Continuidad de una función en un punto

 

Se dice que una función  f(x)  es continua en un punto   x = a  si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

 

    1. La función   f(x)  esta  definida en  el punto a, o sea, para el punto  x=a  existe la imagen  f(a).

 

    1. El límite   L  de la función   f(x)  cuando   x  tiende al punto  a  existe, por tanto sus límites laterales son iguales, es decir,

          $$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L=\lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x).$$

 

  1. El límite  L  de   f(x)  cuando  x  tiende al punto  a  sea igual al valor  f(a),  en términos matemáticos esto significa que,

        $$f(a)=L=\lim_{x\rightarrow a}f(x).$$

 

Continuidad por la izquierda

 

Una función  f(x)  es continua por la izquierda en el punto  x = a  si se cumplen las tres condiciones siguientes:

 

    1. La función   f(x)   esta  definida en  el punto  a , es decir, para el punto  x=a  existe la imagen  f(a).

 

    1. El límite  por la izquierda   L  de  f(x)  cuando  x  tiende al punto   a  por la izquierda existe. Esto es,

          $$L=\lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x).$$

 

  1. El límite   L  de la función   f(x)  cuando  x  tiende al punto  a  por la izquierda sea igual al valor  f(a),  o sea,

        $$f(a)=L=\lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x).$$

Continuidad por la derecha

 

Una función  f(x)  es continua por la derecha en el punto  x = a si se cumplen las tres condiciones siguientes:

 

    1. La función   f(x)  esta  definida en  el punto  a , es decir, para el punto  x=a  existe la imagen  f(a).

 

    1. El límite  por la izquierda   L  de la función  f(x)  cuando  x  tiende al punto   a  por la derecha existe.

          $$L=\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x).$$

 

  1. El límite   L  de   f(x)  cuando  x  tiende al punto  a  por la derecha sea igual al valor  f(a),  o sea,

        $$f(a)=L=\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x).$$

 

Continuidad de funciones

 

Existen varios tipos de funciones continuas, tales como, funciones continuas en todos los punto de su dominio o funciones continuas en solo algunos trozos de su dominio. Algunos ejemplos de funciones continuas en todos los puntos de su dominio son las funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. 
Los siguientes son casos particulares de la situación anteriormente descrita.

    $$f(x)=x, \qquad f(x)=a_{k}x^{k}+\dots+a_{1}x+a_{0}.$$

    $$f(x)=\sqrt{x}, \qquad f(x)=\sqrt[k]{x}.$$

 

    $$f(x)={\rm e}^{k}, \qquad f(x)={\rm ln}(x).$$

    $$f(x)={\rm sen}(x), \qquad f(x)={\rm cos}(x).$$

Funciones definidas a trozos

 

Las funciones definidas a trozos son el principal caso de funciones que cumplen con ser continuas solo en algunos trozos o intervalos de su dominio. Un ejemplo de función a trozos es la siguiente

 

    $$ f(x)=\begin{cases} 1&\text{si }x\leq1,\\ x&\text{si }1<x\leq3,\\ 3&\text{si }x>3. \end{cases} $$

Podemos estudiar este tipo de funciones como funciones, que a su vez, se encuentran definidas por otras funciones. En el ejemplo anterior esto significaría que  f  está definida a través de las funciones constante 1 en el intervalo o trozo  (-\infty,1],  la identidad en  (1,3]  y la función constante  3  en  (3,\infty).
Bajo este contexto, una función a trozos será continua si cada función es continua en su intervalo de definición, y además son continuas en los puntos de división de los intervalos, esto implica que deben coincidir sus límites laterales.
O sea, si quisieramos mostrar la continudad de  f,  habríamos de verificar la continuidad de la función constante  1  dentro del intervalo  (-\infty,1]  (incluyendo la continuidad en el extremo 1), la identidad dentro de  (1,3]  (incluyendo la continuidad en el extremo 3) y la función constante  3  en (3,\infty).

Operaciones con funciones continuas

 

Es importante notar que, a partir de funciones continuas dadas, podemos generar otras funciones continuas. Esto lo podemos hacer a través de las operaciones básicas con funciones, las cuales son suma, resta, multiplicación, división y composición. 
Las condiciones para verificar la continuidad en estas combinaciones son las siguientes

Si  f  y  g  son continuas en  x=a , entonces:

 

    1. (f+g)(x)=f(x)+g(x)  es continua en  x=a.

 

    1. (f-g)(x)=f(x)-g(x)  es continua en  x=a.

 

    1. (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)  es continua en  x=a.

