}(x_2)=6x_2=6(-1)=-6<0

 

Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función f(x) tiene un mínimo local en x=1 y un máximo local en x=-1. Los valores correspondientes de la función son:

f(1)&=&(1)^3-3(1)+2=0 f(-1)&=&(-1)^3-3(-1)+2=4

 

La siguiente Figura muestra la gráfica de la función f(x) propuesta.

 

Gráfica de la función  f(x)=x³ − 3x + 2

2 f(x)=3x-x^{3}

Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada:

f(x)&=&3x-x^3 f^prime(x)&=&3-3x^2 f^{primeprime}(x)&=&-6x

 

Ahora encontremos los puntos críticos x^* a través de la solución (o soluciones) de la  ecuación f^prime(x)=0, es decir 3-3x^2=0. Las soluciones de esta ecuación son x_1=1,:x_2=-1.

Finalmente se evalúa  f^{prime prime}(x) en los puntos críticos x^*  y determinar si f^{prime prime}(x^ast)>0 o f^{prime prime}(x^ast)<0. Tenemos entonces que

f^{prime prime}(x_1)=-6x_1=-6(1)=-6<0 f^{prime prime}(x_2)=-6x_2=-6(-1)=6>0

 

Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función f(x) tiene un máximo local en x=1 y un mínimo local en x=-1. Los valores correspondientes de la función son:

f(1)&=&3(1)-(1)^3=2  f(-1)&=&3(-1)-(-1)^3=-2

 

La siguiente Figura muestra la gráfica de la función f(x) propuesta.

Gráfica de la función  f(x)=3x-x³

3 f(x)=x^{4}-8x^{2}+3

Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada:

f(x)&=&x^4-8x^2+3  f^prime(x)&=&4x^3-16x  f^{primeprime}(x)&=&12x^2-16

 

Ahora encontremos los puntos críticos x^* a través de la solución (o soluciones) de la  ecuación f^prime(x)=0, es decir 4x^3-16x=4x(x^2-4)=0. Las soluciones de esta ecuación son x_1=0,:x_2=2,:x_3=-2.

Finalmente se evalúa  f^{prime prime}(x) en los puntos críticos x^* y determinar si f^{prime prime}(x^ast)>0 o f^{prime prime}(x^ast)<0. Tenemos entonces que

f^{prime prime}(x_1)=12(0)^2-16=-16<0  f^{prime prime}(x_2)=12(2)^2-16=32>0  f^{prime prime}(x_3)=12(-2)^2-16=32>0

 

Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función f(x) tiene un máximo local en x=0 y dos mínimos locales en x=2 y x=-2. Los valores correspondientes de la función son:

f(0)&=&(0)^4-8(0)^2+3=3 f(2)&=&(2)^4-8(2)^2+3=-13 f(-2)&=&(-2)^4-8(-2)^2+3=-13

 

La siguiente Figura muestra la gráfica de la función f(x) propuesta.

 

grafica de la funcion x^4-8x^2+3

4displaystyle f(x)=frac{x^2-x-2}{x^2-6x+9}

Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada:

displaystyle f(x)=frac{x^2-x-2}{x^2-6x+9}=frac{(x+1)(x-2)}{(x-3)^2}

 

displaystyle f^{prime}(x)=frac{(2x-1)(x-3)^2-2(x-3)(x+1)(x-2)}{(x-3)^2}=frac{5x-7}{(3-x)^3}

 

displaystyle f^{prime prime}(x)=frac{5(3-x)^3+3(3-x)^2(5x-7)}{(3-x)^6}=frac{2(5x-3)}{(x-3)^4}

 

Ahora encontremos el punto crítico x^* a través de la solución de la  ecuación f^prime(x)=0, es decir 5x-7=0, cuya solución es displaystyle x=frac{7}{5}.

Finalmente se evalúa  f^{prime prime}(x) en el punto crítico x^* y determinar si f^{prime prime}(x^ast)>0 o f^{prime prime}(x^ast)<0. Tenemos entonces que

 

displaystyle f^{prime prime}(x)=frac{2[5(frac{7}{5})-3]}{(frac{7}{5}-3)^4}=frac{625}{512}>0

 

Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función f(x) tiene un mínimo local en displaystyle x=frac{7}{5}  . El valor correspondiente de la función es:

displaystyle fleft(frac{7}{5} right )=frac{left(frac{7}{5} right )^2-left(frac{7}{5} right )-2}{left(frac{7}{5} right )^2-6left(frac{7}{5} right )+9}=-frac{9}{16}

 

La siguiente Figura muestra la gráfica de la función f(x) propuesta.

gráfica de f(x)

5 f(x)=e^xleft(2x^2+x-8 right )

Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada:

f(x)=e^xleft(2x^2+x-8 right )

f^{prime}(x)=e^xleft(4x+1right )+e^xleft(2x^2+x-8 right )=e^xleft(2x^2+5x-7 right )

f^{primeprime}(x)=e^xleft(4x+5 right )+e^xleft(2x^2+5x-7 right )=e^xleft(2x^2+9x-2 right )

Ahora encontremos los puntos críticos x^* a través de la solución (o soluciones) de la  ecuación f^prime(x)=0, es decir 2x^2+5x-7=0.  Las soluciones de esta ecuación son displaystyle x_1=-frac{7}{2},:x_2=1..

