Name: Dominio de una funcion
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Dominio de la función polinómica entera
Dominio de la función racional
Dominio de la función radical de índice impar
Dominio de la función radical de índice par
Dominio de la función logarítmica
Dominio de la función exponencial
Dominio de la función seno
Dominio de la función coseno
Dominio de la función tangente
Dominio de la función cotangente
Dominio de la función secante
Dominio de la función cosecante
Dominio de operaciones con funciones

El dominio de una función está formado por todos los elementos que tienen imagen.

Es decir, son los valores de $x$ que podemos sustituir en la regla de correspondencia de una función para obtener el valor correspondiente de $f(x)$ .

Matemáticamente, podemos expresar:

$D=\left \{ x\, \epsilon \, \mathbb{R}\, /\, \exists \, f(x) \right \}$

que significa que el dominio de una función son aquellos valores de $x$ que pertenecen a los números reales para los cuales existe un valor asociado de la función $f(x)$ .

El subconjunto de los números reales en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función.

Se designa por D.

La variable x perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente.

ejemplo dominio de una funcion

Conjunto inicial Conjunto final

Dominio Conjunto imagen o recorrido

Dominio de la función polinómica entera

El dominio de una función polinómica es $\mathbb{R}$ , porque cualquier número real tiene imagen.

También son funciones polinómicas enteras las que tienen un número (una constante) en el denominador:

Ejemplos de dominios de las funciones polinómicas

1 $f(x)=x^{2}-5x+6$ $D=\mathbb{R}$

2 $f(x)=\frac{x^{2}-25}{5}$ $D=\mathbb{R}$

Puedes probar que al sustituir cualquier valor de $x$ en las funciones siempre obtendrás un valor correspondiente para $f(x)$ .

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Dominio de la función racional

El dominio es $\mathbb{R}$ menos los valores que anulan al denominador (no puede existir una fracción cuyo denominador sea cero)..

Ejemplo de ejercicio de dominio de la función racional

1 ¿Qual es el dominio de la función $f(x)=\frac{2x-5}{x^{2}-5x+6}$ ?

Igualamos el denominador a $0$ y resolvemos la ecuación

$x^{2}-5x+6=0$

$x=\cfrac{5\pm \sqrt{5^{2}-4\cdot 6}}{2}=\cfrac{5\pm \sqrt{25-24}}{2}=\cfrac{5\pm 1}{2}=\cfrac{5\pm 1}{2}$

$x_{1}=\cfrac{6}{2}=3$ $x_{2}=\cfrac{4}{2}=2$

$D=\mathbb{R}-\left \{ 2,3 \right \}$

Dominio de la función radical de índice impar

El dominio es el dominio de la función radicando.

1 $f(x)=\sqrt[3]{x^{2}-5x+6}$ $D=\mathbb{R}$

2 $f(x)=\sqrt[3]{\cfrac{x}{x^{2}-5x+6}}$ $D=\mathbb{R}-\left \{ 2,3 \right \}$

Dominio de la función radical de índice par

El dominio está formado por todos los valores del radicando que hacen que éste sea mayor o igual que cero.

$f(x)=\sqrt{x^{2}-5x+6}$

$x^{2}-5x+6\geq 0$

$D=(-\infty ,2]\cup [3,\infty )$

Ejemplo de intervalos cerrados por un extremo representacion grafica

$f(x)=\cfrac{\sqrt{x^{2}-5x+6}}{x+4}$

$\left\{\begin{matrix} x^{2}-5x+6\geq 0 \; \; \; \; \; \; \; \;& \Rightarrow & \; \; \; \; \; \; (-\infty ,2]\cup [3,\infty ) \\ &\\ \; \; x+4\neq 0 & \Rightarrow & x\neq -4 \end{matrix}\right.$

$D=(-\infty ,-4)\cup (-4,2]\cup [3,\infty )$

3¿Cuál es el dominio de la función $f(x)=\sqrt{x^{2}-5x+6}$ ?

En este caso, el denominador debe ser mayor que cero y, además, debemos buscar los valores de $x$ para que la raíz exista, por lo que:

$x^{2}-5x+6> 0$

$(x-2)(x-3)> 0$

Ejemplo de un intervalo abierto representacion grafica

$D=(-\infty ,2)\cup (3,\infty )$

4Determinar el dominio de la función $f(x)=\sqrt{\cfrac{x+4}{x^{2}-5x+6}}$ .

El radicando tiene que ser mayor que cero y el denominador distinto de cero

$\left\{\begin{matrix} \cfrac{x+4}{x^{2}-5x+6}\geq 0 \\ & & \\ x^{2}-5x+6\neq 0 \end{matrix}\right.$

Signos de la función en distintos intervalos representacion grafica

$D=[-4,2)\cup (3,\infty )$

5 Obtener el dominio de la función $f(x)=\sqrt{x^{2}-5x-14}$ .

Como el radicando debe ser mayor o igual que cero, planteamos la desigualdad:

$x^{2}-5x-14\geq 0$

Resolvemos la inecuación de segundo grado

$x^{2}-5x-14\geq 0$

$(x+2)(x-7)\geq 0$

Las raíces de la ecuación de segundo grado asociada a la desigualdad son: $x=-2$ y $x=7$

Por lo que los intervalos en los que se cumple la desigualdad serían:

Visualizar el intervalo solución de la desigualdad propuesta

El dominio lo forman los valores menores que el -2 y mayores que 7, incluyéndolos.

