Cómo encontrar una la función inversa

 

Recordemos que la función inversa de f(x) se define como aquella función g(x) tal que f[g(x)] = x y g[f(x)] = x. Por lo tanto, la podemos obtener a partir de f(x).

 

Asimismo, la función inversa de f(x) se suele denotar como f^{-1}(x) (notemos que el -1 en la expresión anterior no se refiere a un exponente negativo, sino que solo indica que es la función inversa).

 

Nota: en general, para que una función f(x) tenga una función inversa, es necesario que la función sea uno-a-uno (o biyectiva). Cuando no se cumple esto, es necesario restringir el dominio.

 

Recordemos que una función uno-a-uno es aquella función que a cada elemento del dominio le asigna un valor diferente en el rango. Es decir, si a \neq b entonces f(a) \neq f(b).

 

Método para encontrar la función inversa

 

1 Sustituye a f(x) por y.

 

2 Despera la variable x. Por lo que obtenemos una expresión de la forma x = g(y)

 

3 En g(y) sustituye las y por x.

 

4 Por último, cambia el x del lado izquierdo por f^{-1}(x).

 

Ejemplo: Consideremos la función f(x) = 2x + 1. Seguiremos el procedimiento para encontrar a la función inversa:

 

1 Sustituimos f(x) por y: y = 2x + 1.

 

2 Despejamos x:

 

\displaystyle 2x = y - 1 \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{y - 1}{2}

 

donde g(y) = (y - 1)/2

 

3 Intercambiamos las y por x:

 

\displaystyle g(x) = \frac{x - 1}{2}

 

4 Luego cambiamos la x del lado izquierdo por f^{-1}(x):

 

\displaystyle f^{-1}(x) = \frac{x - 1}{2}

 

Por último, comprobamos que la función sí sea la inversa:

 

    \begin{align*} f\left[ f^{-1}(x) \right] & = f\left[ \frac{x - 1}{2} \right]\\& = 2\left( \frac{x - 1}{2} \right) + 1\\& = (x - 1) + 1 = x\end{align*}

 

de donde podemos observar que se cumple que f\left[ f^{-1}(x) \right] = x.

 

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Ejercicios propuestos

 

1 Encuentra la función inversa de la siguiente función lineal:

 

\displaystyle f(x) = 6x + 8

 

Encontraremos la función sin enlistar los pasos. Tenemos f(x) = 6x + 8, donde sustituimos f(x) por y:

 

\displaystyle y = 6x + 8

 

Luego, despejamos x:

 

\displaystyle y - 8 = 6x \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{y - 8}{6}

 

Por último, sustituimos x for f^{-1}(x) y y por x:

 

\displaystyle f^{-1}(x) = \frac{x - 8}{6}

 

la cual es la función inversa.

 

2 Encuentra la función inversa de la siguiente función

 

\displaystyle f(x) = \frac{2x - 3}{4}

 

Primero sustituimos f(x) por y:

 

\displaystyle y = \frac{2x - 3}{4}

 

Luego despejamos x:

 

\displaystyle 4y = 2x - 3 \quad \Longrightarrow \quad 4y + 3 = 2x

 

Es decir,

 

\displaystyle x = \frac{4y + 3}{2}

 

Por último, sustituimos x por f^{-1}(x) y y por x:

 

\displaystyle f^{-1}(x) = \frac{4x + 3}{2}

 

la cual es la función inversa.

 

3 Encuenta la función inversa de la siguiente función (no es necesario que simpliques):

 

\displaystyle f(x) = \frac{x + 3}{x - 2}

 

Empezamos sustituyendo f(x) por y:

 

\displaystyle y = \frac{x + 3}{x - 2}

 

Luego despejamos x. Para esto primero multiplicamos por x - 2:

 

\displaystyle (x - 2)y = x + 3 \quad \Longrightarrow \quad xy - 2y = x + 3

 

Luego pasamos las x a un lado de la ecuación y los términos restantes al otro:

 

\displaystyle xy - x = 2y + 3 \quad \Longrightarrow \quad x(y - 1) = 2y + 3

 

Por último, dividimos por y - 1:

 

\displaystyle x = \frac{2y + 3}{y - 1}

 

Por lo tanto, la función inversa es

 

\displaystyle f^{-1}(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}

 

4 Calcula la función inversa de la siguiente función cuadrática

 

\displaystyle f(x) = x^2

 

Notemos que f(x) = x^2 no es una función uno-a-uno (por ejemplo f(-1) = f(1) = 1). Por lo tanto, no tiene una función inversa en todo el dominio.

