Concepto de composición de funciones

Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la segunda esté incluido en el recorrido o codominio de la primera, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)], a esto se le conoce como composición de funciones (g \ o \ f)(x)= g[f(x)] (se lee f seguida de g).

 

Ejemplo de una composición de funciones

 

Veamos un ejemplo con las funciones f(x) = 2x y g(x) = 3x + 1.

 

Composición de funciones representación gráfica

 

La composición de las funciones f(x) y g(x) es:    (g \ o \ f)(x)= 6x+1,    pues

(g \ o \ f)(x)= g[f(x)]=g(2x)=3(2x)+1=6x+1

Al evaluar algunos valores del dominio de la composición D_(g \ o \ f)= \left \{ x\in \mathbb{D}_f /f(x)\in \mathbb{D}_g\right \}=\left \{ ...,-2,-1,0,1,2,... \right \}, tenemos que:

D_(g \ o \ f) (-2)= 6 \cdot -2+1=-11

D_(g \ o \ f) (-1)= 6 \cdot 0 +1=1

D_(g \ o \ f) (0)= 6 \cdot +1=-11

D_(g \ o \ f) (1)= 6 \cdot 1+1=7

D_(g \ o \ f) (2)= 6 \cdot 2+1=13

 

Superprof

Dominio de la composición de funciones

El conjunto dominio de la composición de funciones se define a continuación:

D_(g \ o \ f)= \left \{ x\in \mathbb{D}_f /f(x)\in \mathbb{D}_g\right \}

 

 

 

Propiedades de la composición de funciones

 

1 Asociativa.

f \ o \ (g \ o \ h)=(f \ o \ g) \ o \ h

 

2 No es conmutativa.

f \ o \ g \neq g \ o \ f

3 El elemento neutro es la función identidad,i(x) = x.

f \ o \ i= i \ o \ f=f

 

4 La inversa de la composición de dos funciones es:

(g \ o \ f)^{-1}= f^{-1} \ o \ g^{-1}

 

Ejemplos de composición de funciones

 

1 Sean las funciones:   \displaystyle {\qquad f(x)=3x+2, \qquad g(x)=\frac{x+3}{2x+1}} .

1Calcular   {(f \circ g) (x) .

\displaystyle{ (f \circ g) (x)= f[g(x)] = f[\frac{x+3}{2x+1}] = 3 \cdot (\frac{x+3}{2x+1}) + 2 = \frac{(3x+9) + 2\cdot (2x+1)}{2x+1} = \frac{7x+11}{2x+1}}

 

2Calcular {(g \circ f) (x) .

\displaystyle { (g \circ f) (x)= g[f(x)] = g[3x+2] = \frac{(3x+2)+3}{2(3x+2)+1} = \frac{3x+5}{6x+5}}

 

2 Sean las funciones:   \displaystyle {f(x)=\frac{x+2}{2x+1}, \quad g(x)= \sqrt{x}} .

1Calcular   {(f \circ g) (x) .

\displaystyle { (f \circ g) (x)= f[g(x)] = f[\sqrt{x}] = \frac{\sqrt{x}+2}{2\sqrt{x} + 1}}

 

2Calcular {(g \circ f) (x) .

\displaystyle { (g \circ f) (x)= g[f(x)] = g[\frac{x+2}{2x+1}] = \sqrt{\frac{x+2}{2x+1}}

3 Sean las funciones: \displaystyle {f(x)=\frac{1}{2x-1}, \quad g(x)=\frac{2x-1}{2x+1}, \quad h(x)=\frac{1}{x}} .

1Calcular   {(f \circ g) (x) .

\displaystyle { (g \circ f) (x)= g[f(x)] = g[\frac{1}{2x-1}] = \frac{2(\frac{1}{2x-1})-1}{2(\frac{1}{2x-1})+1} = \frac{-2x+3}{2x+1} }

 

2Calcular {(g \circ f) (x) .

\displaystyle { (h \circ g \circ f)(x) = h[g\circ (f(x))] = h[\frac{-2x+3}{2x+1}] = \frac{1}{\frac{-2x+3}{2x+1}} = \frac{2x+1}{-2x+3} }

¿Te ha gustado el artículo?

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) (37 votes, average: 3,84 out of 5)
Cargando…

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

¿Te ha gustado
este material?

¡Bravo!

¡Descárgatelo en formato PDF poniendo tu correo electrónico!

{{ downloadEmailSaved }}

Tu correo electrónico no es válido

18
Publicar un comentario

avatar
  S’abonner  
Notifier de
Oscar Castillo
Oscar Castillo
Invité
4 Oct.

Que pasaria si en fog f es una funcion constante…existiria la compuesta fog?

Gaspar Leon
Gaspar Leon
Editor
21 Feb.

Hola Oscar,
 
recuerda que en la composición de funciones (fog)(x) se requiere que el dominio de f esté contenido en el recorrido de g, mientras que en (gof) se requiere que el dominio de g esté contenido en el recorrido de f.
 
