Concepto de composición de funciones

Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la segunda esté incluido en el recorrido o codominio de la primera, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)], a esto se le conoce como composición de funciones (g \ o \ f)(x)= g[f(x)] (se lee f seguida de g).

 

Ejemplo de una composición de funciones

 

Veamos un ejemplo con las funciones f(x) = 2x y g(x) = 3x + 1.

 

Composición de funciones representación gráfica

 

La composición de las funciones f(x) y g(x) es:    (g \ o \ f)(x)= 6x+1,    pues

(g \ o \ f)(x)= g[f(x)]=g(2x)=3(2x)+1=6x+1

Al evaluar algunos valores del dominio de la composición D_(g \ o \ f)= \left \{ x\in \mathbb{D}_f /f(x)\in \mathbb{D}_g\right \}=\left \{ ...,-2,-1,0,1,2,... \right \}, tenemos que:

D_(g \ o \ f) (-2)= 6 \cdot -2+1=-11

D_(g \ o \ f) (-1)= 6 \cdot 0 +1=1

D_(g \ o \ f) (0)= 6 \cdot +1=-11

D_(g \ o \ f) (1)= 6 \cdot 1+1=7

D_(g \ o \ f) (2)= 6 \cdot 2+1=13

 

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Dominio de la composición de funciones

El conjunto dominio de la composición de funciones se define a continuación:

D_(g \ o \ f)= \left \{ x\in \mathbb{D}_f /f(x)\in \mathbb{D}_g\right \}

 

 

 

Propiedades de la composición de funciones

 

1 Asociativa.

f \ o \ (g \ o \ h)=(f \ o \ g) \ o \ h

 

2 No es conmutativa.

f \ o \ g \neq g \ o \ f

3 El elemento neutro es la función identidad,i(x) = x.

f \ o \ i= i \ o \ f=f

 

4 La inversa de la composición de dos funciones es:

(g \ o \ f)^{-1}= f^{-1} \ o \ g^{-1}

 

Ejemplos de composición de funciones

 

1 Sean las funciones:   \displaystyle {\qquad f(x)=3x+2, \qquad g(x)=\frac{x+3}{2x+1}} .

1Calcular   {(f \circ g) (x) .

\displaystyle{ (f \circ g) (x)= f[g(x)] = f[\frac{x+3}{2x+1}] = 3 \cdot (\frac{x+3}{2x+1}) + 2 = \frac{(3x+9) + 2\cdot (2x+1)}{2x+1} = \frac{7x+11}{2x+1}}

 

2Calcular {(g \circ f) (x) .

\displaystyle { (g \circ f) (x)= g[f(x)] = g[3x+2] = \frac{(3x+2)+3}{2(3x+2)+1} = \frac{3x+5}{6x+5}}

 

2 Sean las funciones:   \displaystyle {f(x)=\frac{x+2}{2x+1}, \quad g(x)= \sqrt{x}} .

1Calcular   {(f \circ g) (x) .

\displaystyle { (f \circ g) (x)= f[g(x)] = f[\sqrt{x}] = \frac{\sqrt{x}+2}{2\sqrt{x} + 1}}

 

2Calcular {(g \circ f) (x) .

\displaystyle { (g \circ f) (x)= g[f(x)] = g[\frac{x+2}{2x+1}] = \sqrt{\frac{x+2}{2x+1}}

3 Sean las funciones: \displaystyle {f(x)=\frac{1}{2x-1}, \quad g(x)=\frac{2x-1}{2x+1}, \quad h(x)=\frac{1}{x}} .

1Calcular   {(f \circ g) (x) .

\displaystyle { (g \circ f) (x)= g[f(x)] = g[\frac{1}{2x-1}] = \frac{2(\frac{1}{2x-1})-1}{2(\frac{1}{2x-1})+1} = \frac{-2x+3}{2x+1} }

 

2Calcular {(g \circ f) (x) .

\displaystyle { (h \circ g \circ f)(x) = h[g\circ (f(x))] = h[\frac{-2x+3}{2x+1}] = \frac{1}{\frac{-2x+3}{2x+1}} = \frac{2x+1}{-2x+3} }

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