 

Sin embargo, si consideramos como dominio al intervalo [0, \infty), entonces la función será uno-a-uno. En este caso, la inversa se obtiene de la siguiente manera:

 

\displaystyle y = x^2

 

Despejando x (y utilizando el hecho de que x \geq 0 en el dominio restringido):

 

\displaystyle x = \sqrt{y} \geq 0

 

Por lo tanto, en este caso la función inversa es

 

\displaystyle f^{-1}(x) = \sqrt{x}

 

Por otro lado, si restringiéramos el dominio a (-\infty, 0], entonces la función inversa se obtiene de la siguiente manera:

 

\displaystyle y = x^2

 

Luego despejamos x (que satisface x \leq 0):

 

\displaystyle x = -\sqrt{y} \leq 0

 

Por consiguiente, la función inversa es

 

\displaystyle f^{-1}(x) = -\sqrt{x}

 

Esto significa que g(x) = \sqrt{x} es la inversa de f(x) = x^2 solo cuando el dominio son los números reales no-negativos [0, \infty). Si el dominio son todos los números reales, la función no tiene inversa.

 

5 Encuenca la función inversa de la siguiente función

 

\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}

 

Empezamos sustituyendo f(x) por y:

 

\displaystyle y = \frac{1}{x}

 

Luego despejamos x:

 

\displaystyle xy = 1 \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{1}{y}

 

Por lo que la función inversa es

 

\displaystyle f^{-1}(x) = \frac{1}{x}

 

6 Encuenta la función inversa de la siguiente función:

 

\displaystyle f(x) = e^{2x + 1}

 

Empezamos sustituyendo f(x) por y:

 

\displaystyle y = e^{2x + 1}

 

Luego, recordemos que el logaritmo natural satisface que

 

\displaystyle \ln \left(e^x \right) = x

 

Así, aplicamos el logaritmo natural a ambos lados de la ecuación:

 

\displaystyle \ln y = \ln \left( e^{2x + 1} \right) = 2x + 1

 

de este modo,

 

\displaystyle 2x = \ln y - 1 \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{\ln y - 1}{2}

 

Por tanto, la función inversa es

 

\displaystyle f^{-1}(x) = \frac{\ln y - 1}{2}

 

7 Encuentra la función inversa de la siguiente función

 

\displaystyle f(x) = \sqrt{x}

 

Las funciones radicales sí son uno-a-uno, por lo tanto, sí tiene función inversa:

 

\displaystyle y = \sqrt{x}

 

donde sabemos que y \geq 0. Luego elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación:

 

\displaystyle y^2 = x

 

Por tanto, la función inversa es

 

\displaystyle f^{-1}(x) = x^2

 

donde x \geq 0 (como hacemos el cambio de y por x, entonces al final x es quien satisface que x \geq 0).

 

En otras palabras, para que g(x) = x^2 sea la función inversa de f(x) = \sqrt{x}, se debe cumplir que g(x) tenga como dominio sólo a [0, \infty).

 

8 Encuentra la función inversa de

 

\displaystyle f(x) = \sqrt[3]{x - 1}

 

Sabemos que la función de raíz cubica es uno-a-uno, tiene como rango a todos los números reales, y su rango también son todos los números reales. Por lo tanto, tendrá una inversa cuyo dominio son todos los reales:

 

\displaystyle y = \sqrt[3]{x - 1}

 

Elevamos al cubo ambos lados:

 

\displaystyle y^3 = x - 1

 

es decir,

 

\displaystyle x = y^3 + 1

 

Por lo tanto, la función inversa es

 

\displaystyle f^{-1}(x) = x^3 + 1

 

9 Encuentra la función inversa de

 

\displaystyle f(x) = \frac{1}{2x - 1}

 

Asimismo, verifica que

 

a f^{-1}(f(x)) = x

 

b f(f^{-1}(x)) = x

 

Primero encontramos la función inversa, para eso sustituimos f(x) por y:

 

\displaystyle y = \frac{1}{2x - 1}

 