$D=(-\infty ,-2]\cup [7,\infty )$

6 Obtener el dominio de la función $f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-10x+24}}{x+5}$ .

En este caso se deben cumplir dos condiciones, una para el cociente y otra para la raíz, por lo que el numerador tiene que ser mayor o igual que cero y el denominador distinto de cero. Por lo que:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}-10x+24\geq 0\\ x+5\neq 0 \end{matrix}\right.$ $\begin{matrix} (-\infty ,4]\cup [6,\infty )\\ x\neq -5 \end{matrix}$

Representación gráfica del dominio de la función

$D=(-\infty ,-5)\cup (-5,4]\cup [6,\infty )$

Dominio de la función logarítmica

El dominio está formado por todos los valores que hacen que la función que aparece dentro del logaritmo sea mayor que cero.

$f(x)=\log (x^{2}-5x+6)$

Se debe cumplir:

$x^{2}-5x+6> 0$

$(x-2)(x-3)> 0$

Representación gráfica del dominio de la función

$D=(-\infty ,2)\cup (3,\infty )$

Dominio de la función exponencial

Ejemplos de dominio de funciones exponenciales

1 $f(x)=e^{x^{2}-1}$ $D=\mathbb{R}$

2 $f(x)=e^{\frac{1}{x}}$

El dominio es igual a $\mathbb{R}$ menos los valores que anulan el denominador del exponente

$D=\mathbb{R}-\left \{ 0 \right \}$

3 $f(x)=e^{\sqrt{x^{2}-5x+6}}$

El dominio coincide con el campo de existencia real de la raíz

$x^{2}-5x+6\geq 0$

$(x-2)(x-3)\geq 0$

Representación del dominio de la función

$D=(-\infty ,2)\cup (3,\infty )$

$D=\mathbb{R}$

Dominio de la función seno

El dominio de la función seno es $D=\mathbb{R}$

Dominio de la función coseno

El dominio de la función coseno es $D=\mathbb{R}$

Dominio de la función tangente

$D=\mathbb{R}-\left \{ (2k+1)\cdot \cfrac{\pi }{2}\, ;\, k\, \epsilon \, \mathbb{Z} \right \}$

$D=\mathbb{R}-\left \{ ...,-\cfrac{\pi }{2}\, ,\cfrac{\pi }{2}\, ,\cfrac{3\pi }{2}\, ,... \right \}$

Dominio de la función cotangente

$D=\mathbb{R}-\left \{ k\cdot \pi ;\, k\, \epsilon \, \mathbb{Z} \right \}$

$D=\mathbb{R}-\left \{ ...,-\pi \, ,0\, ,\pi \, ,... \right \}$

Dominio de la función secante

$D=\mathbb{R}-\left \{(2k+1)\cdot \cfrac{\pi }{2}\, ;\, k\, \epsilon \, \mathbb{Z}\right \}$

$D=\mathbb{R}-\left \{ ...,-\cfrac{\pi }{2}\, ,\cfrac{\pi }{2}\, ,\cfrac{3\pi }{2}\, ,... \right \}$

Dominio de la función cosecante

$D=\mathbb{R}-\left \{ k\cdot \pi ;k\, \epsilon \, \mathbb{Z} \right \}$

$D=\mathbb{R}-\left \{ ...,-\pi ,0,\pi ,... \right \}$

Dominio de operaciones con funciones

$D(f+g)=D(f-g)=D(f\cdot g)=D(f)\cap D(g)$

$D\left ( \frac{f}{g} \right )=D(f)\cap D(g)-\left \{ x\, \epsilon \, \mathbb{R}\, /\, g(x)=0 \right \}$

$f(x)=\cfrac{\sqrt{x+4}}{\sqrt{x^{2}-5x+6}}$

$\left\{\begin{matrix} x+4\geq 0 \; \; \;& \Rightarrow & [-4,\infty )\\ & & \\ x^{2}-5x+6> 0 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; & \Rightarrow & \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (-\infty ,2)\cup (3,\infty ) \end{matrix}\right.$

$D=[-4,2)\cup (3,\infty )$

Intervalos del dominio de dos funciones representacion grafica

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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Ribera
Invité

15 Sep.

Me ayudo mucho ! Muchas gracias !

Plaza
Invité

21 Sep.

Muy útil para recordar primero de bachiller a principios de segundo, muchas gracias!

Anichiarico
Invité

28 May.

muchas gracias

Explicación del dominio de una función

Dominio de la función polinómica entera

Ejemplos de dominios de las funciones polinómicas

Dominio de la función racional

Ejemplo de ejercicio de dominio de la función racional

Dominio de la función radical de índice impar

Dominio de la función radical de índice par

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Concepto de funcion I

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