1 {\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{e^{x}-e^{-x}}{sen\; x}}

 

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{e^{x}-e^{-x}}{sen\; x}}

 

1 Se tiene la indeterminación {\displaystyle\frac{0}{0}}

 

2 Aplicamos la regla de L'Hôspital

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{e^{x}-e^{-x}}{sen\; x}=\lim_{x \to 0}\frac{e^{x}+e^{-x}}{cos\; x}=2}

 

2 {\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{x}{(ln\; x)^{3}+2x}}

 

 

{\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{x}{(ln\; x)^{3}+2x}}

 

1 Se tiene la indeterminación {\displaystyle\frac{\infty}{\infty}}

 

2 Aplicamos la regla de L'Hôspital

 

{\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{x}{(ln\; x)^{3}+2x}=\lim_{x \to \infty}\frac{1}{\displaystyle\frac{3(ln\; x)^{2}}{x}+2}}

 

3Si comparamos infinitos para {\displaystyle\frac{3(ln\; x)^{2}}{x}} observamos que el numerador es un infinito de orden inferior al denominador, por tanto el límite es 0.

 

4 Así el resultado es

 

{\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{x}{(ln\; x)^{3}+2x}=\lim_{x \to \infty}\frac{1}{\displaystyle\frac{3(ln\; x)^{2}}{x}+2}=\frac{1}{2}}

 

3 {\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{sen\; x}\right)}

 

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{sen\; x}\right)=\lim_{x \to 0}\frac{sen\; x -x}{x\; sen\; x}}

 

1 Se tiene la indeterminación {\displaystyle\frac{0}{0}}

 

2 Aplicamos la regla de L'Hôspital

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{sen\; x}\right)=\lim_{x \to 0}\frac{sen\; x -x}{x\; sen\; x}=\lim_{x \to 0}\frac{cos\; x -1}{sen\; x + x\; cos\; x}}

 

3 Se vuelve a obtener la indeterminación {\displaystyle\frac{0}{0}}

 

4 Aplicamos la regla de L'Hôspital

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{sen\; x}\right)&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{sen\; x -x}{x\; sen\; x}=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{cos\; x -1}{sen\; x + x\; cos\; x}\\ & & \\ &=& \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{-sen\; x}{cos\; x + cos\; x - x\; sen\; x}=\frac{0}{2}=0\end{array}}

 

4 {\displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}(tg\; x-1)sec\; 2x}

 

 

{\displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}(tg\; x-1)sec\; 2x}

 

1 Al sustituir se tiene {0\cdot \infty} por lo que utilizamos la identidad trigonométrica {sec\; 2x = \displaystyle\frac{1}{cos\; 2x}}

 

{\displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}(tg\; x-1)sec\; 2x = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{tg\; x-1}{cos\; 2x}}

 

2 Se tiene la indeterminación {\displaystyle\frac{0}{0}}

 

3 Aplicamos la regla de L'Hôspital

 

{\displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}(tg\; x-1)sec\; 2x &=& \displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{tg\; x-1}{cos\; 2x}=\displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{sec^{2}x}{-2sen\; 2x}}

 

4 Utilizamos la identidad trigonométrica {sec^{2}x = 1+tg^{2}x}

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}(tg\; x-1)sec\; 2x &=& \displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{tg\; x-1}{cos\; 2x}=\displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{sec^{2}x}{-2sen\; 2x} && \\ &=&\displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{1+tg^{2}x}{-2sen\; 2x}=\frac{1+(1)^2}{-2(1)}=-1\end{array}}

 

5 {\displaystyle\lim_{x \to 0}x^{tg\; x}}

 

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}x^{tg\; x}}

 

1 Al sustituir se tiene {0^{0}} por lo que aplicamos las propiedades de logaritmos y exponenciales para obtener {x^{tg\; x} = e^{tg\; x \; ln\; x}}, así el límite se transforma en

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}x^{tg\; x}=\lim_{x \to 0}e^{tg\; x \; ln\; x}}

 

