1 {\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{e^{x}-e^{-x}}{sen\; x}}

 

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{e^{x}-e^{-x}}{sen\; x}}

 

1 Se tiene la indeterminación {\displaystyle\frac{0}{0}}

 

2 Aplicamos la regla de L'Hôspital

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{e^{x}-e^{-x}}{sen\; x}=\lim_{x \to 0}\frac{e^{x}+e^{-x}}{cos\; x}=2}

2 {\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{x}{(ln\; x)^{3}+2x}}

 

 

{\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{x}{(ln\; x)^{3}+2x}}

 

1 Se tiene la indeterminación {\displaystyle\frac{\infty}{\infty}}

 

2 Aplicamos la regla de L'Hôspital

 

{\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{x}{(ln\; x)^{3}+2x}=\lim_{x \to \infty}\frac{1}{\displaystyle\frac{3(ln\; x)^{2}}{x}+2}}

 

3Si comparamos infinitos para {\displaystyle\frac{3(ln\; x)^{2}}{x}} observamos que el numerador es un infinito de orden inferior al denominador, por tanto el límite es 0.

 

4 Así el resultado es

 

{\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{x}{(ln\; x)^{3}+2x}=\lim_{x \to \infty}\frac{1}{\displaystyle\frac{3(ln\; x)^{2}}{x}+2}=\frac{1}{2}}

3 {\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{sen\; x}\right)}

 

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{sen\; x}\right)=\lim_{x \to 0}\frac{sen\; x -x}{x\; sen\; x}}

 

1 Se tiene la indeterminación {\displaystyle\frac{0}{0}}

 

2 Aplicamos la regla de L'Hôspital

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{sen\; x}\right)=\lim_{x \to 0}\frac{sen\; x -x}{x\; sen\; x}=\lim_{x \to 0}\frac{cos\; x -1}{sen\; x + x\; cos\; x}}

 

3 Se vuelve a obtener la indeterminación {\displaystyle\frac{0}{0}}

 

4 Aplicamos la regla de L'Hôspital

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{sen\; x}\right)&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{sen\; x -x}{x\; sen\; x}=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{cos\; x -1}{sen\; x + x\; cos\; x}\\ & & \\ &=& \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{-sen\; x}{cos\; x + cos\; x - x\; sen\; x}=\frac{0}{2}=0\end{array}}

4 {\displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}(tg\; x-1)sec\; 2x}

 

 

{\displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}(tg\; x-1)sec\; 2x}

 

1 Al sustituir se tiene {0\cdot \infty} por lo que utilizamos la identidad trigonométrica {sec\; 2x = \displaystyle\frac{1}{cos\; 2x}}

 

{\displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}(tg\; x-1)sec\; 2x = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{tg\; x-1}{cos\; 2x}}

 

2 Se tiene la indeterminación {\displaystyle\frac{0}{0}}

 

3 Aplicamos la regla de L'Hôspital

 

{\displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}(tg\; x-1)sec\; 2x &=& \displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{tg\; x-1}{cos\; 2x}=\displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{sec^{2}x}{-2sen\; 2x}}

 

4 Utilizamos la identidad trigonométrica {sec^{2}x = 1+tg^{2}x}

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}(tg\; x-1)sec\; 2x &=& \displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{tg\; x-1}{cos\; 2x}=\displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{sec^{2}x}{-2sen\; 2x} && \\ &=&\displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{1+tg^{2}x}{-2sen\; 2x}=\frac{1+(1)^2}{-2(1)}=-1\end{array}}

5 {\displaystyle\lim_{x \to 0}x^{tg\; x}}

 

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}x^{tg\; x}}

 

1 Al sustituir se tiene {0^{0}} por lo que aplicamos las propiedades de logaritmos y exponenciales para obtener {x^{tg\; x} = e^{tg\; x \; ln\; x}}, así el límite se transforma en

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}x^{tg\; x}=\lim_{x \to 0}e^{tg\; x \; ln\; x}}

 

2 Por las propiedades del límite para una función continua, tenemos

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}x^{tg\; x}=\displaystyle\lim_{x \to 0}e^{(tg\; x )(ln\; x)}=\displaystyle e^\left({\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln\; x}{cotg\; x}\right)}}

