Name: Ejercicios sobre funciones reales II
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Dominio de funciones polinómicas
Dominio de funciones racionales
Dominio de funciones radicales
Dominio de funciones exponenciales
Dominio de funciones logarítmicas
Dominio de funciones trigonométricas
Simetría de funciones
Crecimiento y decrecimiento de funciones
Inversa de una función
Composición de funciones
Composición de funciones trigonométricas

Dominio de funciones polinómicas

Calcular el dominio de las funciones polinómicas

1 $f(x)=2x^5-6x^3+8x^2-5$

2 $\displaystyle f(x)=\frac{2x^2-3}{5}$

1 $f(x)=2x^5-6x^3+8x^2-5$

El dominio de una función polinómica entera es $\mathbb{R}$

$D=\mathbb{R}$

2 $\displaystyle f(x)=\frac{2x^2-3}{5}$

Esta función también es polinómica entera porque no tiene x en el denominador, se puede escribir como:

$\displaystyle f(x)=\frac{2}{5}x^2-\frac{3}{5}$

Así que su dominio es $\mathbb{R}$

$D=\mathbb{R}$

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Dominio de funciones racionales

Calcular el dominio de las funciones racionales:

1 $\displaystyle f(x)=\frac{2x^2-3}{x+2}$

2 $\displaystyle f(x)=\frac{2x^2-3}{x^2-1}$

3 $\displaystyle f(x)=\frac{2x^2-3}{x^2+1}$

4 $\displaystyle f(x)=\frac{2x^2-3}{x^2+2x+1}$

5 $\displaystyle f(x)=\frac{2x^2-3}{x^3+3x^2+3x+1}$

El dominio de una función racional es $\mathbb{R}$ menos los valores que anulan el denominador.

1 $\displaystyle f(x)=\frac{2x^2-3}{x+2}$

Tenemos que igualar el denominador a cero y resolver la ecuación.

$x+2=0$

$x=-2$

Las soluciones a la ecuación son los puntos que no pertenecen al dominio, ya que anulan el denominador.

$D=\mathbb{R}-\{-2\}$

2 $\displaystyle f(x)=\frac{2x^2-3}{x^2-1}$

Igualamos el denominador a cero y resolvemos la ecuación.

$x^2-1=0$

$x^2=1$

$x=\pm 1$

Las soluciones a la ecuación son los puntos que no pertenecen al dominio, ya que anulan el denominador.

$D=\mathbb{R}-\{-1,1\}$

3 $\displaystyle f(x)=\frac{2x^2-3}{x^2+1}$

Igualamos el denominador a cero y resolvemos la ecuación.

$x^2+1=0$

$x^2=-1$

Como no hay soluciones a la ecuación, el denominador no se anula en ningún número real

$D=\mathbb{R}$

4 $\displaystyle f(x)=\frac{2x^2-3}{x^2+2x+1}$

Igualamos el denominador a cero y resolvemos la ecuación.

$x^2+2x+1=0$

$(x+1)^2=0$

$x+1=0$

$x=-1$

Como esta ecuación tiene una raíz doble, el único elemento que no pertenece al dominio es –1.

$D=\mathbb{R}-\{-1\}$

5 $\displaystyle f(x)=\frac{2x^2-3}{x^3+3x^2+3x+1}$

Igualamos el denominador a cero y resolvemos la ecuación.

Observamos que el polinomio es el desarrollo de un binomio al cubo.

$x^3+3x^2+3x+1=0 \hspace{2cm} (x+1)^3=0$

Como está ecuación tiene una raíz triple, el único elemento que no pertenece al dominio es $-1$ .

$D=\mathbb{R}-\{-1\}$

Dominio de funciones radicales

1 $\displaystyle f(x)= \sqrt{x-2}$

2 $\displaystyle f(x)= \sqrt{-x+2}$

3 $\displaystyle f(x)= \sqrt{x^2-6x+8}$

4 $\displaystyle f(x)= \sqrt{-x^2+6x-8}$

5 $\displaystyle f(x)= \sqrt{x^2+4x+4}$

6 $\displaystyle f(x)= \sqrt{x^2+x+4}$

7 $\displaystyle f(x)= \sqrt{-x^2-4x-4}$

8 $\displaystyle f(x)= \sqrt{x^3-4x^2+3x}$

9 $\displaystyle f(x)= \frac{x-5}{\sqrt{x-2}}$

10 $\displaystyle f(x)= \frac{\sqrt{x-2}}{x-5}$

11 $\displaystyle f(x)= \sqrt[3]{\frac{3x+2}{x+1}}$

El dominio de una función irracional de índice par está formado por el conjunto los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual a cero.

