Optimizacion en figuras geométricas

 

 

1 Obtener el triángulo isósceles de área máxima inscrito en un círculo de radio 12 cm.

 

 

1 Obtener el triángulo isósceles de área máxima inscrito en un círculo de radio 12 cm.

 

Triangulo inscrito en una circunferencia

 

Función a optimizar:

 

Formula para optimizar

 

Relacionamos las variables:

 

Relación de las variables

 

Sustituimos en la función:

 

Sustitución de las variable

 

Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.

 

Derivando la formula a optimizar

 

Raíces de la función

 

Valor optimizado de la base

 

Valor optimizado del lado

 

Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido

 

Comprobando mediante criterio de segunda derivada

 

Sustitución de valores en la segunda derivada

 

Podemos observar que el resultado sera negativo:

 

 

De este modo, el criterio de la segunda derivada afirma que "si la segunda derivada es menor que cero (negativa), entonces la función tiene un máximo relativo. En conclusión, para la altura máxima de 18, existe un máximo relativo

 

 

 

2 Un triángulo isósceles de perímetro 30 cm, gira alrededor de su altura
engendrando un cono.

¿Qué valor debe darse a la base para que el volumen del cono sea máximo?

 

2 Un triángulo isósceles de perímetro 30 cm, gira alrededor de su altura
engendrando un cono.

¿Qué valor debe darse a la base para que el volumen del cono sea máximo?

 

Triángulo isósceles

 

Función a optimizar:

 

Formula que se debe optimizar

 

Relacionamos las variables:

 

Relacionando las variables

 

Sustituyendo las variables

 

Calculando la ultima variable respecto a las demás

 

Sustituimos en la función:

 

Sustituyendo valores en la formula a optimizar

 

Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.

 

Derivada de la función

 

Raíces de la función obtenidas

 

Resultado de la base optimizada

 

Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido

 

Comprobación mediante la segunda derivada

 

Sustitución en la segunda derivada

 

Resultado del criterio de la segunda derivada

De este modo, el criterio de la segunda derivada afirma que "si la segunda derivada es menor que cero (negativa), entonces la función tiene un máximo relativo. En conclusión, para el radio máxima de 6, existe un máximo relativo

 

 

 

3 Hallar las dimensiones del mayor rectángulo inscrito en un triángulo isósceles que tiene por base 10 cm y por altura 15 cm.

 

3 Hallar las dimensiones del mayor rectángulo inscrito en un triángulo isósceles
que tiene por base 10 cm y por altura 15 cm.

 

Rectángulo inscrito en un triángulo isósceles

 

Función a optimizar:

 

Función para ser optimizada

 

Relacionamos las variables

 

Al tener dos triángulos semejantes se cumple que:

 

Relación de triángulos semejantes

 

Sustituimos en la función:

 

Sustitución de las funciones según la relación

 

Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.

 

Calculo de la primera derivada

 

Raíces obtenidas de la función

 

Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido

 

Calculo de la 2da derivada

 

 

4 Un sector circular tiene un perímetro de 10 m.

Calcular el radio y la amplitud del sector de mayor área.

 

4 Un sector circular tiene un perímetro de 10 m.

Calcular el radio y la amplitud del sector de mayor área.

 

Segmento de circunferencia

 

La formula que se debe optimizar

 

Relacionamos las variables:

 

Relación de las variables de la función

 

Sustituimos en la función:

 

Sustitución de las variables en la función que se va a optimizar

 

Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.

 

Primera derivada de la función para poder optimizar

 

Raíces de la función para poder optimizar

 

Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido

 

Resultado de la segunda derivada

 

 

Superprof

Optimización para el ahorro de material

 

1 Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de 1 litro de capacidad.

¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal?

 

1 Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de 1 litro de capacidad.

¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal?

 

Función a optimizar:

 

Formula para el calculo del cilindro

 

Relacionamos las variables:

 

Relacionando las variables de la formula

 

Sustituimos en la función:

 

Sustituyendo las variables relacionadas

 

Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.

 

Derivada de la nueva función obtenida

 

Las 2 raíces de la función

 

Simplificación de las raíces

 

Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido

 

Comprobando con la 2da derivada

 

 

2 Se tiene un alambre de 1 m de longitud y se desea dividirlo en dos trozos para formar con uno de ellos un círculo y con el otro un cuadrado.

Determinar la longitud que se ha de dar a cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del círculo y del cuadrado sea mínima.

 

2 Se tiene un alambre de 1 m de longitud y se desea dividirlo en dos trozos para formar con uno de ellos un círculo y con el otro un cuadrado.

Determinar la longitud que se ha de dar a cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del círculo y del cuadrado sea mínima.

 

Función a optimizar:

 

Suma de áreas de circulo y cuadrado para optimizar

 

Relacionamos las variables:

 

Relación de las variables a optimizar con las formulas de las áreas

 

Sustituimos en la función:

 

Sustitución de variables relacionadas entre si

 

Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.

 

Derivada de la función obtenida

 

Raíces de la función

 

Valor máximo del segmento de circunferencia

 

Valor máximo del segmento del cuadrado

 

Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido

 

Calculo de segunda derivada

De este modo, el criterio de la segunda derivada afirma que "si la segunda derivada es mayor que cero (positiva), entonces la función tiene un mínimo relativo.

 

 

 

3 Hallar las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor que tiene forma de paralelepípedo rectangular sabiendo que su volumen ha de ser 9 m³, su altura 1 m y el coste de su construcción por m² es de 50 € para la base; 60 para la etapa y 40 para cada pared lateral.

