Name: Ejercicios resueltos de maximos y minimos
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Aprende desde casa

Los/as profes

Marta

24 marzo 2020

Utilizar el criterio de la segunda derivada para calcular los máximos y mínimos locales de las siguientes funciones:

1 $f(x)=x^{3}-3x+2$

Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada:

$\\f(x)&=&x^3-3x+2 \\ f^\prime(x)&=&3x^2-3\\ f^{\prime\prime}(x)&=&6x$

Ahora encontremos los puntos críticos $x^*$ a través de la solución (o soluciones) de la ecuación $f^\prime(x)=0$ , es decir $3x^2-3=0$ . Las soluciones de esta ecuación son $x_1=1, x_2=-1$ .

Finalmente se evalúa $f^{\prime \prime}(x)$ en los puntos críticos $x^*$ y determinar si $f^{\prime \prime}(x^\ast)>0$ o $f^{\prime \prime}(x^\ast)<0$ .

Tenemos entonces que

$\\f^{\prime \prime}(x_1)=6x_1=6(1)=6>0\\ f^{\prime \prime}(x_2)=6x_2=6(-1)=-6<0$

Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función $f(x)$ tiene un mínimo local en $x=1$ y un máximo local en $x=-1$ . Los valores correspondientes de la función son:

$\\f(1)&=&(1)^3-3(1)+2=0\\ f(-1)&=&(-1)^3-3(-1)+2=4$

La siguiente Figura muestra la gráfica de la función $f(x)$ propuesta.

2 $f(x)=3x-x^{3}$

Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada:

$\\f(x)&=&3x-x^3\\ f^\prime(x)&=&3-3x^2\\ f^{\prime\prime}(x)&=&-6x$

Ahora encontremos los puntos críticos $x^*$ a través de la solución (o soluciones) de la ecuación $f^\prime(x)=0$ , es decir $3-3x^2=0$ . Las soluciones de esta ecuación son $x_1=1,\:x_2=-1$ .

Finalmente se evalúa $f^{\prime \prime}(x)$ en los puntos críticos $x^*$ y determinar si $f^{\prime \prime}(x^\ast)>0$ o $f^{\prime \prime}(x^\ast)<0$ . Tenemos entonces que

$\\f^{\prime \prime}(x_1)=-6x_1=-6(1)=-6<0\\ f^{\prime \prime}(x_2)=-6x_2=-6(-1)=6>0$

Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función $f(x)$ tiene un máximo local en $x=1$ y un mínimo local en $x=-1$ . Los valores correspondientes de la función son:

$\\f(1)&=&3(1)-(1)^3=2 \\ f(-1)&=&3(-1)-(-1)^3=-2$

La siguiente Figura muestra la gráfica de la función $f(x)$ propuesta.

3 $f(x)=x^{4}-8x^{2}+3$

Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada:

$\\f(x)&=&x^4-8x^2+3 \\ f^\prime(x)&=&4x^3-16x \\ f^{\prime\prime}(x)&=&12x^2-16$

Ahora encontremos los puntos críticos $x^*$ a través de la solución (o soluciones) de la ecuación $f^\prime(x)=0$ , es decir $4x^3-16x=4x(x^2-4)=0$ . Las soluciones de esta ecuación son $x_1=0,\:x_2=2,\:x_3=-2$ .

Finalmente se evalúa $f^{\prime \prime}(x)$ en los puntos críticos $x^*$ y determinar si $f^{\prime \prime}(x^\ast)>0$ o $f^{\prime \prime}(x^\ast)<0$ . Tenemos entonces que

$\\f^{\prime \prime}(x_1)=12(0)^2-16=-16<0 \\ f^{\prime \prime}(x_2)=12(2)^2-16=32>0 \\ f^{\prime \prime}(x_3)=12(-2)^2-16=32>0$

Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función $f(x)$ tiene un máximo local en $x=0$ y dos mínimos locales en $x=2$ y $x=-2$ . Los valores correspondientes de la función son:

$\\f(0)&=&(0)^4-8(0)^2+3=3 \\f(2)&=&(2)^4-8(2)^2+3=-13 \\f(-2)&=&(-2)^4-8(-2)^2+3=-13$

La siguiente Figura muestra la gráfica de la función $f(x)$ propuesta.

4 $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-x-2}{x^2-6x+9}$

Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada:

$\displaystyle f(x)=\frac{x^2-x-2}{x^2-6x+9}=\frac{(x+1)(x-2)}{(x-3)^2}$

$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{(2x-1)(x-3)^2-2(x-3)(x+1)(x-2)}{(x-3)^2}=\frac{5x-7}{(3-x)^3}$

$\displaystyle f^{\prime \prime}(x)=\frac{5(3-x)^3+3(3-x)^2(5x-7)}{(3-x)^6}=\frac{2(5x-3)}{(x-3)^4}$

Ahora encontremos el punto crítico $x^*$ a través de la solución de la ecuación $f^\prime(x)=0$ , es decir $5x-7=0$ , cuya solución es $\displaystyle x=\frac{7}{5}$ .

