Gráfica de una función

gráfica (f) = {(x, f(x)) / x ∈ D}

Para representar una función estudiaremos los siguientes apartados:

 

Cálculo del dominio de una función

D = {x ∈ ℛ / f (x)}

Dominio de la función polinómica

D = ℛ

Dominio de la función racional

El dominio es ℛ menos los valores que anulan al denominador.

Dominio de la función radical de índice impar

D = ℛ

Dominio de la función radical de índice par

El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Dominio de la función logarítmica

El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor que cero.

Dominio de la función exponencial

D = ℛ

Dominio de la función seno

D = ℛ.

Dominio de la función coseno

D = ℛ.

Dominio de la función tangente

 

 

Dominio de la función cotangente

 

Dominio de la función secante

 

 

Dominio de la función cosecante

 

Dominio de operaciones con funciones

 

 

Simetría

Simetría respecto del eje de ordenadas

 

Función par

f(−x) = f(x)

 

Ejemplo:

 

 

 

 

 

Simetría respecto al origen

Función impar

f(−x) = −f(x)

 

Ejemplo:  

 

 

Periodicidad

 

 

La función f(x) = sen x es periódica de periodo 2π, ya que cumple que:

sen (x + 2π) = sen x

 

Si f es periódica de período T, también lo es f(mx +n), y su período es T/m.

 

Puntos de corte con los ejes

 

Puntos de corte con el eje OX

Para hallar los puntos de corte con el eje de abscisas hacemos y = 0 y resolvemos la ecuación resultante.

 

Punto de corte con el ejes OY

Para hallar el punto de corte con el eje de ordenadas hacemos x = 0 y calculamos el valor de f(0).

 

Ejemplo de puntos de corte con los ejes 

 

Hallar los puntos de corte con los ejes de la función:

 

 

Puntos de corte con el eje OX :

 

 

(2,0) (1,0)

 

Puntos de corte con el eje OY :

 

 

(0,2)

 

Asíntotas

 

Asíntotas horizontales

 

 

Asíntotas verticales

 

 

Asíntotas oblicuas

 

 

Ejemplo

Calcular las asíntotas de la función:

 

 

Asíntotas horizontales

No hay asíntotas horizontales.

 

Asíntotas verticales

 

 

x=2

Asíntotas oblicuas

 

 

 

y = x + 2

 

 

 

 

Ramas parabólicas

 

Hay ramas parabólicas si:

 

Rama parabólica en la dirección del eje OY

 

 

Rama parabólica en la dirección del eje OX

 

 

Crecimiento y decrecimiento

Para hallar el crecimiento y decrecimiento seguiremos los siguientes pasos:

 

1 Derivar la función:

2 Obtener las raíces de la derivada primera, para ello hacemos: f'(x) = 0.

3 Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntos de discontinuidad (si los hubiese)

4 Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera.

5 Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

 

Máximos y mínimos relativos

 

Para hallar los extremos relativos seguiremos los siguientes pasos:

 

1 Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.

 

2 Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella las raíces de derivada primera y si:

 

f''(a) < 0 es un máximo relativo

f''(a) > 0 es un mínimo relativo

 

3 Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

 

Si ya hemos estudiado el crecimiento y decrecimiento de una función habrá:

1 Un máximo en el punto, de la función, en la que esta pasa de creciente a decreciente.

2 Un mínimo en el punto, de la función, en la que esta pasa de decreciente a creciente.

 

Concavidad y convexidad

 

Para calcular los intervalos la concavidad y convexidad de una función seguiremos los siguientes pasos:

 

1 Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.

2 Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada segunda y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).

3 Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada segunda.

4 Escribimos los intervalos.

 

Puntos de inflexión

 

Para hallar los puntos de inflexión, seguiremos los siguientes pasos:

 

1 Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.

 

2 Realizamos la derivada tercera, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada segunda y si:

 

f'''(x) ≠ 0 Tenemos un punto de inflexión.

 

3 Calculamos la imagen (en la función) del punto de inflexión.

Si ya hemos estudiado la concavidad y convexidad de una función habrá:

Un punto de inflexión en el punto, de la función, en los puntos en que esta pasa de cóncava a convexa o vicecersa.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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