Name: Discontinuidad evitable
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Caso 1: La función no está definida en x = a
Caso 2: La imagen no coincide con el límite
Redefinir la función

Una discontinuidad es evitable en un punto ${x = a}$ si existe ${\displaystyle\lim_{x \to a}f(x)}$ y este es finito.

Nos encontramos con dos tipos de discontinuidad evitable:

Caso 1: La función no está definida en x = a

Esto significa que no existe ${f(a)}$

Ejemplo:

${f(x) = \left\{ \begin{array}{cl}x^{2} & \mbox{si} \; x<2 \\ & \\ 4 & \mbox{si} \; x>2 \end{array}}$

La función no está definida en ${x=2}$

Calculamos el límite cuando ${x \to 2}$

${\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}}f(x)=4, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 2^{-}}f(x)=4}$

La función presenta una discontinuidad evitable en ${x=2}$ porque tiene límite, pero no tiene imagen.

grafica de una funcion con discontinuidad evitable

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Caso 2: La imagen no coincide con el límite

Esto significa que ${f(a) \neq \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)}$

Ejemplo:

${f(x) = \left\{ \begin{array}{cl}x^{2} & \mbox{si} \; x<2 \\ & \\ 2x & \mbox{si} \; x>2 & \\ 1 & \mbox{si} \; x=2 \end{array}}$

La función si está definida en ${x=2}$ , esto es, ${f(2)=1}$

Calculamos el límite cuando ${x \to 2}$

${\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}}f(x)=4, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 2^{-}}f(x)=4}$

Tenemos que ${f(2) \neq \displaystyle\lim_{x\to 2}f(x)}$

La función presenta una discontinuidad evitable en ${x=2}$ porque la imagen no coincide con el límite.

representacion gráfica de funcion con discontinuidad evitable en x=2

Redefinir la función

Cuando una función presenta una discontinuidad evitable en un punto se puede redefinir en dicho punto para convertirla en una función continua.

Ejemplo:

La función del caso 1 no era continua porque no tenía imagen en ${x=2}$

${f(x) = \left\{ \begin{array}{cl}x^{2} & \mbox{si} \; x<2 \\ & \\ 4 & \mbox{si} \; x>2 \end{array}}$

Si redefinimos la función del caso 1 conseguimos una función continua.

${f(x) = \left\{ \begin{array}{cl}x^{2} & \mbox{si} \; x<2 \\ & \\ 4 & \mbox{si} \; x\ge 2 \end{array}}$

${f(2) = \displaystyle\lim_{x\to 2}f(x)}$

grafica de funcion de discontinuidad evitable redefinida

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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Discontinuidad evitable

Caso 1: La función no está definida en x = a

Caso 2: La imagen no coincide con el límite

Redefinir la función

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