1 {f(x) = x^3 - 3x +2}

Para encontrar los puntos te inflexión comenzamos derivando la función:
 
{f'(x) = 3x^2-3} {f''(x) = 6x}
 
Igualando la segunda derivada a cero {6x=0 \quad x=0}
 
Evaluando en la tercera derivada{f'''(x) = 6 \quad f'''(0) = 6 \neq 0.}
 
Por tanto, en {x=0} hay un punto de inflexión.
 
{f(0) = 0^3 -3(0) +2 = 2}

Punto de inflexión: {(0, 2)}


2 {f(x) = 3x-x^3}

Para encontrar los puntos te inflexión comenzamos derivando la función:
 
{f'(x) = 3-3x^2} {f''(x) = -6x}
 
Igualando la segunda derivada a cero
 
{f''(x) = -6x=0 \quad x=0}
 
Evaluando en la tercera derivada
 
{f'''(x) = -6 \quad f'''(0)=-6 \neq 0}
 
Por tanto, en {x=0} hay un punto de inflexión.
 
{f(0)=3\cdot 0 -0^3 = 0}

Punto de inflexión {(0, 0)}


3 {f(x) = x^4 -2x^2-8}

Para encontrar los puntos te inflexión comenzamos derivando la función:
 
{f'(x) = 4x^3 -4x} {f''(x) = 12x^2-4}
 
Igualando la segunda derivada a cero {12x^2 -4=0 \quad x^2 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \quad x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}}
 
Evaluando en la tercera derivada
 
{f'''(x) = 24x \quad f'''(\frac{\sqrt{3}}{3}) = 24(\frac{\sqrt{3}}{3}) = 8\sqrt{3} \ne 0} {f'''(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = 24(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -8\sqrt{3} \ne 0}
 
Por tanto, en {x=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}} hay puntos de inflexión.
 
{f(\frac{\sqrt{3}}{3})= (\frac{\sqrt{3}}{3})^4 -2(\frac{\sqrt{3}}{3})^2-8 = \frac{3^2}{3^4} -2(\frac{3}{3^2})-8
 
{= \frac{1}{9} -(\frac{2}{3})-8 = -\frac{77}{9}}
 
{f(-\frac{\sqrt{3}}{3})= (-\frac{\sqrt{3}}{3})^4 -2(-\frac{\sqrt{3}}{3})^2-8 = \frac{3^2}{3^4} -2(\frac{3}{3^2})-8 &nbsp {= \frac{1}{9} -(\frac{2}{3})-8 = -\frac{77}{9}}

Puntos de inflexión {(-\frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{77}{9}) \quad (\frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{77}{9})}


4 {f(x) = x^3 -6x^2 +11}

Para encontrar los puntos te inflexión comenzamos derivando la función:
 
{f'(x) = 3x^2 -12x} {f''(x) = 6x -12}
 
Igualando la segunda derivada a cero
 
{6x-12 = 0 \quad x=\frac{12}{6} = 2}
 
Evaluando en la tercera derivada {f'''(x) = 6 \quad f'''(2) = 6 \neq 0}
 
Por tanto, en {x = 2} hay puntos de inflexión.
 
{f(2) = 2^3 -6(2)^2 +11 = 8 -24 + 11 = -5}

Punto de inflexión {(2,-5)}


5 {f(x) = x^4 -6x^2 +4}

Para encontrar los puntos te inflexión comenzamos derivando la función:
 
{f'(x) = 4x^3 -12x} {f''(x) = 12x^2 -12}
 
Igualando la segunda derivada a cero
 
{12x^2 -12 = 0 \quad x^2 = \frac{12}{12}=1 \quad x = \pm 1}
 
Evaluando en la tercera derivada
 
{f'''(x) = 24x} {f'''(1) = 24(1) = 24 \neq 0 \quad f'''(-1) = 24(-1) \neq 0}
 
Por tanto, en {x=\pm 1} hay un punto de inflexión.
 
{f(1) = 1^4 -6 (1 ^2 + 4) = -1} {f(-1) = (-1)^4 -6(-1)^2 +4 = -1}

Puntos de inflexión {(1, -1) \quad (-1,-1)}


6 {f(x) = e^{-x^2}}

Para encontrar los puntos te inflexión comenzamos derivando la función:
{f'(x) = -2xe^{-x^2}}
{f''(x) = -2e^{-x^2}-2xe^{-x^2}(-2x) = -2e^{-x^2} +4x^2e^{-x^2} = 2e^{-x^2}(2x^2-1)}
 
Igualando la segunda derivada a cero
 
{2e^{-x^2}(2x^2-1) = 0 \quad x^2 = \frac{1}{2} \quad x =\pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}}
 
{f'''(x) = -4x\cdot e^{-x^2}(2x^2-1) + 2e^{-x^2}(4x) = -4xe^{-x^2}(2x^2-3)}
 
Evaluando en la tercera derivada
 
{f'''(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -4(-\frac{\sqrt{2}}{2})\cdot e^{-(-\frac{\sqrt{2}}{2})^2}(2(-\frac{\sqrt{2}}{2})^2-3)=
 
{= 2\sqrt{2}\cdot e^{-\frac{2}{4}}(1-3) = 2\sqrt{2}\cdot e^{-\frac{2}{4}}(-2) = -4\sqrt{2}\cdot e^{-\frac{2}{4}}\neq 0}
 
{f'''(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -4(\frac{\sqrt{2}}{2})\cdot e^{-(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}(2(\frac{\sqrt{2}}{2})^2-3)=}
 
{= -2\sqrt{2}\cdot e^{-\frac{2}{4}}(1-3) = -2\sqrt{2}\cdot e^{-\frac{2}{4}}(-2) = 4\sqrt{2}\cdot e^{-\frac{2}{4}}\neq 0}
 
Por tanto, en {x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}} hay un punto de inflexión.
 
{f(\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{-(\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = e^{-\frac{2}{4}} = e^{-\frac{1}{2}} {f(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{-(-\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = e^{-\frac{2}{4}} = e^{-\frac{1}{2}}

Puntos de inflexión {(-\frac{\sqrt{2}}{2}, e^{-\frac{1}{2}}) \quad (\frac{\sqrt{2}}{2}, e^{-\frac{1}{2}})}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