Estudio de la Continuidad

Problemas de optimización de funciones

Ejercicios propuestos 1 Obtener el triángulo isósceles de área máxima inscrito en un círculo de radio 12 cm.Solución 2 Un triángulo isósceles de perímetro 30 cm, gira...

Ejercicios de límites de funciones 1

Ejercicio nº 1 Nota: Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con ∞ son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites. Aplicando la definición de...

Ejercicios de la función cuadrática 2

Ejercicio nº 2 Representa gráficamente la función cuadrática: y = x² + 2x + 1 1. Vértice xv = −2/2 = −1 yv = (−1)² + 2 · (−1) + 1= 0 V(− 1, 0) 2. Puntos de corte...

Ejercicios de gráficas de funciones 6

Ejercicio nº 6 Representa la función: f(x) = E(x/2) x 0 1 1.9 2 3 3.9 4 f(x) = E(x/2) 0 0 0 1 1 1 2

Ejercicios resueltos de gráficas de funciones 7

Ejercicio nº 7 Representa las funciones trigonométricas: 1 x f(x) 0 0 π/4 -0.7 π/2 -1 3π/4 -0.7 π 0 5π/4 0.7 3π/2 1 7π/4 0.7; 2π 0 2 x f(x) 0 0 π/4 1...

Ejercicios resueltos de gráficas de funciones 3

Ejercicio nº 3 Representa las funciones de la parte entera de x: 1f(x) = x + 1 − E(x) x f(x) = x + 1 − E(x) 0 1 0.5 1.5 0.9 1.9 1 1 1.5 1.5 1.9 1.9 2 1 2 f(x) = 2x − E(x)

Ejercicios resueltos de gráficas de funciones 2

Ejercicio nº 2 Representa las funciones valor absoluto: 1 f(x) = |x − 2| Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces. Se forman intervalos...

Ejercicios de gráficas de funciones 5

Ejercicio nº 5 Representa la función valor absoluto: 1f(x) = |−x² + 5x − 4| Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces −x² + 5x − 4...

Ejercicios de gráficas de funciones 3

Ejercicio nº 3 Una parábola tiene su vértice en el punto V(1, 1) y pasa por el punto (0, 2). Halla su ecuación. La coordenada x del vértice es 1 1 = −b/2a b = −2a...

Ejercicios resueltos de gráficas de funciones 6

Ejercicio nº 6 Representa la funciones logarítmicas: 1 x f(x) 1/8 -3 1/4 -2 1/2 -1 1 0 2; 1 4 2 8 3 2 x f(x) 1/8 3 1/4 2 1/2 1 1; 0 2; −1 4 −2 8; −3 3f(x) = ln x x f(x)...

Ejercicios resueltos de gráficas de funciones 5

Ejercicio nº 5 Representa las funciones exponenciales: 1 x f(x) = 3x -3 1/27 -2; 1/9 -1 1/3 0 1 1 3 2 9 3 27 2 x f(x) = (2/5)x −3 15.625 −2 6.25 −1 2.5 0 1 1 0.4 2 0.16 3...

Problemas de máximos, mínimos y puntos de inflexión 11

Ejercicio nº 11 La cantidad (y) de manera acumulada en una máquina tragaperras durante un día si una ley del tipo: donde la variable x representa el tiempo en horas (de 0 a...

Ejercicios de gráficas de funciones 8

Ejercicio nº 8 Representa la función logarítmica: x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 f(x) 3/2 1 1/2 0 −1/2 −1 −3/2

Ejercicios de gráficas de funciones 7

Ejercicio nº 7 Representa la función exponencial: x −3 −2 −1 0 1 2 3 f(x) = (3/2)x 8/27 4/9 2/3 1 3/2 9/4 27/8

Ejercicios de gráficas de funciones 4

Ejercicio nº 4 Encuentra la expresión analítica de la función

Ejercicios de gráficas de funciones 2

Ejercicio nº 2 Representa gráficamente: y = x² + x + 1 1. Vértice xv = −1/ 2 yv = (−1/ 2)² + (−1/ 2) + 1 = 3/4 V(−1/ 2, 3/ 4) 2. Puntos de corte con el eje OX x² + x...

