El dominio de una función es el conjunto de elementos que tienen imagen. 
Es decir, son los valores de x que podemos sustituir en la regla de correspondencia de una función para obtener el valor correspondiente de f(x).
Matemáticamente, podemos expresar:
 
D=\left \{ x\epsilon \mathbb{R} \setminus \exists f(x) \right \}
 
que significa que el dominio de una función son aquellos valores de x que pertenecen a los números reales para los cuales existe un valor asociado de la función f(x).
 
El subconjunto de los números reales en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función.
 
Se designa por D.
 
La variable x perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente.

ejemplo dominio de una funcion

Conjunto inicial Conjunto final

Dominio Conjunto imagen o recorrido

 

 

Dominio de la función polinómica entera

 

El dominio de una función polinómica entera es \mathbb{R}, porque cualquier número real tiene imagen.

 

También son funciones polinómicas enteras las que tienen un número (una constante) en el denominador:

 

Ejemplos de dominios de las funciones polinómicas

 

1 f(x)=x^{2}-5x+6      D=\mathbb{R}

 

2 f(x)=\frac{x^{2}-25}{5}    D=\mathbb{R}

 

Puedes probar que al sustituir cualquier valor de x en las funciones siempre obtendrás un valor correspondiente para f(x).

 

 

Dominio de la función racional

 

El dominio es \mathbb{R} menos los valores que anulan al denominador (no puede existir una fracción cuyo denominador sea cero).

 

Ejemplo de ejercicio de dominio de la función racional

 

1 ¿Qual es el dominio de la función f(x)=\frac{2x-5}{x^{2}-5x+6} ?

 

Ya que, para que la función exista, el denominador tiene que ser distinto de cero, podemos escribir:

 

x^{2}-5x+6\neq 0

 

(x-2)(x-3)\neq 0

 

x\neq 2                  x\neq 3

 

D=\mathbb{R}-\left \{ 2,3 \right \}

 

 

Dominio de la función irracional de índice impar

 

El dominio es \mathbb{R}.

 

Ejemplos de ejercicios de dominio de la función impar

 
 
1 Obtener el dominio de la función f(x)=\sqrt[3]{x^{2}+6x-16}.

 

Debido a que es posible obtener la raíz cúbica de un número, tanto positivo como negativo o nulo, entonces no tenemos ninguna restricción para los posibles valores que puede tomar x por lo que podemos deducir que:

 

  D=\mathbb{R}

 

En caso de que dentro de la raíz tengamos un cociente, no pertenecerán al dominio los valores que anulen el denominador.

 

2 Obtener el dominio de la funciónf(x)=\sqrt[3]{\frac{x}{x^{2}+6x-16}}

 

x^{2}+6x-16\neq 0

 

(x+8)(x-2)\neq 0

 

x\neq -8          x\neq 2

 

Por lo tanto:

D=\mathbb{R}-\left \{-8,2 \right \}

 

Dominio de la función irracional de índice par

 

El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando (la función dentro de la raíz) sea mayor o igual que cero.

 

Ejemplos de dominio de la función irracional de índice par

 

1 Obtener el dominio de la función f(x)=\sqrt{x^{2}-5x-14}.

 

Como el radicando debe ser mayor o igual que cero, planteamos la desigualdad:

 

x^{2}-5x-14\geq 0

 

Resolvemos la inecuación de segundo grado

 

x^{2}-5x-14\geq 0

 

(x+2)(x-7)\geq 0

 

Las raíces de la ecuación de segundo grado asociada a la desigualdad son: x=-2 y x=7

 

Por lo que los intervalos en los que se cumple la desigualdad serían:

 

 

Visualizar el intervalo solución de la desigualdad propuesta

 

El dominio lo forman los valores menores que el -2 y mayores que 7, incluyéndolos.

