Recordatorio:

 

La función inversa, es una función que se obtiene a partir de la original.

 

Sea f(x) la función original, su inversa se denotara como f(x)^{-1}
(El -1 en la expresión anterior, denota la función inversa, y no se refiere a un
exponente negativo unitario).

 

La característica principal de la función inversa, es que, cuando evalúas el
valor de f(x) en f(x)^{-1} el resultado es x y cuando evalúas el valor de
f(x)^{-1} en   f(x) el resultado es x también.

 

La forma de calcularla es muy sencilla:

 

Paso 1: sustituye f(x) por y.

Paso 2: despeja la variable x.

Paso 3: intercambia las x por las y en la ecuación.

paso 4: sustituye y por f(x)^{-1}.

 

Ejemplo sencillo, calcular la función inversa de la siguiente función :

 

f(x)=2x

 

Paso 1: sustituye f(x) por y.

y=2x

 

Paso 2: despeja la variable x.

x= \frac{y}{2}

 

Paso 3: intercambia las x por las y en la ecuación.

y= \frac{x}{2}

 

paso 4: sustituye y por f(x)^{-1}.

f(x)^{-1}= \frac{x}{2}

 

Comprobación:

 

Evaluando f(x)^{-1} en f(x)

 

    \[f(f(x)^{-1}) = 2(\frac{x}{2}) \ \ \ \rightarrow \ \  f(f(x)^{-1})= x\]

 

Evaluando   f(x) en   f(x)^{-1} .

 

    \[\ \ f^{-1}(f(x)) = \frac{(2x)}{2} \ \ \ \rightarrow \ \ \ f^{-1}(f(x))= x   \]

 

 

Hallar la función inversa de la ecuación lineal

 

 

 

Hallar la función inversa de:

Función lineal

 

Se escribe la función con x e y

 

Se despeja la variable x en función de la variable y

 

Despejando x respecto a y

 

Se intercambian las variables

 

Resultado: función inversa

 

 

Hallar la función inversa de la siguiente función racional

 

Función racional

 

 

Hallar la función inversa de:

Función racional

 

Multiplicamos ambos lados por para eliminar el denominador

 

Eliminación del denominador

 

Resultado: función inversa

 

 

Encuentra la función inversa (no necesitas simplificar)

 

Función racional

 

 

Hallar la función inversa de:

Función racional

 

Quitamos denominadores

 

Eliminación de denominadores

 

Quitamos paréntesis y sacamos factor común x

 

Distributividad y factorización

 

Resultado: función inversa

 

 

Calcula la función inversa de la siguiente función cuadrática

 

Función cuadrática

 

 

Hallar la función inversa de:

Función cuadrática

 

Despejando x respecto a y

 

Resultado: No es función

 

No existe función inversa porque cualquier elemento tiene dos imágenes
y una función puede tener a lo sumo una imagen.

 

 

Dada  una función racional, calcula su función inversa

 

Función racional

 

 

Hallar la función inversa de:

Función racional

 

Cambiamos f(x) por y:

 

y=\frac{2x+3}{x-1}

 

Quitamos denominadores

 

 Eliminación de denominadores

 

Quitamos paréntesis y pasamos al primer miembro las x

 

Distributividad

 

Sacamos común x y la despejamos

 

Despejando x respecto a y

 

Cambiamos x por f–1(x)

 

Resultado: función inversa

 

 

Encuentra la función inversa

 

Función reciproca de x

 

 

Hallar la función inversa de:

Función reciproca de x

 

Sustitución de f(x) a y

 

Resultado: función inversa

 

 

Dada f(x) calcula su función inversa

 

Función racional conjugada

 

 

Hallar la función inversa de:

Función racional conjugada

 

Sustituimos de f(x) por y:

 

Sustitución de f(x) por y

 

Resolvemos paréntesis y ordenamos:

 

Distributividad

 

Factorizamos la x:

 

Factorización

 

Despejamos:

 

Resultado: función inversa

 

 

Hallar la función inversa del siguiente radical

 

Función radical

 

 

Hallar la función inversa de:

Función radical

 

Los 2 signos de un valor radical

 

Resultado: No es función

 

 

Radical con función inversa

 

Función radical cubico

 

 

Hallar la función inversa de:

Función radical cubico

 

Elevamos al cubo en los dos miembros

 

Eliminando el radical

 

Despejamos x en función de y y luego intercambiamos x con y

 

Resultado: función inversa

 

 

Encuentra y corrobora la función inversa de

 

Función racional

 

1 Probar que: Composición de funciones inversas

 

2 Probar que: Composición de funciones inversas

 

 

Función racional

 

1 Probar que: Composición de funciones inversas

 

Pasos para llegar a la función inversa

 

Comprobación por composición

 

2 Probar que:

 

Comprobación por composición

 

 

Calcula y comprueba la función inversa de

 

Función racional

 

Probar que: Composición de funciones inversas

 

 

 Función racional

 

Probar que: Composición de funciones inversas

 

Pasos para calcular la función inversa

 

Comprobación por composición

 

Comprobación por composición exitosa

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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