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Optimizacion en figuras geométricas
1 Obtener el triángulo isósceles de área máxima inscrito en un círculo de radio 12 cm.
1 Obtener el triángulo isósceles de área máxima inscrito en un círculo de radio 12 cm.
Función a optimizar:
Relacionamos las variables:
Sustituimos en la función:
Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.
Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido
Podemos observar que el resultado sera negativo:
De este modo, el criterio de la segunda derivada afirma que "si la segunda derivada es menor que cero (negativa), entonces la función tiene un máximo relativo. En conclusión, para la altura máxima de 18, existe un máximo relativo
2 Un triángulo isósceles de perímetro 30 cm, gira alrededor de su altura
engendrando un cono.
¿Qué valor debe darse a la base para que el volumen del cono sea máximo?
2 Un triángulo isósceles de perímetro 30 cm, gira alrededor de su altura
engendrando un cono.
¿Qué valor debe darse a la base para que el volumen del cono sea máximo?
Función a optimizar:
Relacionamos las variables:
Sustituimos en la función:
Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.
Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido
De este modo, el criterio de la segunda derivada afirma que "si la segunda derivada es menor que cero (negativa), entonces la función tiene un máximo relativo. En conclusión, para el radio máxima de 6, existe un máximo relativo
3 Hallar las dimensiones del mayor rectángulo inscrito en un triángulo isósceles que tiene por base 10 cm y por altura 15 cm.
3 Hallar las dimensiones del mayor rectángulo inscrito en un triángulo isósceles
que tiene por base 10 cm y por altura 15 cm.
Función a optimizar:
Relacionamos las variables
Al tener dos triángulos semejantes se cumple que:
Sustituimos en la función:
Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.
Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido
4 Un sector circular tiene un perímetro de 10 m.
Calcular el radio y la amplitud del sector de mayor área.
4 Un sector circular tiene un perímetro de 10 m.
Calcular el radio y la amplitud del sector de mayor área.
Relacionamos las variables:
Sustituimos en la función:
Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.
Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido
Optimización para el ahorro de material
1 Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de 1 litro de capacidad.
¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal?
1 Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de 1 litro de capacidad.
¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal?
Función a optimizar:
Relacionamos las variables:
Sustituimos en la función:
Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.
Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido
2 Se tiene un alambre de 1 m de longitud y se desea dividirlo en dos trozos para formar con uno de ellos un círculo y con el otro un cuadrado.
Determinar la longitud que se ha de dar a cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del círculo y del cuadrado sea mínima.
2 Se tiene un alambre de 1 m de longitud y se desea dividirlo en dos trozos para formar con uno de ellos un círculo y con el otro un cuadrado.
Determinar la longitud que se ha de dar a cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del círculo y del cuadrado sea mínima.
Función a optimizar:
Relacionamos las variables:
Sustituimos en la función:
Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.
Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido
De este modo, el criterio de la segunda derivada afirma que "si la segunda derivada es mayor que cero (positiva), entonces la función tiene un mínimo relativo.
3 Hallar las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor que tiene forma de paralelepípedo rectangular sabiendo que su volumen ha de ser 9 m³, su altura 1 m y el coste de su construcción por m² es de 50 € para la base; 60 para la etapa y 40 para cada pared lateral.
3 Hallar las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor que tiene forma de paralelepípedo rectangular sabiendo que su volumen ha de ser 9 m³, su altura 1 m y el coste de su construcción por m² es de 50 € para la base; 60 para la tapa y 40 para cada pared lateral.
Función a optimizar:
Relacionamos las variables:
Sustituimos en la función:
Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.
Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido
Diversos ejercicios sobre optimización
1 Descomponer el número 44 en dos sumandos tales que el quíntuplo del cuadrado del primero más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea un mínimo.
1 Descomponer el número 44 en dos sumandos tales que el quíntuplo del cuadrado del primero más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea un mínimo.
Función a optimizar:
Relacionamos las variables:
Sustituimos en la función:
Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.
Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido
2 Recortando convenientemente en cada esquina de una lámina de cartón de dimensiones 80 cm x 50 cm un cuadrado de lado x y doblando convenientemente (véase figura), se construye una caja.
Calcular x para que volumen de dicha caja sea máximo.
2 Recortando convenientemente en cada esquina de una lámina de cartón de dimensiones 80 cm x 50 cm un cuadrado de lado x y doblando convenientemente (véase figura), se construye una caja.
Calcular x para que el volumen de dicha caja sea máximo.
Función a optimizar:
Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.
Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido
3 Una hoja de papel debe tener 18 cm² de texto impreso, márgenes superior e inferior de 2 cm de altura y márgenes laterales de 1 cm de anchura.
Obtener razonadamente las dimensiones que minimizan la superficie del papel.
3 Una hoja de papel debe tener 18 cm² de texto impreso, márgenes superior e inferior de 2 cm de altura y márgenes laterales de 1 cm de anchura.
Obtener razonadamente las dimensiones que minimizan la superficie del papel.
Función a optimizar:
Relacionamos las variables:
Sustituimos en la función:
Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.
Optimización para producción y ganancias
El beneficio neto mensual, en millones de euros, de una empresa que fabrica autobuses
viene dado por la función:
B(x)= 1.2x − (0.1x)³
donde x es el número de autobuses fabricados en un mes.
1 Calcula la producción mensual que hacen máximo el beneficio.
2 El beneficio máximo correspondiente a dicha producción.
El beneficio neto mensual, en millones de euros, de una empresa que fabrica autobuses
viene dado por la función:
B(x)= 1.2x − (0.1x)³
donde x es el número de autobuses fabricados en un mes.
1 Calcula la producción mensual que hacen máximo el beneficio.
Función a optimizar:
Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.
Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido
2 El beneficio máximo correspondiente a dicha producción.
Problema de optimización en la huerta
Una huerta tiene actualmente 25 árboles, que producen 600 frutos cada uno.
Se calcula que por cada árbol adicional plantado, la producción de cada árbol disminuyeen 15 frutos.
Calcular:
1 La producción actual de la huerta.
2 La producción que se obtendría de cada árbol si se plantan x árboles más.
3 La producción a la que ascendería el total de la huerta si se plantan x árboles más.
4 ¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para qué la
producción sea máxima?
Una huerta tiene actualmente 25 árboles, que producen 600 frutos cada uno.
Se calcula que por cada árbol adicional plantado, la producción de cada árbol disminuye
en 15 frutos.
Calcular:
1 La producción actual de la huerta.
Producción actual: 25 · 600 = 15 000 frutos.
2 La producción que se obtendría de cada árbol si se plantan x árboles más.
Si se plantan x árboles más, la producción de cada árbol será: 600 − 15x.
3 La producción a la que ascendería el total de la huerta si se plantan x árboles más.
P(x) = (25 + x)(600 − 15x) = −15 x² + 225x + 1500
4 ¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para qué la producción sea máxima?
P′(x) = −30x + 225 −30x + 225 = 0 x = 7.5
P′′ (x) = −30 < 0
La producción será máxima si la huerta tiene 25 + 7 = 32 o 25 + 8 = 33 árboles
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