Optimizacion en figuras geométricas

 

 

1 Obtener el triángulo isósceles de área máxima inscrito en un círculo de radio 12 \, cm.

 

1 Representamos graficamente los datos

 

Triangulo inscrito en una circunferencia

 

 

2Función a optimizar es la que representa el área del triángulo isósceles:

 

S = \cfrac{2xh}{2} = xh

 

3Relacionamos las variables:

 

x = \sqrt{12^2 - (h - 12)^2} = \sqrt{24h - h^2}

 

4Sustituimos en la función:

 

S = h \sqrt{24h - h^2} = \sqrt{24h^3 - h^4}

 

5Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces

 

\begin{array}{rcl} S' & = & \cfrac{72h^2 - 4h^3}{2 \sqrt{24h^3 - h^4}}  \\\\ & = & \cfrac{2h(36h - 2h^2)}{2h \sqrt{24h - h^2}} \\\\ & = & \cfrac{36h - 2h^2}{ \sqrt{24h - h^2}}  \end{array}

 

Igualamos a cero (en este caso basta solo el numerador) y calculamos las raíces

 

36h - 2h^2 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ h = 0, \ h = 18

 

Sustituimos en la relación de x y h para obtener

 

x = 6 \sqrt{3}

 

Luego la base es 12 \sqrt{3}

 

y el lado es

 

l = \sqrt{x^2 + h^2} = 12 \sqrt{3}

 

6Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido

 

S'' = \cfrac{(36 - 4h) \sqrt{24h - h^2} - (36h - 2h^2) \cfrac{24 - 2h}{2 \sqrt{24h - h^2}}}{24h - h^2}

 

Al evaluar h = 18 se obtiene S''(18) < 0

 

De este modo, el criterio de la segunda derivada afirma que "si la segunda derivada es menor que cero (negativa), entonces la función tiene un máximo relativo. En conclusión, para la altura máxima de 18, existe un máximo relativo

 

 

2 Un triángulo isósceles de perímetro 30 \, cm, gira alrededor de su altura
engendrando un cono.

¿Qué valor debe darse a la base para que el volumen del cono sea máximo?

1 Representamos graficamente los datos

 

Triángulo isósceles

 

 

2Función a optimizar es la que representa el área del triángulo isósceles:

 

V = \cfrac{1}{3} \pi r^2 h

 

3Relacionamos las variables:

 

Aplicamos el teorema de Pitágoras

 

l^2 = h^2 + y^2

 

Aplicamos el perímetro

 

2l + 2y = 30 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ l^2 = (15 - y)^2

 

Igualamos ambas expresiones y obtenemos

 

h = \sqrt{225 - 30y}

 

4Sustituimos en la función:

 

V = \cfrac{1}{3} \pi y^2 \sqrt{225 - 30y}

 

5Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces

 

\begin{array}{rcl} V' & = & \pi \cfrac{150y - 25y^2}{\sqrt{225 - 30y}} \end{array}

 

Igualamos a cero (en este caso basta solo el numerador) y calculamos las raíces

 

150y - 25y^2 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = 0, \ y = 6

 

Luego la base es 12 \, cm

 

6Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido

 

V'' = \pi \cfrac{(150 - 50y) \sqrt{225 - 30y} - (150y - 25y^2) \cfrac{-15}{\sqrt{225 - 30y}}}{225 - 30y}

 

Al evaluar y = 6 se obtiene V''(6) < 0

 

De este modo, el criterio de la segunda derivada afirma que "si la segunda derivada es menor que cero (negativa), entonces la función tiene un máximo relativo. En conclusión, para el radio máximo de 6 \, cm, existe un máximo relativo

 

 

3 Hallar las dimensiones del mayor rectángulo inscrito en un triángulo isósceles que tiene por base 10 \, cm y por altura 15 \, cm.

