Dominio de una función

El dominio de una función está formado por todos los elementos que tienen imagen. Es decir, son los valores de x que podemos sustituir en la regla de correspondencia de una función para obtener el valor correspondiente de f(x). Formalmente,

    \begin{equation*} D= \left \{ x\in \mathbb{R}/ \exists \quad f(x) \right \} \end{equation*}

Es decir, el dominio de una función son aquellos valores de x que pertenecen a los números reales para los cuales existe un valor asociado de la función f(x).

Dominio de la función polinómica

El dominio de una función polinómica es \mathbb{R}, porque cualquier número real tiene imagen. Es decir,

    \begin{equation*} D= \left \{ x\in \mathbb{R}/ \exists \quad f(x) \right \} = \mathbb{R} \end{equation*}

donde f función polinómica.

Dominio de la función racional

El dominio es \mathbb{R} menos los valores que anulan al denominador.

Dominio de la función radical de índice impar

El dominio es el dominio de la función radicando, por ejemplo

1 f(x)=\sqrt[3]{x^{2}-5x+6} \quad \quad D=\mathbb{R}

2f(x)=\sqrt[3]{\cfrac{x}{x^{2}-5x+6}}\quad \quad D=\mathbb{R}-\left \{ 2,3 \right \}

Dominio de la función radical de índice par

El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Dominio de la función logarítmica

El dominio está formado por todos los valores que hacen que la función que aparece dentro del logaritmo sea mayor que cero.

Dominio de la función exponencial

El dominio es el dominio de la función que esta en la exponencial.

Dominio de la función seno

El dominio de la función seno es

    \[ D= \mathbb{R} \]

Dominio de la función coseno

El dominio de la función coseno es

    \[ D= \mathbb{R} \]

Dominio de la función tangente

D=\mathbb{R}-\left \{ (2k+1)\cdot \cfrac{\pi }{2}\, ;\, k\, \epsilon \, \mathbb{Z} \right \}

 

D=\mathbb{R}-\left \{ ...,-\cfrac{\pi }{2}\, ,\cfrac{\pi }{2}\, ,\cfrac{3\pi }{2}\, ,... \right \}

Dominio de la función cotangente

D=\mathbb{R}-\left \{ k\cdot \pi ;\, k\, \epsilon \, \mathbb{Z} \right \}

 

D=\mathbb{R}-\left \{ ...,-\pi \, ,0\, ,\pi \, ,... \right \}

Dominio de la función secante

D=\mathbb{R}-\left \{(2k+1)\cdot \cfrac{\pi }{2}\, ;\, k\, \epsilon \, \mathbb{Z}\right \}

 

D=\mathbb{R}-\left \{ ...,-\cfrac{\pi }{2}\, ,\cfrac{\pi }{2}\, ,\cfrac{3\pi }{2}\, ,... \right \}

Dominio de la función cosecante

D=\mathbb{R}-\left \{ k\cdot \pi ;k\, \epsilon \, \mathbb{Z} \right \}

 

D=\mathbb{R}-\left \{ ...,-\pi ,0,\pi ,... \right \}

Dominio de operaciones con funciones

D(f+g)=D(f-g)=D(f\cdot g)=D(f)\cap D(g)

 

D\left ( \frac{f}{g} \right )=D(f)\cap D(g)-\left \{ x\, \epsilon \, \mathbb{R}\, /\, g(x)=0 \right \}

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Vamos

Composición de funciones y función inversa

Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la segunda esté incluido en el recorrido o codominio de la primera, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)], a esto se le conoce como composición de funciones (g \ \circ \ f)(x)= g[f(x)].

El conjunto dominio de la composición de funciones se define a continuación:

    \[ D_(g \ \circ \ f)= \left \{ x\in \mathbb{D}_f /f(x)\in \mathbb{D}_g\right \} \]

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f ^{-1} que cumple:

  • Si f(a) = b, entonces f^{-1}(b) = a
  • (f \ \circ \ f^{-1})(x) = (f^{-1} \ \circ \ f )(x) = x

Cálculo de la función inversa

Para construir o calcular la función inversa de una función cualquiera, se deben
seguir los siguientes pasos:

1 Se escribe la ecuación de la función en x e y.

2 Se despeja la variable x en función de la variable y.

3 Se intercambian las variables.

Crecimiento y decrecimiento de las funciones

Función creciente

Se tiene que f es creciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca al entorno de a se cumple:

    \begin{align*} x > a \quad &\Rightarrow \quad f(x)\geq f(a) \\ x < a \quad &\Rightarrow \quad f(x) \leq f(a) \end{align*}

Función decreciente

Tenmos que f es decreciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca al entorno de a se cumple:

     \begin{align*} x > a \quad &\Rightarrow \quad f(x) \leq f(a) \\ x < a \quad &\Rightarrow \quad f(x) \geq f(a) \end{align*}

Funciones acotadas

Función acotada superiormente

Una función f está acotada superiormente si existe un número real k tal que para toda x es  f(x)\leq k . Llamamos a k cota superior.

Función acotada inferiormente

Una función f está acotada inferiormente si existe un número real k' tal que para toda x es  f(x) \geq k' . Al número k' se le conoce como cota inferior.

