En este artículo practicaremos la formulación de expresiones analíticas y gráficas de funciones lineales, cuadráticas, logarítmicas, exponenciales y de valor absoluto.

1 Calcular los coeficientes de la función f(x)= ax + b , si f(0) = 3 y f(1) = 4.

A Representar la función

B Indicar los intervalos en los que la imagen de la función es positiva y negativa.

Calcular los coeficientes de la función f(x)= ax + b , si  f(0) = 3 y f(1) = 4.

A Representar la función es su expresión analítica y gráfica.

Primero, para encontrar el valor de b, utilicemos que  f(0) = 3:

 f(x) = ax+b \Rightarrow f(0)=a(0)+b=3 \Rightarrow b=3

Ahora para encontrar el valor de a, usemos que  f(1) = 4 y que b=3 :

 f(1) = a(1)+b \Rightarrow f(1)=a(1)+3=4 \Rightarrow a=1

Por tanto la expresión analítica es: \mathbf{\mathit{f(x)=x+3}}.

Para la representación gráfica, de la expresión analítica podemos deducir que la función es lineal (debido a que la potencia de x es uno), por lo tanto una recta y para construirla son suficientes dos puntos en este caso podemos considerar los ceros en los ejes, o bien retomar los puntos si  f(0) = 3 y f(1) = 4 y trazar la recta que contenga a ambos, como se muestra en la siguiente gráfica:

Gráfica de la función f(x)=x+3

B Indicar los intervalos en los que la imagen de la función es positiva o negativa.

De la gráfica anterior se puede deducir que las imágenes de la función son negativas cuando x<-3 y positivas cuando x>3

Análisis de signo de las imágenes de la función f(x)=x+3

Para resolver analíticamente, primero igualamos a cero y resolvemos la ecuación:

x+3=0\Rightarrow  \quad x=-3

Le damos dos valores uno menor que –3 y otro mayor:

f(-4)=-1<0 \quad f(0)=3>0

A la izquierda de –3 tenemos un intervalo negativo y a la derecha un intervalo positivo

2 Representa gráficamente y=x^2+x+1

Para realizar la gráfica de la parábola necesitamos el vértice y las intersecciones con los ejes coordenados.

1 Vértice de y=x^2+x+1.
Recordemos que la formula para calcular la coordenada de las abscisas del vértice de una función de la forma y=ax^2+bx+c es x_v=-\frac{b}{2a}.

Así  tenemos que x_v = −1/ 2 por lo cual y_v = (−1/ 2)^2 + (−1/ 2) + 1 = 3/4.

Por tanto el vértice es: V(−1/ 2, 3/ 4).

2 Puntos de corte con el eje OX de y=x^2+x+1

Necesitamos determinar si existen valores de x tales que y tal que x^2+x+1=0. Notemos que como el determinante de la ecuación es cero no existen souciones reales (pues  det=1^2-4<0), por tanto no hay puntos de corte con OX.

3 Punto de corte con el eje OY
En este caso notemos que si x=0 entonces y=1.  Por lo cual el punto de corte es (0,1).

Finalmente, utilizando la información anterior graficamos:

Grafica de la parábola f(x)=x^2+x+1

3 Una parábola tiene su vértice en el punto V(1, 1) y pasa por el punto (0, 2). Halla su ecuación.

Una parábola tiene su vértice en el punto V(1, 1) y pasa por el punto (0, 2). Halla su ecuación.

Una función de la forma y=ax^2+bx+c, tiene vértice V=(x_v,y_v). Para calcular la coordenada x_v se usa lo siguiente:

x_v=-\frac{b}{2a}.

Como la coordenada x_v=1 sustituimos y obtenemos la siguiente relación:

1=-\frac{b}{2a}\Rightarrow b=-2a

Sustituimos en la función y=ax^2+bx+c en los puntos que conocemos:

f(0)=2\Rightarrow 2=0+0+c\Rightarrow c=2

f(1)=1\Rightarrow 1=a+b+2\Rightarrow 1=a-2a+2\Rightarrow a=1\Rightarrow b=-2.

Finalmente escribimos la función sustituyendo en y=ax^2+bx+c los valores obtenidos: y=x^2-2x+2.

4 Encuentra la expresión analítica de la función.

Gráfica de una función definida por partes

Encuentra la expresión analítica de la función

Gráfica de una función definida por partes

Como podemos observar la función está definida por partes, utilizando la formula  punto-pendiente podemos obtener la ecuación de cada una de las funciones para finalmente obtener la siguiente expresión:

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} -x & \text { si } & x<0 \\ 1 & \text { si } & x=0 \\ x & \text { si } & 0<x<2 \\ 1 & \text { si } & x \geq 3 \end{array}\right.

 

5 Representa la función gráficamente las siguientes funciones:

Af(x) = |−x^2 + 5x -4|

Bf(x) = \frac{|x|}{x}

A Representa la función f(x) = |−x^2 + 5x -4|

Primero, se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces:

−x^2 + 5x -4=0\Leftrightarrow x^2 - 5x +4=0 \Leftrightarrow (x-1)(x-4)=0

Entonces x=1 o x=4.

Después, se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo

Análisis grafico del signo de la imagen de una función cuadrática

Definimos la función por partes, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función:

f(x)=\left\{\begin{array}{llc} x^{2}-5 x+4 & \text { si } & x<1 \\ -\left(x^{2}-5 x+4\right) & \text { si } & 1 \leq x<4 \\ x^{2}-5 x+4 & \text { si } & x \geq 4 \end{array}\right.

Finalmente, representamos la función:

Gráfica de una función cuadrática con valor absoluto

B Representa la función f(x) = \frac{|x|}{x}

\begin{aligned} &f(x)=\left\{\begin{array}{lll} \frac{-x}{x} & \text { si } & x<0 \\ \frac{x}{x} & \text { si } & x \geq 0 \end{array}\right. \\ &f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} -1 & \text { si } & x<0 \\ 1 & \text { si } & x \geq 0 \end{array}\right. \end{aligned}

Finalmente, graficamos:

Gráfica de una función por partes (con valor absoluto)

6 Representa la función f(x) = E(x/2)

Representa la función f(x) = E(x/2)

Para resolver, primero tabulamos algunos valores y luego graficamos:
\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|l|} \hline x & 0 & 1 & 1.9 & 2 & 3 & 3.9 & 4 \\ \hline f(x)=\mathrm{E}(\mathrm{x} / 2) & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 2 \\ \hline \end{array}

Gráfica de una función escalonada.

7 Representa la función exponencial f(x)=(\frac{3}{2})^x

 

Para resolver primero tabulamos algunos valores y luego graficamos:
\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|l|} \hline \mathbf{x} & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline f(\mathrm{x})=(3 / 2)^{\mathrm{x}} & 8 / 27 & 4 / 9 & 2 / 3 & 1 & 3 / 2 & 9 / 4 & 27 / 8 \\ \hline \end{array}

Gráfica de una función exponencial

8 Representa la función logarítmica f(x)=log_{\frac{1}{4}}x

Representa la función logarítmica f(x)=log_{\frac{1}{4}}x.

Para resolver tabulamos algunos valores y luego graficamos:

\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|l|} \hline \mathbf{x} & 1 / 8 & 1 / 4 & 1 / 2 & 1 & 2 & 4 & 8 \\ \hline \mathbf{f}(\mathbf{x}) & 3 / 2 & 1 & 1 / 2 & 0 & -1 / 2 & -1 & -3 / 2 \\ \hline \end{array}

Gráfica de una función logarítmica

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