1 Representamos graficamente los datos

 

Rectángulo inscrito en un triángulo isósceles

 

 

2Función a optimizar

 

S = xy

 

3Relacionamos las variables: al tener dos triángulos semejantes se obtiene

 

\cfrac{x}{10} = \cfrac{15 - y}{15} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = \cfrac{2(15 - y)}{3}

 

Aplicamos el perímetro

 

2l + 2y = 30 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ l^2 = (15 - y)^2

 

4Sustituimos en la función:

 

S = \cfrac{2(15 - y)}{3}y = \cfrac{2}{3}(15y - y^2)

 

5Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces

 

\begin{array}{rcl} S' & = & \cfrac{2}{3}(15 - 2y) \end{array}

 

Igualamos a cero y calculamos las raíces

 

15 - 2y = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = \cfrac{15}{2}

 

Luego la base es x = 5 \, cm

 

6Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido

 

S'' = -\cfrac{4}{3}

 

Al evaluar y = \cfrac{15}{2} se obtiene S'' < 0

 

De este modo, el criterio de la segunda derivada afirma que "si la segunda derivada es menor que cero (negativa), entonces la función tiene un máximo relativo. En conclusión, para x = 5 \, cm y y = \cfrac{15}{2} \, cm, existe un máximo relativo

 

4 Un sector circular tiene un perímetro de 10 \, m.

Calcular el radio y la amplitud del sector de mayor área.

1 Representamos graficamente los datos

 

Segmento de circunferencia

 

2Función a optimizar

 

S = \cfrac{1}{2} l r

 

3Relacionamos las variables:

 

2r + l = 10 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ l = 10 - 2r

 

4Sustituimos en la función:

 

S = \cfrac{1}{2}(10 - 2r) r = 5r - r^2

 

5Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces

 

\begin{array}{rcl} S' & = & 5 - 2r \end{array}

 

Igualamos a cero y calculamos las raíces

 

5 - 2r = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ r = \cfrac{5}{2} \, m

 

Luego l = 5 \, m, \ \alpha = 2 rad

 

6Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido

 

S'' = -2

 

Al evaluar r = \cfrac{5}{2} se obtiene S'' < 0

 

De este modo, el criterio de la segunda derivada afirma que "si la segunda derivada es menor que cero (negativa), entonces la función tiene un máximo relativo. En conclusión, para l = 5 \, cmr = \cfrac{15}{2} \, cm y \alpha = 2 rad, existe un máximo relativo

 

 

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Optimización para el ahorro de material

 

1 Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de 1 litro de capacidad.

¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal?

 

1Función a optimizar

 

A = 2 \pi r h + 2 \pi r^2

 

2Relacionamos las variables:

 

1 = \pi r^2 h \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ h = \cfrac{1}{\pi r^2}

 

3Sustituimos en la función:

 

A = 2 \pi r\cfrac{1}{\pi r^2} + 2 \pi r^2 = \cfrac{2}{r} + 2 \pi r^2

 

4Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces

 

\begin{array}{rcl} A' & = & -\cfrac{2}{r^2} + 4\pi r \end{array}

 

Igualamos a cero y calculamos las raíces

 

-\cfrac{2}{r^2} + 4\pi r = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ r = \cfrac{1}{\sqrt[3]{2 \pi}}

 

Luego h = \sqrt[3]{\cfrac{4}{\pi}}

 

5Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido

 

A'' = \cfrac{4}{r^3} + 4 \pi

 

Al evaluar r = \cfrac{1}{\sqrt[3]{2 \pi}} se obtiene A'' > 0

 

De este modo, el criterio de la segunda derivada afirma que "si la segunda derivada es mayor que cero (positiva), entonces la función tiene un mínimo relativo. En conclusión, para r = \cfrac{1}{\sqrt[3]{2 \pi}} y h = \sqrt[3]{\cfrac{4}{\pi}}, existe un mínimo relativo

 

 

2 Se tiene un alambre de 1 \, m de longitud y se desea dividirlo en dos trozos para formar con uno de ellos un círculo y con el otro un cuadrado.

Determinar la longitud que se ha de dar a cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del círculo y del cuadrado sea mínima.

