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Dominio de una función

 

 

D= \left \{ x\in \mathbb{R}/ \exists f(x) \right \}

 

Dominio de la función polinómica

 

D= \mathbb{R}

 

Dominio de la función racional

 

El dominio es \mathbb{R} menos los valores que anulan al denominador.

Dominio de la función radical de índice impar

 

D= \mathbb{R}

 

Dominio de la función radical de índice par

 

El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Dominio de la función logarítmica

 

El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor que cero.

 

Dominio de la función exponencial

 

D= \mathbb{R}

 

Dominio de la función seno

 

D= \mathbb{R}

 

Dominio de la función coseno

 

D= \mathbb{R}

Dominio de la función tangente

 

\displaystle D=\mathbb{R}-\left \{ (2k+1)\cdot \frac{\pi }{2}; k \in \mathbb{Z} \right \}

\displaystle D=\mathbb{R}-\left \{ ...,-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}, ... \right \}

 

Dominio de la función cotangente

 

\displaystle D=\mathbb{R}-\left \{ k \pi; k \in \mathbb{Z}\right \}

\displaystle D=\mathbb{R}-\left \{..., - \pi, 0, \pi, ... \right \}

 

Dominio de la función secante

 

\displaystle D=\mathbb{R}-\left \{(2k+1) \cdot \frac{\pi}{2};k \in \mathbb{Z}\right \}

\displaystle D=\mathbb{R}-\left \{ ...,-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}, ... \right \}

 

Dominio de la función cosecante

 

\displaystle D=\mathbb{R}-\left \{k \pi; k \in \mathbb{Z}\right \}

\displaystle D=\mathbb{R}-\left \{..., -\pi, 0, \pi, ... \right \}

 

Dominio de operaciones con funciones

 

\displaystle D(f+g)=D(f-g)=D(f \cdot g )= D(f) \cap D(g)

\displaystle D( \frac{f}{g} )=D(f)\cap D(g) - \left \{ x \in \mathbb{R} / g(x)=0 \right \}

 

Composición de funciones

 

 

Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la segunda esté incluido en el recorrido de la primera, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)].

 

f \ o \ i = i \ o \ f=f.

 

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f ^{-1} que cumple:

 

  • Si f(a) = b, entonces f^{-1}(b) = a
  • f \ o \ f^{-1} =f^{-1} \ o \ f = x

 

Cálculo de la función inversa

 

1 Se escribe la ecuación de la función en x e y.

2 Se despeja la variable x en función de la variable y.

3 Se intercambian las variables.

 

Crecimiento y decrecimiento de las funciones

 

Función creciente

 

f es creciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

 

x>a \Rightarrow f(x)\geq f(a)

x < a \Rightarrow f(x) \leq f(a)

 

f' (a)>0 f creciente en a

 

Función decreciente

 

f es decreciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

 

x>a \Rightarrow f(x) \leq f(a)

x < a \Rightarrow f(x) \geq f(a)

 

f' (a)< 0 f decreciente en a

 

Funciones acotadas

 

Función acotada superiormente

 

Una función f está acotada superiormente si existe un número real k tal que para toda x es  f(x)\leq k

El número k se llama cota superior.

 

Función acotada inferiormente

 

Una función f está acotada inferiormente si existe un número real k' tal que para toda x es  f(x) \geq k' .

 

El número k' se llama cota inferior.

 

Función acotada

 

Una función esta acotada si lo está a superior e inferiormente.

 

 k' \leq f(x)\leq k

 

Máximos y mínimos de funciones

Máximo absoluto

 

Una función tiene su máximo absoluto en el  x=a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

 

Mínimo absoluto

 

Una función tiene su mínimo absoluto en el  x=b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

 

Máximo y mínimo relativo

 

Una función  f tiene un máximo relativo en el punto  a si  f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto  a .

 

Una función  f tiene un mínimo relativo en el punto  b si  f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto  b .

 

representación gráfca de maxios, minimos, funciones crecientes y decrecientes

Concavidad y convexidad

 

 f^{''}(a)< 0 ,  f es cóncava en  a

 f^{''}(a)> 0 ,  f es convexa en  a

Puntos de inflexión

 

 

representación gráfica de puntos de inflexión

 

 

Simetría de funciones

 

Simetría respecto del eje de ordenadas

 

 f(-x)=f(x)

Simetría respecto al origen

 

 f(-x)=-f(x)

Funciones periódicas

 

Una función  f(x) es periódica, de período  T, si para todo número entero  z, se verifica:

 f(x)=f(x+zT)

 

Si  f es periódica de período  T, también lo es  f(mx+n), y su período es:

 

\displaystyle T'=\frac{T}{k}

 

Puntos de corte con los ejes

 

Puntos de corte con el eje OX

Para hallar los puntos de corte con el eje de abscisas hacemos f(x)=0 y resolvemos la ecuación resultante.

 

Punto de corte con el ejes OY

Para hallar el punto de corte con el eje de ordenadas hacemos x=0 y calculamos el valor de f(0).

Asíntotas

 

Asíntotas horizontales

 

\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=k o \lim_{x\rightarrow - \infty }f(x)=k

y=k

 

Asíntotas verticales

\lim_{x\rightarrow k}f(x)= \infty \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  x=k

 

Asíntotas oblicuas

 

y=mx+n

\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{f(x)}{x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n=\lim_{x\rightarrow \infty }\left [ f(x)-mx \right ]

 

Ramas parabólicas

 

 

Hay ramas parabólicas si:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\infty o \displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\infty

 

 

Rama parabólica en la dirección del eje OY

\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{f(x)}{x}=\infty

 

Rama parabólica en la dirección del eje OX

\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{f(x)}{x}=0

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