¡Bienvenido a nuestra página dedicada a ejercicios de máximos y mínimos! En este espacio, exploraremos el apasionante campo de la optimización matemática y te brindaremos los conocimientos y las estrategias necesarias para resolver problemas que involucran encontrar los valores máximos y mínimos de funciones.
Los problemas de máximos y mínimos se encuentran en diversas áreas, como la física, la economía, la ingeniería y muchas otras. Estos desafíos nos invitan a encontrar los puntos críticos de una función, donde la pendiente es cero, y determinar si esos puntos corresponden a máximos o mínimos locales.
Aquí, aprenderás a identificar las características clave de una función que te permitirán determinar sus máximos y mínimos. Haremos esto presentándote una amplia variedad de ejercicios, los cuáles resolveremos utilizando el criterio de la segunda derivada.
Nuestro objetivo es ayudarte a desarrollar tu capacidad para encontrar soluciones óptimas, fortalecer tu razonamiento analítico y promover tu confianza en las matemáticas. Disfruta y aprende con los distintos ejercicios, junto con las explicaciones claras y detalladas que hemos creado para ti. ¡Vuélvete todo un experto en calcular máximos y mínimos de funciones!
Utilizar el criterio de la segunda derivada para calcular los máximos y mínimos locales de las siguientes funciones:
Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada:
Ahora encontremos los puntos críticos 
a través de la solución (o soluciones) de la ecuación 
, es decir 
. Las soluciones de esta ecuación son 
.
Finalmente se evalúa 
en los puntos críticos y determinar si 
o 
.
Tenemos entonces que
Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función 
tiene un mínimo local en 
y un máximo local en 
. Los valores correspondientes de la función son:
La siguiente Figura muestra la gráfica de la función propuesta.
Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada:
Ahora encontremos los puntos críticos a través de la solución (o soluciones) de la ecuación , es decir 
. Las soluciones de esta ecuación son 
.
Finalmente se evalúa en los puntos críticos y determinar si o . Tenemos entonces que
Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función tiene un máximo local en y un mínimo local en . Los valores correspondientes de la función son:
La siguiente Figura muestra la gráfica de la función propuesta.
Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada:
Ahora encontremos los puntos críticos a través de la solución (o soluciones) de la ecuación , es decir 
. Las soluciones de esta ecuación son 
.
Finalmente se evalúa en los puntos críticos y determinar si o . Tenemos entonces que
Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función tiene un máximo local en 
y dos mínimos locales en 
y 
. Los valores correspondientes de la función son:
La siguiente Figura muestra la gráfica de la función propuesta.
Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada:
Ahora encontremos el punto crítico a través de la solución de la ecuación , es decir 
, cuya solución es 
.
Finalmente se evalúa en el punto crítico y determinar si o . Tenemos entonces que
Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función tiene un mínimo local en . El valor correspondiente de la función es:
La siguiente Figura muestra la gráfica de la función propuesta.
Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada:
Ahora encontremos los puntos críticos a través de la solución (o soluciones) de la ecuación , es decir 
. Las soluciones de esta ecuación son 
.
Finalmente se evalúa 
en los puntos críticos y determinar si o . Tenemos entonces que
Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función tiene un máximo local en 
y un mínimo local en . Los valores correspondientes de la función son:
La siguiente Figura muestra la gráfica de la función propuesta.
Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada:
Ahora encontremos los puntos críticos a través de la solución (o soluciones) de la ecuación
, es decir
. Las soluciones de esta ecuación son 
, sin embargo, dado que el dominio de la función es 
, es claro que 
(esto debido a que 
). Por lo tanto, el único punto crítico a considerar es 
.
Finalmente se evalúa en el punto crítico y determinar si o . Tenemos entonces que
Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función tiene un máximo local en 
. El valor correspondiente de la función es:
La siguiente Figura muestra la gráfica de la función propuesta.
Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada:
Ahora encontremos los puntos críticos a través de la solución (o soluciones) de la ecuación
, es decir 
. Para esto, sea 
, entonces tenemos 
, cuyas soluciones están dadas por:
Luego, regresando a la variable original tenemos que los puntos críticos están dados por:
Ahora se evalúa en los puntos críticos y determinar si o . Para esto, consideremos dos casos:
Si 
(par), entonces 
, por lo que
Si 
(impar), entonces 
, por lo que
Por lo tanto, por el criterio de la segunda derivada, la función tiene sus máximos locales en 
y los mínimos locales en 
.
Además los valores correspondientes para la función son:
La siguiente Figura muestra la gráfica de la función propuesta.
Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada:
Ahora encontramos los puntos críticos a través de la solución (o soluciones) de la ecuación 
Tenemos entonces que
Las soluciones a esta ecuación son
y 
. Así, solo tenemos dos puntos críticos
Finalmente, se evalúa
en el punto crítico y determinar si o . Tenemos entonces que
Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función
tiene un mínimo local en 
, es decir, en el punto
Ahora evaluamos en el segundo punto crítico:
Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función
tiene un máximo local en 
, es decir, en el punto 
La siguiente figura muestra la gráfica de la función propuesta.
Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada:
Ahora encontramos los puntos críticos a través de la solución (o soluciones) de la ecuación
Tenemos entonces que
Las soluciones a esta ecuación, para
, son 
y 
. Así, solo tenemos dos puntos críticos
Finalmente, se evalúa
en el punto crítico y determinar si o .Tenemos entonces que
Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función
tiene un máximo local en 
, es decir, en el punto
Ahora evaluamos en el segundo punto crítico:
Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función
tiene un mínimo local en 
, es decir, en el punto
La siguiente figura muestra la gráfica de la función
propuesta. 
Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada:
Ahora encontramos los puntos críticos a través de la solución (o soluciones) de la ecuación
Tenemos entonces que
La solución a esta ecuación es
. Así, solo tenemos un punto crítico
Finalmente, se evalúa
en el punto crítico y determinar si o . Tenemos entonces que
Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función tiene un máximo local en 
, es decir, en el punto
La siguiente figura muestra la gráfica de la función
propuesta.
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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Cual es un buen graficador de funciones con cuadricula en el fondo y ejes coordenados para graficar funciones.He visto uno elaborado por Mariluna Saldivar Pat titulado «¿Que es una funcion lineal? pero no se con que programa hizo el dibujo
Hola en internet esta geogebra y simbolab que son los que yo uso, creo que si preguntas en el buscador te recomiendan otros muy buenos, los que mencione antes trabajo muy bien con ellos y los recomiendo.
Me ayudarian hacer la funcion lineal con grafico
Y=2×+1
La primera derivada se anula en x = 3. Por lo tanto 3 es otro punto crítico de la función del ejemplo.
Hola gracias por la observación, podrías hacernos el favor de mostrarnos la función que se deriva y se encuentran los puntos críticos.
El Punto de inflexión en el ejercicio 2: f(x) = x^3 + x + 1 debe ser (0, 1)
Hola agradecemos tu comentario, tenias razón era un error que ya se corrigió.