Ejercicios de funciones reales 4

Ejercicio nº 4 Hallar la función inversa de: Se escribe la función con x e y Elevamos al cubo en los dos miembros Se despeja la variable x en función de la variable y. Se...

Ejercicios de funciones reales 3

Ejercicio nº 3 Estudia el crecimiento o decrecimiento de las siguientes funciones en los puntos que se indican: 1 f(x) = |x| en x = −2 Tomamos un incremento, h = 0.001, en el...

Problemas de máximos, mínimos y puntos de inflexión 7

Ejercicio nº 7 La curva f(x) = x³ + a x² + b x + c corta al eje de abscisas en x = 3 y tiene un punto de inflexión en (2/3, 1/9). Hallar a, b y c.

Problemas de máximos, mínimos y puntos de inflexión 12

Ejercicio nº 12 Sea f(x) = x³ + ax² + bx + 7. Hallar a y b de manera que la gráfica de la función f(x) tenga para x = 1 una inflexión, y cuya recta tangente en ese punto...

Ejercicios de representación de funciones 2

Ejercicio nº 2 Representar la función: Dominio Simetría Simetría respecto al eje OY. Puntos de corte con los ejes Puntos de corte con OX Punto de corte con OY Asíntotas...

Ejercicios resueltos de gráficas de funciones 4

Ejercicio nº 4 Representa las funciones racionales y determina su centro: 1f(x) = 6/x x f(x) = x + 1 − E(x) −6 -1 −3 -2 −2 -3 −1 -6 1 6 2 3 3 2 6 1 El centro de la...

Ejercicios resueltos de gráficas de funciones 1

Ejercicio nº 1 Halla el dominio, el recorrido y representa gráficamente las siguientes funciones definidas a trozos: 1 D = ℛ – {0} R = (4, ∞) 2 D = ℛ R = [0, 3] 3 f(2)...

Ejercicios de funciones reales 5

Ejercicio nº 5 Dadas las funciones: Calcular: 1 2 3 4 5Probar que: Se cumple que la composición de una función con la función inversa es la función identidad

Ejercicios de optimización 2

Ejercicio nº 2 Encontrar, de entre todas las rectas que pasan por por el punto (1, 2) aquella que forma con la partes positivas de los ejes de coordenadas un triángulo de área...

Ejercicios de optimización 1

Ejercicio nº 1 El valor de un rubí es proporcional al cuadrado de su peso. Divide un rubí de 2 g en dos partes de forma que la suma de los valores de los dos rubíes formados...

Ejercicios del teorema de Bolzano 3

Ejercicio nº 3 Sean f y g dos funciones continuas en [a, b] y tales que f(a) > g(a) y f(b) < g(b). Demostrar que ∃ c ∈ (a, b) tal que f(c) = g(c). Sea la función h...

Ejercicios de gráficas de funciones 1

Ejercicio nº 1 Calcular los coeficientes de la función f(x)= ax + b si f(0) = 3 y f(1) = 4. 1 Representar la función. f(0) = 3 3 = a · 0 + b b = 3 f(1) = 4 4 = a · 1 + b a =...

Ejercicios de funciones reales 2

Ejercicio nº 2 Estudia la simetría de las siguientes funciones: 1 . Función par 2 . Función impar

Problemas de máximos, mínimos y puntos de inflexión 9

Ejercicio nº 9 Hallar a y b para qué la función: f(x) = aln x + bx 2 + x tenga extremos en los puntos x1 = 1 y x2 = 2. Para esos valores de a y b, ¿qué tipo de extremos...