 

    1. Si  g(x)\neq 0  entonces

          $$(f/g)(x)=\cfrac{f(x)}{g(x)}$$

      es continua en  x=a.

 

  1. (f\circ g)(x)=f(g(x))  es continua en  x=a.

 

Por ejemplo, las funciones  f(x)=x^{2}  y  g(x)=x  son continuas en todos los puntos de su dominio. Entonces las funciones

    $$(f-g)(x)=f(x)-g(x)=x^{2}-x,$$

    $$(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)=x^{2}x=x^{3},$$

    $$(f\circ g)(x)=f(g(x))=x^{2},$$

son continuas. Y además, cuando  x\neq 0,  se sigue que  (f/g)(x)=f(x)/g(x)=x  también es continua.

Tipos de discontinuidad

 

Hay funciones que tienen puntos donde no cumplen con la definición de continuidad, a estos puntos los llamamos puntos de discontinuidad. Es importante recalcar que hay varios tipos de discontinuidad y a continuación los estudiaremos.

Discontinuidad evitable

 

La discontinuidad evitable de una función  f(x)  en un punto  x=a  se presenta cuando el límite siguiente existe

    $$\lim_{x\rightarrow a}f(x).$$

Esto significa que la discontinuidad se presenta cuando algo pasa con la imagen de punto  f(x).   Podemos distinguir entre dos tipos.

Tipos

1. La función no está definida en  x=a. 

 

Esto significa que el valor  f(a)  no existe.
Esta discontinuidad la podemos remover definiendo un valor para  f(a), y dicho valor debe ser igual al límite de  f(x)  cuando  x  tiende  a,  es decir,

    $$f(a)=\lim_{x\rightarrow a}f(x).$$

2. La imagen no coincide con el límite.

 

En este caso tenemos que el valor  \lim_{x\rightarrow a}f(x)  existe y también el valor  f(a),  pero ambos valores no coinciden.
La manera de evitar esta discontinuidad es redefiniendo el valor de  f(a)  de tal forma que el nuevo valor sea  igual al limite de  f(x)  cuando  x  tiende  a,  o sea,

    $$f(a)=\lim_{x\rightarrow a}f(x)$$

Discontinuidad inevitable

 

Una discontinuidad es inevitable o de primera especie si existen los límites laterales en  x=a,  pero son distintos. Equivalentemente,

 

    $$\lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x)\neq\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x).$$

En esta clase de discontinuidad también podemos encontrar dos tipos

Tipos

1. Discontinuidad inevitable de salto finito

 

Esto significa que la diferencia entre los límites laterales es un número real. En expresiones matemáticas, esta situación es equivalente a

    $$|\lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x)-\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)|=k,\quad\text{para algún}\quad k\in\mathbb{R}.$$

2. Discontinuidad inevitable de salto infinito

 

En este caso la diferencia entre los límites laterales es infinito, es decir,

    $$|\lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x)-\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)|=\infty.$$

Discontinuidad esencial

 

Finalmente tenemos una discontinuidad inevitable más, en la que el limite  \lim_{x\rightarrow a}f(x)  no existe.

Diremos que una discontinuidad es esencial o de segunda especie si al menos no existe alguno de los límites laterales en  x=a

 

Continuidad en un intervalo

 

Continuidad en un intervalo cerrado

 

Uno de los casos destacados de continuidad de funciones es cuando la función es continua en un intervalo cerrado. Esto es porque la función posee propiedades adicionales a la continuidad, por ejemplo es acotada.
Diremos que una función  f(x)  es continua en un intervalo cerrado  [a,b]  si:

    • f(x)   es continua en  x,  para todo x perteneciente al intervalo abierto  (a,b) .

 

    • f(x)  es continua en  a  por la derecha. Equivalentemente,

          $$f(a)\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x).$$

 

  •  f(x)  es continua en  b  por la izquierda, es decir,

        $$f(b)\lim_{x\rightarrow b^{-}}f(x).$$

 

Como ejemplo, consideremos la función  f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R},  tal que  f(x)=x^{3} .
 

Esta función es continua en el intervalo  [0,1]  y más aún es acotada en dicho intervalo. Alcanza su valor mínimo igual a  0  en  x=0,  pues  f(0)=0;  su valor máximo igual a  1  en  x=1,  ya que f(1)=1.
 

Consecuencia

 

Como consecuencia de lo anterior tenemos que si  f(x)  es continua en un intervalo cerrado  [a,b],  entonces  f(x)  está acotada en el intervalo. Esto significa que la función alcanza su máximo y mínimo en dentro del intervalo  [a,b],  tal como sucede en el ejemplo anterior.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