Función acotada

Una función esta acotada si está a acotada superior e inferiormente. Es decir,

     \[ k' \leq f(x)\leq k \]

Máximos y mínimos de funciones

Máximo absoluto

Una función tiene su máximo absoluto en el  x=a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Mínimo absoluto

Una función tiene su mínimo absoluto en el  x=b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Máximo y mínimo relativo

Una función  f tiene un máximo relativo en el punto  a si  f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto  a .

Una función  f tiene un mínimo relativo en el punto  b si  f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto  b .

Existen relaciones entre las derivadas de una función y sus máximos y mínimos, esto lo resumimos en el siguiente cuadro, si tiene dudas puedes consultar la teoría.

Sea f función derivable

 f'(a)= 0 \quad \left\lbrace\begin{array}{l} { f''(a) > 0 : a \quad \textrm{es un mínimo} \\ f''(a) < 0 : a \quad \textrm{es un máximo} \\ f''(a) = 0 \quad \left\lbrace\begin{array}{l} { f'''(a) > 0 : f \quad \textrm{creciente en } a\\ f'''(a) < 0 : f \quad \textrm{decreciente en } a\\ f'''(a) = 0 \quad \left\lbrace\begin{array}{l} { f^{iv}(a) > 0 : a \quad \textrm{es un mínimo} \\ f^{iv}(a) < 0 : a \quad \textrm{es un máximo} \\ f^{iv}(a) = 0 \quad \left\lbrace\begin{array}{l} { \dots \\ \dots \\ \dots \\ \end{array}\right \end{array}\right \end{array}\right \end{array}\right.

Concavidad, convexidad y puntos de inflexión

Si f y f' son funciones derivables en a, la función es:

convexa en a
Si f''(a)> 0.

cóncava en a
Si f''(a)< 0.

Los puntos de inflexión de una función son aquellos puntos en los que la grafica de la función cambia de concavidad, es decir, pasa de cóncava a convexa o viceversa.

En el siguiente cuadro/diagrama se resumen algunos resultados relacionados con la concavidad y los puntos de inflexión, para mas información consultar aquí.

 f''(a)= 0 \quad \left\lbrace\begin{array}{l} { f'''(a) \neq 0 : a \quad \textrm{punto de inflexión} \\ f'''(a) = 0 \quad \left\lbrace\begin{array}{l} { f^{iv}(a) < 0 : f \quad \textrm{cóncava en} \quad a \\ f^{iv}(a) > 0 : f \quad \textrm{convexa en} \quad a \\ f^{iv}(a) = 0 \quad \left\lbrace\begin{array}{l} { \dots \\ \dots \\ \dots \\ \end{array}\right \end{array}\right \end{array}\right.

Simetría de funciones

Simetría respecto del eje de ordenadas

Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas si es una función par, es decir:

    \[f(-x)=f(x)\]

Simetría respecto al origen

Una función f es simétrica respecto al origen si es una función impar, es decir:

    \[f(-x)=-f(x)\]

Funciones periódicas

Una función  f(x) es periódica, de período  T, si para todo número entero  z, se verifica que:

    \[ f(x)=f(x+zT)\]

Si  f es periódica de período  T, también lo es  f(mx+n), y su período es:

    \[ \displaystyle T'=\frac{T}{k}\]

Puntos de corte con los ejes

Puntos de corte con el eje OX

Para hallar los puntos de corte con el eje de abscisas hacemos f(x)=0 y resolvemos la ecuación resultante.

Punto de corte con el ejes OY

Para hallar el punto de corte con el eje de ordenadas hacemos x=0 y calculamos el valor de f(0).

Asíntotas

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va acercando indefinidamente. Hay tres tipos de asíntotas:

Asíntotas horizontales

Si se satisface alguna de las siguientes dos condiciones

    \[{\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = k \ \ \ \text{ó} \ \ \ \lim_{x \to -\infty} f(x) = k, }\]

entonces la recta {y = k} es una asíntota horizontal para la gráfica de {f(x)}.

Asíntotas verticales

Si se satisface alguna de las siguientes dos condiciones

    \[{\displaystyle \lim_{x \to k^-} f(x) = \pm \infty \ \ \ \text{ó} \ \ \ \lim_{x \to k^+} f(x) = \pm \infty, }\]

entonces la recta {x = k} es una asíntota vertical para la gráfica de {f(x)}.

Asíntotas oblicuas

Sólo hallaremos las asíntotas oblicuas cuando no haya asíntotas horizontales. Para que haya asíntota oblicua se tiene que cumplir que el grado del numerador sea exactamente un grado mayor que el del denominador, luego la asíntota viene dada por

    \[{y = mx + b,}\]

donde

{\displaystyle m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x},}

{\displaystyle b = \lim_{x \to \infty}[f(x) - mx]}

Ramas parabólicas

Hay ramas parabólicas sólo si:

    \[ \lim_{x \rightarrow \infty }f(x)=\infty \quad \textrm{o} \quad \lim_{x\rightarrow -\infty } f(x)=\infty \]

Rama parabólica en la dirección del eje OY

f tiene una rama parabólica en la dirección del eje OY cuando:

    \[\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{f(x)}{x}=\infty \]

Esto quiere decir que la gráfica se comporta como una parábola de eje vertical.

Rama parabólica en la dirección del eje OX

f tiene una rama parabólica en la dirección del eje OX cuando:

    \[\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{f(x)}{x}=0 \]

Esto quiere decir que la gráfica se comporta como una parábola de eje horizontal.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