Problemas de máximos, mínimos y puntos de inflexión 6

Ejercicio nº 6 Determinar a, b, c, d y e, de modo que la curva f(x) = ax4 + bx³ + cx² + dx + e, tenga un punto crítico en (1, 3) y un punto de inflexión con tangente de...

Problemas de máximos, mínimos y puntos de inflexión 8

Ejercicio nº 8 Dada la función: Calcula a, b y c, de modo que f(x) tenga en (2, −1) un extremo local y que la curva pase por el origen de coordenadas.

Ejercicios de representación de funciones 1

Ejercicio nº 1 Representar la función: Dominio Simetría Puntos de corte con los ejes Puntos de corte con OX Punto de corte con OY Asíntotas Asíntota horizontal Asíntotas...

Ejercicios de funciones reales 1

Ejercicio nº 1 Calcular el dominio de las funciones: 1 2 En el primer trozo se tiene que cumplir que el denominador sea distinto de cero En el segundo trozo al ser 3 una...

Problemas de máximos, mínimos y puntos de inflexión 5

Ejercicio nº 5 Determinar el valor de a, b, c y d para que la función f(x) = ax³ + bx² + cx + d tenga un máximo en (0, 4) y un mínimo en (2, 0). f(x) = ax³ + bx 2 + cx +...

Problemas de máximos, mínimos y puntos de inflexión 3

Ejercicio nº 3 Obtener la ecuación de la tangente a la gráfica de f(x) = 2x³ − 6x² + 4 en su punto de inflexión. f′(x) = 6x2 − 12xf′′(x) = 12x − 12 12x − 12 =...

Ejercicios de gráficas y funciones lineales 3

Ejercicio nº 3 Por el alquiler de un coche cobran 100 € diarios más 0.30 € por kilómetro. Encuentra la ecuación de la recta que relaciona el coste diario con el número de...

Problemas de máximos, mínimos y puntos de inflexión 4

Ejercicio nº 4 Determinar a, b y c para que la función f(x)=x³ +ax² + bx +c tenga un máximo para x = −4, un mínimo, para x = 0 y tome el valor 1 para x = 1. f(x) = x³ +...

Ejercicios del teorema de Bolzano 2

Ejercicio nº 2 Probar que la función f(x) = x + sen x − 1 es continua para toda ℛ y probar que existe al menos una raíz real de la ecuación x + sen x − 1 = 0. La...

Ejercicios de límites de funciones 5

Ejercicio nº 5 Nota: Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con ∞ son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites. Calcular el límite de:...

Ejercicios de límites de funciones 3

Ejercicio nº 3 Nota: Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con ∞ son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites. Calcular el límite de:...

Ejercicios de límites de funciones 6

Ejercicio nº 6 Nota: Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con ∞ son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites. Calcular el límite de:...

Ejercicios de límites de funciones 4

Ejercicio nº 4 Nota: Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con ∞ son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites. Calcular el límite de: El...

Ejercicios de límites de funciones 2

Ejercicio nº 2 Nota: Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con ∞ son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites. Calcular el límite de:...

Ejercicios de gráficas y funciones lineales 2

Ejercicio nº 2 Un grifo, que gotea, llena una probeta dejando caer cada minuto 0.4 cm³ de agua. Forma una tabla de valores de la función, tiempo-capacidad de agua. Representa...

Ejercicios del teorema de Bolzano 1

Ejercicio nº 1 Dada la función f(x) = x³, estudiar si está acotada superiormente e inferiormente en el intervalo [1, 5] e indica si alcanza sus valores máximos y mínimos. La...

Ejercicios del teorema de Rolle y del valor medio

Ejercicios propuestos 1 ¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = |x − 1| en el intervalo [0, 2]?Solución 2 Estudiar si la función f(x) = x − x³ satisface las...

Ejercicios de la regla de L’Hôpital

Ejercicios propuestos 1 Solución 2 Solución 3 Solución 4 Solución 5 Solución 6 Solución 7 Solución 8 Solución 9 Solución 10 Solución 11 Solución 12 Solución 13...

