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¿Conoces nuestras clases de matematicas?
Continuidad de una función en un punto
Se dice que una función es continua en un punto
si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:
-
- La función
esta definida en el punto
, o sea, para el punto
existe la imagen
- La función
-
- El límite
de la función
cuando
tiende al punto
existe, por tanto sus límites laterales son iguales, es decir,
- El límite
- El límite
de
cuando
tiende al punto
sea igual al valor
en términos matemáticos esto significa que,
Continuidad lateral
La continuidad lateral en un punto se define de manera similar a la continuidad en un punto, la diferencia es que aquí solo necesitamos que uno de los límites laterales existan. Así, podemos dividir la continuidad lateral en dos casos, continuidad por la izquierda y continuidad por la derecha.
Continuidad por la izquierda
Una función es continua por la izquierda en el punto
si se cumplen las tres condiciones siguientes:
-
- La función
esta definida en el punto
, es decir, para el punto
existe la imagen
- La función
-
- El límite por la izquierda
de
cuando
tiende al punto
por la izquierda existe. Esto es,
- El límite por la izquierda
- El límite
de la función
cuando
tiende al punto
por la izquierda sea igual al valor
o sea,
Continuidad por la derecha
Una función es continua por la derecha en el punto
si se cumplen las tres condiciones siguientes:
-
- La función
esta definida en el punto
, es decir, para el punto
existe la imagen
.
- La función
-
- El límite por la izquierda
de la función
cuando
tiende al punto
por la derecha existe.
- El límite por la izquierda
- El límite
de
cuando
tiende al punto
por la derecha sea igual al valor
o sea,
Continuidad de funciones
Existen varios tipos de funciones continuas, tales como, funciones continuas en todos los punto de su dominio o funciones continuas en solo algunos trozos de su dominio. Algunos ejemplos de funciones continuas en todos los puntos de su dominio son las funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.
Los siguientes son casos particulares de la situación anteriormente descrita.
Funciones definidas a trozos
Las funciones definidas a trozos son el principal caso de funciones que cumplen con ser continuas solo en algunos trozos o intervalos de su dominio. Un ejemplo de función a trozos es la siguiente
Podemos estudiar este tipo de funciones como funciones, que a su vez, se encuentran definidas por otras funciones. En el ejemplo anterior esto significaría que está definida a través de las funciones constante
en el intervalo o trozo
la identidad en
y la función constante
en
Bajo este contexto, una función a trozos será continua si cada función es continua en su intervalo de definición, y además son continuas en los puntos de división de los intervalos, esto implica que deben coincidir sus límites laterales.
O sea, si quisieramos mostrar la continudad de habríamos de verificar la continuidad de la función constante
dentro del intervalo
(incluyendo la continuidad en el extremo 1), la identidad dentro de
(incluyendo la continuidad en el extremo 3) y la función constante
en
Operaciones con funciones continuas
Es importante notar que, a partir de funciones continuas dadas, podemos generar otras funciones continuas. Esto lo podemos hacer a través de las operaciones básicas con funciones, las cuales son suma, resta, multiplicación, división y composición.
Las condiciones para verificar la continuidad en estas combinaciones son las siguientes
Si y
son continuas en
, entonces:
-
es continua en
.
-
es continua en
.
-
es continua en
.
-
- Si
entonces
es continua en
.
- Si
es continua en
.
Por ejemplo, las funciones y
son continuas en todos los puntos de su dominio. Entonces las funciones
son continuas. Y además, cuando se sigue que
también es continua.
Tipos de discontinuidad
Hay funciones que tienen puntos donde no cumplen con la definición de continuidad, a estos puntos los llamamos puntos de discontinuidad. Es importante recalcar que hay varios tipos de discontinuidad y a continuación los estudiaremos.
Discontinuidad evitable
La discontinuidad evitable de una función en un punto
se presenta cuando el límite siguiente existe
Esto significa que la discontinuidad se presenta cuando algo pasa con la imagen de punto Podemos distinguir entre dos tipos.
Tipos
1. La función no está definida en
Esto significa que el valor no existe.
Esta discontinuidad la podemos remover definiendo un valor para y dicho valor debe ser igual al límite de
cuando
tiende
es decir,
2. La imagen no coincide con el límite.
En este caso tenemos que el valor existe y también el valor
pero ambos valores no coinciden.
La manera de evitar esta discontinuidad es redefiniendo el valor de de tal forma que el nuevo valor sea igual al limite de
cuando
tiende
o sea,
Discontinuidad inevitable
Una discontinuidad es inevitable o de primera especie si existen los límites laterales en pero son distintos. Equivalentemente,
En esta clase de discontinuidad también podemos encontrar dos tipos
Tipos
1. Discontinuidad inevitable de salto finito
Esto significa que la diferencia entre los límites laterales es un número real. En expresiones matemáticas, esta situación es equivalente a
2. Discontinuidad inevitable de salto infinito
En este caso la diferencia entre los límites laterales es infinito, es decir,
Discontinuidad esencial
Finalmente tenemos una discontinuidad inevitable más, en la que el limite no existe.
Diremos que una discontinuidad es esencial o de segunda especie si al menos no existe alguno de los límites laterales en
Continuidad en un intervalo
Continuidad en un intervalo cerrado
Uno de los casos destacados de continuidad de funciones es cuando la función es continua en un intervalo cerrado. Esto es porque la función posee propiedades adicionales a la continuidad, por ejemplo es acotada.
Diremos que una función es continua en un intervalo cerrado
si:
-
es continua en
para todo
perteneciente al intervalo abierto
.
-
es continua en
por la derecha. Equivalentemente,
-
es continua en
por la izquierda, es decir,
Como ejemplo, consideremos la función tal que
.
Esta función es continua en el intervalo y más aún es acotada en dicho intervalo. Alcanza su valor mínimo igual a
en
pues
su valor máximo igual a
en
ya que
Consecuencia
Como consecuencia de lo anterior tenemos que si es continua en un intervalo cerrado
entonces
está acotada en el intervalo. Esto significa que la función alcanza su máximo y mínimo en dentro del intervalo
tal como sucede en el ejemplo anterior.
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Muy bueno…Saludos desde Quito-Ecuador, el país en la Mitad del Mundo…
Gracias :’)
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