 

1Función a optimizar

 

S = \pi r^2 + l^2

 

2Relacionamos las variables:

 

2 \pi r + 4l = 1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ l = \cfrac{1 - 2 \pi r}{4}

 

3Sustituimos en la función:

 

S = \pi r^2 + \left (\cfrac{1 - 2 \pi r}{4} \right )^2

 

4Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces

 

\begin{array}{rcl} S' & = & 2\pi r + 2\cfrac{1 - 2\pi r}{4}  \left ( -\cfrac{2 \pi}{4} \right ) \\\\ & = &  \cfrac{\pi }{4} [r(8 + 2 \pi) - 1] \end{array}

 

Igualamos a cero y calculamos las raíces

 

\cfrac{\pi }{4} [r(8 + 2 \pi) - 1] = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ r = \cfrac{1}{8 + 2 \pi}

 

Luego el trozo del círculo es 0.439 \, m y el trozo del cuadrado es 0.561 \, m

 

5Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido

 

S'' = \cfrac{\pi}{4}(8 + 2 \pi) > 0

 

De este modo, el criterio de la segunda derivada afirma que "si la segunda derivada es mayor que cero (positiva), entonces la función tiene un mínimo relativo.

 

 

3 Hallar las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor que tiene forma de paralelepípedo rectangular sabiendo que su volumen ha de ser 9 \, m^3, su altura 1 \, m y el coste de su construcción por m^2 es de 50 € para la base; 60 para la tapa y 40 para cada pared lateral.

1 Representamos graficamente los datos

 

Paralelepípedo

 

 

2Función a optimizar

 

C(x) = 110xy + 80(x + y)

 

3Relacionamos las variables

 

9 = xy \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = \cfrac{9}{x}

 

4Sustituimos en la función:

 

C(x) = 990 + 80 \left (  x + \cfrac{9}{x} \right )

 

5Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces

 

\begin{array}{rcl} C'(x) & = & 80 \left (  1 - \cfrac{9}{x^2} \right ) \end{array}

 

Igualamos a cero y calculamos las raíces

 

80 \left (  1 - \cfrac{9}{x^2} \right ) = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = 3

 

Luego y = 3

 

6Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido

 

C''(x) = \cfrac{1440}{x^3}

 

Al evaluar x = 3 se obtiene C'' > 0

 

De este modo, el criterio de la segunda derivada afirma que "si la segunda derivada es mayor que cero, entonces la función tiene un mínimo relativo.

 

Diversos ejercicios sobre optimización

 

1 Descomponer el número 44 en dos sumandos tales que el quíntuplo del cuadrado del primero más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea un mínimo.

 

 

1Función a optimizar

 

S = 5x^2 + 6y^2

 

2Relacionamos las variables:

 

x + y = 44 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = 44 - x

 

3Sustituimos en la función:

 

S = 5x^2 + 6(44 - x)^2

 

4Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces

 

\begin{array}{rcl} S' & = & 10x - 12(44 - x) \\\\ & = & 22x - 528 \end{array}

 

Igualamos a cero y calculamos las raíces

 

22x - 528 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = 24

 

Luego y = 20

 

5Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido

 

S'' = 22 > 0

 

De este modo, el criterio de la segunda derivada afirma que "si la segunda derivada es mayor que cero (positiva), entonces la función tiene un mínimo relativo.

 

 

2 Recortando convenientemente en cada esquina de una lámina de cartón de  dimensiones 80 \, cm \times 50 \, cm un cuadrado de lado x y doblando convenientemente (véase figura), se construye una caja.

Calcular x para que volumen de dicha caja sea máximo.

1 Representamos graficamente los datos

 

Caja

 

2Función a optimizar

 

V = (80 - 2x)(50 - 2x)x = 4x^3 - 260x^2 + 4000x

 

3Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces

 

\begin{array}{rcl} V' & = & 12x^2 - 520x + 4000\end{array}

 

Igualamos a cero y calculamos las raíces

 

12x^2 - 520x + 4000 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = 10, \ x = 33.3

 

pero x = 33.3 no es válida ya que 50 - 2x < 0

 

4Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido

 

V'' = 24x -520

 

Al evaluar x = 10 se obtiene V''(10) < 0

 

De este modo, el criterio de la segunda derivada afirma que "si la segunda derivada es menor que cero, entonces la función tiene un máximo relativo.