Ejercicios de gráficas y funciones lineales 1

Ejercicio nº 1 1 y = 0 Es una función constante 2 y = ¾ Es una función constante 3y = 2x Es una función lineal x y = 2 x 0 0 1 2 4y = −¾x − 1 Es una función afín x y =...

Ejercicios del teorema de Rolle y del valor medio 9

Ejercicio nº 9 En el segmento de la parábola comprendido entre los puntos A = (1, 1) y B = (3, 0) hallar un punto cuya tangente sea paralela la cuerda. Los puntos A = (1, 1) y B...

Ejercicios de continuidad 4

Ejercicio nº 4 Dada la función: Determinar los puntos de discontinuidad de la función. La función exponencial es positiva para toda x ∈ ℛ, por tanto el denominador de la...

Ejercicios de concavidad y convexidad

Estudiar la concavidad y convexidad 1 2 3 4 f" no se anula. 5 6 7 8. 9. 10. 11. 12.

Ejercicios resueltos de asíntotas

Calcular las asíntotas  1  Asíntota horizontal Asíntotas verticales Asíntota oblicua  2  Asíntota horizontal Asíntotas verticales Asíntota oblicua  3  Asíntota...

Ejercicios de simetría de las funciones

Estudiar la simetría 1 Simétrica respecto al origen: Función impar. 2 Simétrica respecto al eje de ordenadas: Función par. 3 f(x) = x6 + x4 − x² f(−x)= (−x)6 + (−x)4...

Ejercicios resueltos de ramas parabólicas

Calcular las ramas parabólicas 1 Tiene dos ramas parabólicas en la dirección del eje OY. 2 Tiene una rama parabólica en la dirección del eje OX. 3 Tiene dos ramas parabólica...

Ejercicios resueltos de puntos de corte con los ejes

Calcular los puntos de corte  1  Puntos de corte con OX: Punto de corte con OY:  2  Puntos de corte con OX: Punto de corte con OY:  3  Puntos de corte con OX: Punto de corte...

Ejercicios de crecimiento y decrecimiento

Estudiar el crecimiento y decrecimiento 1 Dominio : ℛ Creciente: Decreciente: 2 Dominio : ℛ 3 Dominio : ℛ 4 Dominio : ℛ 5 6 7 Creciente: 8 9 10 Dominio : ℛ 11 12 13...

Ejercicios interactivos del estudio de gráficas y funciones

Responde a las preguntas planteadas en cada caso: 1La gráfica muestra la temperatura media de un enfermo en cada uno de los 10 días que ha estado ingresado en el hospital....

Problemas de máximos, mínimos y puntos de inflexión

Ejercicios propuestos 1La cotización de las sesiones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa funciona todos los días de un mes de 30 días, responde a la siguiente...

Ejercicios resueltos de puntos de inflexión

Halllar los puntos de inflexión 1 f(x) = x³ − 3x + 2 f''(x) = 6x 6x = 0 x = 0. f'''(x) = 6 f'''(0) = 6 ≠0 . Por tanto, en x = 0 hay un punto de inflexión. f(0) = (0)³ −...

Ejercicios resueltos de representación de funciones9

Representar la siguiente función: Dominio Simetría No presenta simetría. Puntos de corte con los ejes Puntos de corte con OX: No hay puntos de corte con el eje OX. Punto de...

Ejercicios resueltos de representación de funciones8

Representar la siguiente función: Dominio Simetría No presenta simetría. Puntos de corte con los ejes Puntos de corte con OX: Punto de corte con OY: Asíntotas No tiene...

Ejercicios resueltos de representación de funciones 7

Representar la siguiente función: Dominio Simetría Puntos de corte con los ejes Puntos de corte con OX: Punto de corte con OY: Asíntotas Asíntota horizontal: No hay asíntotas...