2 Por las propiedades del límite para una función continua, tenemos

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}x^{tg\; x}=\displaystyle\lim_{x \to 0}e^{(tg\; x )(ln\; x)}=\displaystyle e^\left({\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln\; x}{cotg\; x}\right)}}

 

3 Aplicamos la regla de L'Hôspital, ya que se tiene una indeterminación

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle\lim_{x \to 0}x^{tg\; x}&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}e^{(tg\; x)(ln\; x)}=e^{\left(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln\; x}{cotg\; x}\right)}=\displaystyle e^{\left(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln\; x}{cotg\; x}\right)} \\ & & \\ &=&\displaystyle e^{\left(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{x}}{-cosec^{2} x}\right)}\end{array}}

 

4 Utilizamos la identidad trigonométrica {cosec^{2}x = \displaystyle\frac{1}{sen^{2}x}}

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle\lim_{x \to 0}x^{tg\; x}&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}e^{(tg\; x)(ln\; x)}=e^{\left(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln\; x}{cotg\; x}\right)}=\displaystyle e^{\left(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln\; x}{cotg\; x}\right)} \\ & & \\ &=&\displaystyle e^{\left(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{x}}{-cosec^{2} x}\right)}=\displaystyle e^{\left(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{-sen^{2}x}{x}\right)}\end{array}}

 

5 Se tiene la indeterminación {\displaystyle\frac{0}{0}}

 

6 Aplicamos la regla de L'Hôspital

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle\lim_{x \to 0}x^{tg\; x}&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}e^{(tg\; x)(ln\; x)}=e^{\left(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln\; x}{cotg\; x}\right)}=\displaystyle e^{\left(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln\; x}{cotg\; x}\right)} \\ & & \\ &=&\displaystyle e^{\left(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{x}}{-cosec^{2} x}\right)}=\displaystyle e^{\left(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{-sen^{2}x}{x}\right)} \\ & & \\ &=& e^{\displaystyle\lim_{x\to 0}-2sen\; x\; cos\; x}=e^{0}=1\end{array}}

 

6 {\displaystyle\lim_{x \to 0}(cotg\; x)^{sen\; x}}

 

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}(cotg\; x)^{sen\; x}}

 

1 Al sustituir se tiene una indeterminación por lo que aplicamos las propiedades de logaritmos y exponenciales para obtener {(cotg\; x)^{sen\; x}=e^{(sen\; x)(ln\; cotg\; x)}}, así el límite se transforma en

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}(cotg\; x)^{sen\; x}=\lim_{x \to 0}e^{(sen\; x)(ln\; cotg\; x)}}

 

2 Utilizamos la identidad trigonométrica {sen\; x = \displaystyle\frac{1}{cosec\; x}}

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}(cotg\; x)^{sen\; x}=\lim_{x \to 0}e^{(sen\; x)(ln\; cotg\; x)}=\lim_{x \to 0}e^{\left(\frac{ln\; cotg\; x}{cosec\; x}\right)}}

 

3 Por las propiedades del límite para una función continua, tenemos

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}(cotg\; x)^{\displaystyle sen\; x}=\lim_{x \to 0}e^{\displaystyle(sen\; x)(ln\; cotg\; x)}=\lim_{x \to 0}e^{\left(\displaystyle\frac{ln\; cotg\; x}{cosec\; x}\right)}=e^{\left(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln\; cotg\; x}{cosec\; x}\right)}}

 

4 Aplicamos la regla de L'Hôspital, ya que se tiene una indeterminación

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle\lim_{x \to 0}(cotg\; x)^{\displaystyle sen\; x}&=&\lim_{x \to 0}e^{\displaystyle(sen\; x)(ln\; cotg\; x)}=\lim_{x \to 0}e^{\left(\displaystyle\frac{ln\; cotg\; x}{cosec\; x}\right)}=e^{\left(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln\; cotg\; x}{cosec\; x}\right)} \\ & & \\ &=&\displaystyle e^{\left(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{x}}{-cosec^{2} x}\right)}=e^{\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\frac{-cosec^{2}x}{cotg\; x}}{-cosec\; x\; cotg\; x}}\end{array}}

 

