Name: Asintotas de la funcion
Brand: Superprof
SKU: SP-RB-00018832
Rating: 4.41 (44 reviews)

Aprende Matemáticas con los mejores

¡1ra clase gratis!

Marta

28 octubre 2020

Temas

Definición de asíntotas
Asíntotas horizontales
Asíntotas verticales
Asíntotas oblicuas

Definición de asíntotas

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va acercando indefinidamente.

Hay tres tipos de asíntotas:

1Horizontales

2Verticales

3Oblicuas

Los/las mejores profesores/as de Matemáticas que están disponibles

Asíntotas horizontales

Si se satisface alguna de las siguientes dos condiciones

$\lim_{x \to \infty} f(x) = k \ \ \ \text{ó} \ \ \ \lim_{x \to -\infty} f(x) = k,$

entonces la recta ${y = k}$ es una asíntota horizontal para la gráfica de ${f(x)}$

Ejemplo: Calcular las asíntotas horizontales de la función ${f(x) = \displaystyle \frac{2x^2 + 3}{x^2 - 1}}$

Calculamos el límite cuando ${x}$ tiende a ${\infty}$ , para ello dividimos cada término del numerador y denominador por ${x^2}$

${\begin{array}{rcl} \displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) & = & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3}{x^2 - 1} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\displaystyle \frac{2x^2}{x^2} + \frac{3}{x^2}}{\displaystyle \frac{x^2}{x^2} - \frac{1}{x^2}} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\displaystyle 2 + \frac{3}{x^2}}{\displaystyle 1 - \frac{1}{x^2}} \\\\ & = & 2 \end{array}}$

Así, la función posee una asíntota horizontal ${y = 2}$

Asíntotas verticales

Si se satisface alguna de las siguientes dos condiciones

$\lim_{x \to k^-} f(x) = \pm \infty \ \ \ \text{ó} \ \ \ \lim_{x \to k^+} f(x) = \pm \infty,$

entonces la recta ${x = k}$ es una asíntota vertical para la gráfica de ${f(x)}$

Observemos que ${k}$ son los puntos que no pertenecen al dominio de la función (en las funciones racionales)

Ejemplo: Calcular las asíntotas verticales de la función ${f(x) = \displaystyle \frac{2x^2 + 3}{x^2 - 1}}$

El dominio de la función es ${D = \mathbb{R} - \{-1, 1\} }$

Calculamos los límites laterales cuando ${x}$ tiende a ${-1}$

${\begin{array}{rcl} \displaystyle \lim_{x \to -1^-} f(x) & = & \displaystyle \lim_{x \to -1^-} \frac{2x^2 + 3}{x^2 - 1} \\\\ & = & \displaystyle \infty \end{array}}$

${\begin{array}{rcl} \displaystyle \lim_{x \to -1^+} f(x) & = & \displaystyle \lim_{x \to -1^+} \frac{2x^2 + 3}{x^2 - 1} \\\\ & = & \displaystyle -\infty \end{array}}$

Así, la función posee una asíntota vertical ${x = -1}$

Calculamos los límites laterales cuando ${x}$ tiende a ${1}$

${\begin{array}{rcl} \displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x) & = & \displaystyle \lim_{x \to 1^-} \frac{2x^2 + 3}{x^2 - 1} \\\\ & = & \displaystyle -\infty \end{array}}$

${\begin{array}{rcl} \displaystyle \lim_{x \to 1^+} f(x) & = & \displaystyle \lim_{x \to 1^+} \frac{2x^2 + 3}{x^2 - 1} \\\\ & = & \displaystyle \infty \end{array}}$

Así, la función posee otra asíntota vertical ${x = 1}$

Lo anterior se puede observar de la gráfica de la función

Asíntotas oblicuas

Sólo hallaremos las asíntotas oblicuas cuando no haya asíntotas horizontales.

Para que haya asíntota oblicua se tiene que cumplir que el grado del numerador sea exactamente un grado mayor que el del denominador, luego la asíntota viene dada por

${y = mx + b,}$

donde

$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x},$

$b = \lim_{x \to \infty}[f(x) - mx]$

Ejemplo: Calcular las asíntotas de la función $f(x) = \frac{x^2 + 2}{x - 2}$

Se cumple que el grado del numerador es exactamente un grado mayor que el del denominador, solamente falta verificar si existen asíntotas horizontales.

Calculamos el límite cuando ${x}$ tiende a ${\infty}$ , para ello dividimos cada término del numerador y denominador por ${x^2}$

${\begin{array}{rcl} \displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) & = & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 2}{x - 2} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\displaystyle \frac{x^2}{x^2} + \frac{2}{x^2}}{\displaystyle \frac{x}{x^2} - \frac{2}{x^2}} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\displaystyle 1 + \frac{2}{x^2}}{\displaystyle \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}} \\\\ & = & \infty \end{array}}$

Así, la función no posee asíntotas horizontales.

