Ejercicio 1

 

Sean las funciones:

f(x)=3x+2                g(x)=\cfrac{x+3}{2x+1}

Calcular:

1 g\circ f
2 f\circ g

 

Sean las funciones:

f(x)=3x+2                g(x)=\cfrac{x+3}{2x+1}

Calcular:

1 g\circ f
g\circ f=g\left [ f(x) \right ]=g\left ( 3x+2 \right )

=\cfrac{3x+2+3}{2(3x+2)+1}=\mathbf{\cfrac{3x+5}{6x+5}}

2 f\circ g

f\circ g=f\left [ g(x) \right ]=f\left (\cfrac{x+3}{2x+1} \right )

 

\displaystyle =3\left ( \cfrac{x+3}{2x+1} \right )+2= \frac{3x + 9}{2x + 1} + \frac{2 \cdot(2x + 1)}{2x + 1}=

 

\displaystyle = \frac{3x + 9}{2x + 1} + \frac{4x + 2}{2x + 1}= \mathbf{\cfrac{7x+11}{2x+1}}

Ejercicio 2

 

Dadas las funciones:

f(x)=\cfrac{1}{2x-1}          g(x)=\cfrac{2x-1}{2x+1}          h(x)=\cfrac{1}{x}

 

Calcular:

1 g\circ f
2 f\circ g
3 h\circ g\circ f
4 h\circ f\circ g
5 f^{-1}
6 Probar que: f^{-1}\circ f=x
7 Probar que: f\circ f^{-1}=x

 

Sean las funciones:

f(x)=\cfrac{1}{2x-1}          g(x)=\cfrac{2x-1}{2x+1}          h(x)=\cfrac{1}{x}

Calcular:

1 g\circ f

g\circ f=g\left [ f(x) \right ]=g\left ( \cfrac{1}{2x-1} \right )

 

=\cfrac{2\left ( \cfrac{1}{2x-1} \right )-1}{2\left ( \cfrac{1}{2x-1} \right )+1}

 

=\cfrac{\cfrac{2}{2x-1}-1}{\cfrac{2}{2x-1}+1}

 

=\cfrac{\cfrac{2-2x+1}{2x-1}}{\cfrac{2+2x-1}{2x-1}}

 

\mathbf{=\cfrac{3-2x}{2x+1}}

 

2 f\circ g

f\circ g=f\left [ g(x) \right ]=f\left ( \cfrac{2x-1}{2x+1} \right )

 

=\cfrac{1}{2\left ( \cfrac{2x-1}{2x+1} \right )-1}

 

=\cfrac{1}{\cfrac{4x-2}{2x+1}-1}

 

=\cfrac{1}{\cfrac{4x-2-2x-1}{2x+1}}

 

\mathbf{=\cfrac{2x+1}{2x-3}}

 

3 h\circ g\circ f

h\circ g\circ f=h\left [ \left (g\circ f \right )(x) \right ]

 

Ya sabemos que g\circ f=\cfrac{3-2x}{2x+1}
por lo que h\circ g\circ f=h\left (\cfrac{3-2x}{2x+1} \right )

=\cfrac{1}{\cfrac{3-2x}{2x+1}}=\mathbf{\cfrac{2x+1}{3-2x}}

 

4 h\circ f\circ g

h\circ f\circ g=h\left [ \left (f\circ g \right )(x) \right ]

 

Ya sabemos que f\circ g=\cfrac{2x+1}{2x-3}

Por lo que h\circ f\circ g=h\left (\cfrac{2x+1}{2x-3} \right )

=\cfrac{1}{\cfrac{2x+1}{2x-3}}=\mathbf{\cfrac{2x-3}{2x+1}}

 

5 f^{-1}
Para calcular f^{-1} escribimos la función f de la forma:

y=\cfrac{1}{2x-1}

 

y despejamos la variable x

2x-1=\cfrac{1}{y}

 

2x=\cfrac{1}{y}+1

 

x=\cfrac{y+1}{2y}

 

Cambiamos x por f^{-1} e y por x

\mathbf{f^{-1}=\cfrac{x+1}{2x}}

 

6 Probar que: f^{-1}\circ f=x

f^{-1}\circ f=f^{-1}\left [ f(x=) \right ]=f^{-1}\left (\frac{1}{2x-1} \right )

 

=\frac{\cfrac{1}{2x-1}+1}{2\left ( \cfrac{1}{2x-1} \right )}

 

=\cfrac{\cfrac{1+2x-1}{2x-1}}{\cfrac{2}{2x-1}}

 

=\cfrac{2x}{2}=\mathbf{x}

 

7 Probar que: f\circ f^{-1}=x

f\circ f^{-1}=f\left [ \left ( f^{-1} \right ) \right ]=f\left ( \cfrac{x+1}{2x} \right )

 

=\cfrac{1}{2\left ( \cfrac{x+1}{2x} \right )-1}

 

=\cfrac{1}{\cfrac{x+1}{x}-1}

 

=\cfrac{1}{\cfrac{x+1-x}{x}}

 

\cfrac{1}{\cfrac{1}{x}}=\mathbf{x}

La composición de una función con la función inversa es igual a la función identidad

Ejercicio 3

 

Dadas las funciones:

f(x)=\cfrac{x+2}{2x+1}          g(x)=\sqrt{x}

Calcular:

1 g\circ f

2 f\circ g

3 g^{-1}

4 Probar que: f^{-1}\circ f=1

 

Dadas las funciones:

 

f(x)=\cfrac{x+2}{2x+1}          g(x)=\sqrt{x}

 

Calcular:

1 g\circ f

g\circ f=g\left [ f(x) \right ]=g\left ( \cfrac{x+2}{2x+1} \right )

\mathbf{=\sqrt{\cfrac{x+2}{2x+1}}}

2 f\circ g

f\circ g=f\left [ g(x) \right ]=f\left (\sqrt{x} \right )=\mathbf{\left ( \cfrac{\sqrt{x}+2}{2\sqrt{x}+1} \right )}

3g^{-1}
Para calcular g^{-1} escribimos la función g de la forma:

y=\sqrt{x}

 

Despejamos x

x=y^{2}

 

Cambiamos x por g^{-1} e y por x

g^{-1}(x)=\mathbf{x^{2}}

 

4 Probar que: f^{-1}\circ f=1

f^{-1}\circ f(x)=f^{-1}\left [ f(x) \right ]=f^{-1}\left ( \cfrac{x+2}{2x+1} \right )

 

=\cfrac{2-\left ( \cfrac{x+2}{2x+1} \right )}{2\left ( \cfrac{x+2}{2x+1} \right )-1}

 

=\cfrac{\cfrac{4x+2-x-2}{2x+1}}{\cfrac{2x+4-2x-1}{2x+1}}

 

=\cfrac{3x}{3}= \mathbf{x}

 

La composición de una función con la función inversa es igual a la función identidad

 

Ejercicio 4

 

Dadas las funciones:

f(x)=sen^{2}x          g(x)=cot^{2}5x

Calcular:

1 g\circ f

2 f\circ g

 

Dadas las funciones:

 

f(x)=sen^{2}x          g(x)=cot^{2}5x

 

Calcular:

1 g\circ f

g\circ f=g\left [ f(x) \right ]=g\left ( sen^{2}x \right )= \mathbf{cot^{2}\left ( 5\cdot sen^{2}x \right )}

 

2 f\circ g

f\circ g=f\left [ g(x) \right ]=f\left ( cot^{2}5x \right )=\mathbf{sen^{2}\left ( cot^{2}5x \right )}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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