 

3 Aplicamos la regla de L'Hôspital, ya que se tiene una indeterminación

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle\lim_{x \to 0}x^{tg\; x}&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}e^{(tg\; x)(ln\; x)}=e^{\left(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln\; x}{cotg\; x}\right)}=\displaystyle e^{\left(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln\; x}{cotg\; x}\right)} \\ & & \\ &=&\displaystyle e^{\left(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{x}}{-cosec^{2} x}\right)}\end{array}}

 

4 Utilizamos la identidad trigonométrica {cosec^{2}x = \displaystyle\frac{1}{sen^{2}x}}

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle\lim_{x \to 0}x^{tg\; x}&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}e^{(tg\; x)(ln\; x)}=e^{\left(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln\; x}{cotg\; x}\right)}=\displaystyle e^{\left(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln\; x}{cotg\; x}\right)} \\ & & \\ &=&\displaystyle e^{\left(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{x}}{-cosec^{2} x}\right)}=\displaystyle e^{\left(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{-sen^{2}x}{x}\right)}\end{array}}

 

5 Se tiene la indeterminación {\displaystyle\frac{0}{0}}

 

6 Aplicamos la regla de L'Hôspital

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle\lim_{x \to 0}x^{tg\; x}&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}e^{(tg\; x)(ln\; x)}=e^{\left(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln\; x}{cotg\; x}\right)}=\displaystyle e^{\left(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln\; x}{cotg\; x}\right)} \\ & & \\ &=&\displaystyle e^{\left(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{x}}{-cosec^{2} x}\right)}=\displaystyle e^{\left(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{-sen^{2}x}{x}\right)} \\ & & \\ &=& e^{\displaystyle\lim_{x\to 0}-2sen\; x\; cos\; x}=e^{0}=1\end{array}}

6 {\displaystyle\lim_{x \to 0}(cotg\; x)^{sen\; x}}

 

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}(cotg\; x)^{sen\; x}}

 

1 Al sustituir se tiene una indeterminación por lo que aplicamos las propiedades de logaritmos y exponenciales para obtener {(cotg\; x)^{sen\; x}=e^{(sen\; x)(ln\; cotg\; x)}}, así el límite se transforma en

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}(cotg\; x)^{sen\; x}=\lim_{x \to 0}e^{(sen\; x)(ln\; cotg\; x)}}

 

2 Utilizamos la identidad trigonométrica {sen\; x = \displaystyle\frac{1}{cosec\; x}}

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}(cotg\; x)^{sen\; x}=\lim_{x \to 0}e^{(sen\; x)(ln\; cotg\; x)}=\lim_{x \to 0}e^{\left(\frac{ln\; cotg\; x}{cosec\; x}\right)}}

 

3 Por las propiedades del límite para una función continua, tenemos

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}(cotg\; x)^{\displaystyle sen\; x}=\lim_{x \to 0}e^{\displaystyle(sen\; x)(ln\; cotg\; x)}=\lim_{x \to 0}e^{\left(\displaystyle\frac{ln\; cotg\; x}{cosec\; x}\right)}=e^{\left(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln\; cotg\; x}{cosec\; x}\right)}}

 

4 Aplicamos la regla de L'Hôspital, ya que se tiene una indeterminación

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle\lim_{x \to 0}(cotg\; x)^{\displaystyle sen\; x}&=&\lim_{x \to 0}e^{\displaystyle(sen\; x)(ln\; cotg\; x)}=\lim_{x \to 0}e^{\left(\displaystyle\frac{ln\; cotg\; x}{cosec\; x}\right)}=e^{\left(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln\; cotg\; x}{cosec\; x}\right)} \\ & & \\ &=&\displaystyle e^{\left(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{x}}{-cosec^{2} x}\right)}=e^{\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\frac{-cosec^{2}x}{cotg\; x}}{-cosec\; x\; cotg\; x}}\end{array}}

 

5 Simplificamos y utilizamos la identidad trigonométrica {cosec\; x = \displaystyle\frac{1}{sen\; x}, \ \ cotg\; x = \displaystyle\frac{cos\; x}{sen\; x}}