 

3 Hallar las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor que tiene forma de paralelepípedo rectangular sabiendo que su volumen ha de ser 9 m³, su altura 1 m y el coste de su construcción por m² es de 50 € para la base; 60 para la tapa y 40 para cada pared lateral.

 

 

Paralelepípedo

 

Formula para calcular el costo

 

Función a optimizar:

 

Formula para poder optimizar el costo

 

Relacionamos las variables:

 

Relacionamos las variables entre si

 

Sustituimos en la función:

 

Sustituimos el valor obtenido de las variables relacionadas

 

Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.

 

Calculo de la primera derivada

 

Raíces obtenidas en la derivada

 

Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido

 

Comprobación de máximo o mínimo por 2da derivada

 

Diversos ejercicios sobre optimización

 

1 Descomponer el número 44 en dos sumandos tales que el quíntuplo del cuadrado del primero más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea un mínimo.

 

 

1 Descomponer el número 44 en dos sumandos tales que el quíntuplo del cuadrado del primero más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea un mínimo.

 

Función a optimizar:

 

Función para optimizar

 

Relacionamos las variables:

 

variable srelacionadas

 

Sustituimos en la función:

 

Reescribiendo la formula en función de las variables

 

Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.

 

Calculo de la primera derivada de la función

 

Resultado de las raíces de la función

 

Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido

 

Aplicando criterio de la 2da derivada

 

 

 

2 Recortando convenientemente en cada esquina de una lámina de cartón de  dimensiones 80 cm x 50 cm un cuadrado de lado x y doblando convenientemente (véase figura), se construye una caja.

Calcular x para que volumen de dicha caja sea máximo.

 

2 Recortando convenientemente en cada esquina de una lámina de cartón de dimensiones 80 cm x 50 cm un cuadrado de lado x y doblando convenientemente (véase figura), se construye una caja.

Calcular x para que el volumen de dicha caja sea máximo.

 

 

Caja

 

 

Función a optimizar:

 

Formula para el volumen de la caja

 

Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.

 

Derivando

 

Derivada

 

Raíz valida de la función

 

Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido

 

2da derivada para comprobar

 

 

3 Una hoja de papel debe tener 18 cm² de texto impreso, márgenes superior e inferior de 2 cm de altura y márgenes laterales de 1 cm de anchura.

Obtener razonadamente las dimensiones que minimizan la superficie del papel.

 

3 Una hoja de papel debe tener 18 cm² de texto impreso, márgenes superior e inferior de 2 cm de altura y márgenes laterales de 1 cm de anchura.

 

Obtener razonadamente las dimensiones que minimizan la superficie del papel.

 

 

Hoja de papel

 

 

Función a optimizar:

 

Formula para el área del papel

 

Relacionamos las variables:

 

Relación de variables

 

Sustituimos en la función:

 

sustitución de las 2 variables

 

Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.

 

La primera derivada

 

Raíces validas de la función

 

 

 

Optimización para producción y ganancias

 

El beneficio neto mensual, en millones de euros, de una empresa que fabrica autobuses
viene dado por la función:

 

B(x)= 1.2x − (0.1x)³

 

donde x es el número de autobuses fabricados en un mes.

 

1 Calcula la producción mensual que hacen máximo el beneficio.

 

2 El beneficio máximo correspondiente a dicha producción.

 

 

El beneficio neto mensual, en millones de euros, de una empresa que fabrica autobuses
viene dado por la función:

 

B(x)= 1.2x − (0.1x)³

 

donde x es el número de autobuses fabricados en un mes.

 

1 Calcula la producción mensual que hacen máximo el beneficio.

 

Función a optimizar:

 

Función que se utilizara para optimizar

 

Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.

 

Calculo de la derivada para obtener las raíces

 

Raices

 

Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido

 

Aplicando criterio en segunda derivada

 

2 El beneficio máximo correspondiente a dicha producción.

 

Resultado de la optimización

 

 

 

Problema de optimización en la huerta

 

Una huerta tiene actualmente 25 árboles, que producen 600 frutos cada uno.

Se calcula que por cada árbol adicional plantado, la producción de cada árbol disminuyeen 15 frutos.

 

Calcular:

 

1 La producción actual de la huerta.

 

2 La producción que se obtendría de cada árbol si se plantan x árboles más.

 

3 La producción a la que ascendería el total de la huerta si se plantan x árboles más.

 

4 ¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para qué la
producción sea máxima?

 

 

Una huerta tiene actualmente 25 árboles, que producen 600 frutos cada uno.

Se calcula que por cada árbol adicional plantado, la producción de cada árbol disminuye
en 15 frutos.

 

Calcular:

 

1 La producción actual de la huerta.

 

Producción actual: 25 · 600 = 15 000 frutos.

 

 

2 La producción que se obtendría de cada árbol si se plantan x árboles más.

 

Si se plantan x árboles más, la producción de cada árbol será: 600 − 15x.

 

 

3 La producción a la que ascendería el total de la huerta si se plantan x árboles más.

 

P(x) = (25 + x)(600 − 15x) = −15 x² + 225x + 1500

 

 

4 ¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para qué la producción sea máxima?

 

P′(x) = −30x + 225 −30x + 225 = 0 x = 7.5

P′′ (x) = −30 < 0

 

La producción será máxima si la huerta tiene 25 + 7 = 32 o 25 + 8 = 33 árboles

 

 

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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