Utilizar el criterio de la segunda derivada para calcular los máximos y mínimos locales de las siguientes funciones:

1 f(x)=x³ − 3x + 2

Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada:

$\large \\f(x)&=&x^3-3x+2 \\ f^\prime(x)&=&3x^2-3\\ f^{\prime\prime}(x)&=&6x$

Ahora encontremos los puntos críticos $\large x^{\ast}$ a través de la solución (o soluciones) de la ecuación $\large f^\prime(x)=0$ , es decir $\large 3x^2-3=0$ . Las soluciones de esta ecuación son $\large x_1=1,\:x_2=-1$ .

Finalmente se evalúa $\large f^{\prime \prime}(x)$ en los puntos críticos $\large x^{\ast}$ y determinar si $\large f^{\prime \prime}(x^\ast)>0$ o $\large f^{\prime \prime}(x^\ast)<0$ . Tenemos entonces que

$\large \\f^{\prime \prime}(x_1)=6x_1=6(1)=6>0\\ f^{\prime \prime}(x_2)=6x_2=6(-1)=-6<0$

Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función $\large f(x)$ tiene un mínimo local en $\large x=1$ y un máximo local en $\large x=-1$ . Los valores correspondientes de la función son:

$\large \\f(1)&=&(1)^3-3(1)+2=0\\ f(-1)&=&(-1)^3-3(-1)+2=4$

La siguiente Figura muestra la gráfica de la función $\large f(x)$ propuesta.

Ejemplo_1_max_min Gráfica de la función f(x)=x³ − 3x + 2.

2 f(x)=3x-x³

Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada:

$\large \\f(x)&=&3x-x^3\\ f^\prime(x)&=&3-3x^2\\ f^{\prime\prime}(x)&=&-6x$

Ahora encontremos los puntos críticos $\large x^{\ast}$ a través de la solución (o soluciones) de la ecuación $\large f^\prime(x)=0$ , es decir $\large 3-3x^2=0$ . Las soluciones de esta ecuación son $\large x_1=1,\:x_2=-1$ .

$\large \\f^{\prime \prime}(x_1)=-6x_1=-6(1)=-6<0\\ f^{\prime \prime}(x_2)=-6x_2=-6(-1)=6>0$

Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función $\large f(x)$ tiene un máximo local en $\large x=1$ y un mínimo local en $\large x=-1$ . Los valores correspondientes de la función son:

$\large \\f(1)&=&3(1)-(1)^3=2 \\ f(-1)&=&3(-1)-(-1)^3=-2$

La siguiente Figura muestra la gráfica de la función $\large f(x)$ propuesta.

Ejemplo_2_max_min Gráfica de la función f(x)=3x-x³.

3 f(x)=X⁴-8x²+3

Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada:

$\large \\f(x)&=&x^4-8x^2+3 \\ f^\prime(x)&=&4x^3-16x \\ f^{\prime\prime}(x)&=&12x^2-16$

Ahora encontremos los puntos críticos $\large x^{\ast}$ a través de la solución (o soluciones) de la ecuación $\large f^\prime(x)=0$ , es decir $\large 4x^3-16x=4x(x^2-4)=0$ . Las soluciones de esta ecuación son $\large x_1=0,\:x_2=2,\:x_3=-2$ .

$\large \\f^{\prime \prime}(x_1)=12(0)^2-16=-16<0 \\ f^{\prime \prime}(x_2)=12(2)^2-16=32>0 \\ f^{\prime \prime}(x_3)=12(-2)^2-16=32>0$

Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función $\large f(x)$ tiene un máximo local en $\large x=0$ y dos mínimos locales en $\large x=2$ y $\large x=-2$ . Los valores correspondientes de la función son:

$\large \\f(0)&=&(0)^4-8(0)^2+3=3 \\f(2)&=&(2)^4-8(2)^2+3=-13 \\f(-2)&=&(-2)^4-8(-2)^2+3=-13$

La siguiente Figura muestra la gráfica de la función $\large f(x)$ propuesta.

Ejemplo_3_max_min Gráfica de la función f(x)=X⁴-8x²+3.

4 f(x)=(x²-x-2)/(x²-6x+9)

Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada:

$\large f(x)=\frac{x^2-x-2}{x^2-6x+9}=\frac{(x+1)(x-2)}{(x-3)^2}$

$\large f^{\prime}(x)=\frac{(2x-1)(x-3)^2-2(x-3)(x+1)(x-2)}{(x-3)^2}=\frac{5x-7}{(3-x)^3}$ $\large f^{\prime \prime}(x)=\frac{5(3-x)^3+3(3-x)^2(5x-7)}{(3-x)^6}=\frac{2(5x-3)}{(x-3)^4}$

Ahora encontremos el punto crítico $\large x^{\ast}$ a través de la solución de la ecuación $\large f^\prime(x)=0$ , es decir $\large 5x-7=0$ , cuya solución es $\large x=\frac{7}{5}$ .