Para ver si posee asíntotas oblicuas, calculamos

${\begin{array}{rcl} m & = & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 2}{x^2 - 2x} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\displaystyle \frac{x^2}{x^2} + \frac{2}{x^2}}{\displaystyle \frac{x^2}{x^2} - \frac{2x}{x^2}} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\displaystyle 1 + \frac{2}{x^2}}{\displaystyle 1 - \frac{2}{x}} \\\\ & = & 1 \end{array}}$

${\begin{array}{rcl} b & = & \displaystyle \lim_{x \to \infty} [f(x) - mx] \\\\ & = & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left [ \frac{x^2 + 2}{x - 2} - x \right ] \\\\ & = & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2x + 2}{x - 2} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\displaystyle \frac{2x}{x} + \frac{2}{x}}{\displaystyle \frac{x}{x} - \frac{2}{x}} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\displaystyle 2 + \frac{2}{x}}{\displaystyle 1 - \frac{2}{x}} \\\\ & = & 2 \end{array}}$

Así, la asíntota oblicua es ${y = x + 2}$

Notemos que el dominio de la función es ${D = \mathbb{R} - \{2\}}$ y ${x = 2}$ es una asíntota vertical.

¿Necesitas un profesor de Matemáticas?

¿Te ha gustado el artículo?

Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vez

Aprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?

Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar

4,41/5 - 44 vote(s)

Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Comentarios

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

Cancelar la respuesta

Salavarria

Mayo

Muy buena explicación. ¡Gracias!

Superprof

Mayo

: )

Jose

Mayo

Está muy bien, pero me gustaría ver cómo operar en la oblicua a la hora de restarle -1x. Saludos,

Paz lima segundo

Mayo

Muchas gracias en verdad me ayudo mucho sus conocimientos compartidos .

Superprof

Mayo

Hola, Paz, ¡nos alegramos mucho de que te hayan sido de ayuda! 🙂

Catalina

Octubre

Si f(x)= c, con c constante en los reales, la función tiene asintota horizontal y=c? Si uso los limites diría que sí pero tengo entendido que una asintota son valores a los que la función se aproxima.

Jose Gabriel Rosales Castañeda

Noviembre

Hola Catalina.

En este caso la función f(x)=c no tiene asíntota horizontal en y=c, ya que las asíntotas horizontales son rectas horizontales a las cuales la función se va acercando indefinidamente pero nunca alcanza. Pero en este caso la función si alcanza el valor c (de echo es la recta y=c).

Saludos.

claud

Marzo

Hola, querría saber como hacer la representación de las asíntotas… no me ha quedado muy claro; gracias de antemano.

Asíntotas de la gráfica de una función

Definición de asíntotas

Asíntotas horizontales

Asíntotas verticales

Asíntotas oblicuas

Cancelar la respuesta

Resumen

Resumen de funciones I

Continuidad de funciones

Representacion de grafica de funciones

Funciones

Funciones reales

Resumen de las funciones II

Graficas y funciones

Teoría

Limites infinitos

Representación de puntos

Caracteristicas: graficas

Concepto de funcion I

Función lineal y función identidad

Función constante

Concepto de funcion II

Composicion de funciones

La funcion inversa

Funciones acotadas

Maximos y minimos absolutos y relativos

Funciones simétricas

Funciones constantes

Funciones lineales

Traslaciones de parábolas

Dilataciones y contracciones de funciones

Traslaciones de hipérbolas

Funciones radicales

Funciones definidas a trozos

Función valor absoluto

Logaritmos y funciones logaritmicas

Limite de una funcion

Limites laterales

¿Cuales son las propiedades de los límites?

Operaciones con infinito

Limites de funciones en intervalos y en un punto

Calculo de limites cuando x tiende a infinito

Las siete indeterminaciones

Limites por comparacion de infinitos

Indeterminacion division infinito entre infinito en funciones

Resolver la indeterminacion infinito menos infinito

Indeterminacion cero entre cero

Indeterminacion uno elevado a infinito

Teoria y ejercicios de la regla de L’Hopital

Funcion continua

Continuidad lateral

Continuidad de funciones

Funciones matematicas: discontinuidad

Discontinuidad evitable y discontinuidad inevitable

Discontinuidad inevitable

Discontinuidad esencial

Continuidad en un intervalo

Teorema de Weierstrass

Propiedad de Darboux

Puntos de interseccion con los ejes

Ramas parabólicas

Puntos de inflexion de una funcion

Estudio de una funcion

Funciones. Gráficas

Gráficas de funciones

Maximos y minimos de una funcion

Limite de la funcion exponencial

Funcion cuadratica

Optimizacion de funciones

Representacion grafica

¿Que son las funciones racionales?

Tipos de funciones

Simetria de una funcion

Grafica de funciones

Concavidad y convexidad de una funcion

Limite de la funcion logaritmica

¿Como leer las coordenadas en el plano?

Limite de un numero partido por cero

Representar la funcion afin

Discontinuidad evitable