Límite en un punto

Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

     \[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \]

Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.

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Vamos

Límite en una función definida a trozos

Para estudiar el límite de una función definida a trozos, en primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos. Después,

  • si estos coinciden, este es el valor del límite,
  • si no coinciden, el límite no existe.

Un ejemplo de una función definida a trozos donde los limites no coinciden es la función parte entera de x, donde los limites no coinciden en los números enteros:
 Función parte entera, ejemplo

Un ejemplo de una función donde los limites laterales si coinciden es la siguiente

 f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si $x\leq2$} \\ 4 & \text{si $x>2$} \end{cases}

Ejemplo de coincidencia de limites laterales

 

Límite cuando x tiende a infinito

Para calcular el límite de una función cuando x \to \infty se sustituyen las x por \infty.

Funciones polinómicas en el infinito

El límite cuando x \to \infty de una función polinómica es \pm \infty dependiendo de si el término de mayor grado es positivo o negativo.

Por ejemplo:
1  \lim_{x \to \infty} 5x-4 = +\infty,
2  \lim_{x \to \infty} -2x-7 = -\infty.

Inversa de un polinomio en el infinito

Si  P(x) es un polinomio de cualquier grado, se cumple que:

     \[ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{P(x)} = 0 \]

de hecho si K es una constante

     \[ \lim_{x \to \infty} \frac{K}{P(x)} = 0 \]

Límite cuando x tiende a menos infinito

Cuando x \to -\infty se tiene que

     \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} f(-x) \]

Aplicando esto a algunas funciones polinómicas
1  \lim_{x \to -\infty} 5x^2 - 6x + 2 = \lim_{x \to \infty} 5x^2 + 6x +2 = +\infty,
2  \lim_{x \to -\infty} x^3 + 2 = \lim_{x \to \infty} -x^3 +2 = -\infty.

 

Límite de la función exponencial

Si a > 1

 \lim_{x \to \infty} a^x = \infty, \quad y

 \lim_{x \to -\infty} a^x = 0 .

Si 0 < a < 1

 \lim_{x \to \infty} a^x = 0, \quad y

 \lim_{x \to -\infty} a^x = \infty.

 

Límite de la función logarítmica

Si a > 0

 \lim_{x \to \infty} log_a x = \infty, \quad y

 \lim_{x \to 0^{+}} log_a x = -\infty.

Si 0 < a < 1

 \lim_{x \to 0^{+}} log_a x = \infty, \quad y

 \lim_{x \to \infty} log_a x = -\infty.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