 

D=(-\infty ,-2]\cup [7,\infty )

 

 

 

2 Obtener el dominio de la función f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-10x+24}}{x+5}.

En este caso se deben cumplir dos condiciones, una para el cociente y otra para la raíz, por lo que el numerador tiene que ser mayor o igual que cero y el denominador distinto de cero. Por lo que:

 

\left\{\begin{matrix} x^{2}-10x+24\geq 0\\ x+5\neq 0 \end{matrix}\right.                        \begin{matrix} (-\infty ,4]\cup [6,\infty )\\ x\neq -5 \end{matrix}

Representación gráfica del dominio de la función

D=(-\infty ,-5)\cup (-5,4]\cup [6,\infty )

 

 

 

3 ¿Cuál es el dominio de la función f(x)=\frac{x+4}{\sqrt{x^{2}-5x+6}}?
En este caso, el denominador debe ser mayor que cero y, además, debemos buscar los valores de x para que la raíz exista, por lo que:

x^{2}-5x+6> 0

 

(x-2)(x-3)> 0

 

Representación gráfica del dominio de la función

D=(-\infty ,2)\cup (3,\infty )

 

 

4 Determinar el dominio de la función f(x)=\sqrt{\frac{x+4}{x^{2}-5x+6}}.

El radicando tiene que ser mayor que cero y el denominador distinto de cero

 

\frac{x+4}{x^{2}-5x+6}\geq 0        x^{2}-5x+6\neq 0

 

Representación del dominio de la función

D=[4,2)\cup (3,\infty )

 

 

Dominio de la función logarítmica

 

El dominio está formado por todos los valores que hacen que la función contenida dentro del logaritmo sea mayor que cero.

 

Ejemplo de dominio de la función logarítmica

 

1 ¿Cuál es el dominio de la función f(x)=log(x^{2}-5x+6)?

Se debe cumplir:

x^{2}-5x+6> 0

 

(x-2)(x-3)> 0

 

Representación gráfica del dominio de la función

D=(-\infty ,2)\cup (3,\infty )

 

 

 

Dominio de la función exponencial

 

El dominio de la función exponencial es \mathbb{R}, a menos que el exponente contenga una función que pueda anularse para algún valor de x

 

Ejemplos de dominio de funciones exponenciales

 

1 f(x)=e^{x^{2}-1}          D=\mathbb{R}

 

 


2 f(x)=e^{\frac{1}{x}}

 

El dominio es igual a \mathbb{R} menos los valores que anulan el denominador del exponente

 

D=\mathbb{R}-\left \{ 0 \right \}

 

 

3 f(x)=e^{\sqrt{x^{2}-5x+6}}

 

El dominio coincide con el campo de existencia real de la raíz

 

x^{2}-5x+6\geq 0

 

(x-2)(x-3)\geq 0

 

Representación del dominio de la función

D=(-\infty ,2)\cup (3,\infty )

 

Dominio de la función seno

 

El dominio de la función seno es \mathbb{R}

 

Dominio de la función coseno

 

El dominio de la función coseno es \mathbb{R}

 

Dominio de la función tangente

 

D=\mathbb{R}-\left \{ (2k+1)\cdot \frac{\pi }{2};k\epsilon \mathbb{Z} \right \}

D=\mathbb{R}-\left \{...,-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{3},... \right \}

 

Dominio de la función cotangente

 

D=\mathbb{R}-\left \{ k\pi ;k\epsilon \mathbb{Z} \right \}

D=\mathbb{R}-\left \{ ...,-\pi ,0,\pi ... \right \}

 

Dominio de la función secante

 

D=\mathbb{R}-\left \{ (2k+1)\cdot \frac{\pi }{2};k\epsilon \mathbb{Z} \right \}

D=\mathbb{R}-\left \{...,-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{3},... \right \}

 

Dominio de la función cosecante

 

D=\mathbb{R}-\left \{ k\pi ;k\epsilon \mathbb{Z} \right \}

D=\mathbb{R}-\left \{ ...,-\pi ,0,\pi ... \right \}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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