El dominio de una función irracional de índice par está formado por el conjunto los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual a cero.

1 $\displaystyle f(x)= \sqrt{x-2}$

Hacemos el radicando mayor o igual a cero y resolvemos la inecuación

$x-2\geq 0$

$x\geq 2$

Por lo que los valores del dominio deben ser mayores o iguales que 2

$D=[2,\infty)$

2 $\displaystyle f(x)= \sqrt{-x+2}$

$-x+2\geq 0$

Multiplicamos la inecuación por –1 y cambia el sentido de la desigualdad

$x-2\leq 0$

$x\leq 2$

Los valores del dominio deben ser menores o iguales que 2

$D=(-\infty,2]$

3 $\displaystyle f(x)= \sqrt{x^2-6x+8}$

$x^2-6x + 8 \geq 0$

Igualamos a cero para encontrar las raíces de la ecuación.

$x^2-6x + 8 = 0$

Resolvemos la ecuación por factorización o por fórmula general, y las raíces son $2$ y $4$ .

Las raíces me dividen la recta real en 3 intervalos: $(-\infty,2),\ (2,4),\ (4, \infty)$ .
Analizamos la positividad o negatividad de $x^2-6x + 8$ en estos intervalos. Para esto solo basta con tomar un punto en cada uno y evaluar. Concluiremos lo siguiente

Tiene que ser mayor (tomamos los intervalos con el signo +) o igual a cero (tomamos como solución los extremos de los intervalos).

$D=(-\infty,2]\cup [4,\infty)$

4 $\displaystyle f(x)= \sqrt{-x^2+6x-8}$

$-x^2+6x -8 \geq 0$

Multiplicamos por –1 y cambiamos el signo de la desigualdad

$x^2-6x + 8 \leq 0$

Resolvemos la ecuación y las raíces son 2 y 4

Tomamos como solución el intervalo negativo porque ahora tenemos menor o igual que cero.

$D=[2,4]$

5 $\displaystyle f(x)= \sqrt{x^2+4x+4}$

$x^2+4x + 4 \geq 0$

Esta ecuación tiene una raíz doble: $x = -2$ , se factoriza como un binomio al cuadrado.

$(x+2)^2\geq 0$

Como es mayor o igual a cero y además cualquier número elevado al cuadrado es positivo o 0, el dominio será $\mathbb{R}$

$D=\mathbb{R}$

6 $\displaystyle f(x)= \sqrt{x^2+x+4}$

Si igualamos a cero, la ecuación correspondiente no tiene soluciones reales.

Si tomamos cualquier valor será positivo.

$x^2+x + 4 \geq 0$

$D=\mathbb{R}$

7 $\displaystyle f(x)= \sqrt{-x^2-4x-4}$

$-x^2-4x-4\geq 0$

$-(x + 2)^2\geq 0$

El binomio al cuadrado siempre es positivo, pero como tenemos el signo delante siempre será negativo.

Tan solo encontramos solución con $\displaystyle x=-2$ porque anula la ecuación

$\displaystyle -(x+2)^2\geq 0$

$\displaystyle D=\{-2\}$

8 $\displaystyle f(x)= \sqrt{x^3-4x^2+3x}$

$\displaystyle x(x^2-4x+3)\geq 0 \hspace{2cm} x(x-1)(x-3)\geq 0$

$x(x-1)(x-3)= 0$

Las raíces son 1, 3 y 0. Esto nos divide la recta real en los intervalos:

Tomamos los intervalos positivos y las raíces

$\displaystyle D=[0,1] \cup [3,\infty)$

9 $\displaystyle f(x)= \frac{x-5}{\sqrt{x-2}}$

Por estar la raíz en el denominador, el radicando tiene que ser mayor que cero, pero no igual porque entonces anularía el denominador.

$\displaystyle x-2>0$

$\displaystyle D=(2,\infty)$

10 $\displaystyle f(x)= \frac{\sqrt{x-2}}{x-5}$

En este caso se tiene que cumplir que el denominador sea distinto de cero y la raíz del numerador mayor o igual que cero.

