Definición de asíntotas

 

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va acercando indefinidamente.

 

Hay tres tipos de asíntotas:

 

1Horizontales

 

2Verticales

 

3Oblicuas

 

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Asíntotas horizontales

 

Si se satisface alguna de las siguientes dos condiciones

 

{\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = k \ \ \ \text{ó} \ \ \ \lim_{x \to -\infty} f(x) = k, }

 

entonces la recta {y = k} es una asíntota horizontal para la gráfica de {f(x)}

 

Ejemplo: Calcular las asíntotas horizontales de la función    {f(x) = \displaystyle \frac{2x^2 + 3}{x^2 - 1}}

 

Calculamos el límite cuando {x} tiende a {\infty}, para ello dividimos cada término del numerador y denominador por {x^2}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) & = & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3}{x^2 - 1}  \\\\   & = & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\displaystyle \frac{2x^2}{x^2} + \frac{3}{x^2}}{\displaystyle \frac{x^2}{x^2} - \frac{1}{x^2}} \\\\   & = & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\displaystyle 2 + \frac{3}{x^2}}{\displaystyle 1 - \frac{1}{x^2}} \\\\  & = & 2   \end{array}}

 

Así, la función posee una asíntota horizontal   {y = 2}

 

Asíntotas verticales

 

Si se satisface alguna de las siguientes dos condiciones

 

{\displaystyle \lim_{x \to k^-} f(x) = \pm \infty \ \ \ \text{ó} \ \ \ \lim_{x \to k^+} f(x) = \pm \infty, }

 

entonces la recta {x = k} es una asíntota vertical para la gráfica de {f(x)}

 

Observemos que {k} son los puntos que no pertenecen al dominio de la función (en las funciones racionales)

 

Ejemplo: Calcular las asíntotas verticales de la función   {f(x) = \displaystyle \frac{2x^2 + 3}{x^2 - 1}}

 

El dominio de la función es {D = \mathbb{R} - \{-1, 1\} }

 

Calculamos los límites laterales cuando {x} tiende a {-1}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \lim_{x \to -1^-} f(x) & = & \displaystyle \lim_{x \to -1^-} \frac{2x^2 + 3}{x^2 - 1}  \\\\   & = & \displaystyle \infty   \end{array}}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \lim_{x \to -1^+} f(x) & = & \displaystyle \lim_{x \to -1^+} \frac{2x^2 + 3}{x^2 - 1}  \\\\   & = & \displaystyle -\infty   \end{array}}

 

Así, la función posee una asíntota vertical   {x = -1}

 

Calculamos los límites laterales cuando {x} tiende a {1}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x) & = & \displaystyle \lim_{x \to 1^-} \frac{2x^2 + 3}{x^2 - 1}  \\\\   & = & \displaystyle -\infty   \end{array}}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \lim_{x \to 1^+} f(x) & = & \displaystyle \lim_{x \to 1^+} \frac{2x^2 + 3}{x^2 - 1}  \\\\   & = & \displaystyle \infty   \end{array}}

 

Así, la función posee otra asíntota vertical   {x = 1}

 

Lo anterior se puede observar de la gráfica de la función

 

Gráfica de las asíntotas de la función 1

 

Asíntotas oblicuas

 

Sólo hallaremos las asíntotas oblicuas cuando no haya asíntotas horizontales.

 

Para que haya asíntota oblicua se tiene que cumplir que el grado del numerador sea exactamente un grado mayor que el del denominador, luego la asíntota viene dada por

 

{y = mx + b,}

 

donde

 

{\displaystyle m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x},}

 

{\displaystyle b = \lim_{x \to \infty}[f(x) - mx]}

 

Ejemplo: Calcular las asíntotas de la función   {\displaystyle f(x) = \frac{x^2 + 2}{x - 2}}

 

Se cumple que el grado del numerador es exactamente un grado mayor que el del denominador, solamente falta verificar si existen asíntotas horizontales.

 

Calculamos el límite cuando {x} tiende a {\infty}, para ello dividimos cada término del numerador y denominador por {x^2}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) & = & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 2}{x - 2}  \\\\   & = & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\displaystyle \frac{x^2}{x^2} + \frac{2}{x^2}}{\displaystyle \frac{x}{x^2} - \frac{2}{x^2}} \\\\   & = & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\displaystyle 1 + \frac{2}{x^2}}{\displaystyle \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}} \\\\  & = & \infty   \end{array}}

 

Así, la función no posee asíntotas horizontales.

 

Para ver si posee asíntotas oblicuas, calculamos

 

{\begin{array}{rcl} m & = & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 2}{x^2 - 2x}  \\\\   & = & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\displaystyle \frac{x^2}{x^2} + \frac{2}{x^2}}{\displaystyle \frac{x^2}{x^2} - \frac{2x}{x^2}} \\\\   & = & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\displaystyle 1 + \frac{2}{x^2}}{\displaystyle 1 - \frac{2}{x}} \\\\  & = & 1   \end{array}}

 

{\begin{array}{rcl} b & = & \displaystyle \lim_{x \to \infty} [f(x) - mx]  \\\\  & = & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left [ \frac{x^2 + 2}{x - 2} - x \right ]  \\\\  & = & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2x + 2}{x - 2}  \\\\  & = & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\displaystyle \frac{2x}{x} + \frac{2}{x}}{\displaystyle \frac{x}{x} - \frac{2}{x}} \\\\   & = & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\displaystyle 2 + \frac{2}{x}}{\displaystyle 1 - \frac{2}{x}} \\\\  & = & 2   \end{array}}

 

Así, la asíntota oblicua es {y = x + 2}

 

Notemos que el dominio de la función es   {D = \mathbb{R} - \{2\}}   y   {x = 2}   es una asíntota vertical.

 

ejemplo gráfica para asíntotas oblicuas 2

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