Luego, despejamos x:

 

\displaystyle (2x - 1)y = 1 \quad \Longrightarrow \quad 2x - 1 = \frac{1}{y}

 

es decir,

 

\displaystyle x = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{y} + 1 \right)

 

Ya tenemos x despejada. Sin embargo, simplificamos un poco:

 

\displaystyle x = \frac{1}{2}\left( \frac{1 + y}{y} \right) = \frac{y + 1}{2y}

 

Por tanto, la inversa es

 

\displaystyle f^{-1}(x) = \frac{x + 1}{2x}

 

Ahora, verificamos lo que se nos pidió:

 

a Primero verificamos que f^{-1}(f(x)) = x. Para ello, sustituimos f(x) por su valor

 

\displaystyle f^{-1}(f(x)) = f^{-1} \left( \frac{1}{2x - 1} \right)

 

Luego, evaluamos f^{-1}(x) con el argumento dado,

 

\displaystyle f^{-1}(f(x)) = \frac{\frac{1}{2x - 1} + 1}{2 \cdot \frac{1}{2x - 1}}

 

Simplificamos,

 

\displaystyle f^{-1}(f(x)) = \frac{\frac{1}{2x - 1} + \frac{2x - 1}{2x - 1}}{\frac{2}{2x - 1}} = \frac{\frac{1 + 2x - 1}{2x - 1}}{\frac{2}{2x - 1}}

 

es decir,

 

\displaystyle f^{-1}(f(x)) = \frac{1 + 2x - 1}{2} = \frac{2x}{2} = x

 

Por lo que se satisface la primera relación.

 

b Ahora verificaremos que f(f^{-1}(x)) = x. Primero sustituimos f^{-1}(x) por su expresión:

 

\displaystyle f(f^{-1}(x)) = f\left( \frac{x + 1}{2x} \right)

 

Luego evaluamos f(x):

 

\displaystyle f(f^{-1}(x)) = \frac{1}{2\cdot\frac{x + 1}{2x} - 1} = \frac{1}{\frac{x + 1}{x} - 1}

 

es decir,

 

\displaystyle f(f^{-1}(x)) = \frac{1}{\frac{x + 1 - x}{x}} = \frac{1}{\frac{1}{x}} = x

 

por tanto, la segunda relación también se cumple.

 

10 Calcula la inversa de la siguiente función

 

\displaystyle f(x) = \frac{x + 2}{2x + 1}

 

y verifica que f^{-1}(f(x)) = x.

 

Empezamos calculando la inversa, por lo que sustituimos f(x) por y:

 

\displaystyle y = \frac{x + 2}{2x + 1}

 

Luego, despejamos x; por lo que multiplicamos por 2x + 1:

 

\displaystyle y(2x + 1) = x + 2 \quad \Longrightarrow \quad 2xy + y = x + 2

 

Después, pasamos los términos con x hacia el lado izquierdo de la igualdad, y los términos restantes al lado derecho:

 

\displaystyle 2xy - x = 2 - y \quad \Longrightarrow \quad x(2y - 1) = 2 - y

 

Por lo tanto,

 

\displaystyle x = \frac{2 - y}{2y - 1}

 

Es decir, la función inversa es

 

\displaystyle f^{-1}(x) = \frac{2 - x}{2x - 1}

 

Ahora verificaremos que se cumpla que f^{-1}(f(x)) = x. Primero sustituimos la expresión de f(x):

 

\displaystyle f^{-1}(f(x)) = f^{-1} \left( \frac{x + 2}{2x + 1} \right)

 

Ahora evaluamos la inversa:

 

\displaystyle f^{-1}(f(x)) = \frac{2 - \frac{x + 2}{2x + 1}}{2 \cdot \frac{x + 2}{2x + 1} - 1}

 

Simplificamos:

 

\displaystyle f^{-1}(f(x)) = \frac{\frac{4x + 2}{2x + 1} - \frac{x + 2}{2x + 1}}{\frac{2x + 4}{2x + 1} - \frac{2x + 1}{2x + 1}} = \frac{\frac{3x}{2x + 1}}{\frac{3}{2x + 1}}

 

Luego:

 

\displaystyle f^{-1}(f(x)) = \frac{3x}{3} = x

 

Por tanto, la relación sí se cumple.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