$\left\{\begin{matrix} x-5\not =0 & & D_1=\mathbb{R}-\{5\}\\ x-2\geq 0 & & D_2=[2,\infty) \ \ \ \end{matrix}\right.$

La solución es la intersección de los dos conjuntos

$D=[2,5)\cup (5,\infty)$

11 $\displaystyle f(x)= \sqrt[3]{\frac{3x+2}{x+1}}$

Por ser una raíz de índice impar el único punto que no pertenece al dominio es $x = -1$ porque anula el denominador.

$\displaystyle D=\mathbb{R}-\{-1\}$

Dominio de funciones exponenciales

Calcular el dominio de las funciones exponenciales:

1 $f(x)=e^{2x-3}$

2 $\displaystyle f(x)=e^{\frac{2x-3}{x}}$

1 $f(x)=e^{2x-3}$

El dominio de una función exponencial es $\mathbb{R}$

$D=\mathbb{R}$

2 $\displaystyle f(x)=e^{\frac{2x-3}{x}}$

Como el exponente es racional, $x=0$ no pertenece al dominio porque anula al denominador.

$D=\mathbb{R}-\left \{ 0 \right \}$

Dominio de funciones logarítmicas

Calcular el dominio de las funciones logarítmicas:

1 $f(x)=\ln (x-2)$

2 $\displaystyle f(x)=\ln \left ( \frac{x}{x^{2}+1} \right )$

1 $f(x)=\ln (x-2)$

Para que exista el logaritmo la función tiene que ser mayor que cero.

$x-2 > 0\; \; \; \; \;\Rightarrow \; \; \; \; \; D=(2,\infty )$

2 $\displaystyle f(x)=\ln \left ( \frac{x}{x^{2}+1} \right )$

Como el denominador es siempre positivo, tan solo estudiamos el numerador.

$\cfrac{x}{x^{2}+1}> 0\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; x> 0\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; D=(0,\infty )$

Dominio de funciones trigonométricas

Calcular el dominio de las funciones trigonométricas:

1 $f(x)=\sqrt{1-\sin^{2}x}$

2 $f(x)=\sqrt{1-\cos x}$

1 $f(x)=\sqrt{1-\sin^{2}x}$

$1-\sin^{2}x\geq 0\hspace{2cm} \sin^{2}x\leq 1$

El valor del seno está comprendido entre $0$ y $1$ , por tanto el $\sin^{2}x$ siempre será menor o igual que $1$ .

$D=\mathbb{R}$

2 $f(x)=\sqrt{1-\cos x}$

$1-\cos x\geq 0\hspace{2cm} \cos x\leq 1$

El valor del coseno siempre es menor o igual $1$ . Así que

$D=\mathbb{R}$

Simetría de funciones

Estudia la simetría de las siguientes funciones:

1 $f(x)=x^{6}+x^{4}-x^{2}$

2 $f(x)=x^{5}+x^{3}-x$

3 $f(x)=x\cdot \left | x \right |$

4 $f(x)=\left | x \right |-1$

1 $f(x)=x^{6}+x^{4}-x^{2}$

$f(-x)=(-x)^{6}+(-x)^{4}-(-x)^{2}=x^{6}+x^{4}-x^{2}=f(x)$

Simétrica respecto al eje de ordenadas. Función par.

2 $f(x)=x^{5}+x^{3}-x$

$f(-x)=(-x)^{5}+(-x)^{3}-(-x)=-x^{5}-x^{3}+x=-f(x)$

Simétrica respecto al origen. Función impar.

3 $f(x)=x\cdot \left | x \right |$

$f(-x)=-x\cdot \left | -x \right |=-x\cdot \left | x \right |=-f(x)$ .

Simétrica respecto al origen. Función impar.

4 $f(x)=\left | x \right |-1$

$f(-x)=\left | -x \right |-1=\left | x \right |-1=f(x)$

Simétrica respecto al eje de ordenadas. Función par.

