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Optimizacion en figuras geométricas
1 Obtener el triángulo isósceles de área máxima inscrito en un círculo de radio .
1 Representamos graficamente los datos
2Función a optimizar es la que representa el área del triángulo isósceles:
3Relacionamos las variables:
4Sustituimos en la función:
5Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces
Igualamos a cero (en este caso basta solo el numerador) y calculamos las raíces
Sustituimos en la relación de y
para obtener
Luego la base es
y el lado es
6Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido
Al evaluar se obtiene
De este modo, el criterio de la segunda derivada afirma que "si la segunda derivada es menor que cero (negativa), entonces la función tiene un máximo relativo. En conclusión, para la altura máxima de , existe un máximo relativo
2 Un triángulo isósceles de perímetro , gira alrededor de su altura
engendrando un cono.
¿Qué valor debe darse a la base para que el volumen del cono sea máximo?
1 Representamos graficamente los datos
2Función a optimizar es la que representa el área del triángulo isósceles:
3Relacionamos las variables:
Aplicamos el teorema de Pitágoras
Aplicamos el perímetro
Igualamos ambas expresiones y obtenemos
4Sustituimos en la función:
5Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces
Igualamos a cero (en este caso basta solo el numerador) y calculamos las raíces
Luego la base es
6Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido
Al evaluar se obtiene
De este modo, el criterio de la segunda derivada afirma que "si la segunda derivada es menor que cero (negativa), entonces la función tiene un máximo relativo. En conclusión, para el radio máximo de , existe un máximo relativo
3 Hallar las dimensiones del mayor rectángulo inscrito en un triángulo isósceles que tiene por base y por altura
.
1 Representamos graficamente los datos
2Función a optimizar
3Relacionamos las variables: al tener dos triángulos semejantes se obtiene
Aplicamos el perímetro
4Sustituimos en la función:
5Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces
Igualamos a cero y calculamos las raíces
Luego la base es
6Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido
Al evaluar se obtiene
De este modo, el criterio de la segunda derivada afirma que "si la segunda derivada es menor que cero (negativa), entonces la función tiene un máximo relativo. En conclusión, para y
, existe un máximo relativo
4 Un sector circular tiene un perímetro de .
Calcular el radio y la amplitud del sector de mayor área.
1 Representamos graficamente los datos
2Función a optimizar
3Relacionamos las variables:
4Sustituimos en la función:
5Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces
Igualamos a cero y calculamos las raíces
Luego
6Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido
Al evaluar se obtiene
De este modo, el criterio de la segunda derivada afirma que "si la segunda derivada es menor que cero (negativa), entonces la función tiene un máximo relativo. En conclusión, para ,
y
, existe un máximo relativo
Optimización para el ahorro de material
1 Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de litro de capacidad.
¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal?
1Función a optimizar
2Relacionamos las variables:
3Sustituimos en la función:
4Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces
Igualamos a cero y calculamos las raíces
Luego
5Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido
Al evaluar se obtiene
De este modo, el criterio de la segunda derivada afirma que "si la segunda derivada es mayor que cero (positiva), entonces la función tiene un mínimo relativo. En conclusión, para y
, existe un mínimo relativo
2 Se tiene un alambre de de longitud y se desea dividirlo en dos trozos para formar con uno de ellos un círculo y con el otro un cuadrado.
Determinar la longitud que se ha de dar a cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del círculo y del cuadrado sea mínima.
1Función a optimizar
2Relacionamos las variables:
3Sustituimos en la función:
4Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces
Igualamos a cero y calculamos las raíces
Luego el trozo del círculo es y el trozo del cuadrado es
5Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido
De este modo, el criterio de la segunda derivada afirma que "si la segunda derivada es mayor que cero (positiva), entonces la función tiene un mínimo relativo.
3 Hallar las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor que tiene forma de paralelepípedo rectangular sabiendo que su volumen ha de ser , su altura
y el coste de su construcción por
es de
€ para la base;
para la tapa y
para cada pared lateral.
1 Representamos graficamente los datos
2Función a optimizar
3Relacionamos las variables
4Sustituimos en la función:
5Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces
Igualamos a cero y calculamos las raíces
Luego
6Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido
Al evaluar se obtiene
De este modo, el criterio de la segunda derivada afirma que "si la segunda derivada es mayor que cero, entonces la función tiene un mínimo relativo.
Diversos ejercicios sobre optimización
1 Descomponer el número en dos sumandos tales que el quíntuplo del cuadrado del primero más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea un mínimo.
1Función a optimizar
2Relacionamos las variables:
3Sustituimos en la función:
4Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces
Igualamos a cero y calculamos las raíces
Luego
5Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido
De este modo, el criterio de la segunda derivada afirma que "si la segunda derivada es mayor que cero (positiva), entonces la función tiene un mínimo relativo.
2 Recortando convenientemente en cada esquina de una lámina de cartón de dimensiones un cuadrado de lado
y doblando convenientemente (véase figura), se construye una caja.
Calcular para que volumen de dicha caja sea máximo.
1 Representamos graficamente los datos
2Función a optimizar
3Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces
Igualamos a cero y calculamos las raíces
pero no es válida ya que
4Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido
Al evaluar se obtiene
De este modo, el criterio de la segunda derivada afirma que "si la segunda derivada es menor que cero, entonces la función tiene un máximo relativo.