5 Simplificamos y utilizamos la identidad trigonométrica {cosec\; x = \displaystyle\frac{1}{sen\; x}, \ \ cotg\; x = \displaystyle\frac{cos\; x}{sen\; x}}

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle\lim_{x \to 0}(cotg\; x)^{\displaystyle sen\; x}&=&\lim_{x \to 0}e^{\displaystyle(sen\; x)(ln\; cotg\; x)}=\lim_{x \to 0}e^{\left(\displaystyle\frac{ln\; cotg\; x}{cosec\; x}\right)}=e^{\left(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln\; cotg\; x}{cosec\; x}\right)} \\ & & \\ &=&\displaystyle e^{\left(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{x}}{-cosec^{2} x}\right)}=e^{\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\frac{-cosec^{2}x}{cotg\; x}}{-cosec\; x\; cotg\; x}}=e^{\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{sen\; x}{cos^{2}x} \\ & & \\ &=& e^{0}=1\end{array}}

 

7 {\displaystyle\lim_{x \to 2}\left(\frac{x}{2}\right)^{\frac{1}{x-2}}}

 

 

{\displaystyle\lim_{x \to 2}\left(\frac{x}{2}\right)^{\frac{1}{x-2}}}

 

1 Al sustituir se tiene una indeterminación por lo que aplicamos las propiedades de logaritmos y exponenciales para obtener {\frac{x}{2}=e^{\left(\displaystyle\frac{ln\; \frac{x}{2}}{x-2}\right)}}

 

{\displaystyle\lim_{x \to 2}\left(\frac{x}{2}\right)^{\frac{1}{x-2}}=\displaystyle\lim_{x \to 2}e^{\left(\displaystyle\frac{ln\; \frac{x}{2}}{x-2}\right)}}

 

2 Por las propiedades del límite para una función continua, tenemos

 

{\displaystyle\lim_{x \to 2}\left(\frac{x}{2}\right)^{\frac{1}{x-2}}=\displaystyle\lim_{x \to 2}e^{\left(\displaystyle\frac{ln\; \frac{x}{2}}{x-2}\right)}=e^{\displaystyle\lim_{x\to 2}\left(\displaystyle\frac{ln\; \frac{x}{2}}{x-2}\right)}}

 

3 Aplicamos la regla de L'Hôspital, ya que se tiene una indeterminación

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle\lim_{x \to 2}\left(\frac{x}{2}\right)^{\frac{1}{x-2}}&=&\displaystyle\lim_{x \to 2}e^{\left(\displaystyle\frac{ln\; \frac{x}{2}}{x-2}\right)}=e^{\displaystyle\lim_{x\to 2}\left(\displaystyle\frac{ln\; \frac{x}{2}}{x-2}\right)} \\ & & \\ &=&\displaystyle e^{\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{\frac{1}{2}}{1}\right)}=e^{\frac{1}{2}}\end{array}}

 

8 {\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{ln\; x}{x-1}}

 

 

{\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{ln\; x}{x-1}}

 

1 Al sustituir se tiene una indeterminación {\displaystyle\frac{0}{0}}

 

2 Aplicamos la regla de L'Hôspital, ya que se tiene una indeterminación

 

{\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{ln\; x}{x-1}=\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{\displaystyle\frac{1}{x}}{1}=1}

 

9 {\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{sen\; 3x}{x-\displaystyle\frac{3}{2}sen\; 2x}}

 

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{sen\; 3x}{x-\displaystyle\frac{3}{2}sen\; 2x}}

 

1 Al sustituir se tiene una indeterminación {\displaystyle\frac{0}{0}}

 

2 Aplicamos la regla de L'Hôspital, ya que se tiene una indeterminación

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{sen\; 3x}{x-\displaystyle\frac{3}{2}sen\; 2x}=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{3cos\; 3x}{1-3cos\; 2x}=-\frac{3}{2}}

 

10 {\displaystyle\lim_{x \to 0}cotg\; x arcsen\; x}

 

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}cotg\; x arcsen\; x}

 

1 Aplicamos identidades trigonométricas

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}cotg\; x arcsen\; x}=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{cos\; x\; arcsen\; x}{sen\; x}}