Crecimiento y decrecimiento de funciones

Estudia el crecimiento o decrecimiento de las siguientes funciones

1 $f(x)=5x^{2}-3x+1$ en $x = 1$

2 $f(x)=\cfrac{1}{x}$ en $x=3$

1 $f(x)=5x^{2}-3x+1$ en $x = 1$

Tomamos un incremento, $h=0.001$ , en el punto $x = 1$ .

La función será creciente o decreciente en el punto $x = 1$ si lo es en el intervalo $\left [ 1,1.001 \right ]$ .

Para comprobarlo, calculamos la tasa de variación en el intervalo dado:

$f(1.001)-f(1)=(5\cdot 1.001^{2}-3\cdot 1.001+1)-(5\cdot 1^{2}-3\cdot 1+1)$

$f(1.001)-f(1)=0.007> 0$

La función es creciente en $x = 1$

2 $f(x)=\cfrac{1}{x}$ en $x=3$

Tomamos un incremento, $h=0.001$ , en el punto $x = 3$ .

La función será creciente o decreciente en el punto $x = 3$ si lo es en el intervalo $\left [ 3,3.001 \right ]$ .

Para comprobarlo, calculamos la tasa de variación en el intervalo dado:

$f(3.001)-f(3)=\cfrac{1}{3.001}-\cfrac{1}{3}=0.332-0.333< 0$

La función es decreciente en $x = 3$

Inversa de una función

Hallar las funciones inversas de

1 $f(x)=2x+1$

2 $f(x)=\cfrac{2x-3}{4}$

3 $f(x)=\cfrac{x+3}{x-2}$

4 $f(x)=x^{2}$

1 $f(x)=2x+1$

Se escribe la función con $x$ e $y$

Se despeja la variable $x$ en función de la variable $y$

$y=2x+1$

$x=\cfrac{1}{2}\, y-\cfrac{1}{2}$

Se intercambian las variables

$f^{-1}(x)=\cfrac{1}{2}\, x-\cfrac{1}{2}$

2 $f(x)=\cfrac{2x-3}{4}$

Se despeja la variable $x$ en función de la variable $y$

$y=\cfrac{2x-3}{4}$

$4y=2x-3$

$x=\cfrac{4y+3}{2}$

Se intercambian las variables

$f^{-1}(x)=\cfrac{4x+3}{2}$

3 $f(x)=\cfrac{x+3}{x-2}$

Quitamos denominadores

$y=\cfrac{x+3}{x-2}$

$y(x-2)=x+3$

Quitamos paréntesis y sacamos factor común $x$ e intercamibamos las variables

$xy-2y=x+3$

$x(y-1)=2y+3$

$x=\cfrac{2y+3}{y-1}$

Se intercambian las variables

$f^{-1}(x)=\cfrac{2x+3}{x-1}$

4 $f(x)=x^{2}$

Se despeja la variable $x$ en función de la variable $y$

$y=x^{2}$

$x=\pm \sqrt{y}$

Se intercambian las variables

$f^{-1}(x)=\pm \sqrt{x}$

No es una función. No existe función inversa porque cualquier elemento tiene dos imágenes y una función puede tener a lo sumo una imagen.

Composición de funciones

Dadas las funciones:

$f(x)=\cfrac{1}{2x-1}\hspace{2cm} g(x)=\cfrac{2x-1}{2x+1}\hspace{2cm} h(x)=\cfrac{1}{x}$

Calcular:

1 $g\circ f$

2 $f\circ g$

3 $h\circ f \circ g$

4 $h^{-1}$

5 $g^{-1}$

6 $f^{-1}$

7 Probar que: $f^{-1}\circ f=i$

1 $g\circ f$

$g\circ f=g\left [ f(x) \right ]=g\left ( \cfrac{1}{2x-1} \right )=\cfrac{2\left (\cfrac{1}{2x-1} \right )-1}{2\left (\cfrac{1}{2x-1} \right )+1}=\cfrac{-2x+3}{2x+1}$

