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Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:
1. Que el punto x= a tenga imagen.
2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.
3. Que la imagen el punto coincida con el límite de la función en el punto.
Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto x = a si:
Una función f(x) es continua por la derecha en el punto x = a si:
Las funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas son continuas en todos los puntos de su dominio.
Las funciones definidas a trozos son continuas si cada función lo es en su intervalo de definición, y si lo son en los puntos de división de los intervalos, por tanto tienen que coincidir sus límites laterales.
Si f y g son continuas en x=a, entonces:
f + g es continua en x = a.
f · g es continua en x = a.
f / g es continua en x = a, si g(a) ≠ 0.
f ο g es continua en x = a.
Una discontinuidad es evitable en un punto x = a si existe 
1. La función no está definida en x = a.
2. La imagen no coincide con el límite.
Una discontinuidad es inevitable o de primera especie si existen los límites laterales en x = a, pero son distintos.
Tipos
La diferencia entre los límites laterales es un número real.
La diferencia entre los límites laterales es infinito.
Una discontinuidad es esencial o de segunda especie si no existe alguno de los límites laterales en x = a.
Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] si:
f es continua en x, para todo x perteneciente al intervalo abierto (a, b)
f es continua en a por la derecha:
f es continua en b por la izquierda:
Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f está acotada en dicho intervalo.
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