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle\lim_{x \to 0}(cotg\; x)^{\displaystyle sen\; x}&=&\lim_{x \to 0}e^{\displaystyle(sen\; x)(ln\; cotg\; x)}=\lim_{x \to 0}e^{\left(\displaystyle\frac{ln\; cotg\; x}{cosec\; x}\right)}=e^{\left(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln\; cotg\; x}{cosec\; x}\right)} \\ & & \\ &=&\displaystyle e^{\left(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{x}}{-cosec^{2} x}\right)}=e^{\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\frac{-cosec^{2}x}{cotg\; x}}{-cosec\; x\; cotg\; x}}=e^{\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{sen\; x}{cos^{2}x} \\ & & \\ &=& e^{0}=1\end{array}}

7 {\displaystyle\lim_{x \to 2}\left(\frac{x}{2}\right)^{\frac{1}{x-2}}}

 

 

{\displaystyle\lim_{x \to 2}\left(\frac{x}{2}\right)^{\frac{1}{x-2}}}

 

1 Al sustituir se tiene una indeterminación por lo que aplicamos las propiedades de logaritmos y exponenciales para obtener {\frac{x}{2}=e^{\left(\displaystyle\frac{ln\; \frac{x}{2}}{x-2}\right)}}

 

{\displaystyle\lim_{x \to 2}\left(\frac{x}{2}\right)^{\frac{1}{x-2}}=\displaystyle\lim_{x \to 2}e^{\left(\displaystyle\frac{ln\; \frac{x}{2}}{x-2}\right)}}

 

2 Por las propiedades del límite para una función continua, tenemos

 

{\displaystyle\lim_{x \to 2}\left(\frac{x}{2}\right)^{\frac{1}{x-2}}=\displaystyle\lim_{x \to 2}e^{\left(\displaystyle\frac{ln\; \frac{x}{2}}{x-2}\right)}=e^{\displaystyle\lim_{x\to 2}\left(\displaystyle\frac{ln\; \frac{x}{2}}{x-2}\right)}}

 

3 Aplicamos la regla de L'Hôspital, ya que se tiene una indeterminación

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle\lim_{x \to 2}\left(\frac{x}{2}\right)^{\frac{1}{x-2}}&=&\displaystyle\lim_{x \to 2}e^{\left(\displaystyle\frac{ln\; \frac{x}{2}}{x-2}\right)}=e^{\displaystyle\lim_{x\to 2}\left(\displaystyle\frac{ln\; \frac{x}{2}}{x-2}\right)} \\ & & \\ &=&\displaystyle e^{\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{\frac{1}{2}}{1}\right)}=e^{\frac{1}{2}}\end{array}}

8 {\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{ln\; x}{x-1}}

 

 

{\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{ln\; x}{x-1}}

 

1 Al sustituir se tiene una indeterminación {\displaystyle\frac{0}{0}}

 

2 Aplicamos la regla de L'Hôspital, ya que se tiene una indeterminación

 

{\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{ln\; x}{x-1}=\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{\displaystyle\frac{1}{x}}{1}=1}

9 {\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{sen\; 3x}{x-\displaystyle\frac{3}{2}sen\; 2x}}

 

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{sen\; 3x}{x-\displaystyle\frac{3}{2}sen\; 2x}}

 

1 Al sustituir se tiene una indeterminación {\displaystyle\frac{0}{0}}

 

2 Aplicamos la regla de L'Hôspital, ya que se tiene una indeterminación

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{sen\; 3x}{x-\displaystyle\frac{3}{2}sen\; 2x}=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{3cos\; 3x}{1-3cos\; 2x}=-\frac{3}{2}}

10 {\displaystyle\lim_{x \to 0}cotg\; x arcsen\; x}

 

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}cotg\; x arcsen\; x}

 

1 Aplicamos identidades trigonométricas

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}cotg\; x arcsen\; x}=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{cos\; x\; arcsen\; x}{sen\; x}}

 

2 Al sustituir se tiene una indeterminación {\displaystyle\frac{0}{0}}

 