 

2 Al sustituir se tiene una indeterminación {\displaystyle\frac{0}{0}}

 

3 Aplicamos la regla de L'Hôspital, ya que se tiene una indeterminación

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle\lim_{x \to 0}cotg\; x arcsen\; x}&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{cos\; x\; arcsen\; x}{sen\; x} \\ && \\ &=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{-sen\; x\; arcsen\; x + \displaystyle\frac{cos\; x}{\sqrt{1-x^{2}}}}{cos\; x}=1\end{array}}

 

11 {\displaystyle\lim_{x \to 0}\left[\displaystyle\frac{1}{2}\frac{sen\; x}{tg\; x}(1+tg\; 2x)^{\frac{4}{x}}\right]}

 

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}\left[\displaystyle\frac{1}{2}\frac{sen\; x}{tg\; x}(1+tg\; 2x)^{\frac{4}{x}}\right]}

 

1 Aplicamos identidades trigonométricas y propiedades de límites

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}\left[\displaystyle\frac{1}{2}\frac{sen\; x}{tg\; x}(1+tg\; 2x)^{\frac{4}{x}}\right]=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\lim_{x \to 0}cos\; x\right)\left(\lim_{x \to 0}(1+tg\; 2x)^{\frac{4}{x}}\right)=\frac{1}{2}(1)\left(\lim_{x \to 0}(1+tg\; 2x)^{\frac{4}{x}}\right)}

 

2 Al sustituir se tiene una indeterminación por ello aplicamos propiedades de logaritmos y exponenciales y la regla de L'Hôspital

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle\lim_{x \to 0}\left[\displaystyle\frac{1}{2}\frac{sen\; x}{tg\; x}(1+tg\; 2x)^{\frac{4}{x}}\right]&=&\displaystyle\frac{1}{2}\left(\lim_{x \to 0}cos\; x\right)\left(\lim_{x \to 0}(1+tg\; 2x)^{\frac{4}{x}}\right)=\displaystyle\frac{1}{2}(1)\left(\lim_{x \to 0}(1+tg\; 2x)^{\frac{4}{x}}\right) \\ && \\ &=&\displaystyle\frac{1}{2}e^{\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{4 ln(1+tg\; 2x)}{x}}=\displaystyle\frac{1}{2}e^{\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{4\cdot 2 sec^{2}2x}{1+tg\; 2x}}=\displaystyle\frac{1}{2}e^{8}\end{array}}

 

12 {\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln(1+x)-sen\; x}{x\; sen\; x}}

 

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln(1+x)-sen\; x}{x\; sen\; x}}

 

1 Al sustituir se tiene una indeterminación {\displaystyle\frac{0}{0}}

 

2 Aplicamos la regla de L'Hôspital, ya que se tiene una indeterminación

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln(1+x)-sen\; x}{x\; sen\; x}=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\displaystyle\frac{1}{1+x}-cos\; x}{sen\; x +x\; cos\; x}}

 

3 Se vuelve a obtener una indeterminación por lo que aplicamos la regla de L'Hôspital

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln(1+x)-sen\; x}{x\; sen\; x}=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\displaystyle\frac{1}{1+x}-cos\; x}{sen\; x +x\; cos\; x}=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\displaystyle\frac{-1}{(1+x)^{2}}+sen\; x}{2cos\; x -x\; sen\; x}=-\frac{1}{2}}

 

13 {\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{1+sen\; x-e^{x}}{(arctg\; x)^{2}}}

 

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{1+sen\; x-e^{x}}{(arctg\; x)^{2}}}

 

1 Al sustituir se tiene una indeterminación {\displaystyle\frac{0}{0}}

 

2 Aplicamos la regla de L'Hôspital, ya que se tiene una indeterminación

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{1+sen\; x-e^{x}}{(arctg\; x)^{2}}=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{cos\; x-e^{x}}{\displaystyle\frac{2arctg\; x}{1+x^{2}}}}

 