2 $f\circ g$

$f\circ g=f\left [ g(x) \right ]=f\left ( \cfrac{2x-1}{2x+1} \right )=\cfrac{1}{2\left ( \cfrac{2x-1}{2x+1} \right )-1}=\cfrac{2x+1}{2x-3}$

3 $h\circ f\circ g$

$h\circ f\circ g=h\left [ f\circ g(x) \right ]=f\left ( \cfrac{2x+1}{2x-3} \right )=\cfrac{1}{\cfrac{2x+1}{2x-3}}=\cfrac{2x-3}{2x+1}$

4 $h^{-1}$

$h(x)=\cfrac{1}{x}$

$y=\cfrac{1}{x}$

$x=\cfrac{1}{y}$

$h^{-1}(x)=\cfrac{1}{x}$

5 $g^{-1}$

$g(x)=\cfrac{2x-1}{2x+1}$

$y=\cfrac{2x-1}{2x+1}$

$y(2x+1)=2x-1$

$2xy+y=2x-1$

$2xy-2x=-1-y$

$x(2y-2)=-1-y$

$x=\cfrac{-y-1}{2y-2}$

$g^{-1}(x)=\cfrac{-x-1}{2x-2}$

6 $f^{-1}$

$f(x)=\cfrac{1}{2x-1}$

$y=\cfrac{1}{2x-1}$

$y(2x-1)=1$

$2xy-y=1$

$2xy=y+1$

$x=\cfrac{y+1}{2y}$

$f^{-1}(x)=\cfrac{x+1}{2x}$

7 Probar que: $f^{-1}\circ f=i$

$f^{-1}\circ f(x)=f^{-1}\left [ f(x) \right ]=f^{-1}\left ( \cfrac{1}{2x-1} \right )=\cfrac{1+\left ( \cfrac{1}{2x-1} \right )}{2\left ( \cfrac{1}{2x-1} \right )}=x=i(x)$

En efecto, $f^{-1}\circ f$ es la función identidad

Composición de funciones trigonométricas

Dadas las funciones:

$f(x)=\sin^{2}x \hspace{2cm} g(x)=\cot^{2}5x$

Calcular:

1 $g\circ f$

2 $f\circ g$

1 $g\circ f$

$g\circ f=g\left [ f(x) \right ]=g\left ( \sin^{2}x \right )=\cot^{2}(5\sin^{2}x)$

2 $f\circ g$

$f\circ g=f\left [ g(x) \right ]=f\left (\cot^{2}5x \right )=\sin^{2}\left ( \cot^{2}5x \right )$

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Marta

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Comentarios

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Mendoza

Abril

Hola, mucho gusto, quisiera que me ayudara despejando esta duda, no tengo ni idea de como puedo resolver esto, por favor si puede hacerme llegar la respuesta estaría muy agradecido:
-Determinar el recorrido de la función real f definida por —> f: ]-3,2[ —>R; f(x)=(3x+2)/(x-3)

Luis Ernesto Sanchez Perez

Junio

Buen día

Si quieres obtener toda la imagen de tu función para el intervalo, entonces, puedes hacer lo siguiente. Notemos que el intervalo para x es

$\begin{align*} -3 &< x < 2\\ -3(3) &< 3x < 2(3)\\ -9 &< 3x < 6\\ -7 & < 3x + 2 < 8\\ \end{align*}$

Por otro lado

$\begin{align*} -3 &< x < 2\\ -6 &< x - 3 < -1\\ -6 &< x - 3 < -1\\ \end{align*}$

Si dividimos las últimas desigualdades obtenemos

$- 8 &< \frac{3x + 2}{x - 3} < \frac{7}{6}$

Saludos.