Finalmente se evalúa $\large f^{\prime \prime}(x)$ en el punto crítico $\large x^{\ast}$ y determinar si $\large f^{\prime \prime}(x^\ast)>0$ o $\large f^{\prime \prime}(x^\ast)<0$ . Tenemos entonces que

$\large f^{\prime \prime}(x)=\frac{2[5(\frac{7}{5})-3]}{(\frac{7}{5}-3)^4}=\frac{625}{512}>0$

Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función $\large f(x)$ tiene un mínimo local en $\large x=\frac{7}{5}$ . El valor correspondiente de la función es:

$\large f\left(\frac{7}{5} \right )=\frac{\left(\frac{7}{5} \right )^2-\left(\frac{7}{5} \right )-2}{\left(\frac{7}{5} \right )^2-6\left(\frac{7}{5} \right )+9}=-\frac{9}{16}$

La siguiente Figura muestra la gráfica de la función $\large f(x)$ propuesta.

Ejemplo_4_max_min Gráfica de f(x) del problema.

5 f(x)=exp(x)(2x²+x-8)

Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada:

$\large f(x)=e^x\left(2x^2+x-8 \right )$ $\large f^{\prime}(x)=e^x\left(4x+1\right )+e^x\left(2x^2+x-8 \right )=e^x\left(2x^2+5x-7 \right )$ $\large f^{\prime\prime}(x)=e^x\left(4x+5 \right )+e^x\left(2x^2+5x-7 \right )=e^x\left(2x^2+9x-2 \right )$

Ahora encontremos los puntos críticos $\large x^{\ast}$ a través de la solución (o soluciones) de la ecuación $\large f^\prime(x)=0$ , es decir $\large 2x^2+5x-7=0$ . Las soluciones de esta ecuación son $\large x_1=-\frac{7}{2},\:x_2=1.$

$\large \\f^{\prime\prime}(x_1)=e^{-7/2} \left[ 2\left(-\frac{7}{2}\right )^2+9\left(-\frac{7}{2}\right )-2 \right]=-9e^{-7/2}<0 \\f^{\prime\prime}(x_2)=e^{1} \left[ 2\left(1\right )^2+9\left(1\right )-2 \right]=9e>0$

Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función $\large f(x)$ tiene un máximo local en $\large x=-\frac{7}{2}$ y un mínimo local en $\large x=1$ . Los valores correspondientes de la función son:

$\large \\f\left(-\frac{7}{2}\right)=e^{-7/2}\left[2\left(-\frac{7}{2}\right)^2+\left(-\frac{7}{2}\right)-8 \right]=13e^{-7/2}\\ f\left(1\right)=e^{1}\left[2\left(1\right)^2+1-8 \right]=-5e$

La siguiente Figura muestra la gráfica de la función $\large f(x)$ propuesta.

Ejemplo_5_max_min Gráfica de la función f(x)=exp(x)(2x²+x-8).

6 f(x)=x+ln(x²-1)

Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada:

$\large \\f(x)=x+\ln\left(x^2-1 \right) \\f^{\prime}(x)=1+\frac{2x}{x^2-1}=\frac{x^2+2x-1}{x^2-1} \\f^{\prime\prime}(x)=\frac{2\left(x^2-1 \right )-2x(2x)}{\left(x^2-1 \right )^2}=\frac{-2\left(x^2+1 \right )}{\left(x^2-1 \right )^2}$

Ahora encontremos los puntos críticos $\large x^{\ast}$ a través de la solución (o soluciones) de la ecuación $\large f^\prime(x)=0$ , es decir $\large x^2+2x-1=0$ . Las soluciones de esta ecuación son $\large x_1=-1+\sqrt{2},\:x_2=-1-\sqrt{2}$ , sin embargo, dado que el dominio de la función es $\large \mathcal{D}_{f(x)}=(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$ , es claro que $\large x_1\notin\mathcal{D}_{f(x)}$ (esto debido a que $\large x_1=-1+\sqrt{2}\approx 0.414$ ). Por lo tanto, el único punto crítico a considerar es $\large x_2$ .

$\large f^{\prime\prime}(x_2)=\frac{-2\left[\left(-1-\sqrt{2}\right)^2+1 \right]}{\left[\left(-1-\sqrt{2}\right)^2-1 \right ]^2}=\sqrt{2}-2\approx-0.586<0$

Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función $\large f(x)$ tiene un máximo local en $\large x=-1-\sqrt{2}$ . El valor correspondiente de la función es:

$\large f(-1-\sqrt{2})=(-1-\sqrt{2})+\ln\left[(-1-\sqrt{2})^2-1 \right]\approx-0.84$

La siguiente Figura muestra la gráfica de la función $\large f(x)$ propuesta.

