Cómo encontrar una la función inversa
Recordemos que la función inversa de 
se define como aquella función 
tal que 
y 
. Por lo tanto, la podemos obtener a partir de .
Asimismo, la función inversa de se suele denotar como 
(notemos que el 
en la expresión anterior no se refiere a un exponente negativo, sino que solo indica que es la función inversa).
Nota: en general, para que una función tenga una función inversa, es necesario que la función sea uno-a-uno (o biyectiva). Cuando no se cumple esto, es necesario restringir el dominio.
Recordemos que una función uno-a-uno es aquella función que a cada elemento del dominio le asigna un valor diferente en el rango. Es decir, si 
entonces 
.
Método para encontrar la función inversa
1 Sustituye a por 
.
2 Despera la variable 
. Por lo que obtenemos una expresión de la forma 
3 En 
sustituye las por .
4 Por último, cambia el del lado izquierdo por .
Ejemplo: Consideremos la función 
. Seguiremos el procedimiento para encontrar a la función inversa:
1 Sustituimos por : 
.
2 Despejamos :
donde 
3 Intercambiamos las por :
4 Luego cambiamos la del lado izquierdo por :
Por último, comprobamos que la función sí sea la inversa:
de donde podemos observar que se cumple que 
.
Ejercicios propuestos
1 Encuentra la función inversa de la siguiente función lineal:
Encontraremos la función sin enlistar los pasos. Tenemos 
, donde sustituimos por :
Luego, despejamos :
Por último, sustituimos for y por :
la cual es la función inversa.
2 Encuentra la función inversa de la siguiente función
Primero sustituimos por :
Luego despejamos :
Es decir,
Por último, sustituimos por y por :
la cual es la función inversa.
3 Encuenta la función inversa de la siguiente función (no es necesario que simpliques):
Empezamos sustituyendo por :
Luego despejamos . Para esto primero multiplicamos por 
:
Luego pasamos las a un lado de la ecuación y los términos restantes al otro:
Por último, dividimos por 
:
Por lo tanto, la función inversa es
4 Calcula la función inversa de la siguiente función cuadrática
Notemos que 
no es una función uno-a-uno (por ejemplo 
). Por lo tanto, no tiene una función inversa en todo el dominio.
Sin embargo, si consideramos como dominio al intervalo 
, entonces la función será uno-a-uno. En este caso, la inversa se obtiene de la siguiente manera:
Despejando (y utilizando el hecho de que 
en el dominio restringido):
Por lo tanto, en este caso la función inversa es
Por otro lado, si restringiéramos el dominio a 
, entonces la función inversa se obtiene de la siguiente manera:
Luego despejamos (que satisface 
):
Por consiguiente, la función inversa es
Esto significa que 
es la inversa de solo cuando el dominio son los números reales no-negativos . Si el dominio son todos los números reales, la función no tiene inversa.
5 Encuenca la función inversa de la siguiente función
Empezamos sustituyendo por :
Luego despejamos :
Por lo que la función inversa es
6 Encuenta la función inversa de la siguiente función:
Empezamos sustituyendo por :
Luego, recordemos que el logaritmo natural satisface que
Así, aplicamos el logaritmo natural a ambos lados de la ecuación:
de este modo,
Por tanto, la función inversa es
7 Encuentra la función inversa de la siguiente función
Las funciones radicales sí son uno-a-uno, por lo tanto, sí tiene función inversa:
donde sabemos que 
. Luego elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación:
Por tanto, la función inversa es
donde (como hacemos el cambio de por , entonces al final es quien satisface que ).
En otras palabras, para que 
sea la función inversa de 
, se debe cumplir que tenga como dominio sólo a .
8 Encuentra la función inversa de
Sabemos que la función de raíz cubica es uno-a-uno, tiene como rango a todos los números reales, y su rango también son todos los números reales. Por lo tanto, tendrá una inversa cuyo dominio son todos los reales:
Elevamos al cubo ambos lados:
es decir,
Por lo tanto, la función inversa es
9 Encuentra la función inversa de
Asimismo, verifica que
a 
b 
Primero encontramos la función inversa, para eso sustituimos por :
Luego, despejamos :
es decir,
Ya tenemos despejada. Sin embargo, simplificamos un poco:
Por tanto, la inversa es
Ahora, verificamos lo que se nos pidió:
a Primero verificamos que . Para ello, sustituimos por su valor
Luego, evaluamos con el argumento dado,
Simplificamos,
es decir,
Por lo que se satisface la primera relación.
b Ahora verificaremos que . Primero sustituimos por su expresión:
Luego evaluamos :
es decir,
por tanto, la segunda relación también se cumple.
10 Calcula la inversa de la siguiente función
y verifica que .
Empezamos calculando la inversa, por lo que sustituimos por :
Luego, despejamos ; por lo que multiplicamos por 
:
Después, pasamos los términos con hacia el lado izquierdo de la igualdad, y los términos restantes al lado derecho:
Por lo tanto,
Es decir, la función inversa es
Ahora verificaremos que se cumpla que . Primero sustituimos la expresión de :
Ahora evaluamos la inversa:
Simplificamos:
Luego:
Por tanto, la relación sí se cumple.
11 Calcula la inversa de la función 
, luego depejamos para 
: 
Es decir,
12 Calcula la inversa de la función 
en el dominio apropiado.