Finalmente se evalúa $f^{\prime \prime}(x)$ en el punto crítico $x^*$ y determinar si $f^{\prime \prime}(x^\ast)>0$ o $f^{\prime \prime}(x^\ast)<0$ . Tenemos entonces que

$\displaystyle f^{\prime \prime}(x)=\frac{2[5(\frac{7}{5})-3]}{(\frac{7}{5}-3)^4}=\frac{625}{512}>0$

Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función $f(x)$ tiene un mínimo local en $\displaystyle x=\frac{7}{5}$ . El valor correspondiente de la función es:

$\displaystyle f\left(\frac{7}{5} \right )=\frac{\left(\frac{7}{5} \right )^2-\left(\frac{7}{5} \right )-2}{\left(\frac{7}{5} \right )^2-6\left(\frac{7}{5} \right )+9}=-\frac{9}{16}$

La siguiente Figura muestra la gráfica de la función $f(x)$ propuesta.

5 $f(x)=e^x\left(2x^2+x-8 \right )$

Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada:

$f(x)=e^x\left(2x^2+x-8 \right )$

$f^{\prime}(x)=e^x\left(4x+1\right )+e^x\left(2x^2+x-8 \right )=e^x\left(2x^2+5x-7 \right )$

$f^{\prime\prime}(x)=e^x\left(4x+5 \right )+e^x\left(2x^2+5x-7 \right )=e^x\left(2x^2+9x-2 \right )$

Ahora encontremos los puntos críticos $x^*$ a través de la solución (o soluciones) de la ecuación $f^\prime(x)=0$ , es decir $2x^2+5x-7=0$ . Las soluciones de esta ecuación son $\displaystyle x_1=-\frac{7}{2},\:x_2=1.$ .

Finalmente se evalúa $\f^{\prime \prime}(x)$ en los puntos críticos $x^*$ y determinar si $f^{\prime \prime}(x^\ast)>0$ o $f^{\prime \prime}(x^\ast)<0$ . Tenemos entonces que

$\displaystyle \\f^{\prime\prime}(x_1)=e^{-7/2} \left[ 2\left(-\frac{7}{2}\right )^2+9\left(-\frac{7}{2}\right )-2 \right]=-9e^{-7/2}<0 \\f^{\prime\prime}(x_2)=e^{1} \left[ 2\left(1\right )^2+9\left(1\right )-2 \right]=9e>0$

Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función $f(x)$ tiene un máximo local en $\displaystyle x=-\frac{7}{2}$ y un mínimo local en $x=1$ . Los valores correspondientes de la función son:

$\displaystyle \\f\left(-\frac{7}{2}\right)=e^{-7/2}\left[2\left(-\frac{7}{2}\right)^2+\left(-\frac{7}{2}\right)-8 \right]=13e^{-7/2}\\ f\left(1\right)=e^{1}\left[2\left(1\right)^2+1-8 \right]=-5e$

La siguiente Figura muestra la gráfica de la función $f(x)$ propuesta.

Gráfica de la función f(x)=exp(x)(2x²+x-8

6 $\displaystyle \\f(x)=x+\ln\left(x^2-1 \right)$

Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada:

$\displaystyle \\f(x)=x+\ln\left(x^2-1 \right) \\f^{\prime}(x)=1+\frac{2x}{x^2-1}=\frac{x^2+2x-1}{x^2-1} \\f^{\prime\prime}(x)=\frac{2\left(x^2-1 \right )-2x(2x)}{\left(x^2-1 \right )^2}=\frac{-2\left(x^2+1 \right )}{\left(x^2-1 \right )^2}$

Ahora encontremos los puntos críticos $x^*$ a través de la solución (o soluciones) de la ecuación $f^\prime(x)=0$
, es decir $x^2+2x-1=0$ . Las soluciones de esta ecuación son $x_1=-1+\sqrt{2},\:x_2=-1-\sqrt{2}$ , sin embargo, dado que el dominio de la función es $\mathcal{D}_{f(x)}=(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$ , es claro que $x_1\notin\mathcal{D}_{f(x)}$
(esto debido a que $x_1=-1+\sqrt{2}\approx 0.414$ ). Por lo tanto, el único punto crítico a considerar es $x_2$
.

Finalmente se evalúa $f^{\prime \prime}(x)$ en el punto crítico $x^*$ y determinar si $f^{\prime \prime}(x^\ast)>0$ o $f^{\prime \prime}(x^\ast)<0$ . Tenemos entonces que

$\displaystyle f^{\prime\prime}(x_2)=\frac{-2\left[\left(-1-\sqrt{2}\right)^2+1 \right]}{\left[\left(-1-\sqrt{2}\right)^2-1 \right ]^2}=\sqrt{2}-2\approx-0.586<0$

Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función $f(x)$ tiene un máximo local en $x=-1-\sqrt{2}$ . El valor correspondiente de la función es:

$f(-1-\sqrt{2})=(-1-\sqrt{2})+\ln\left[(-1-\sqrt{2})^2-1 \right]\approx-0.84$

La siguiente Figura muestra la gráfica de la función $f(x)$ propuesta.