3 Una hoja de papel debe tener de texto impreso, márgenes superior e inferior de
de altura y márgenes laterales de
de anchura.
Obtener razonadamente las dimensiones que minimizan la superficie del papel.
1 Representamos graficamente los datos
2Función a optimizar
3Relacionamos las variables:
4Sustituimos en la función:
5Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces
Igualamos a cero (basta solo el numerador) y calculamos las raíces
pero no es válida
6Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido
Al evaluar se obtiene
De este modo, el criterio de la segunda derivada afirma que "si la segunda derivada es mayor que cero, entonces la función tiene un mínimo relativo.
Optimización para producción y ganancias
El beneficio neto mensual, en millones de euros, de una empresa que fabrica autobuses
viene dado por la función:
donde es el número de autobuses fabricados en un mes.
1 Calcula la producción mensual que hacen máximo el beneficio.
2 El beneficio máximo correspondiente a dicha producción.
1Función a optimizar
2Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces
Igualamos a cero y calculamos las raíces
3Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido
De este modo, el criterio de la segunda derivada afirma que "si la segunda derivada es menor que cero, entonces la función tiene un máximo relativo.
El beneficio máximo correspondiente a dicha producción
Problema de optimización en la huerta
Una huerta tiene actualmente árboles, que producen
frutos cada uno.
Se calcula que por cada árbol adicional plantado, la producción de cada árbol disminuyeen frutos.
Calcular:
1 La producción actual de la huerta.
2 La producción que se obtendría de cada árbol si se plantan árboles más.
3 La producción a la que ascendería el total de la huerta si se plantan árboles más.
4 ¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para qué la
producción sea máxima?
1 La producción actual de la huerta.
Producción actual: frutos.
2 La producción que se obtendría de cada árbol si se plantan árboles más.
Si se plantan árboles más, la producción de cada árbol será:
.
3 La producción a la que ascendería el total de la huerta si se plantan árboles más.
4 ¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para qué la producción sea máxima?
Igualamos la derivada a cero
Calculamos la segunda derivada
La producción será máxima si la huerta tiene ó
árboles
La plataforma que conecta profes particulares y estudiantes
Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Una caja de base cuadrada y sin tapa ha de construirse de una pieza cuadrada de hojalata al cortar un cuadrado de 3 centímetros de cada esquina y doblar los lados. Si la caja debe contener 48 cm cúbicos ¿Cuál debe ser el tamaño de la pieza de hojalata que debe usarse? *
Maximo y minimo de una caja de 15×30 cm
En cierta zona rural, los pobladores se organizan para construir una pileta para almacenar agua cuando llueve, porque aún no tienen un sistema robusto de distribución del agua y siempre tienen escasez del vital líquido. Hacen una cooperación y que sabe que con el dinero que logran juntar de puede construir 12 m2 paredes de la pileta abierta por arriba. ¿Cuál es el volumen de la mayor cantidad de agua que va a obtener la pileta?
El abuelo de Iván tiene muchas hectáreas de terreno cerca del río Samaria que piensa repartir entre sus nietos. A Iván le tocan 8 hectáreas y ya que es el único de los nietos que se encuentra actualmente en Tabasco él será el primero en cercar su parte. El metro de alambre de púas cuesta $. E Iván quiere un cercado de 4 hilos (Figura 2) además, piensa no cercar la sección que colinda con el río ya que no cree que sea necesario (considera que esta sección del río es recta, observa la Figura 3) Iván desea gastar lo mínimo posible en el cercado. ¿Cuáles deberán ser las medidas para poder economizar en el alambre? ¿Cuánto sería lo mínimo que Iván podría gastar con el alambrado de su terreno?.
La peligrosidad de la bacteria de una nueva enfermedad llamada óvela se mide en una escala de 0 a 50 y se representa por la función:
𝑝(𝑡) = 40 + 15𝑡 − 9𝑡2 + 𝑡3,
donde t es el tiempo, en horas, transcurrido desde que inicio la observación en el instante 𝑡 = 0. Encuentra el instante de máxima y mínima peligrosidad en las primeras 10 horas y los intervalos de tiempo en los que crece o decrece dicha bacteria.
help
Buen@s días o la hora que lo este leyendo mi mensaje
Es que necesito ayuda con un ejercicio que no le entiendo desde hace dias
Le agradeceria mucho su ayuda le dejó aquí el ejercicio de optimizacion:
El abuelo de Iván tiene muchas hectáreas de terreno cerca del río Samaria que piensa repartir entre sus
nietos. A Iván le tocan 8 hectáreas y ya que es el único de los nietos que se encuentra actualmente en Tabasco
él será el primero en cercar su parte. El metro de alambre de púas cuesta $𝟐. 𝟗𝟎 e Iván quiere un cercado de
4 hilos (Figura 2) además, piensa no cercar la sección que colinda con el río ya que no cree que sea necesario
(considera que esta sección del río es recta, observa la Figura 3) Iván desea gastar lo mínimo posible en el
cercado. ¿Cuáles deberán ser las medidas para poder economizar en el alambre? ¿Cuánto sería lo mínimo
que Iván podría gastar con el alambrado de su terreno?