Marta

22 abril 2020

Temas

 

El dominio de una función está formado por todos los elementos que tienen imagen.

 

Es decir, son los valores de x que podemos sustituir en la regla de correspondencia de una función para obtener el valor correspondiente de f(x).

Matemáticamente, podemos expresar:

D=\left \{ x\, \epsilon \, \mathbb{R}\, /\, \exists \, f(x) \right \}

que significa que el dominio de una función son aquellos valores de x que pertenecen a los números reales para los cuales existe un valor asociado de la función f(x).

El subconjunto de los números reales en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función.

Se designa por D.

La variable x perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente.

ejemplo dominio de una funcion

Conjunto inicial Conjunto final

Dominio Conjunto imagen o recorrido

 

Dominio de la función polinómica entera

 

El dominio de una función polinómica es \mathbb{R}, porque cualquier número real tiene imagen.

También son funciones polinómicas enteras las que tienen un número (una constante) en el denominador:

Ejemplos de dominios de las funciones polinómicas

 

1 f(x)=x^{2}-5x+6      D=\mathbb{R}

 

2 f(x)=\frac{x^{2}-25}{5}    D=\mathbb{R}

 

Puedes probar que al sustituir cualquier valor de x en las funciones siempre obtendrás un valor correspondiente para f(x).

Dominio de la función racional

 

El dominio es \mathbb{R} menos los valores que anulan al denominador (no puede existir una fracción cuyo denominador sea cero)..

 

Ejemplo de ejercicio de dominio de la función racional

 

1 ¿Qual es el dominio de la función f(x)=\frac{2x-5}{x^{2}-5x+6} ?

 

Igualamos el denominador a 0 y resolvemos la ecuación

 

x^{2}-5x+6=0

 

x=\cfrac{5\pm \sqrt{5^{2}-4\cdot 6}}{2}=\cfrac{5\pm \sqrt{25-24}}{2}=\cfrac{5\pm 1}{2}=\cfrac{5\pm 1}{2}

 

x_{1}=\cfrac{6}{2}=3          x_{2}=\cfrac{4}{2}=2

 

D=\mathbb{R}-\left \{ 2,3 \right \}

 

 

Dominio de la función radical de índice impar

 

El dominio es el dominio de la función radicando.

 

1f(x)=\sqrt[3]{x^{2}-5x+6}              D=\mathbb{R}

 

2f(x)=\sqrt[3]{\cfrac{x}{x^{2}-5x+6}}              D=\mathbb{R}-\left \{ 2,3 \right \}

 

Dominio de la función radical de índice par

 

El dominio está formado por todos los valores del radicando que hacen que éste sea mayor o igual que cero.

1

f(x)=\sqrt{x^{2}-5x+6}

 

x^{2}-5x+6\geq 0

 

D=(-\infty ,2]\cup [3,\infty )

 

Ejemplo de intervalos cerrados por un extremo representacion grafica

 

2

f(x)=\cfrac{\sqrt{x^{2}-5x+6}}{x+4}

 

\left\{\begin{matrix} x^{2}-5x+6\geq 0 \; \; \; \; \; \; \; \;& \Rightarrow & \; \; \; \; \; \; (-\infty ,2]\cup [3,\infty ) \\ &\\ \; \; x+4\neq 0 & \Rightarrow & x\neq -4 \end{matrix}\right.

 

D=(-\infty ,-4)\cup (-4,2]\cup [3,\infty )

 

3¿Cuál es el dominio de la funciónf(x)=\cfrac{1}{\sqrt{x^{2}-5x+6}}?

En este caso, el denominador debe ser mayor que cero y, además, debemos buscar los valores de x para que la raíz exista, por lo que:

x^{2}-5x+6> 0

 

(x-2)(x-3)> 0

Ejemplo de un intervalo abierto representacion grafica

 

D=(-\infty ,2)\cup (3,\infty )

 

4Determinar el dominio de la función f(x)=\sqrt{\cfrac{x+4}{x^{2}-5x+6}}.

El radicando tiene que ser mayor que cero y el denominador distinto de cero

 

\left\{\begin{matrix} \cfrac{x+4}{x^{2}-5x+6}\geq 0 \\ & & \\ x^{2}-5x+6\neq 0 \end{matrix}\right.