1 $\displaystyle f(x)= \sqrt{x-2}$

Hacemos el radicando mayor o igual a cero y resolvemos la inecuación

$x-2\geq 0$

$x\geq 2$

Por lo que los valores del dominio deben ser mayores o iguales que 2

$D=[2,\infty)$

2 $\displaystyle f(x)= \sqrt{-x+2}$

$-x+2\geq 0$

Multiplicamos la inecuación por –1 y cambia el sentido de la desigualdad

$x-2\leq 0$

$x\leq 2$

Los valores del dominio deben ser menores o iguales que 2

$D=(-\infty,2]$

3 $\displaystyle f(x)= \sqrt{x^2-6x+8}$

$x^2-6x + 8 \geq 0$

Igualamos a cero para encontrar las raíces de la ecuación.

$x^2-6x + 8 = 0$

Resolvemos la ecuación por factorización o por fórmula general, y las raíces son $2$ y $4$ .

Las raíces me dividen la recta real en 3 intervalos: $(-\infty,2),\ (2,4),\ (4, \infty)$ .
Analizamos la positividad o negatividad de $x^2-6x + 8$ en estos intervalos. Para esto solo basta con tomar un punto en cada uno y evaluar. Concluiremos lo siguiente

raíces de una función representación gráfica

Tiene que ser mayor (tomamos los intervalos con el signo +) o igual a cero (tomamos como solución los extremos de los intervalos).

$D=(-\infty,2]\cup [4,\infty)$

4 $\displaystyle f(x)= \sqrt{-x^2+6x-8}$

$-x^2+6x -8 \geq 0$

Multiplicamos por –1 y cambiamos el signo de la desigualdad

$x^2-6x + 8 \leq 0$

Resolvemos la ecuación y las raíces son 2 y 4

Tomamos como solución el intervalo negativo porque ahora tenemos menor o igual que cero.

raíces en la recta numérica representación gráfica

$D=[2,4]$

5 $\displaystyle f(x)= \sqrt{x^2+4x+4}$

$x^2+4x + 4 \geq 0$

Esta ecuación tiene una raíz doble: $x = -2$ , se factoriza como un binomio al cuadrado.

$(x+2)^2\geq 0$

Como es mayor o igual a cero y además cualquier número elevado al cuadrado es positivo o 0, el dominio será $\mathbb{R}$

$D=\mathbb{R}$

6 $\displaystyle f(x)= \sqrt{x^2+x+4}$

Si igualamos a cero, la ecuación correspondiente no tiene soluciones reales.

Si tomamos cualquier valor será positivo.

$x^2+x + 4 \geq 0$

$D=\mathbb{R}$

7 $\displaystyle f(x)= \sqrt{-x^2-4x-4}$

$-x^2-4x-4\geq 0$

$-(x + 2)^2\geq 0$

El binomio al cuadrado siempre es positivo, pero como tenemos el signo delante siempre será negativo.

Tan solo encontramos solución con $\displaystyle x=-2$ porque anula la ecuación

$\displaystyle -(x+2)^2\geq 0$

$\displaystyle D=\{-2\}$

8 $\displaystyle f(x)= \sqrt{x^3-4x^2+3x}$

$\displaystyle x(x^2-4x+3)\geq 0 \hspace{2cm} x(x-1)(x-3)\geq 0$

$x(x-1)(x-3)= 0$

Las raíces son 1, 3 y 0. Esto nos divide la recta real en los intervalos:

Soluciones de una función representación gráfica

Tomamos los intervalos positivos y las raíces

$\displaystyle D=[0,1] \cup [3,\infty)$

9 $\displaystyle f(x)= \frac{x-5}{\sqrt{x-2}}$

Por estar la raíz en el denominador, el radicando tiene que ser mayor que cero, pero no igual porque entonces anularía el denominador.

