Si f y f' son derivables en a, la función es:

Cóncava

 

Si f''(a)< 0

Convexa

 

Si f''(a)> 0

 

Criterio de concavidad y convexidad

 

Hemos tomado el criterio de que el valle tiene forma convexa y la montaña forma cóncava.

 

Es posible encontrar textos en los que se define la concavidad y la convexidad de manera opuesta, usando el criterio de que el valle tiene forma cóncava y la montaña forma convexa.

 

Pero esta definición que damos no sólo alude a un criterio visual que puede ser confuso desde el punto de vista del observador, sino que podemos dar una definición más precisa:

 

Una función es cóncava en un intervalo de su dominio cuando:

 

Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x_{1} y x_{2}, el segmento que une los puntos (x_{1},f(x_{1})) y (x_{2},f(x_{2})) siempre queda por debajo de la gráfica.

 

Representación de una función cóncava

 

Una función es convexa en un intervalo de su dominio cuando:

 

Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x_{1} y x_{2}, el segmento que une los puntos (x_{1},f(x_{1})) y (x_{2},f(x_{2})) siempre queda por encima de la gráfica.

 

Representación gráfica de una función convexa

 

Superprof

Intervalos de concavidad y convexidad

 

Para calcular los intervalos la concavidad y convexidad de una función seguiremos los siguientes pasos:

 

 1  Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.

 2  Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada segunda y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).

 3  Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada segunda.

 

Si f''(x)< 0 es cóncava.

 

Si f''(x)> 0 es convexa.

 

 4  Escribimos los intervalos.

 

Ejemplo

 

f(x)=\cfrac{x^{3}}{(x-1)^{2}}

 

Calculamos el dominio

 

(x-1)^{2}\neq 0\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; x\neq 1\: \: \: \: \: \Rightarrow \; \; \; \; \; D=\mathbb{R}-\left \{ 1 \right \}

 

f'(x)=\cfrac{x^{3}-3x^{2}}{(x-1)^{3}}                    \cfrac{x^{3}-3x^{2}}{(x-1)^{3}}=0

 

f''(x)=\cfrac{6x}{(x-1)^{4}}                    \cfrac{6x}{(x-1)^{4}}=0

 

\begin{matrix} x & (-\infty ,0) & (0,1) & (1,\infty )\\ f''(x) & - & + & +\\ & \cap & \cup & \cup \end{matrix}

 

Convexa:  (0,1)\cup (1,\infty )

 

Cóncava: (-\infty ,0)

 

Gráfica de una función con intervalos cóncavos y convexos

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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