Capítulos
¿Conoces nuestras clases de matematicas?
Se dice que una función 
es continua en un punto 
si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:
-
- La función esta definida en el punto
, o sea, para el punto 
existe la imagen 
- La función
-
- El límite
de la función cuando 
tiende al punto existe, por tanto sus límites laterales son iguales, es decir,
- El límite
- El límite de cuando tiende al punto sea igual al valor
en términos matemáticos esto significa que,
Continuidad lateral
La continuidad lateral en un punto se define de manera similar a la continuidad en un punto, la diferencia es que aquí solo necesitamos que uno de los límites laterales existan. Así, podemos dividir la continuidad lateral en dos casos, continuidad por la izquierda y continuidad por la derecha.
Continuidad por la izquierda
Una función es continua por la izquierda en el punto si se cumplen las tres condiciones siguientes:
-
- La función esta definida en el punto , es decir, para el punto existe la imagen
- La función
-
- El límite por la izquierda de cuando tiende al punto por la izquierda existe. Esto es,
- El límite por la izquierda
- El límite de la función cuando tiende al punto por la izquierda sea igual al valor o sea,
Continuidad por la derecha
Una función es continua por la derecha en el punto si se cumplen las tres condiciones siguientes:
-
- La función esta definida en el punto , es decir, para el punto existe la imagen
.
- La función
-
- El límite por la izquierda de la función cuando tiende al punto por la derecha existe.
- El límite por la izquierda
- El límite de cuando tiende al punto por la derecha sea igual al valor o sea,
Continuidad de funciones
Existen varios tipos de funciones continuas, tales como, funciones continuas en todos los punto de su dominio o funciones continuas en solo algunos trozos de su dominio. Algunos ejemplos de funciones continuas en todos los puntos de su dominio son las funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.
Los siguientes son casos particulares de la situación anteriormente descrita.
Funciones definidas a trozos
Las funciones definidas a trozos son el principal caso de funciones que cumplen con ser continuas solo en algunos trozos o intervalos de su dominio. Un ejemplo de función a trozos es la siguiente
Podemos estudiar este tipo de funciones como funciones, que a su vez, se encuentran definidas por otras funciones. En el ejemplo anterior esto significaría que 
está definida a través de las funciones constante 
en el intervalo o trozo 
la identidad en 
y la función constante 
en 
Bajo este contexto, una función a trozos será continua si cada función es continua en su intervalo de definición, y además son continuas en los puntos de división de los intervalos, esto implica que deben coincidir sus límites laterales.
O sea, si quisieramos mostrar la continudad de 
habríamos de verificar la continuidad de la función constante dentro del intervalo 
(incluyendo la continuidad en el extremo 1), la identidad dentro de (incluyendo la continuidad en el extremo 3) y la función constante en
Operaciones con funciones continuas
Es importante notar que, a partir de funciones continuas dadas, podemos generar otras funciones continuas. Esto lo podemos hacer a través de las operaciones básicas con funciones, las cuales son suma, resta, multiplicación, división y composición.
Las condiciones para verificar la continuidad en estas combinaciones son las siguientes
Si y 
son continuas en , entonces:
-
es continua en .
-
es continua en .
-
es continua en .
-
- Si
entonces
es continua en.
- Si
es continua en .
Por ejemplo, las funciones 
y 
son continuas en todos los puntos de su dominio. Entonces las funciones
son continuas. Y además, cuando 
se sigue que 
también es continua.
Tipos de discontinuidad
Hay funciones que tienen puntos donde no cumplen con la definición de continuidad, a estos puntos los llamamos puntos de discontinuidad. Es importante recalcar que hay varios tipos de discontinuidad y a continuación los estudiaremos.
Discontinuidad evitable
La discontinuidad evitable de una función en un punto se presenta cuando el límite siguiente existe
Esto significa que la discontinuidad se presenta cuando algo pasa con la imagen de punto 
Podemos distinguir entre dos tipos.
Tipos
1. La función no está definida en 
Esto significa que el valor no existe.
Esta discontinuidad la podemos remover definiendo un valor para y dicho valor debe ser igual al límite de cuando tiende 
es decir,
2. La imagen no coincide con el límite.
En este caso tenemos que el valor 
existe y también el valor pero ambos valores no coinciden.
La manera de evitar esta discontinuidad es redefiniendo el valor de de tal forma que el nuevo valor sea igual al limite de cuando tiende o sea,
Discontinuidad inevitable
Una discontinuidad es inevitable o de primera especie si existen los límites laterales en 
pero son distintos. Equivalentemente,
En esta clase de discontinuidad también podemos encontrar dos tipos
Tipos
1. Discontinuidad inevitable de salto finito
Esto significa que la diferencia entre los límites laterales es un número real. En expresiones matemáticas, esta situación es equivalente a
2. Discontinuidad inevitable de salto infinito
En este caso la diferencia entre los límites laterales es infinito, es decir,
Discontinuidad esencial
Finalmente tenemos una discontinuidad inevitable más, en la que el limite no existe.
Diremos que una discontinuidad es esencial o de segunda especie si al menos no existe alguno de los límites laterales en
Continuidad en un intervalo
Continuidad en un intervalo cerrado
Uno de los casos destacados de continuidad de funciones es cuando la función es continua en un intervalo cerrado. Esto es porque la función posee propiedades adicionales a la continuidad, por ejemplo es acotada.
Diremos que una función es continua en un intervalo cerrado 
si:
-
- es continua en
para todo perteneciente al intervalo abierto 
.
-
- es continua en por la derecha. Equivalentemente,
- es continua en
por la izquierda, es decir,
Como ejemplo, consideremos la función 
tal que 
.
Esta función es continua en el intervalo 
y más aún es acotada en dicho intervalo. Alcanza su valor mínimo igual a 
en 
pues 
su valor máximo igual a en 
ya que 
Consecuencia
Como consecuencia de lo anterior tenemos que si es continua en un intervalo cerrado 
entonces está acotada en el intervalo. Esto significa que la función alcanza su máximo y mínimo en dentro del intervalo tal como sucede en el ejemplo anterior.
¿Necesitas clases de matematicas en Valladolid?
¿Te ha gustado este artículo? ¡Califícalo!
Cargando...
Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Me ayudarian hacer la funcion lineal con grafico
Y=2×+1
La primera derivada se anula en x = 3. Por lo tanto 3 es otro punto crítico de la función del ejemplo.
Hola gracias por la observación, podrías hacernos el favor de mostrarnos la función que se deriva y se encuentran los puntos críticos.
El Punto de inflexión en el ejercicio 2: f(x) = x^3 + x + 1 debe ser (0, 1)
Hola agradecemos tu comentario, tenias razón era un error que ya se corrigió.
la grafica esta mal echa de signos de cada cuadrante
Hola te agradecemos por visitar nuestra pagina, podrías mencionar el número de ejercicio para poder rectificar esos errores que mencionas.
Se podría añadir un poco más de explicación a por que se hace cada paso ( ejemplo porque se divide todo por x ^2?)
Hola agradecemos que puedas darnos tu opinión, cuando surja una duda en este espacio de los comentarios estaremos atentos para darte una explicación con respecto a algo que no entiendas, exista un error o se pueda mejorar una explicación, solo comunícalo y te contestaremos.