Continuidad de una función en un punto

 

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

 

1. Que el punto x= a tenga imagen.

 

 

2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.

 

 

3. Que la imagen el punto coincida con el límite de la función en el punto.

 

 

Continuidad lateral

 

Continuidad por la izquierda

 

Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto x = a si:

 

Continuidad por la derecha

 

Una función f(x) es continua por la derecha en el punto x = a si:

 

 

Continuidad de funciones

 

Las funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas son continuas en todos los puntos de su dominio.

 

Funciones definidas a trozos

 

Las funciones definidas a trozos son continuas si cada función lo es en su intervalo de definición, y si lo son en los puntos de división de los intervalos, por tanto tienen que coincidir sus límites laterales.

 

Operaciones con funciones continuas

 

Si f y g son continuas en x=a, entonces:

 

f + g es continua en x = a.

 

f · g es continua en x = a.

 

f / g es continua en x = a, si g(a) ≠ 0.

 

f ο g es continua en x = a.

 

Tipos de discontinuidad

 

Discontinuidad evitable

 

Una discontinuidad es evitable en un punto x = a si existe

 

Tipos

 

1. La función no está definida en x = a.

 

 

2. La imagen no coincide con el límite.

 

 

Discontinuidad inevitable

 

Una discontinuidad es inevitable o de primera especie si existen los límites laterales en x = a, pero son distintos.

 

 

Tipos

 

1. Discontinuidad inevitable de salto finito

 

La diferencia entre los límites laterales es un número real.

 

 

2. Discontinuidad inevitable de salto infinito

 

La diferencia entre los límites laterales es infinito.

 

 

Discontinuidad esencial

 

Una discontinuidad es esencial o de segunda especie si no existe alguno de los límites laterales en x = a.

 

Continuidad en un intervalo

 

Continuidad en un intervalo cerrado

 

Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] si:

 

f es continua en x, para todo x perteneciente al intervalo abierto (a, b)

 

f es continua en a por la derecha:

 

 

f es continua en b por la izquierda:

 

 

Consecuencia

 

Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f está acotada en dicho intervalo.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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