Ejercicios resueltos de representación de funciones6

Representar la siguiente función: Dominio Simetría Simetría respecto al origen, es decir, se trata de una función impar. Puntos de corte con los ejes Punto de corte con OX:...

Ejercicios resueltos de representación de funciones5

Representar la siguiente función: Dominio Simetría Puntos de corte con los ejes Puntos de corte con OX: Punto de corte con OY: Asíntotas Asíntota horizontal: Asíntotas...

Ejercicios resueltos de representación de funciones4

Representar la siguiente función: Dominio Simetría Simetría respecto al eje OY, es decir, se trata de una función par. Puntos de corte con los ejes Puntos de corte con OX:...

Ejercicios resueltos de representación de funciones3

Representar la siguiente función: Dominio Simetría Puntos de corte con los ejes Puntos de corte con OX Punto de corte con OY Asíntotas Asíntota horizontal No tiene asintota...

Ejercicios resueltos de representación de funciones2

Representar la siguiente función: Dominio Simetría Simetría respecto al eje OY, es decir, la función es par. Puntos de corte con los ejes Puntos de corte con OX: Punto de...

Ejercicios resueltos de representación de funciones11

Representar la siguiente función: Dominio Simetría No presenta simetría. Puntos de corte con los ejes Puntos de corte con OX: Punto de corte con OY: Asíntotas Asíntota...

Ejercicios resueltos de representación de funciones10

Representar la siguiente función: Dominio Simetría No presenta simetría. Puntos de corte con los ejes Puntos de corte con OX: Punto de corte con OY: Asíntotas Asíntota...

Ejercicios resueltos de representación de funciones1

Representar la siguiente función: Dominio Simetría Simetría respecto al origen, es decir, función impar Puntos de corte con los ejes Puntos de corte con OX: Punto de corte con...

Ejercicios de representación de funciones II

Ejercicios propuestos Representar las siguientes funciones, estudiando su: Dominio Simetría. Puntos de corte con los ejes Asíntotas y ramas parabólicas Crecimiento y...

Ejercicios de representación de funciones

Ejercicios propuestos Representar las siguientes funciones, estudiando su: Dominio. Simetría. Puntos de corte con los ejes. Asíntotas y ramas parabólicas. Crecimiento y...

Ramas parabólicas

Las ramas parabólicas se estudian sólo si: Rama parabólica en la dirección del eje OY f tiene una rama parabólica en la dirección del eje OY cuando: Esto quiere decir que la...

Asíntotas

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va acercando indefinidamente. Hay tres tipos de asintotas: 1. Asíntotas horizontales Ejemplo Calcular las asíntotas...

Puntos de corte con los ejes

Puntos de corte con el eje OX Para hallar los puntos de corte con el eje de abscisas hacemos y = 0 y resolvemos la ecuación resultante. Ejemplo Hallar los puntos de corte con el...

Funciones periódicas

Periodicidad de una función Una función es periódica cuando: La función se repite de T en T, siendo T el período. Ejemplos 1La función f(x) = x − E(x), es periódica de...

Simetría de una función

Respecto del eje de ordenadas Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas si es una función par, es decir: f(−x) = f(x) Ejemplo Simetría respecto al origen Una...

Dominio de una función

El dominio de una función está formado por todos los elementos que tienen imagen. D = {x ∈ ℛ / ∃ f (x)} Cálculo del dominio de una función Dominio de la función...

Representación de funciones

Gráfica de una fución La gráfica de una función está formada por el conjunto de puntos (x, y) cuando x varía en el dominio D. gráfica (f) = {(x, f(x)) / ∀ x ∈ D} Para...

Ejercicios de optimización

Ejercicios propuestos 1El valor de un rubí es proporcional al cuadrado de su peso. Divide un rubí de 2 g en dos partes de forma que la suma de los valores de los dos rubíes...