$\displaystyle x-2>0$

$\displaystyle D=(2,\infty)$

10 $\displaystyle f(x)= \frac{\sqrt{x-2}}{x-5}$

En este caso se tiene que cumplir que el denominador sea distinto de cero y la raíz del numerador mayor o igual que cero.

$\left\{\begin{matrix} x-5\not =0 & & D_1=\mathbb{R}-\{5\}\\ x-2\geq 0 & & D_2=[2,\infty) \ \ \ \end{matrix}\right.$

La solución es la intersección de los dos conjuntos

$D=[2,5)\cup (5,\infty)$

11 $\displaystyle f(x)= \sqrt[3]{\frac{3x+2}{x+1}}$

Por ser una raíz de índice impar el único punto que no pertenece al dominio es $x = -1$ porque anula el denominador.

$\displaystyle D=\mathbb{R}-\{-1\}$

Dominio de funciones exponenciales

Calcular el dominio de las funciones exponenciales:

1 $f(x)=e^{2x-3}$

2 $\displaystyle f(x)=e^{\frac{2x-3}{x}}$

1 $f(x)=e^{2x-3}$

El dominio de una función exponencial es $\mathbb{R}$

$D=\mathbb{R}$

2 $\displaystyle f(x)=e^{\frac{2x-3}{x}}$

Como el exponente es racional, $x=0$ no pertenece al dominio porque anula al denominador.

$D=\mathbb{R}-\left \{ 0 \right \}$

Dominio de funciones logarítmicas

Calcular el dominio de las funciones logarítmicas:

1 $f(x)=\ln (x-2)$

2 $\displaystyle f(x)=\ln \left ( \frac{x}{x^{2}+1} \right )$

1 $f(x)=\ln (x-2)$

Para que exista el logaritmo la función tiene que ser mayor que cero.

$x-2 > 0\; \; \; \; \;\Rightarrow \; \; \; \; \; D=(2,\infty )$

2 $\displaystyle f(x)=\ln \left ( \frac{x}{x^{2}+1} \right )$

Como el denominador es siempre positivo, tan solo estudiamos el numerador.

$\cfrac{x}{x^{2}+1}> 0\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; x> 0\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; D=(0,\infty )$

Dominio de funciones trigonométricas

Calcular el dominio de las funciones trigonométricas:

1 $f(x)=\sqrt{1-\sin^{2}x}$

2 $f(x)=\sqrt{1-\cos x}$

1 $f(x)=\sqrt{1-\sin^{2}x}$

$1-\sin^{2}x\geq 0\hspace{2cm} \sin^{2}x\leq 1$

El valor del seno está comprendido entre $0$ y $1$ , por tanto el $\sin^{2}x$ siempre será menor o igual que $1$ .

$D=\mathbb{R}$

2 $f(x)=\sqrt{1-\cos x}$

$1-\cos x\geq 0\hspace{2cm} \cos x\leq 1$

El valor del coseno siempre es menor o igual $1$ . Así que

$D=\mathbb{R}$

Simetría de funciones

Estudia la simetría de las siguientes funciones:

1 $f(x)=x^{6}+x^{4}-x^{2}$

2 $f(x)=x^{5}+x^{3}-x$

3 $f(x)=x\cdot \left | x \right |$

4 $f(x)=\left | x \right |-1$

1 $f(x)=x^{6}+x^{4}-x^{2}$

$f(-x)=(-x)^{6}+(-x)^{4}-(-x)^{2}=x^{6}+x^{4}-x^{2}=f(x)$

Simétrica respecto al eje de ordenadas. Función par.

2 $f(x)=x^{5}+x^{3}-x$

$f(-x)=(-x)^{5}+(-x)^{3}-(-x)=-x^{5}-x^{3}+x=-f(x)$

Simétrica respecto al origen. Función impar.

3 $f(x)=x\cdot \left | x \right |$

$f(-x)=-x\cdot \left | -x \right |=-x\cdot \left | x \right |=-f(x)$ .

Simétrica respecto al origen. Función impar.

4 $f(x)=\left | x \right |-1$

$f(-x)=\left | -x \right |-1=\left | x \right |-1=f(x)$

Simétrica respecto al eje de ordenadas. Función par.

