Una discontinuidad es evitable en un punto {x = a} si existe {\displaystyle\lim_{x \to a}f(x)} y este es finito.

 

Nos encontramos con dos tipos de discontinuidad evitable:

 

Caso 1: La función no está definida en x = a

 

Esto significa que no existe {f(a)}

 

Ejemplo:

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{cl}x^{2} & \mbox{si} \; x<2 \\ & \\ 4 & \mbox{si} \; x>2 \end{array}}

 

La función no está definida en {x=2}

 

Calculamos el límite cuando {x \to 2}

 

 {\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}}f(x)=4, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 2^{-}}f(x)=4}

 

La función presenta una discontinuidad evitable en {x=2} porque tiene límite, pero no tiene imagen.

 

grafica de una funcion con discontinuidad evitable

 

 

Superprof

Caso 2: La imagen no coincide con el límite

 

Esto significa que {f(a) \neq \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)}

 

Ejemplo:

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{cl}x^{2} & \mbox{si} \; x<2 \\ & \\  2x & \mbox{si} \; x>2 & \\ 1 & \mbox{si} \; x=2 \end{array}}

 

La función si está definida en {x=2}, esto es, {f(2)=1}

 

Calculamos el límite cuando {x \to 2}

 

 {\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}}f(x)=4, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 2^{-}}f(x)=4}

 

Tenemos que {f(2) \neq \displaystyle\lim_{x\to 2}f(x)}

 

La función presenta una discontinuidad evitable en {x=2} porque la imagen no coincide con el límite.

 

representacion gráfica de funcion con discontinuidad evitable en x=2

 

Redefinir la función

 

Cuando una función presenta una discontinuidad evitable en un punto se puede redefinir en dicho punto para convertirla en una función continua.

 

Ejemplo:

 

La función del caso 1 no era continua porque no tenía imagen en {x=2}

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{cl}x^{2} & \mbox{si} \; x<2 \\ & \\ 4 & \mbox{si} \; x>2 \end{array}}

 

Si redefinimos la función del caso 1 conseguimos una función continua.

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{cl}x^{2} & \mbox{si} \; x<2 \\ & \\ 4 & \mbox{si} \; x\ge 2 \end{array}}

 

 {f(2) = \displaystyle\lim_{x\to 2}f(x)}

 

grafica de funcion de discontinuidad evitable redefinida

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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