Capítulos
- Dominio de una función
- Composición de funciones y función inversa
- Crecimiento y decrecimiento de las funciones
- Funciones acotadas
- Máximos y mínimos de funciones
- Concavidad, convexidad y puntos de inflexión
- Simetría de funciones
- Funciones periódicas
- Puntos de corte con los ejes
- Asíntotas
- Ramas parabólicas
Dominio de una función
El dominio de una función está formado por todos los elementos que tienen imagen. Es decir, son los valores de 
que podemos sustituir en la regla de correspondencia de una función para obtener el valor correspondiente de 
. Formalmente,
Es decir, el dominio de una función son aquellos valores de que pertenecen a los números reales para los cuales existe un valor asociado de la función .
Dominio de la función polinómica
El dominio de una función polinómica es 
, porque cualquier número real tiene imagen. Es decir,
donde 
función polinómica.
Dominio de la función racional
El dominio es menos los valores que anulan al denominador.
Dominio de la función radical de índice impar
El dominio es el dominio de la función radicando, por ejemplo
1 
2
Dominio de la función radical de índice par
El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.
Dominio de la función logarítmica
El dominio está formado por todos los valores que hacen que la función que aparece dentro del logaritmo sea mayor que cero.
Dominio de la función exponencial
El dominio es el dominio de la función que esta en la exponencial.
Dominio de la función seno
El dominio de la función seno es
Dominio de la función coseno
El dominio de la función coseno es
Dominio de la función tangente
Dominio de la función cotangente
Dominio de la función secante
Dominio de la función cosecante
Dominio de operaciones con funciones
Composición de funciones y función inversa
Si tenemos dos funciones: y 
, de modo que el dominio de la segunda esté incluido en el recorrido o codominio de la primera, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de el valor de 
, a esto se le conoce como composición de funciones 
.
El conjunto dominio de la composición de funciones se define a continuación:
Se llama función inversa o reciproca de a otra función 
que cumple:
- Si
, entonces 
Cálculo de la función inversa
Para construir o calcular la función inversa de una función cualquiera, se deben
seguir los siguientes pasos:
1 Se escribe la ecuación de la función en e 
.
2 Se despeja la variable en función de la variable .
3 Se intercambian las variables.
Crecimiento y decrecimiento de las funciones
Función creciente
Se tiene que es creciente en 
si sólo si existe un entorno de , tal que para toda que pertenezca al entorno de se cumple:
Función decreciente
Tenmos que es decreciente en si sólo si existe un entorno de , tal que para toda que pertenezca al entorno de se cumple:
Funciones acotadas
Función acotada superiormente
Una función está acotada superiormente si existe un número real 
tal que para toda es 
. Llamamos a cota superior.
Función acotada inferiormente
Una función está acotada inferiormente si existe un número real 
tal que para toda es 
. Al número se le conoce como cota inferior.
Función acotada
Una función esta acotada si está a acotada superior e inferiormente. Es decir,
Máximos y mínimos de funciones
Máximo absoluto
Una función tiene su máximo absoluto en el 
si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.
Mínimo absoluto
Una función tiene su mínimo absoluto en el 
si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.
Máximo y mínimo relativo
Una función tiene un máximo relativo en el punto si 
es mayor o igual que los puntos próximos al punto .
Una función tiene un mínimo relativo en el punto 
si 
es menor o igual que los puntos próximos al punto .
Existen relaciones entre las derivadas de una función y sus máximos y mínimos, esto lo resumimos en el siguiente cuadro, si tiene dudas puedes consultar la teoría.
Sea función derivable
Concavidad, convexidad y puntos de inflexión
Si y 
son funciones derivables en , la función es:
convexa en
Si 
.
cóncava en
Si 
.
Los puntos de inflexión de una función son aquellos puntos en los que la grafica de la función cambia de concavidad, es decir, pasa de cóncava a convexa o viceversa.
En el siguiente cuadro/diagrama se resumen algunos resultados relacionados con la concavidad y los puntos de inflexión, para mas información consultar aquí.
Simetría de funciones
Simetría respecto del eje de ordenadas
Una función es simétrica respecto del eje de ordenadas si es una función par, es decir:
Simetría respecto al origen
Una función es simétrica respecto al origen si es una función impar, es decir:
Funciones periódicas
Una función es periódica, de período 
, si para todo número entero 
, se verifica que:
Si es periódica de período , también lo es 
, y su período es:
Puntos de corte con los ejes
Puntos de corte con el eje OX
Para hallar los puntos de corte con el eje de abscisas hacemos 
y resolvemos la ecuación resultante.
Punto de corte con el ejes OY
Para hallar el punto de corte con el eje de ordenadas hacemos 
y calculamos el valor de 
.
Asíntotas
Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va acercando indefinidamente. Hay tres tipos de asíntotas:
Asíntotas horizontales
Si se satisface alguna de las siguientes dos condiciones
entonces la recta 
es una asíntota horizontal para la gráfica de 
.
Asíntotas verticales
Si se satisface alguna de las siguientes dos condiciones
entonces la recta 
es una asíntota vertical para la gráfica de .
Asíntotas oblicuas
Sólo hallaremos las asíntotas oblicuas cuando no haya asíntotas horizontales. Para que haya asíntota oblicua se tiene que cumplir que el grado del numerador sea exactamente un grado mayor que el del denominador, luego la asíntota viene dada por
donde
Ramas parabólicas
Hay ramas parabólicas sólo si:
Rama parabólica en la dirección del eje OY
tiene una rama parabólica en la dirección del eje OY cuando:
Esto quiere decir que la gráfica se comporta como una parábola de eje vertical.
Rama parabólica en la dirección del eje OX
tiene una rama parabólica en la dirección del eje OX cuando:
Esto quiere decir que la gráfica se comporta como una parábola de eje horizontal.
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Me ayudarian hacer la funcion lineal con grafico
Y=2×+1
La primera derivada se anula en x = 3. Por lo tanto 3 es otro punto crítico de la función del ejemplo.
Hola gracias por la observación, podrías hacernos el favor de mostrarnos la función que se deriva y se encuentran los puntos críticos.
El Punto de inflexión en el ejercicio 2: f(x) = x^3 + x + 1 debe ser (0, 1)
Hola agradecemos tu comentario, tenias razón era un error que ya se corrigió.
la grafica esta mal echa de signos de cada cuadrante
Hola te agradecemos por visitar nuestra pagina, podrías mencionar el número de ejercicio para poder rectificar esos errores que mencionas.
Se podría añadir un poco más de explicación a por que se hace cada paso ( ejemplo porque se divide todo por x ^2?)
Hola agradecemos que puedas darnos tu opinión, cuando surja una duda en este espacio de los comentarios estaremos atentos para darte una explicación con respecto a algo que no entiendas, exista un error o se pueda mejorar una explicación, solo comunícalo y te contestaremos.