Dada la función 
, estudiar si está acotada superiormente e inferiormente en el intervalo 
e indica si alcanza sus valores máximos y mínimos.
La función es continua en el intervalo, como consecuencia podemos afirmar que está acotada en dicho intervalo.
Ahora bien, por ser continua en el intervalo se cumple el teorema de Weierstrass, que afirma que se alcanza al menos un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo
Probar que la función 
es continua para todo 
y probar que existe al menos una raíz real de la ecuación 
.
La función es continua por ser la suma de funciones continuas.
Ahora bien consideremos el intervalo 
, y notemos que 
Es decir, en los extremos tiene valores de signo contrario. Por cumplirse el teorema de Bolzano, podemos afirmar que al menos existe un valor 
que pertenece al intervalo 
tal que:
Sean 
y 
dos funciones continuas en 
y tales que 
y 
. Demostrar que 
tal que 
.
Sea la función 
definida por 
.
Por ser continuas y en , la función también lo es.
Ahora bien, notemos que 
Por cumplirse las tres propiedades anteriores según el teorema de Bolzano, existe 
tal que:
Comprobar que la siguiente función: 
tiene al menos una solución real en el intervalo 
.
Tenemos que 
es una función polinómica, por lo que es continua en todo , así que también es continua en el intervalo .
Ahora vamos a comprobar los signos de los valores de la función en los extremos del intervalo: 
y 
Ahora bien consideremos el intervalo , y notemos que
Es decir, en los extremos tiene valores de signo contrario. Por cumplirse el teorema de Bolzano, podemos afirmar que al menos existe un valor que pertenece al intervalo tal que 
.
Determina si la siguiente función tiene un máximo y/o un mínimo en el intervalo propuesto y calcula dichos puntos: 
.
El dominio de cualquier función cuadrática son todos los números reales: 
De modo que la función es continua en el intervalo 
y verifica el teorema de Weierstrass. Así que la función tiene un mínimo absoluto y un máximo absoluto en este intervalo. Además, el vértice de esta parábola está en 
, por tanto, la función es estrictamente creciente en el intervalo y, en consecuencia, el mínimo se encuentra en y el máximo en 
.
Comprobar que la ecuación 
tiene al menos una solución real en el intervalo 
.
La ecuación al ser polinómica sabemos que es continua en . Estudiamos el signo en los extremos del intervalo:
Como los signos son distintos se cumple el teorema de Bolzano , por tanto existe 
tal que 
.
Lo que demuestra que tiene una solución en ese intervalo.
Demuestra que existe al menos un número real 
para el cual se verifica 
.
Consideremos la función 
, la cual es continua en .
Notemos que cumple que 
es decir, cambia de signo en el intervalo 
.
Y del teorema de Bolzano ha de existir al menos un valor 
tal que . Por lo que 
¿Tiene alguna raíz la siguiente ecuación?: 
Si la respuesta es si, determinar un intervalo de amplitud menor que 2 en el que se encuentre la raíz..
Primero que nada tenemos que la función 
, es continua por ser suma de dos funciones continuas.
Ahora bien, probemos como se comportan los signos entre 
: 
Con esto debido al teorema de Bolzano podemos asegurar que existe 
tal que , es decir la ecuación tiene al menos una raíz en el intervalo 
.
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Me ayudarian hacer la funcion lineal con grafico
Y=2×+1
La primera derivada se anula en x = 3. Por lo tanto 3 es otro punto crítico de la función del ejemplo.
Hola gracias por la observación, podrías hacernos el favor de mostrarnos la función que se deriva y se encuentran los puntos críticos.
El Punto de inflexión en el ejercicio 2: f(x) = x^3 + x + 1 debe ser (0, 1)
Hola agradecemos tu comentario, tenias razón era un error que ya se corrigió.
la grafica esta mal echa de signos de cada cuadrante
Hola te agradecemos por visitar nuestra pagina, podrías mencionar el número de ejercicio para poder rectificar esos errores que mencionas.
Se podría añadir un poco más de explicación a por que se hace cada paso ( ejemplo porque se divide todo por x ^2?)
Hola agradecemos que puedas darnos tu opinión, cuando surja una duda en este espacio de los comentarios estaremos atentos para darte una explicación con respecto a algo que no entiendas, exista un error o se pueda mejorar una explicación, solo comunícalo y te contestaremos.