Calcular diferenciales

 

1 Calcular el diferencial de las siguientes funciones:

1.  f(x)= 3x^2 +5x -6

2.  \displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x^2}

3.  f(x)=7^{3x^2-1}

4.  f(x)=e^{\tan x}

5.  \ln \sin \sqrt{x}

6.  \log_x\sqrt{x}

 

1  f(x)= 3x^2 +5x -6

 df(x)=(6x+5)dx

 

2  \displaystyle  f(x)=\frac{x+2}{x^2}

 \displaystyle  df(x)=\frac{x^2-(x+2)\cdot 2x}{x^4}dx = \frac{x^2-2x^2-4x}{x^4}dx= \frac{-x^2-4x}{x^4}dx

 \displaystyle  df(x)=-\frac{x+4}{x^3}dx

 

3  f(x)=7^{3x^2-1}

 df(x)=(6x\cdot 7^{3x^2-1}\cdot \ln 7)dx

 

4  f(x)=e^{\tan x}

 df(x)=\sec^2 x\cdot e^{\tan x} dx=(1+\tan^2 x)\cdot e^{\tan x} dx

 

5  \ln \sin \sqrt{x}dx

\displaystyle  df(x)=\frac{1}{\sin \sqrt{x}}\cdot\cos \sqrt{x}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}dx=\frac{\cos \sqrt{x}}{\sin \sqrt{x}}\frac{1}{2\sqrt{x}}

 \displaystyle  =\frac{\cot \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}dx

 

6  \log_x\sqrt{x}

Aplicamos la definición de logaritmo:

y=\log_x \sqrt{x}

Aplicando las propiedades de \log

\displaystyle  y=\log_x \sqrt{x}=\log_x x^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\log_x x =\frac{1}{2}

Entonces

\displaystyle  f(x)=\frac{1}{2}

df(x)=0

 

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Diferenciales como incremento

 

2 Calcular con diferenciales el incremento del área del cuadrado de 2m de lado, cuando aumentamos 1mm su lado.

 

La función de área está dada por

A=x^2

Entonces su diferencial es

dA=2x dx

El cuadrado mide de lado 2m

 x=2

y este lado aumenta 1mm=.001m

 dx=0.001

Por lo tanto el incremento de área es

dA=2x dx= 2\cdot 2\cdot 0.001=0.004 m^2

 

 

3 Hallar la variación de volumen que experimenta un cubo, de arista 20 cm, cuando ésta aumenta 0.2 cm su longitud.

 

La función de volumen está dada por

V=x^3

donde x denota la medida de la arista

Entonces su diferencial es

dV=3x^2 dx

El cubo mide de lado 20cm

 x=20

y este aumenta .2cm en longitud

 dx=0.2

Por lo tanto el incremento de volumen es

dV=3x^2 dx= 3\cdot (20)^2 \cdot 0.2=240 cm^3

 

Diferenciales como error

 

4 Un cuadrado tiene 2m de lado. Determine el aumento del área del cuadrado cuando su lado lo hace en un milímetro. Calcule la magnitud del error que se comete al usar diferenciales en lugar de incrementos.

 

Usando incrementos

 A=x^2

 \Delta A=(x+h)^2-x^2=2.001^2-2^2=0.004001m^2

Del problema anterior, sabíamos que

 dA=0.004m^2

\text{Error}=\Delta A - dA=10^{-6}m^2

 

5 Calcula el error absoluto y relativo cometido en el cálculo del volumen de una esfera de 6.26 mm de radio, medido con un instrumento que aprecia milésimas de centímetro.

 

El volumen de una esfera es

\displaystyle  V=\frac{4}{3}\pi r^3

Su diferencial es

dV=4\pi r^2 dr

El valor del radio es de

 r=6.26

y el error de este es de 0.001cm=0.01mm

 dr=0.01

Por lo tanto el error absoluto de volumen es

dV=4\pi (6.26)^2 \cdot 0.01=4.924 mm^3

El error relativo es

\displaystyle  \frac{dV}{V}=\frac{4\pi r^2 dr}{\frac{4}{3}\pi r^3}=\frac{4.924mm^3}{1027.570mm^3}=0.00479

 

6 Si en lugar de \sqrt{0.80} se halla \sqrt{0.81}=0.9. ¿Cuáles son las aproximaciones del error absoluto y relativo?

 

Tenemos la función

f(x)=\sqrt{x}

Con el diferencial o con lo que se mide el error absoluto es

\displaystyle  df(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx

El error relativo está dado por

\displaystyle \frac{df(x)}{f(x)}=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}dx}{\sqrt{x}}=\frac{dx}{2x}

El incremento de x es de

dx=0.81-0.80=0.01

Y el incremento de la función o error absoluto es

\displaystyle df(x)=\frac{1}{2\sqrt{0.81}}\cdot 0.01=\frac{1}{180}

Mientras que el error relativo es

\displaystyle \frac{df(x)}{f(x)}=\frac{dx}{2x}=\frac{0.01}{2\cdot 0.81}=\frac{1}{162}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