Ejercicios del teorema de Bolzano 9

Ejercicio nº 9 Dada la función: Demuestra que existe un punto del intervalo abierto (2, 4) en el que f toma el valor 1. La función exponencial es positiva para toda x ∈ ℛ,...

Ejercicios del teorema de Bolzano 6

Ejercicio nº 6 Justificar que la función polinómica f(x) = x³ + x + 1 tiene un cero comprendido entre −1 y 0. Por ser polinómica la función es continua en el intervalo...

Ejercicios resueltos de gráficas de funciones 10

Ejercicio nº 10 Se sabe que la función cuadrática de ecuación y = ax² + bx + c pasa por los puntos (1,1), (0, 0) y (−1,1). Calcula a, b y c. Sustituimos el valor de cada...

Ejercicios de la ecuación de la recta tangente y normal 14

Ejercicio nº Hallar el área del triángulo determinado por los ejes de coordenadas y la tangente a la curva xy = 1 en el punto x = 1.

Ejercicios de límites de funciones 1

Ejercicio nº 1 Aplicando la definición de límite, probar que: tiene límite −1 cuando x 0

Problemas de optimización de funciones

Ejercicios propuestos 1Obtener el triángulo isósceles de área máxima inscrito en un círculo de radio 12 cm.Solución 2Un triángulo isósceles de perímetro 30 cm, gira...

Ejercicios interactivos de la variable dependiente

Averigua el valor de la variable dependiente en cada caso: 1 y = 3x + 1 x = 0 y = x = 5 y = x = 0 y = 3 · 0 + 1 = 0 + 1 = 1 x = 5 y = 3 · 5 + 1 = 15 + […]

Máximos, mínimos y puntos de inflexión

Ejercicios de continuidad 6

Ejercicio nº 6 Sea la función: Determinar el valor de a para que f(x) sea continua. En esta función a trozos las dos funciones parciales son continuas en sus dominios....

Ejercicios de continuidad 5

Ejercicio nº 5 Dada la función Determinar a y b de modo que la función f sea continua para todo valor de x. La imagen de -π/2 es igual a su límite por la izquierda La imagen...

Ejercicios de la regla de L’Hôpital 11

Ejercicio nº 11

Ejercicios de la ecuación de la recta tangente y normal 7

Ejercicio nº 7 Dada la función f(x) = tg x, hallar el ángulo que forma la recta tangente a la gráfica de la función f(x) en el origen, con el eje de abscisas. f′(x) = 1 +...

Ejercicios del teorema de Rolle y del valor medio 8

Ejercicio nº 8 ¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a f(x) = 1/x² en [0, 2]? La función no es continua en [−1, 2] ya que no definida en x = 0.

Ejercicios de la ecuación de la recta tangente y normal 11

Ejercicio nº 11 Dada la función f(x) = ax³ + bx² + cx + d, determina a, b, c y d; sabiendo que la curva pasa por los puntos (−1, 2) (2, 3), y que las tangentes a ellas en...

Ejercicios de continuidad 7

Ejercicio nº 7 Calcular el valor de k para que la siguiente función sea continua. Por tanto no existe límite en x = 0 No se puede conseguir que f(x) sea continua en x = 0, sea...

Ejercicios resueltos de gráficas de funciones 9

Ejercicio nº 9 Una función cuadrática tiene una expresión de la forma y = x² + ax + a y pasa por el punto (1, 9). Calcular el valor de a. Sustituimos el punto en la función...

Ejercicios de la ecuación de la recta tangente y normal

Ejercicios propuestos 1Dada la parábola f(x) = x², hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.Solución 2Dada la curva de...

Ejercicios de la regla de L’Hôpital 15

Ejercicio nº 15 Aplicando las propiedades de los logaritmos en el segundo miembro tenemos:

Ejercicios de la ecuación de la recta tangente y normal 8

Ejercicio nº 8 Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a la curva f(x) = ln tg 2x en el punto de abscisa: x = π/8.