7 $f(x)=sin(2x)$

Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada:

$\\f(x)=\sin(2x) \\f^{\prime}(x)=2\cos(2x) \\f^{\prime\prime}(x)=-4\sin(2x)$

Ahora encontremos los puntos críticos $x^*$ a través de la solución (o soluciones) de la ecuación $f^\prime(x)=0$
, es decir $\cos(2x)=0$ . Para esto, sea $\theta=2x$ , entonces tenemos $\cos \theta=0$ , cuyas soluciones están dadas por:

$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}+\pi n,\:n\in\mathbb{Z}$

Luego, regresando a la variable original tenemos que los puntos críticos están dados por:

$\displaystyle x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2} n,\:n\in\mathbb{Z}$

Ahora se evalúa $f^{\prime \prime}(x)$ en los puntos críticos $x^*$ y determinar si $f^{\prime \prime}(x^\ast)>0$ o $f^{\prime \prime}(x^\ast)<0$ . Para esto, consideremos dos casos:

Si $n=2k,\:k\in\mathbb{Z}$ (par), entonces $\displaystyle x=\pi k+\frac{\pi}{4}$
, por lo que

$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=-4\sin\left(2\pi k+\frac{\pi}{2} \right )=-4,\:\forall k\in\mathbb{Z}$

Si $\displaystyle n=2k+1,\:k\in\mathbb{Z}$ (impar), entonces $\displaystyle x=\pi k+\frac{3\pi}{4}$
, por lo que

$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=-4\sin\left(2\pi k+\frac{3\pi}{2} \right )=4,\:\forall k\in\mathbb{Z}$

Por lo tanto, por el criterio de la segunda derivada, la función $f(x)$ tiene sus máximos locales en $\displaystyle x=\pi k+\frac{\pi}{4},\:k\in\mathbb{Z}$ y los mínimos locales en $\displaystyle x=\pi k+\frac{3\pi}{4},\:k\in\mathbb{Z}$ .

Además los valores correspondientes para la función son:

$\displaystyle \\f\left(\pi k+\frac{\pi}{4}\right )=\sin\left[2\left(\pi k+\frac{\pi}{4} \right) \right ]=1,\:\forall k\in\mathbb{Z} \\\\f\left(\pi k+\frac{3\pi}{4}\right )=\sin\left[2\left(\pi k+\frac{3\pi}{4} \right) \right ]=-1,\:\forall k\in\mathbb{Z}$

La siguiente Figura muestra la gráfica de la función $f(x)$ propuesta.

Recuerda que si necesitas ayuda adicional, podrás encontrar el profesor de mates ideal para tu nivel en Superprof.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Comentarios

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Nieto

Mayo

Me frusta un poco ver siempre que entro en esta pagina web lo de aprende desde casa.
>:V

Superprof

Mayo

¡Hola! Puedes cerrar el banner pinchando en la x que aperece en la esquina superior derecha 🙂

José

Enero

Pues sí pero no nos queda de otra estudiar o trabajar de quién sabe que en quién sabe dónde..

Siliezar

Junio

Me ayudan demsiadoo con mis trabajos de matematica!, gracias por compartir conocimiento.

Superprof

Junio

Es un placer leer tu comentario. <3

Diaz

Julio

Hola superprof me encanta este sistema de estudio no podría ser mejor pero tengo una duda en el ejercicio N°1 ahí creo que el resulado de la ecuación 3x^2-3=0 son [x=1] y [x=-1]

Luis Ernesto Sanchez Perez

Agosto

Buen día.

Tienes razón, los puntos críticos son los que tu mencionas, se harán las correcciones correspondientes.
Gracias por tu comentario y ayudarnos a mejorar.

Saludos

Saravia

Julio

simplemente hermoso, gracias

Superprof

Julio

¡Gracias! <3

Estudiante

Octubre

Cuales serian los maximos y minimos de:
f(x)=(1)/(3)x^(3)-x^(2)-3x+4

Edgardo

Octubre

me pueden ayudar con este ejercicio, Halla los puntos máximos, mínimo e inflexión de la siguiente función

y = x3 + 3×2 − 8

Agustin Emanuel Toloza

Noviembre

En el caso de tener una función con F(x)=x^3+2x+3
¿Cuáles serian sus puntos críticos?

brigit

Diciembre

extremos relativos de las siguientes funciones:

𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 12𝑥 + 1
Esto como se resuelve?¿

Ejercicios de máximos y mínimos y sus soluciones

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