Por ejemplo para f(x)=2 y g(x)=x^3 ambas composiciones resultan ser constantes.
 
Pero para f(x)=-2 para x>=0, y g(x)=x^(1/2) se tiene que (fog)(x)=-2, mientras que (gof)(x) no existe.
 
Espero haber resuelto tu duda.

herrero
herrero
Invité
28 Nov.

Buenas noches ,
Soy profesora de matemáticas en secundaria y tengo una duda
¿El dominio de una función compuesta es independiente del dominio de las funciones de las que procede?
Es decir, si yo tengo una composición de dos funciones y hallo la función resultante y estudio el dominio en esa función, me dará el mismo dominio que si estudio su dominio a partir de los dominios de las funciones originales?

Muchas gracias

Gaspar Leon
Gaspar Leon
Editor
11 Feb.

Hola Herrero,
 
el dominio de una función compuesta gof depende de los dominios de las funciones f y g.
 
El dominio de gof consiste de todos los elementos x del dominio de f que satisfacen que f(x) pertenece al dominio de g.
 
Para f(x)=-2 con dominio x>=0, y g(x)=x^(1/2) se tiene que (fog)(x)=f(x^(1/2))=-2. si estudiamos el dominio de la función compuesta, este es x>=0, mientras que si estudiamos el dominio de la función resultante la cual resulta ser una función constante, este sería todos los números reales.
 
Espero haber sido de ayuda.

Johanna
Johanna
Invité
9 May.

necesito ayuda como se calcula el rango en la función compuesta?

Luis Maciel Baron
Luis Maciel Baron
Editor
10 Jun.

Hola Johanna, con gusto respondo a tu duda. Verás, cuando realizamos una composición de funciones podemos obtener el dominio de la función composición siguiendo algunas reglas entre los dominios de ambas funciones. Pero para el rango no es posible hacerlo si no hasta que conozcamos la función completa. Por ejemplo: f(x) = 2x+3 g(x) = x^2 Si hacemos (fog)(x) obtenemos: (fog)(x)= 2x^2+3 Ahora calculamos el rango de 2x^2+3, que, al ser una parábola que abre hacia arriba podemos calcular su vértice. Al carecer del término ‘b’ la coordenada en ‘x’ es 0 y si evaluamos la función en x=0 obtenemos… Lire la suite »

florez
florez
Invité
18 May.

me pueden ayudar a resolver f(x)=x2, g(x)=x+1 econtrar la funcion (fog)(x) y (fog)(5)

Superprof
Superprof
Administrateur
8 Jun.

Hola, la fracción (fog)(x) = (x+1)^2

(fog)(5) = (5+1)^2 = 36

¡Un saludo!

Vienbenida Igualada
Vienbenida Igualada
Invité
21 May.

buenas tardes bendiciones
quiero comprender lo de composición hay cosas en este tema:
1. que pasaría si 𝑓(𝑥)=3√𝑥 ⋀ 𝑔(𝑥)=𝑥^2−4
f ∘ g y su dominio
saludos

Karla Paulette Flores Silva
Karla Paulette Flores Silva
Editor
19 Jun.

Hola, Por la definción de composición (f ○ g)(x) = f(g(x)), esto significa que en la función f sustituiremos la x por la función g(x). En este caso, si f(x)=3√x g(x)=x2-4 Entonces, (f ○ g)(x) = f(g(x)) (f ○ g)(x) = 3√g(x) (f ○ g)(x) = 3√(x2-4) para el dominio, se toman los valores x en el dominio de g, tales que g(x) pertenezcan al dominio de f. Dominio de g: R, todos los reales Dominio de f: [0, ∞) los valores positivos y 0 ¿Qué valores del dominio de g hacen que g(x) sea 0 o positivo? g(x) ≥… Lire la suite »

Guadarrama
Guadarrama
Invité
27 May.

¿Que pasa cuando se tiene (fog) y f(x) y se esta buscando el valor de g?

Superprof
Superprof
Administrateur
16 Jun.

Hola, escríbenos con tu ejercicio y te contestaremos lo más rápido posible. ¡Un saludo!

ruizdias
ruizdias
Invité
2 Jun.

como se denota una función compuesta

Superprof
Superprof
Administrateur
3 Jun.

Hola, habitualmente una función compuesta se escribe de la manera siguiente:

f o g
g o f

¡In saludo!

Tzec.laisha
Tzec.laisha
Invité
6 Jun.

f(x)=√x; g(x)=e^x como se haría esta

Superprof
Superprof
Administrateur
22 Jun.

Hola Laisha, ¿cuál es la función compuesta? ¿ f o g, o , g o f? ¡Un saludo!

Trujillo
Trujillo
Invité
17 Jun.

Una pregunta para la compocision de funciones se debe usar la formula a2+2ab+b2?

Superprof
Superprof
Administrateur
1 Jul.

Hola, en la mayoría de los casos no, pero depende del ejercicio. ¿Tienes un ejemplo con cuál te podemos ayudar?¡Un saludo!