Ejemplo_6_max_min Gráfica de la función f(x)=x+ln(x²-1)

7 f(x)=sen(2x)

Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada:

$\large \\f(x)=\sin(2x) \\f^{\prime}(x)=2\cos(2x) \\f^{\prime\prime}(x)=-4\sin(2x)$

Ahora encontremos los puntos críticos $\large x^{\ast}$ a través de la solución (o soluciones) de la ecuación $\large f^\prime(x)=0$ , es decir $\large \cos(2x)=0$ . Para esto, sea $\large \theta=2x$ , entonces tenemos $\large \cos \theta=0$ , cuyas soluciones están dadas por:

$\large \theta=\frac{\pi}{2}+\pi n,\:n\in\mathbb{Z}$

Luego, regresando a la variable original tenemos que los puntos críticos están dados por:

$\large x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2} n,\:n\in\mathbb{Z}$

Ahora se evalúa $\large f^{\prime \prime}(x)$ en los puntos críticos $\large x^{\ast}$ y determinar si $\large f^{\prime \prime}(x^\ast)>0$ o $\large f^{\prime \prime}(x^\ast)<0$ . Para esto, consideremos dos casos:

Si $\large n=2k,\:k\in\mathbb{Z}$ (par), entonces $\large x=\pi k+\frac{\pi}{4}$ , por lo que

$\large f^{\prime\prime}(x)=-4\sin\left(2\pi k+\frac{\pi}{2} \right )=-4,\:\forall k\in\mathbb{Z}$

Si $\large n=2k+1,\:k\in\mathbb{Z}$ (impar), entonces $\large x=\pi k+\frac{3\pi}{4}$ , por lo que

$\large f^{\prime\prime}(x)=-4\sin\left(2\pi k+\frac{3\pi}{2} \right )=4,\:\forall k\in\mathbb{Z}$

Por lo tanto, por el criterio de la segunda derivada, la función $\large f(x)$ tiene sus máximos locales en $\large x=\pi k+\frac{\pi}{4},\:k\in\mathbb{Z}$ y los mínimos locales en $\large x=\pi k+\frac{3\pi}{4},\:k\in\mathbb{Z}$ .

Además los valores correspondientes para la función son:

$\large \\f\left(\pi k+\frac{\pi}{4}\right )=\sin\left[2\left(\pi k+\frac{\pi}{4} \right) \right ]=1,\:\forall k\in\mathbb{Z} \\\\f\left(\pi k+\frac{3\pi}{4}\right )=\sin\left[2\left(\pi k+\frac{3\pi}{4} \right) \right ]=-1,\:\forall k\in\mathbb{Z}$

La siguiente Figura muestra la gráfica de la función $\large f(x)$ propuesta.

Ejemplo_7_max_min Gráfica de la función f(x)=sen(2x).

¿Te ha gustado el artículo?

(4 votes, average: 4,25 out of 5)

Cargando…

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

¿Te ha gustado
este material?

¡Bravo!

Ejercicios resueltos de máximos y mínimos

Publicar un comentario

Ejercicios resueltos de máximos y mínimos

Publicar un comentario

Resumen

Gráficas y funciones

Resumen de funciones

Estudio de la Continuidad

Representacion de grafica de funciones

Funciones

Funciones

Funciones reales

Teoría

Limites infinitos

Representación de puntos

Tablas de valores

Caracteristicas: graficas

Concepto de funcion I

Función lineal y función identidad

Función constante

Concepto de funcion II

Dominio de una funcion

Composicion de funciones

La Funcion inversa

Funciones acotadas

Maximos y minimos absolutos y relativos

Funciones simétricas

Funciones periódicas

Funciones constantes

Funciones lineales

Representar la funcion afin

Traslaciones de parábolas

Dilataciones y contracciones de funciones

Traslaciones de hipérbolas

Funciones radicales

Funciones definidas a trozos

Función valor absoluto

Funcion exponencial con ejemplos

Logaritmos y funciones logaritmicas

Funciones trigonométricas

Limite de una funcion

Limites laterales

Límites en el infinito

¿Cuales son las propiedades de los límites?

Operaciones con infinito

Limites de funciones en intervalos y en un punto

Calculo de limites cuando x tiende a infinito

Las siete indeterminaciones

Limites por comparacion de infinitos

Indeterminacion division infinito entre infinito en funciones

Resolver la indeterminacion infinito menos infinito

Indeterminacion cero entre cero

Indeterminacion uno elevado a infinito

Teoria y ejercicios de la regla de L’Hopital

Funcion continua

Continuidad lateral

Continuidad de funciones

Funciones matematicas: discontinuidad

Discontinuidad evitable y discontinuidad inevitable

Discontinuidad evitable

Discontinuidad inevitable

Discontinuidad esencial

Continuidad en un intervalo

Teorema de Weierstrass

Propiedad de Darboux

Representacion de una funcion

Puntos de interseccion con los ejes

Asintotas de la funcion

Ramas parabólicas

Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Puntos de inflexion de una funcion

Estudio de una función

Funciones. Gráficas

Gráficas de funciones

Maximos y minimos de una funcion

Limite de la funcion exponencial

Funcion cuadratica

Dominio de una funcion

Optimizacion de funciones

Representacion grafica

¿Que son las funciones racionales?

Tipos de funciones