Name: Dominio de una funcion
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Marta

22 abril 2020

Temas

Dominio de la función polinómica entera
Dominio de la función racional
Dominio de la función radical de índice impar
Dominio de la función radical de índice par
Dominio de la función logarítmica
Dominio de la función exponencial
Dominio de la función seno
Dominio de la función coseno
Dominio de la función tangente
Dominio de la función cotangente
Dominio de la función secante
Dominio de la función cosecante
Dominio de operaciones con funciones

El dominio de una función está formado por todos los elementos que tienen imagen.

Es decir, son los valores de $x$ que podemos sustituir en la regla de correspondencia de una función para obtener el valor correspondiente de $f(x)$ .

Matemáticamente, podemos expresar:

$D=\left \{ x\, \epsilon \, \mathbb{R}\, /\, \exists \, f(x) \right \}$

que significa que el dominio de una función son aquellos valores de $x$ que pertenecen a los números reales para los cuales existe un valor asociado de la función $f(x)$ .

El subconjunto de los números reales en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función.

Se designa por D.

La variable x perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente.

Conjunto inicial Conjunto final

Dominio Conjunto imagen o recorrido

Dominio de la función polinómica entera

El dominio de una función polinómica es $\mathbb{R}$ , porque cualquier número real tiene imagen.

También son funciones polinómicas enteras las que tienen un número (una constante) en el denominador:

Ejemplos de dominios de las funciones polinómicas

1 $f(x)=x^{2}-5x+6$ $D=\mathbb{R}$

2 $f(x)=\frac{x^{2}-25}{5}$ $D=\mathbb{R}$

Puedes probar que al sustituir cualquier valor de $x$ en las funciones siempre obtendrás un valor correspondiente para $f(x)$ .

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Dominio de la función racional

El dominio es $\mathbb{R}$ menos los valores que anulan al denominador (no puede existir una fracción cuyo denominador sea cero)..

Ejemplo de ejercicio de dominio de la función racional

1 ¿Qual es el dominio de la función $f(x)=\frac{2x-5}{x^{2}-5x+6}$ ?

Igualamos el denominador a $0$ y resolvemos la ecuación

$x^{2}-5x+6=0$

$x=\cfrac{5\pm \sqrt{5^{2}-4\cdot 6}}{2}=\cfrac{5\pm \sqrt{25-24}}{2}=\cfrac{5\pm 1}{2}=\cfrac{5\pm 1}{2}$

$x_{1}=\cfrac{6}{2}=3$ $x_{2}=\cfrac{4}{2}=2$

$D=\mathbb{R}-\left \{ 2,3 \right \}$

Dominio de la función radical de índice impar

El dominio es el dominio de la función radicando.

1 $f(x)=\sqrt[3]{x^{2}-5x+6}$ $D=\mathbb{R}$

2 $f(x)=\sqrt[3]{\cfrac{x}{x^{2}-5x+6}}$ $D=\mathbb{R}-\left \{ 2,3 \right \}$

Dominio de la función radical de índice par

El dominio está formado por todos los valores del radicando que hacen que éste sea mayor o igual que cero.

$f(x)=\sqrt{x^{2}-5x+6}$

$x^{2}-5x+6\geq 0$

$D=(-\infty ,2]\cup [3,\infty )$

$f(x)=\cfrac{\sqrt{x^{2}-5x+6}}{x+4}$

$\left\{\begin{matrix} x^{2}-5x+6\geq 0 \; \; \; \; \; \; \; \;& \Rightarrow & \; \; \; \; \; \; (-\infty ,2]\cup [3,\infty ) \\ &\\ \; \; x+4\neq 0 & \Rightarrow & x\neq -4 \end{matrix}\right.$

$D=(-\infty ,-4)\cup (-4,2]\cup [3,\infty )$

3¿Cuál es el dominio de la función $f(x)=\cfrac{1}{\sqrt{x^{2}-5x+6}}$ ?

En este caso, el denominador debe ser mayor que cero y, además, debemos buscar los valores de $x$ para que la raíz exista, por lo que:

$x^{2}-5x+6> 0$

$(x-2)(x-3)> 0$

$D=(-\infty ,2)\cup (3,\infty )$

4Determinar el dominio de la función $f(x)=\sqrt{\cfrac{x+4}{x^{2}-5x+6}}$ .