 

 

3 Una hoja de papel debe tener 18 \, cm^2 de texto impreso, márgenes superior e inferior de 2 \, cm de altura y márgenes laterales de 1 \, cm de anchura.

Obtener razonadamente las dimensiones que minimizan la superficie del papel.

1 Representamos graficamente los datos

 

Hoja de papel

 

2Función a optimizar

 

S = xy

 

3Relacionamos las variables:

 

(x - 2) (y - 4) = 18 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = \cfrac{4x + 10}{x - 2}

 

4Sustituimos en la función:

 

S = \cfrac{4x^2 + 10x}{x - 2}

 

5Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces

 

\begin{array}{rcl} S' & = & \cfrac{4x^2 - 16x - 20}{(x - 2)^2}\end{array}

 

Igualamos a cero (basta solo el numerador) y calculamos las raíces

 

4x^2 - 16x - 20 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = 5, \ x = -1

 

pero x = -1 no es válida

 

6Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido

 

S'' = \cfrac{72}{(x - 2)^3}

 

Al evaluar x = 5 se obtiene S''(5) > 0

 

De este modo, el criterio de la segunda derivada afirma que "si la segunda derivada es mayor que cero, entonces la función tiene un mínimo relativo.

 

 

Optimización para producción y ganancias

 

El beneficio neto mensual, en millones de euros, de una empresa que fabrica autobuses
viene dado por la función:

 

B(x)= 1.2x - (0.1x)^3

 

donde x es el número de autobuses fabricados en un mes.

 

1 Calcula la producción mensual que hacen máximo el beneficio.

 

2 El beneficio máximo correspondiente a dicha producción.

 

 

1Función a optimizar

 

B(x)= 1.2x - (0.1x)^3

 

2Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces

 

\begin{array}{rcl} B'(x) & = & 1.2 - 3(0.1x)^2(0.1) \\\\ & = & 1.2 - 0.003x^2 \end{array}

 

Igualamos a cero y calculamos las raíces

 

 1.2 - 0.003x^2 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = 20

 

3Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido

 

B''(x) = -0.006x \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ B''(20) < 0

 

De este modo, el criterio de la segunda derivada afirma que "si la segunda derivada es menor que cero, entonces la función tiene un máximo relativo.

 

El beneficio máximo correspondiente a dicha producción

 

B(20) = 1.2 \cdot 20 - (0.1 \cdot 20)^3 = 16 \, millones

 

 

Problema de optimización en la huerta

 

Una huerta tiene actualmente 25 árboles, que producen 600 frutos cada uno.

Se calcula que por cada árbol adicional plantado, la producción de cada árbol disminuyeen 15 frutos.

 

Calcular:

 

1 La producción actual de la huerta.

 

2 La producción que se obtendría de cada árbol si se plantan x árboles más.

 

3 La producción a la que ascendería el total de la huerta si se plantan x árboles más.

 

4 ¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para qué la
producción sea máxima?

 

 

1 La producción actual de la huerta.

 

Producción actual: 25 \cdot 600 = 15 000 frutos.

 

2 La producción que se obtendría de cada árbol si se plantan x árboles más.

 

Si se plantan x árboles más, la producción de cada árbol será: 600 - 15x.

 

3 La producción a la que ascendería el total de la huerta si se plantan x árboles más.

 

P(x) = (25 + x)(600 - 15x) = -15 x^2 + 225x + 1500

 

4 ¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para qué la producción sea máxima?

 

P'(x) = -30x + 225

 

Igualamos la derivada a cero

 

-30x + 225 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x =7.5

 

Calculamos la segunda derivada

 

P''(x) = -30 < 0

 

La producción será máxima si la huerta tiene 25 + 7 = 32 ó 25 + 8 = 33 árboles

 

 

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