Gráfica de una función

gráfica {(f) = \{(x, f(x)) / \forall x \in D\}}

Para representar una función estudiaremos los diferentes tipos de funciones y el dominio de cada una de ellas.

 

Cálculo del dominio de una función

{D = \{x \in \mathbb{R}| \exists f (x)\}}

Dominio de la función polinómica

El dominio de una función polinómica es todo el eje real, es decir, {D = \mathbb{R}}.

Dominio de la función racional

Una función racional es de la forma {\frac{P(x)}{Q(x)}}, donde {P(x), Q(x)} son polinomios. El dominio es {\mathbb{R}} menos los valores que anulan al denominador, es decir, donde {Q(x)=0}.

Dominio de la función radical de índice impar

Una función radical es de la forma {\sqrt[n]{x}}, para el caso donde {n} es impar, el dominio es {D = \mathbb{R}}.

Dominio de la función radical de índice par

Una función radical es de la forma {\sqrt[n]{x}}, para el caso donde {n} es par, el dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero, es decir, {x \geq 0}

Dominio de la función logarítmica

Una función logarítmica es de la forma {\log (x)}. El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor que cero, es decir, {x \geq 0}.

Dominio de la función exponencial

La forma de una función exponencial es {a^x, a>0} donde {a} es una constante, el dominio es {D = \mathbb{R}}.

Dominio de la función seno

El dominio de la función seno es {D = \mathbb{R}}.

Dominio de la función coseno

El dominio de la función coseno es {D = \mathbb{R}}

Dominio de la función tangente

El dominio de la función tangente es:

{D = \mathbb{R}-\{(2k+1)\cdot\frac{\pi}{2}; k \in \mathbb{Z}\}}

{D = \mathbb{R}-\{\dots, -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \dots\}}

Dominio de la función cotangente

El dominio de la función cotangente es:

{D = \mathbb{R}-\{k\pi ; k \in \mathbb{Z}\}}

{D = \mathbb{R}-\{\dots, -\pi, 0, \pi, \dots\}}

Dominio de la función secante

El dominio de la función secante es:

{D = \mathbb{R}-\{(2k+1)\cdot \frac{\pi}{2}; k \in \mathbb{Z}\}}

{D=\{\dots, -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}, \dots\}}

Dominio de la función cosecante

El dominio de la función cosecante es:

{D = \mathbb{R}-\{k\pi; k\in \mathbb{Z}\}}

{D = \mathbb{R} - \{\dots,-\pi, 0, \pi, \dots\}}

Dominio de operaciones con funciones

{D(f+g) = D(f-g) = D(f\cdot g) = D(f)\bigcap D(g)}

{D(\frac{f}{g}) = D(f)\Bigcap D(g) - \{x \in \mathbb{R} | g(x) = 0\}}

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Vamos

Simetría

Simetría respecto del eje de ordenadas

 

Función par

Para saber si una función es par se tiene que cumplir la siguiente condición: {f(-x) = f(x)}

 

Ejemplo:

1{f(x) = x^4 -3x^2 +4}

 

Para revisar que la función es par tenemos que evaluar la función en {-x}, es decir,{f(-x) = (-x)^4 -3(-x)^2 +4 = x^4 - 3x^2 + 4 = f(x)},lo cual satisface la condición de paridad. función par

Por la gráfica anterior podemos ver la simetría con respecto al eje y.

Simetría respecto al origen

 

Función impar

Para saber si una función es par se tiene que cumplir la siguiente condición: {f(-x) = -f(x)}

Ejemplo: 

1{f(x) = x^5 -3x^3}

 

Para revisar que la función es impar tenemos que evaluar la función en {-x}, es decir,{f(-x) = (-x)^5 -3(-x)^3 = -x^5+3x^3 = -(x^5 -3x^3) = -f(x)},lo cual satisface la condición de que una función es impar. Función impar

Periodicidad

{\exists \, T \in \mathbb{R} \, | \, f(x + T) = f(x), \forall x \in D}

Función seno

La función {f(x) = sen x} es periódica de periodo {2\pi}, ya que cumple que:

{sen\, (x + 2\pi) = sen\, x}

 

Si {f} es periódica de período T, también lo es {f(mx +n)}, y su período es {\frac{T}{m}}.

 

Puntos de corte con los ejes

 

Puntos de corte con el eje OX

 

Para hallar los puntos de corte con el eje de abscisas hacemos {y = 0} y resolvemos la ecuación resultante.

 

Punto de corte con el ejes OY

 

Para hallar el punto de corte con el eje de ordenadas hacemos {x = 0} y calculamos el valor de {f(0)}.

