El dominio de una función es el conjunto de elementos que tienen imagen. Es decir, son los valores de x que podemos sustituir en la regla de correspondencia de una función para obtener el valor correspondiente de f(x).Matemáticamente, podemos expresar:

D=\left \{ x\epsilon \mathbb{R} \setminus \exists f(x) \right \}

 

que significa que: El dominio de una función son aquellos valores de x que pertenecen a los números reales para los cuales existe un valor asociado de la función f(x)

 

El subconjunto de los números reales en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.

 

La variable x perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente.

 

ejemplo dominio de una funcion

Conjunto inicial Conjunto final

Dominio Conjunto imagen o recorrido

 

Dominio de la función polinómica entera

 

El dominio de una función polinómica entera es \mathbb{R}, porque cualquier número real tiene imagen.

También son funciones polinómicas enteras las que tienen un número (una constante) en el denominador:

 

Ejemplos: Obtener el dominio de las funciones

f(x)=x^{2}-5x+6      D=\mathbb{R}

f(x)=\frac{x^{2}-25}{5}    D=\mathbb{R}

 

Puedes probar que al sustituir cualquier valor de x en las funciones siempre obtendrás un valor correspondiente para f(x).

 

Dominio de la función racional

 

El dominio es \mathbb{R} menos los valores que anulan al denominador (no puede existir una fracción cuyo denominador sea cero).

 

Ejemplo: Obtener el dominio de la función

f(x)=\frac{2x-5}{x^{2}-5x+6}

Ya que, para que la función exista, el denominador tiene que ser distinto de cero, podemos escribir:

x^{2}-5x+6\neq 0

(x-2)(x-3)\neq 0

x\neq 2                  x\neq 3

D=\mathbb{R}-\left \{ 2,3 \right \}

Dominio de la función irracional de índice impar

 

El dominio es \mathbb{R}

 

Ejemplo: Obtener el dominio de la función

f(x)=\sqrt[3]{x^{2}+6x-16}

Debido a que es posible obtener la raíz cúbica de un número, tanto positivo como negativo o nulo, entonces no tenemos ninguna restricción para los posibles valores que puede tomar x por lo que podemos deducir que:

  D=\mathbb{R}

 

En caso de que dentro de la raíz tengamos un cociente, no pertenecerán al dominio los valores que anulen el denominador.

 

Ejemplo: Obtener el dominio de la función

f(x)=\sqrt[3]{\frac{x}{x^{2}+6x-16}}

x^{2}+6x-16\neq 0

(x+8)(x-2)\neq 0

x\neq -8          x\neq 2

Por lo tanto:

D=\mathbb{R}-\left \{-8,2 \right \}

Dominio de la función irracional de índice par

 

El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando (la función dentro de la raíz) sea mayor o igual que cero.

 

Ejemplos

  • Obtener el dominio de la función:

f(x)=\sqrt{x^{2}-5x-14}

Como el radicando debe ser mayor o igual que cero, planteamos la desigualdad:

x^{2}-5x-14\geq 0

Resolvemos la inecuación de segundo grado

x^{2}-5x-14\geq 0

(x+2)(x-7)\geq 0

Las raíces de la ecuación de segundo grado asociada a la desigualdad son: x=-2 y x=7

Por lo que los intervalos en los que se cumple la desigualdad serían:

Visualizar el intervalo solución de la desigualdad propuesta

 

El dominio lo forman los valores menores que el -2 y mayores que 7, incluyéndolos.

D=(-\infty ,-2]\cup [7,\infty )

 

  • Obtener el dominio de la función:

f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-10x+24}}{x+5}

En este caso se deben cumplir dos condiciones, una para el cociente y otra para la raíz, por lo que el numerador tiene que ser mayor o igual que cero y el denominador distinto de cero. Por lo que:

\left\{\begin{matrix} x^{2}-10x+24\geq 0\\ x+5\neq 0 \end{matrix}\right.                        \begin{matrix} (-\infty ,4]\cup [6,\infty )\\ x\neq -5 \end{matrix}

Representación gráfica del dominio de la función

D=(-\infty ,-5)\cup (-5,4]\cup [6,\infty )

 

  • Obtener el dominio de la siguiente función:


f(x)=\frac{x+4}{\sqrt{x^{2}-5x+6}}

En este caso, el denominador debe ser mayor que cero y, además, debemos buscar los valores de x para que la raíz exista, por lo que:

x^{2}-5x+6> 0

(x-2)(x-3)> 0

Representación gráfica del dominio de la función

D=(-\infty ,2)\cup (3,\infty )

 

  • Determinar el dominio de la función:

f(x)=\sqrt{\frac{x+4}{x^{2}-5x+6}}

El radicando tiene que ser mayor que cero y el denominador distinto de cero

\frac{x+4}{x^{2}-5x+6}\geq 0        x^{2}-5x+6\neq 0

Representación del dominio de la función

D=[4,2)\cup (3,\infty )

Dominio de la función logarítmica

 

El dominio está formado por todos los valores que hacen que la función contenida dentro del logaritmo sea mayor que cero.

 

Ejemplo: Obtener el dominio de la función

f(x)=log(x^{2}-5x+6)

 

Se debe cumplir:

x^{2}-5x+6> 0

(x-2)(x-3)> 0

Representación gráfica del dominio de la función

D=(-\infty ,2)\cup (3,\infty )

 

Dominio de la función exponencial

El dominio de la función exponencial es \mathbb{R}, a menos que el exponente contenga una función que pueda anularse para algún valor de x

Ejemplos: Obtener el dominio de las funciones:

1. f(x)=e^{x^{2}-1}          D=\mathbb{R}


2. f(x)=e^{\frac{1}{x}}

El dominio es igual a \mathbb{R} menos los valores que anulan el denominador del exponente

D=\mathbb{R}-\left \{ 0 \right \}

3. f(x)=e^{\sqrt{x^{2}-5x+6}}

 

El dominio coincide con el campo de existencia real de la raíz

x^{2}-5x+6\geq 0

(x-2)(x-3)\geq 0

Representación del dominio de la función

D=(-\infty ,2)\cup (3,\infty )

 

Dominio de la función seno

 

El dominio de la función seno es \mathbb{R}

 

Dominio de la función coseno

 

El dominio de la función coseno es \mathbb{R}

 

Dominio de la función tangente

 

D=\mathbb{R}-\left \{ (2k+1)\cdot \frac{\pi }{2};k\epsilon \mathbb{Z} \right \}

D=\mathbb{R}-\left \{...,-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{3},... \right \}

 

Dominio de la función cotangente

 

D=\mathbb{R}-\left \{ k\pi ;k\epsilon \mathbb{Z} \right \}

D=\mathbb{R}-\left \{ ...,-\pi ,0,\pi ... \right \}

 

Dominio de la función secante

 

D=\mathbb{R}-\left \{ (2k+1)\cdot \frac{\pi }{2};k\epsilon \mathbb{Z} \right \}

D=\mathbb{R}-\left \{...,-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{3},... \right \}

 

Dominio de la función cosecante

 

D=\mathbb{R}-\left \{ k\pi ;k\epsilon \mathbb{Z} \right \}

D=\mathbb{R}-\left \{ ...,-\pi ,0,\pi ... \right \}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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