Piedad chQuea

Noviembre

Por fabor me podria ayudar con los ejercios resuelto de grado once de la pagina 85del libro pensamientos variocional numerico y espacial

luisa montaña

Septiembre

buenas podría ayudarme por favor con estos ejercicios, se lo agradecería muchísimo,
1) Dados los conjuntos A = { 1, 2, 3, 4, }; B = { 3, 6, 9, 12 } y la función f = A ——- B definida por y = f(x) = x/3

a) Escribe el conjunto R de pares ordenados (x, y) relacionados mediante f
b) Has el diagrama cartesiano o representación grafica
c) Determina el dominio y el rango de f

2) Dado el conjunto A= { 1, 3, 5, 7, 9 }
a) Has el producto cartesiano A X A y represéntalo en un diagrama cartesiano
b) Marca los puntos de la función f= A ———- A definida por f(x)= 2x+1
c) Escribe el conjunto formado por los pares ordenados definidos por f

Camilo

Octubre

Buenas noches podrían ayudarme con este ejercicio porfavor:
SEA N->R / f(4)=15 ; f(n+1)=2f(n+1)
DETERMINAR EL VALOR DE: f(6)=?

marisol

Diciembre

hola muy buenos dias me ayudarian por favor con esto es una funcion real y el ejercicio es este f(x)= 1/x por favor

Maria

Marzo

Me podrían ayudar en este?
f: será igual a función
F(a+h)-f(a)/h

kjjj

Marzo

Ejemplos: La relación del conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} en el conjunto B = {1, 4, 7, 23} descrita por
el diagrama siguiente es una función.
La relación del conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} en el conjunto B = {1, 4, 7, 23} descrita por el
diagrama siguiente no es una función. Falla tanto que el elemento 1 ∈ A no está relacionado
con nadie en B como que el elemento 3 ∈ A está relacionado con dos elementos distintos de B.
(Lo primero se puede solucionar “restringiendo el dominio”, pero lo segundo no tiene solución
clara para hacer de esta relación una función.) La relación R ⊆ R × R dada por R = {(x, x2 ) : x ∈
R} es la función f : R → R, f(x) = x 2 mencionada arriba. La relación R ⊆ Z × N0 dada por R = {(k,|k|) : k ∈ Z} es una función, que se escribe f : Z → N0, f(k) = |k|. La relación R ⊆ N0 × Z dada
por R = {(k 2 , k) : k ∈ Z} no es una función, ya que por ejemplo tanto (1, 1) como (1, −1)
pertenecen a R (el elemento 1 ∈ N0 está relacionado con dos elementos de Z como se hace esto

meyra

Abril

necesito por favor solucionar
2
ex
1. y= e

2x 2 2
2. y= sen e d y/dx

Ejercicios y problemas de funciones reales II

Dominio de funciones polinómicas

Dominio de funciones racionales

Dominio de funciones radicales

Dominio de funciones exponenciales

Dominio de funciones logarítmicas

Dominio de funciones trigonométricas

Simetría de funciones

Crecimiento y decrecimiento de funciones

Inversa de una función

Composición de funciones

Composición de funciones trigonométricas

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Resumen de funciones I

Representacion de grafica de funciones

Funciones

Funciones reales

Resumen de las funciones II

Graficas y funciones

Continuidad de funciones

Teoría

Limites infinitos

Representación de puntos

Caracteristicas: graficas

Función lineal y función identidad

Función constante

Concepto de funcion II

Composicion de funciones

La funcion inversa

Funciones acotadas

Maximos y minimos absolutos y relativos

Funciones simétricas

Funciones constantes

Funciones lineales

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Funciones radicales

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Limite de una funcion

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¿Cuales son las propiedades de los límites?

Operaciones con infinito

Limites de funciones en intervalos y en un punto

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Las siete indeterminaciones

Limites por comparacion de infinitos

Indeterminacion division infinito entre infinito en funciones

Resolver la indeterminacion infinito menos infinito

Indeterminacion cero entre cero

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Teoria y ejercicios de la regla de L’Hopital

Funcion continua

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Continuidad de funciones

Funciones matematicas: discontinuidad

Discontinuidad evitable y discontinuidad inevitable

Discontinuidad inevitable

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