 

Signos de la función en distintos intervalos representacion grafica

 

D=[-4,2)\cup (3,\infty )

 

5 Obtener el dominio de la función f(x)=\sqrt{x^{2}-5x-14}.

 

Como el radicando debe ser mayor o igual que cero, planteamos la desigualdad:

 

x^{2}-5x-14\geq 0

 

Resolvemos la inecuación de segundo grado

 

x^{2}-5x-14\geq 0

 

(x+2)(x-7)\geq 0

 

Las raíces de la ecuación de segundo grado asociada a la desigualdad son: x=-2 y x=7

 

Por lo que los intervalos en los que se cumple la desigualdad serían:

 

 

Visualizar el intervalo solución de la desigualdad propuesta

 

El dominio lo forman los valores menores que el -2 y mayores que 7, incluyéndolos.

 

D=(-\infty ,-2]\cup [7,\infty )

6 Obtener el dominio de la función f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-10x+24}}{x+5}.

En este caso se deben cumplir dos condiciones, una para el cociente y otra para la raíz, por lo que el numerador tiene que ser mayor o igual que cero y el denominador distinto de cero. Por lo que:

 

\left\{\begin{matrix} x^{2}-10x+24\geq 0\\ x+5\neq 0 \end{matrix}\right.                        \begin{matrix} (-\infty ,4]\cup [6,\infty )\\ x\neq -5 \end{matrix}

 

Representación gráfica del dominio de la función

 

D=(-\infty ,-5)\cup (-5,4]\cup [6,\infty )

Dominio de la función logarítmica

 

El dominio está formado por todos los valores que hacen que la función que aparece dentro del logaritmo sea mayor que cero.

f(x)=\log (x^{2}-5x+6)

Se debe cumplir:

x^{2}-5x+6> 0

 

(x-2)(x-3)> 0

 

Representación gráfica del dominio de la función

D=(-\infty ,2)\cup (3,\infty )

 

Dominio de la función exponencial

 

Ejemplos de dominio de funciones exponenciales

 

1 f(x)=e^{x^{2}-1}          D=\mathbb{R}

 

 


 2 f(x)=e^{\frac{1}{x}}

 

El dominio es igual a \mathbb{R} menos los valores que anulan el denominador del exponente

 

D=\mathbb{R}-\left \{ 0 \right \}

 

 

3 f(x)=e^{\sqrt{x^{2}-5x+6}}

 

El dominio coincide con el campo de existencia real de la raíz

 

x^{2}-5x+6\geq 0

 

(x-2)(x-3)\geq 0

 

Representación del dominio de la función

D=(-\infty ,2]\cup [3,\infty )

D=\mathbb{R}

 

Dominio de la función seno

 

El dominio de la función seno es D=\mathbb{R}

Dominio de la función coseno

 

El dominio de la función coseno es D=\mathbb{R}

 

Dominio de la función tangente

 

D=\mathbb{R}-\left \{ (2k+1)\cdot \cfrac{\pi }{2}\, ;\, k\, \epsilon \, \mathbb{Z} \right \}

 

D=\mathbb{R}-\left \{ ...,-\cfrac{\pi }{2}\, ,\cfrac{\pi }{2}\, ,\cfrac{3\pi }{2}\, ,... \right \}

 

Dominio de la función cotangente

 

D=\mathbb{R}-\left \{ k\cdot \pi ;\, k\, \epsilon \, \mathbb{Z} \right \}

 

D=\mathbb{R}-\left \{ ...,-\pi \, ,0\, ,\pi \, ,... \right \}

 

Dominio de la función secante

 

D=\mathbb{R}-\left \{(2k+1)\cdot \cfrac{\pi }{2}\, ;\, k\, \epsilon \, \mathbb{Z}\right \}

 

D=\mathbb{R}-\left \{ ...,-\cfrac{\pi }{2}\, ,\cfrac{\pi }{2}\, ,\cfrac{3\pi }{2}\, ,... \right \}

 

Dominio de la función cosecante

 

D=\mathbb{R}-\left \{ k\cdot \pi ;k\, \epsilon \, \mathbb{Z} \right \}

 

D=\mathbb{R}-\left \{ ...,-\pi ,0,\pi ,... \right \}

 

Dominio de operaciones con funciones

 

D(f+g)=D(f-g)=D(f\cdot g)=D(f)\cap D(g)

 

D\left ( \frac{f}{g} \right )=D(f)\cap D(g)-\left \{ x\, \epsilon \, \mathbb{R}\, /\, g(x)=0 \right \}

 

f(x)=\cfrac{\sqrt{x+4}}{\sqrt{x^{2}-5x+6}}

 

\left\{\begin{matrix} x+4\geq 0 \; \; \;& \Rightarrow & [-4,\infty )\\ & & \\ x^{2}-5x+6> 0 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; & \Rightarrow & \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (-\infty ,2)\cup (3,\infty ) \end{matrix}\right.

 

D=[-4,2)\cup (3,\infty )

 

Intervalos del dominio de dos funciones representacion grafica

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