 

Ejemplo de puntos de corte con los ejes 

1Hallar los puntos de corte con los ejes de la función
{f(x) = \dfrac{x^2-3x+2}{x^2+1}}

 

Para encontrar los puntos de corte con el eje OX, comenzamos haciendo {y=0}, entonces la ecuación a resolver es:{\dfrac{x^2-3x+2}{x^2+1} = 0}[latex]{x^2-3x+2 = 0}[/latex]{(x-2)(x-1)=0}

Entonces,

{x=2 \quad x=1}

Los puntos de intersección con el eje x son {(2,0),(1,0)}.

Para los puntos de corte con el eje OY, hacemos {x=0}, entonces:

{f(0) = \dfrac{0^2-3\cdot 0 + 2}{0^2 + 1} = 2}

El punto de intersección con el eje Y es {(0,2)}.

Puntos de intersección en una función

Asíntotas

 

Asíntotas horizontales

{\lim\limits_{x \to \infty}f(x) = k}

ó

{\lim\limits_{x \to -\infty}f(x) = k}

dónde y = k

Asíntotas verticales

{\lim\limits_{x \to k}f(x) = \pm \infty}

dónde x = k

Asíntotas oblicuas

Las asíntotas son de la forma {y=mx + n}, entonces

{m = \lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{f(x)}{x} \quad n = \lim\limits_{x \to \infty}[f(x) - mx]}

 

Ejemplo

1 Calcular las asíntotas de la función {f(x) = \dfrac{x^2+2}{x-2}}

 

Asíntotas horizontalesObservemos que cuando calculamos el límite éste es infinito{\lim\limits_{x\to \infty} \dfrac{x^2+2}{x-2} = \infty}Por lo tanto, no hay asíntotas horizontales.

Asíntotas verticales

Aquí vemos que el límite a ocupar es,

{\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^2+2}{x-2} = \infty}

Entonces la asíntota vértical es {x=2}.

Asíntotas oblicuas

Resolvemos los respectivos límites para {m} y {n}.

{m = \lim\limits_{x\to \infty} \dfrac{\frac{x^2+2}{x-2}}{x} = \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x^2+2}{x^2-2x} = 1}

{n = \lim\limits_{x\to \infty} (\dfrac{x^2+2}{x-2}-1\cdot x) = \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{2x^2+2}{x-2} = 2}

Entonces la asintota es {y = x + 2}

Asíntotas oblicuas

Ramas parabólicas

 

Hay ramas parabólicas si:

{\lim\limits_{x\to\infty}f(x) = \infty}

ó

{\lim\limits_{x\to -\infty}f(x) = \infty}

Rama parabólica en la dirección del eje OY

{\lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{f(x)}{x} = \infty}

Rama parabólica en la dirección del eje OX

{\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{f(x)}{x} = 0}

Crecimiento y decrecimiento

Para hallar el crecimiento y decrecimiento seguiremos los siguientes pasos:

 

1 Derivar la función:

2 Obtener las raíces de la derivada primera, para ello hacemos: {f'(x) = 0}.

3 Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntos de discontinuidad (si los hubiese)

4 Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera.

5 Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

 

Máximos y mínimos relativos

 

Para hallar los extremos relativos seguiremos los siguientes pasos:

 

1 Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.

 

2 Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella las raíces de derivada primera y si:

 

{f''(a) < 0} es un máximo relativo

{f''(a) > 0} es un mínimo relativo

 

3 Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

 

Si ya hemos estudiado el crecimiento y decrecimiento de una función habrá:

1 Un máximo en el punto, de la función, en la que esta pasa de creciente a decreciente.

2 Un mínimo en el punto, de la función, en la que esta pasa de decreciente a creciente.

 

Concavidad y convexidad

 

Para calcular los intervalos la concavidad y convexidad de una función seguiremos los siguientes pasos:

 

1 Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.

2 Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada segunda y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).

3 Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada segunda.

4 Escribimos los intervalos.

 

Puntos de inflexión

 

Para hallar los puntos de inflexión, seguiremos los siguientes pasos:

 

1 Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.

 

2 Realizamos la derivada tercera, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada segunda y si:

 

{f'''(x) \neq 0 }Tenemos un punto de inflexión.

 

3 Calculamos la imagen (en la función) del punto de inflexión.

Si ya hemos estudiado la concavidad y convexidad de una función habrá:

Un punto de inflexión en el punto, de la función, en los puntos en que esta pasa de cóncava a convexa o vicecersa.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