Finalmente se evalúa  f^{prime prime}(x) en los puntos críticos x^* y determinar si f^{prime prime}(x^ast)>0 o f^{prime prime}(x^ast)<0. Tenemos entonces que

displaystyle f^{primeprime}(x_1)=e^{-7/2} left[ 2left(-frac{7}{2}right )^2+9left(-frac{7}{2}right )-2 right]=-9e^{-7/2}<0 f^{primeprime}(x_2)=e^{1} left[ 2left(1right )^2+9left(1right )-2 right]=9e>0

Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función f(x) tiene un máximo local en displaystyle x=-frac{7}{2}  y un mínimo local en x=1 . Los valores correspondientes de la función son:

 displaystyle fleft(-frac{7}{2}right)=e^{-7/2}left[2left(-frac{7}{2}right)^2+left(-frac{7}{2}right)-8 right]=13e^{-7/2} fleft(1right)=e^{1}left[2left(1right)^2+1-8 right]=-5e

 

La siguiente Figura muestra la gráfica de la función f(x) propuesta.

Gráfica de la función f(x)=exp(x)(2x²+x-8

6  displaystyle f(x)=x+lnleft(x^2-1 right)

Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada:

 displaystyle f(x)=x+lnleft(x^2-1 right) f^{prime}(x)=1+frac{2x}{x^2-1}=frac{x^2+2x-1}{x^2-1} f^{primeprime}(x)=frac{2left(x^2-1 right )-2x(2x)}{left(x^2-1 right )^2}=frac{-2left(x^2+1 right )}{left(x^2-1 right )^2}

 

Ahora encontremos los puntos críticos x^* a través de la solución (o soluciones) de la  ecuación f^prime(x)=0
, es decirx^2+2x-1=0.  Las soluciones de esta ecuación son x_1=-1+sqrt{2},:x_2=-1-sqrt{2}, sin embargo, dado que el dominio de la función es mathcal{D}_{f(x)}=(-infty,-1)cup(1,infty), es claro que x_1notinmathcal{D}_{f(x)}
(esto debido a que x_1=-1+sqrt{2}approx 0.414).  Por lo tanto, el único punto crítico a considerar es x_2
.

Finalmente se evalúa  f^{prime prime}(x) en el punto crítico x^* y determinar si f^{prime prime}(x^ast)>0 o f^{prime prime}(x^ast)<0. Tenemos entonces que

displaystyle f^{primeprime}(x_2)=frac{-2left[left(-1-sqrt{2}right)^2+1 right]}{left[left(-1-sqrt{2}right)^2-1 right ]^2}=sqrt{2}-2approx-0.586<0

Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función f(x) tiene un máximo local en x=-1-sqrt{2}. El valor correspondiente de la función es:

f(-1-sqrt{2})=(-1-sqrt{2})+lnleft[(-1-sqrt{2})^2-1 right]approx-0.84

 

La siguiente Figura muestra la gráfica de la función f(x) propuesta.

Gráfica de la función f(x)=x+ln(x²-1)

7 f(x)=sin(2x)

Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada:

f(x)=sin(2x) f^{prime}(x)=2cos(2x) f^{primeprime}(x)=-4sin(2x)

 

Ahora encontremos los puntos críticos x^* a través de la solución (o soluciones) de la  ecuación f^prime(x)=0
, es decir cos(2x)=0. Para esto, sea theta=2x, entonces tenemos cos theta=0, cuyas soluciones están dadas por:

 displaystyle theta=frac{pi}{2}+pi n,:ninmathbb{Z}

Luego, regresando a la variable original tenemos que los puntos críticos están dados por:

 displaystyle x=frac{pi}{4}+frac{pi}{2} n,:ninmathbb{Z}

Ahora se evalúa   f^{prime prime}(x)  en los puntos críticos x^* y determinar si  f^{prime prime}(x^ast)>0 o  f^{prime prime}(x^ast)<0 . Para esto, consideremos dos casos:

 

Si  n=2k,:kinmathbb{Z} (par), entonces  displaystyle x=pi k+frac{pi}{4}
, por lo que

 displaystyle f^{primeprime}(x)=-4sinleft(2pi k+frac{pi}{2} right )=-4,:forall kinmathbb{Z}

 

Si  displaystyle n=2k+1,:kinmathbb{Z} (impar), entonces  displaystyle x=pi k+frac{3pi}{4}
, por lo que

 displaystyle f^{primeprime}(x)=-4sinleft(2pi k+frac{3pi}{2} right )=4,:forall kinmathbb{Z}

 

Por lo tanto, por el criterio de la segunda derivada, la función f(x) tiene sus máximos locales en  displaystyle x=pi k+frac{pi}{4},:kinmathbb{Z} y los mínimos locales  en  displaystyle x=pi k+frac{3pi}{4},:kinmathbb{Z}.

 

Además los valores correspondientes para la función son:

 

 displaystyle fleft(pi k+frac{pi}{4}right )=sinleft[2left(pi k+frac{pi}{4} right) right ]=1,:forall kinmathbb{Z} \fleft(pi k+frac{3pi}{4}right )=sinleft[2left(pi k+frac{3pi}{4} right) right ]=-1,:forall kinmathbb{Z}

 

La siguiente Figura muestra la gráfica de la función f(x) propuesta.

 

Gráfica de la función f(x)=sen(2x

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