El radicando tiene que ser mayor que cero y el denominador distinto de cero

$\left\{\begin{matrix} \cfrac{x+4}{x^{2}-5x+6}\geq 0 \\ & & \\ x^{2}-5x+6\neq 0 \end{matrix}\right.$

$D=[-4,2)\cup (3,\infty )$

5 Obtener el dominio de la función $f(x)=\sqrt{x^{2}-5x-14}$ .

Como el radicando debe ser mayor o igual que cero, planteamos la desigualdad:

$x^{2}-5x-14\geq 0$

Resolvemos la inecuación de segundo grado

$x^{2}-5x-14\geq 0$

$(x+2)(x-7)\geq 0$

Las raíces de la ecuación de segundo grado asociada a la desigualdad son: $x=-2$ y $x=7$

Por lo que los intervalos en los que se cumple la desigualdad serían:

Visualizar el intervalo solución de la desigualdad propuesta

El dominio lo forman los valores menores que el -2 y mayores que 7, incluyéndolos.

$D=(-\infty ,-2]\cup [7,\infty )$

6 Obtener el dominio de la función $f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-10x+24}}{x+5}$ .

En este caso se deben cumplir dos condiciones, una para el cociente y otra para la raíz, por lo que el numerador tiene que ser mayor o igual que cero y el denominador distinto de cero. Por lo que:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}-10x+24\geq 0\\ x+5\neq 0 \end{matrix}\right.$ $\begin{matrix} (-\infty ,4]\cup [6,\infty )\\ x\neq -5 \end{matrix}$

Representación gráfica del dominio de la función

$D=(-\infty ,-5)\cup (-5,4]\cup [6,\infty )$

Dominio de la función logarítmica

El dominio está formado por todos los valores que hacen que la función que aparece dentro del logaritmo sea mayor que cero.

$f(x)=\log (x^{2}-5x+6)$

Se debe cumplir:

$x^{2}-5x+6> 0$

$(x-2)(x-3)> 0$

$D=(-\infty ,2)\cup (3,\infty )$

Dominio de la función exponencial

Ejemplos de dominio de funciones exponenciales

1 $f(x)=e^{x^{2}-1}$ $D=\mathbb{R}$

2 $f(x)=e^{\frac{1}{x}}$

El dominio es igual a $\mathbb{R}$ menos los valores que anulan el denominador del exponente

$D=\mathbb{R}-\left \{ 0 \right \}$

3 $f(x)=e^{\sqrt{x^{2}-5x+6}}$

El dominio coincide con el campo de existencia real de la raíz

$x^{2}-5x+6\geq 0$

$(x-2)(x-3)\geq 0$

Representación del dominio de la función

$D=(-\infty ,2]\cup [3,\infty )$

$D=\mathbb{R}$

Dominio de la función seno

El dominio de la función seno es $D=\mathbb{R}$

Dominio de la función coseno

El dominio de la función coseno es $D=\mathbb{R}$

Dominio de la función tangente

$D=\mathbb{R}-\left \{ (2k+1)\cdot \cfrac{\pi }{2}\, ;\, k\, \epsilon \, \mathbb{Z} \right \}$

$D=\mathbb{R}-\left \{ ...,-\cfrac{\pi }{2}\, ,\cfrac{\pi }{2}\, ,\cfrac{3\pi }{2}\, ,... \right \}$

Dominio de la función cotangente

$D=\mathbb{R}-\left \{ k\cdot \pi ;\, k\, \epsilon \, \mathbb{Z} \right \}$

$D=\mathbb{R}-\left \{ ...,-\pi \, ,0\, ,\pi \, ,... \right \}$

Dominio de la función secante

$D=\mathbb{R}-\left \{(2k+1)\cdot \cfrac{\pi }{2}\, ;\, k\, \epsilon \, \mathbb{Z}\right \}$

$D=\mathbb{R}-\left \{ ...,-\cfrac{\pi }{2}\, ,\cfrac{\pi }{2}\, ,\cfrac{3\pi }{2}\, ,... \right \}$