3 Aplicamos la regla de L'Hôspital, ya que se tiene una indeterminación

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle\lim_{x \to 0}cotg\; x arcsen\; x}&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{cos\; x\; arcsen\; x}{sen\; x} \\ && \\ &=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{-sen\; x\; arcsen\; x + \displaystyle\frac{cos\; x}{\sqrt{1-x^{2}}}}{cos\; x}=1\end{array}}

11 {\displaystyle\lim_{x \to 0}\left[\displaystyle\frac{1}{2}\frac{sen\; x}{tg\; x}(1+tg\; 2x)^{\frac{4}{x}}\right]}

 

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}\left[\displaystyle\frac{1}{2}\frac{sen\; x}{tg\; x}(1+tg\; 2x)^{\frac{4}{x}}\right]}

 

1 Aplicamos identidades trigonométricas y propiedades de límites

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}\left[\displaystyle\frac{1}{2}\frac{sen\; x}{tg\; x}(1+tg\; 2x)^{\frac{4}{x}}\right]=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\lim_{x \to 0}cos\; x\right)\left(\lim_{x \to 0}(1+tg\; 2x)^{\frac{4}{x}}\right)=\frac{1}{2}(1)\left(\lim_{x \to 0}(1+tg\; 2x)^{\frac{4}{x}}\right)}

 

2 Al sustituir se tiene una indeterminación por ello aplicamos propiedades de logaritmos y exponenciales y la regla de L'Hôspital

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle\lim_{x \to 0}\left[\displaystyle\frac{1}{2}\frac{sen\; x}{tg\; x}(1+tg\; 2x)^{\frac{4}{x}}\right]&=&\displaystyle\frac{1}{2}\left(\lim_{x \to 0}cos\; x\right)\left(\lim_{x \to 0}(1+tg\; 2x)^{\frac{4}{x}}\right)=\displaystyle\frac{1}{2}(1)\left(\lim_{x \to 0}(1+tg\; 2x)^{\frac{4}{x}}\right) \\ && \\ &=&\displaystyle\frac{1}{2}e^{\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{4 ln(1+tg\; 2x)}{x}}=\displaystyle\frac{1}{2}e^{\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{4\cdot 2 sec^{2}2x}{1+tg\; 2x}}=\displaystyle\frac{1}{2}e^{8}\end{array}}

12 {\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln(1+x)-sen\; x}{x\; sen\; x}}

 

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln(1+x)-sen\; x}{x\; sen\; x}}

 

1 Al sustituir se tiene una indeterminación {\displaystyle\frac{0}{0}}

 

2 Aplicamos la regla de L'Hôspital, ya que se tiene una indeterminación

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln(1+x)-sen\; x}{x\; sen\; x}=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\displaystyle\frac{1}{1+x}-cos\; x}{sen\; x +x\; cos\; x}}

 

3 Se vuelve a obtener una indeterminación por lo que aplicamos la regla de L'Hôspital

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln(1+x)-sen\; x}{x\; sen\; x}=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\displaystyle\frac{1}{1+x}-cos\; x}{sen\; x +x\; cos\; x}=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\displaystyle\frac{-1}{(1+x)^{2}}+sen\; x}{2cos\; x -x\; sen\; x}=-\frac{1}{2}}

13 {\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{1+sen\; x-e^{x}}{(arctg\; x)^{2}}}

 

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{1+sen\; x-e^{x}}{(arctg\; x)^{2}}}

 

1 Al sustituir se tiene una indeterminación {\displaystyle\frac{0}{0}}

 

2 Aplicamos la regla de L'Hôspital, ya que se tiene una indeterminación

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{1+sen\; x-e^{x}}{(arctg\; x)^{2}}=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{cos\; x-e^{x}}{\displaystyle\frac{2arctg\; x}{1+x^{2}}}}

 

3 Se vuelve a obtener una indeterminación por lo que aplicamos la regla de L'Hôspital

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{1+sen\; x-e^{x}}{(arctg\; x)^{2}}=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{cos\; x-e^{x}}{\displaystyle\frac{2arctg\; x}{1+x^{2}}}=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{-sen\; x-e^{x}}{\displaystyle\frac{2-4x\; arctg\; x}{(1+x^{2})^{2}}}=-\frac{1}{2}}

