Límite cuando x tiende a infinito

 

El límite de una función {f(x)} cuando {x\to\infty} puede tener los siguientes resultados:

 

1 Una constante {k\in\mathbb{R}}

 

Se debe satisfacer lo siguiente:

 

{\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=k  \Longleftrightarrow  \forall \epsilon>0 \; \exists M(\epsilon)\in \mathbb{R}^{+} \, | \, x>M(\epsilon) \Longrightarrow |f(x)-k|<\epsilon}

 

2 Infinito positivo {+\infty}

 

Se debe satisfacer lo siguiente:

 

{\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty \Longleftrightarrow \forall P\in\mathbb{R}^{+} \; \exists M(P)\in \mathbb{R}^{+} \, | \, x>M(P) \Longrightarrow f(x)>P}

 

3 Infinito negativo {-\infty}

 

Se debe satisfacer lo siguiente:

 

{\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty \Longleftrightarrow \forall N\in\mathbb{R}^{-} \; \exists M(N)\in \mathbb{R}^{+} \, | \, x>M(N) \Longrightarrow f(x)<N}

 

 

El límite de una función {f(x)} cuando {x\to -\infty} puede tener los siguientes resultados:

 

1 Una constante {k\in\mathbb{R}}

 

Se debe satisfacer lo siguiente:

 

{\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=k \Longleftrightarrow \forall \epsilon>0 \; \exists m(\epsilon)\in \mathbb{R}^{-} \, | \, x<m(\epsilon) \Longrightarrow |f(x)-k|<\epsilon}

 

2 Infinito positivo {+\infty}

 

Se debe satisfacer lo siguiente:

 

{\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty \Longleftrightarrow \forall P\in\mathbb{R}^{+} \; \exists m(P)\in \mathbb{R}^{-} \, | \, x<m(P) \Longrightarrow f(x)>P}

 

3 Infinito negativo {-\infty}

 

Se debe satisfacer lo siguiente:

 

{\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty \Longleftrightarrow \forall N\in\mathbb{R}^{-} \; \exists m(N)\in \mathbb{R}^{-} \, | \, x<m(N) \Longrightarrow f(x)<N}

 

Ejemplos de funciones con límites al infinito

 

1 Hallar los límites cuando {x \to \pm\infty} para la función {f(x)=\displaystyle\frac{x+1}{x-1}}.

 

Graficamos la función

 

grafica de limites en el infinito

 

A partir de la gráfica obtenemos

 

{\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{x+1}{x-1}=1}

 

{\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{x+1}{x-1}=1}

 

2 Hallar los límites cuando {x \to \pm\infty} para la función {f(x)=\displaystyle\frac{x^{2}}{x-1}}.

 

Graficamos la función

 

representacion grafica de funcion con limites en el infinito

 

A partir de la gráfica obtenemos

 

{\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{x^{2}}{x-1}=+\infty}

 

{\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{x^{2}}{x-1}=-\infty}

 

3 Hallar los límites cuando {x \to \pm\infty} para la función {f(x)=\displaystyle\frac{-x^{2}}{x-1}}.

 

Graficamos la función

 

dibujo de grafica de una funcion con limites que tienden al infinito

 

A partir de la gráfica obtenemos

 

{\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{-x^{2}}{x-1}=-\infty}

 

{\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{-x^{2}}{x-1}=+\infty}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