Dominio de la función cosecante

$D=\mathbb{R}-\left \{ k\cdot \pi ;k\, \epsilon \, \mathbb{Z} \right \}$

$D=\mathbb{R}-\left \{ ...,-\pi ,0,\pi ,... \right \}$

Dominio de operaciones con funciones

$D(f+g)=D(f-g)=D(f\cdot g)=D(f)\cap D(g)$

$D\left ( \frac{f}{g} \right )=D(f)\cap D(g)-\left \{ x\, \epsilon \, \mathbb{R}\, /\, g(x)=0 \right \}$

$f(x)=\cfrac{\sqrt{x+4}}{\sqrt{x^{2}-5x+6}}$

$\left\{\begin{matrix} x+4\geq 0 \; \; \;& \Rightarrow & [-4,\infty )\\ & & \\ x^{2}-5x+6> 0 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; & \Rightarrow & \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (-\infty ,2)\cup (3,\infty ) \end{matrix}\right.$

$D=[-4,2)\cup (3,\infty )$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Comentarios

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Ribera

Septiembre

Me ayudo mucho ! Muchas gracias !

Plaza

Septiembre

Muy útil para recordar primero de bachiller a principios de segundo, muchas gracias!

Nidia Yaneth Díaz Fernández

Septiembre

Suponga que a es El dominio de una función

Anichiarico

Mayo

muchas gracias

Superprof

Junio

Pamela

Diciembre

De la forma algebraica de la siguiente función
y= √𝑥x + 4 determine:
Domino:
Rango:
Intervalos en los que es creciente o decreciente:
La función es par, impar o ninguna:
La función es inyectiva, sobreyectiva, biyectiva o
ninguna:

Nidia Yaneth Díaz Fernández

Septiembre

Suponga que a es El dominio de una función

Lidia Mamani

Septiembre

como hallo el dominio y rango de -1-1raiz de 4+x-x2
eso porfavor

Valeria Suárez

Octubre

Hola! Me preguntaba si hay algún apartado en la web que explicase mas a fondo porque los dominios de las ecuaciones trigonométricas son así. Muchísimas gracias por la explicación.

Gaspar Leon

Noviembre

Hola,

me disculpo de antemano por no conocer un apartado en la web para recomendarte en el que encuentres explicaciones de dominios de funciones trigonométricas a profundidad. Lo que si te recomiendo para profundizar en los dominios de funciones trigonométricas es consultar los libros de «Cálculo en una variable» de Thomas y «Cálculo infinitesimal» de Spivak.

Espero que pronto podamos subir contenido del tema que mencionas.
Un saludo.

Laura

Octubre

Me ha ayudado mucho, gracias! Creo que hay un error en el dominio de la tercera función exponencial, los intervalos salen abiertos pero deberían estar cerrados en el 2 y el 3.

Superprof

Octubre

Gracias por el comentario Laura, hemos corregido el error. ¡Un saludo!

ignacio

Octubre

hola! buen dia , primero agradecer por toda la info y la ayuda incondicional que aportan , y tambien quiero hacer le una consulta porfe en el «Dominio de la función radical de índice par»
en el ejemplo 1 y 3 son las misma funciones pero noto que en el ejemplo 1 dice que el dominio debe ser >= a 0 pero en el ejemplo 3 que es la misma funcion dice que es > a 0 ¿que seria mayor solamente , osea porque no seria mayor e igual como en el ejemplo 1 cual seria la diferencia?
De antemano muchas gracias , espero tenga tiempo para poder despejar la duda gracias

Jose Gabriel Rosales Castañeda

Diciembre

Hola Ignacio.

Hemos corregido el error, en este caso se trataba del reciproco de esa función. Gracias por tu comentario nos ayuda a mejorar el servicio que ofrecemos.

Saludos.

Daniel Caraballo

Marzo

Buenos dias necesito de su ayuda con unos ejercicios

Andrielys Torrealba

Abril

Hola necesito determinar el dominio de f (x)= x -1/x2 – x-6

Explicación del dominio de una función

Dominio de la función polinómica entera

Ejemplos de dominios de las funciones polinómicas

Dominio de la función racional

Ejemplo de ejercicio de dominio de la función racional

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Dominio de la función exponencial

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