14 {\displaystyle\lim_{x \to 0}\left[\frac{1}{ln(1+x)}-\frac{1}{x}\right]}

 

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}\left[\frac{1}{ln(1+x)}-\frac{1}{x}\right]=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{x-ln(1+x)}{x\; ln(1+x)}}

 

1 Al sustituir se tiene una indeterminación {\displaystyle\frac{0}{0}}

 

2 Aplicamos la regla de L'Hôspital, ya que se tiene una indeterminación

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}\left[\frac{1}{ln(1+x)}-\frac{1}{x}\right]=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{x-ln(1+x)}{x\; ln(1+x)}=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{x}{ln(1+x)+x\; ln(1+x)+x}}

 

3 Se vuelve a obtener una indeterminación por lo que aplicamos la regla de L'Hôspital

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle\lim_{x \to 0}\left[\frac{1}{ln(1+x)}-\frac{1}{x}\right]&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{x-ln(1+x)}{x\; ln(1+x)}=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{x}{ln(1+x)+x\; ln(1+x)+x} \\ && \\ &=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{1+x}+ln(1+x)+\frac{x}{1+x}+1}=\frac{1}{2}\end{array}}

15 {\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{1+tg\; x}{1+sen\; x}\right)^{\frac{1}{sen\; x}}}

 

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{1+tg\; x}{1+sen\; x}\right)^{\frac{1}{sen\; x}}}

 

1 Al sustituir se tiene una indeterminación, por lo que aplicamos las propiedades de logaritmos y exponenciales

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{1+tg\; x}{1+sen\; x}\right)^{\frac{1}{sen\; x}}=e^{\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{ln(1+tg\; x)-ln(1+sen\; x)}{sen\; x}\right)}}

 

2 Aplicamos la regla de L'Hôspital, ya que se tiene una indeterminación

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{1+tg\; x}{1+sen\; x}\right)^{\frac{1}{sen\; x}}&=&e^{\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{ln(1+tg\; x)-ln(1+sen\; x)}{sen\; x}\right)} \\ && \\ &=& e^{\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{\displaystyle\frac{1+tg^{2}x}{1+tg\; x}-\frac{cos\; x}{1+sen\; x}}{cos\; x}\right)} \\ && \\ &=& e^{0}=1\end{array}}

16 {\displaystyle\lim_{x \to 0}x^{sen\; x}}

 

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}x^{sen\; x}}

 

1 Al sustituir se tiene una indeterminación, por lo que aplicamos las propiedades de logaritmos y exponenciales

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}x^{sen\; x}=e^{\displaystyle\lim_{x \to 0} sen\; xln\; x}=e^{\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{ln\; x}{cosec\; x}}}

 

2 Aplicamos la regla de L'Hôspital, ya que se tiene una indeterminación

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle\lim_{x \to 0}x^{sen\; x}&=& e^{\displaystyle\lim_{x \to 0} sen\; xln\; x}=e^{\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{ln\; x}{cosec\; x}} \\ && \\ &=& e^{\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\displaystyle\frac{1}{x}}{cosec\; x\; cotg\; x}}=e^{\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{-sen^{2}x}{x\; cos\; x}}\end{array}}

 

3 Al sustituir se tiene una indeterminación, por lo que aplicamos nuevamente la regla de L'Hôspital

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle\lim_{x \to 0}x^{sen\; x}&=& e^{\displaystyle\lim_{x \to 0} sen\; xln\; x}=e^{\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{ln\; x}{cosec\; x}} \\ && \\ &=& e^{\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\displaystyle\frac{1}{x}}{cosec\; x\; cotg\; x}}=e^{\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{-sen^{2}x}{x\; cos\; x}} \\ && \\ &=& e^{\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{-2sen\; x\; cos\; x}{cos\; x-x sen\; x}}=e^{0}=1\end{array}}

¿Necesitas un/a profe de Matemáticas?

¿Te ha gustado el artículo?

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 3,97/5 - 33 voto(s)
Cargando…

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