3 Se vuelve a obtener una indeterminación por lo que aplicamos la regla de L'Hôspital

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{1+sen\; x-e^{x}}{(arctg\; x)^{2}}=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{cos\; x-e^{x}}{\displaystyle\frac{2arctg\; x}{1+x^{2}}}=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{-sen\; x-e^{x}}{\displaystyle\frac{2-4x\; arctg\; x}{(1+x^{2})^{2}}}=-\frac{1}{2}}

 

14 {\displaystyle\lim_{x \to 0}\left[\frac{1}{ln(1+x)}-\frac{1}{x}\right]}

 

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}\left[\frac{1}{ln(1+x)}-\frac{1}{x}\right]=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{x-ln(1+x)}{x\; ln(1+x)}}

 

1 Al sustituir se tiene una indeterminación {\displaystyle\frac{0}{0}}

 

2 Aplicamos la regla de L'Hôspital, ya que se tiene una indeterminación

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}\left[\frac{1}{ln(1+x)}-\frac{1}{x}\right]=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{x-ln(1+x)}{x\; ln(1+x)}=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{x}{ln(1+x)+x\; ln(1+x)+x}}

 

3 Se vuelve a obtener una indeterminación por lo que aplicamos la regla de L'Hôspital

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle\lim_{x \to 0}\left[\frac{1}{ln(1+x)}-\frac{1}{x}\right]&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{x-ln(1+x)}{x\; ln(1+x)}=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{x}{ln(1+x)+x\; ln(1+x)+x} \\ && \\ &=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{1+x}+ln(1+x)+\frac{x}{1+x}+1}=\frac{1}{2}\end{array}}

 

15 {\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{1+tg\; x}{1+sen\; x}\right)^{\frac{1}{sen\; x}}}

 

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{1+tg\; x}{1+sen\; x}\right)^{\frac{1}{sen\; x}}}

 

1 Al sustituir se tiene una indeterminación, por lo que aplicamos las propiedades de logaritmos y exponenciales

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{1+tg\; x}{1+sen\; x}\right)^{\frac{1}{sen\; x}}=e^{\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{ln(1+tg\; x)-ln(1+sen\; x)}{sen\; x}\right)}}

 

2 Aplicamos la regla de L'Hôspital, ya que se tiene una indeterminación

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{1+tg\; x}{1+sen\; x}\right)^{\frac{1}{sen\; x}}&=&e^{\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{ln(1+tg\; x)-ln(1+sen\; x)}{sen\; x}\right)} \\ && \\ &=& e^{\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{\displaystyle\frac{1+tg^{2}x}{1+tg\; x}-\frac{cos\; x}{1+sen\; x}}{cos\; x}\right)} \\ && \\ &=& e^{0}=1\end{array}}

 

16 {\displaystyle\lim_{x \to 0}x^{sen\; x}}

 

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}x^{sen\; x}}

 

1 Al sustituir se tiene una indeterminación, por lo que aplicamos las propiedades de logaritmos y exponenciales

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}x^{sen\; x}=e^{\displaystyle\lim_{x \to 0} sen\; xln\; x}=e^{\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{ln\; x}{cosec\; x}}}

 

2 Aplicamos la regla de L'Hôspital, ya que se tiene una indeterminación

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle\lim_{x \to 0}x^{sen\; x}&=& e^{\displaystyle\lim_{x \to 0} sen\; xln\; x}=e^{\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{ln\; x}{cosec\; x}} \\ && \\ &=& e^{\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\displaystyle\frac{1}{x}}{cosec\; x\; cotg\; x}}=e^{\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{-sen^{2}x}{x\; cos\; x}}\end{array}}

 

3 Al sustituir se tiene una indeterminación, por lo que aplicamos nuevamente la regla de L'Hôspital

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle\lim_{x \to 0}x^{sen\; x}&=& e^{\displaystyle\lim_{x \to 0} sen\; xln\; x}=e^{\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{ln\; x}{cosec\; x}} \\ && \\ &=& e^{\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\displaystyle\frac{1}{x}}{cosec\; x\; cotg\; x}}=e^{\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{-sen^{2}x}{x\; cos\; x}} \\ && \\ &=& e^{\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{-2sen\; x\; cos\; x}{cos\; x-x sen\; x}}=e^{0}=1\end{array}}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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