. Entonces, buscamos la inversa en el rango 
. Comenzamos por sustituir , luego depejamos para : 
Es decir,
13 Calcula la inversa de la función 
, luego depejamos para : 
Es decir,
14 Calcula la inversa de la función 
, luego depejamos para : 
Es decir,
15 Calcula la inversa de la función 
, luego depejamos para : 
Es decir,
Encuentra la función inversa de la siguiente función lineal:
Encontraremos la función sin enlistar los pasos. Tenemos , donde sustituimos por :
Luego, despejamos :
Por último, sustituimos for y por :
la cual es la función inversa.
Encuentra la función inversa de la siguiente función
Primero sustituimos por :
Luego despejamos :
Es decir,
Por último, sustituimos por y por :
la cual es la función inversa.
Encuenta la función inversa de la siguiente función (no es necesario que simpliques):
Empezamos sustituyendo por :
Luego despejamos . Para esto primero multiplicamos por :
Luego pasamos las a un lado de la ecuación y los términos restantes al otro:
Por último, dividimos por :
Por lo tanto, la función inversa es
Calcula la función inversa de la siguiente función cuadrática
Notemos que no es una función uno-a-uno (por ejemplo ). Por lo tanto, no tiene una función inversa en todo el dominio.
Sin embargo, si consideramos como dominio al intervalo , entonces la función será uno-a-uno. En este caso, la inversa se obtiene de la siguiente manera:
Despejando (y utilizando el hecho de que en el dominio restringido):
Por lo tanto, en este caso la función inversa es
Por otro lado, si restringiéramos el dominio a , entonces la función inversa se obtiene de la siguiente manera:
Luego despejamos (que satisface ):
Por consiguiente, la función inversa es
Esto significa que es la inversa de solo cuando el dominio son los números reales no-negativos . Si el dominio son todos los números reales, la función no tiene inversa.
Encuenca la función inversa de la siguiente función
Empezamos sustituyendo por :
Luego despejamos :
Por lo que la función inversa es
Encuenta la función inversa de la siguiente función:
Empezamos sustituyendo por :
Luego, recordemos que el logaritmo natural satisface que
Así, aplicamos el logaritmo natural a ambos lados de la ecuación:
de este modo,
Por tanto, la función inversa es
Encuentra la función inversa de la siguiente función
Las funciones radicales sí son uno-a-uno, por lo tanto, sí tiene función inversa:
donde sabemos que . Luego elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación:
Por tanto, la función inversa es
donde (como hacemos el cambio de por , entonces al final es quien satisface que ).
En otras palabras, para que sea la función inversa de , se debe cumplir que tenga como dominio sólo a .
Encuentra la función inversa de
Sabemos que la función de raíz cubica es uno-a-uno, tiene como rango a todos los números reales, y su rango también son todos los números reales. Por lo tanto, tendrá una inversa cuyo dominio son todos los reales:
Elevamos al cubo ambos lados:
es decir,
Por lo tanto, la función inversa es
Encuentra la función inversa de
Asimismo, verifica que
a
b
Primero encontramos la función inversa, para eso sustituimos por :
Luego, despejamos :
es decir,
Ya tenemos despejada. Sin embargo, simplificamos un poco:
Por tanto, la inversa es
Ahora, verificamos lo que se nos pidió:
a Primero verificamos que . Para ello, sustituimos por su valor
Luego, evaluamos con el argumento dado,
Simplificamos,
es decir,
Por lo que se satisface la primera relación.
b Ahora verificaremos que . Primero sustituimos por su expresión:
Luego evaluamos :
es decir,
por tanto, la segunda relación también se cumple.
Calcula la inversa de la siguiente función
y verifica que .
Empezamos calculando la inversa, por lo que sustituimos por :
Luego, despejamos ; por lo que multiplicamos por :
Después, pasamos los términos con hacia el lado izquierdo de la igualdad, y los términos restantes al lado derecho:
Por lo tanto,
Es decir, la función inversa es
Ahora verificaremos que se cumpla que . Primero sustituimos la expresión de :
Ahora evaluamos la inversa:
Simplificamos:
Luego:
Por tanto, la relación sí se cumple.
Calcula la inversa de la función
Comenzamos por sustituir , luego depejamos para :
Es decir,
Calcula la inversa de la función en el dominio apropiado.
Primero notemos que esta no es una función inyectiva. De hecho, . Entonces, buscamos la inversa en el rango . Comenzamos por sustituir , luego depejamos para :
Es decir,
Calcula la inversa de la función
Comenzamos por sustituir , luego depejamos para :
Es decir,
Calcula la inversa de la función
Comenzamos por sustituir , luego depejamos para :
Es decir,
Calcula la inversa de la función
Comenzamos por sustituir , luego depejamos para :
Es decir,
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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Me ayudarian hacer la funcion lineal con grafico
Y=2×+1
El Punto de inflexión en el ejercicio 2: f(x) = x^3 + x + 1 debe ser (0, 1)
Hola agradecemos tu comentario, tenias razón era un error que ya se corrigió.
la grafica esta mal echa de signos de cada cuadrante
Hola te agradecemos por visitar nuestra pagina, podrías mencionar el número de ejercicio para poder rectificar esos errores que mencionas.
Se podría añadir un poco más de explicación a por que se hace cada paso ( ejemplo porque se divide todo por x ^2?)
Hola agradecemos que puedas darnos tu opinión, cuando surja una duda en este espacio de los comentarios estaremos atentos para darte una explicación con respecto a algo que no entiendas, exista un error o se pueda mejorar una explicación, solo comunícalo y te contestaremos.
Hola, en la parte SIGNOS DE CADA CUADRANTE, esta correcto, en el cuadrante 2 y 4 puede que esté al revés
Hola te agradecemos que visites la pagina, se supone que en el cuadrante 2 los signos (-,+) y en el 4 es (+,-), es así como aparecen?