Crecimiento y decrecimiento de funciones

Estudia el crecimiento o decrecimiento de las siguientes funciones

1 $f(x)=5x^{2}-3x+1$ en $x = 1$

2 $f(x)=\cfrac{1}{x}$ en $x=3$

1 $f(x)=5x^{2}-3x+1$ en $x = 1$

Tomamos un incremento, $h=0.001$ , en el punto $x = 1$ .

La función será creciente o decreciente en el punto $x = 1$ si lo es en el intervalo $\left [ 1,1.001 \right ]$ .

Para comprobarlo, calculamos la tasa de variación en el intervalo dado:

$f(1.001)-f(1)=(5\cdot 1.001^{2}-3\cdot 1.001+1)-(5\cdot 1^{2}-3\cdot 1+1)$

$f(1.001)-f(1)=0.007> 0$

La función es creciente en $x = 1$

2 $f(x)=\cfrac{1}{x}$ en $x=3$

Tomamos un incremento, $h=0.001$ , en el punto $x = 3$ .

La función será creciente o decreciente en el punto $x = 3$ si lo es en el intervalo $\left [ 3,3.001 \right ]$ .

Para comprobarlo, calculamos la tasa de variación en el intervalo dado:

$f(3.001)-f(3)=\cfrac{1}{3.001}-\cfrac{1}{3}=0.332-0.333< 0$

La función es decreciente en $x = 3$

Inversa de una función

Hallar las funciones inversas de

1 $f(x)=2x+1$

2 $f(x)=\cfrac{2x-3}{4}$

3 $f(x)=\cfrac{x+3}{x-2}$

4 $f(x)=x^{2}$

1 $f(x)=2x+1$

Se escribe la función con $x$ e $y$

Se despeja la variable $x$ en función de la variable $y$

$y=2x+1$

$x=\cfrac{1}{2}\, y-\cfrac{1}{2}$

Se intercambian las variables

$f^{-1}(x)=\cfrac{1}{2}\, x-\cfrac{1}{2}$

2 $f(x)=\cfrac{2x-3}{4}$

Se despeja la variable $x$ en función de la variable $y$

$y=\cfrac{2x-3}{4}$

$4y=2x-3$

$x=\cfrac{4y+3}{2}$

Se intercambian las variables

$f^{-1}(x)=\cfrac{4x+3}{2}$

3 $f(x)=\cfrac{x+3}{x-2}$

Quitamos denominadores

$y=\cfrac{x+3}{x-2}$

$y(x-2)=x+3$

Quitamos paréntesis y sacamos factor común $x$ e intercamibamos las variables

$xy-2y=x+3$

$x(y-1)=2y+3$

$x=\cfrac{2y+3}{y-1}$

Se intercambian las variables

$f^{-1}(x)=\cfrac{2x+3}{x-1}$

4 $f(x)=x^{2}$

Se despeja la variable $x$ en función de la variable $y$

$y=x^{2}$

$x=\pm \sqrt{y}$

Se intercambian las variables

$f^{-1}(x)=\pm \sqrt{x}$

No es una función. No existe función inversa porque cualquier elemento tiene dos imágenes y una función puede tener a lo sumo una imagen.

Composición de funciones

Dadas las funciones:

$f(x)=\cfrac{1}{2x-1}\hspace{2cm} g(x)=\cfrac{2x-1}{2x+1}\hspace{2cm} h(x)=\cfrac{1}{x}$

Calcular:

1 $g\circ f$

2 $f\circ g$

3 $h\circ f \circ g$

4 $h^{-1}$

5 $g^{-1}$

6 $f^{-1}$

7 Probar que: $f^{-1}\circ f=i$

1 $g\circ f$

$g\circ f=g\left [ f(x) \right ]=g\left ( \cfrac{1}{2x-1} \right )=\cfrac{2\left (\cfrac{1}{2x-1} \right )-1}{2\left (\cfrac{1}{2x-1} \right )+1}=\cfrac{-2x+3}{2x+1}$

2 $f\circ g$

$f\circ g=f\left [ g(x) \right ]=f\left ( \cfrac{2x-1}{2x+1} \right )=\cfrac{1}{2\left ( \cfrac{2x-1}{2x+1} \right )-1}=\cfrac{2x+1}{2x-3}$

3 $h\circ f\circ g$

$h\circ f\circ g=h\left [ f\circ g(x) \right ]=f\left ( \cfrac{2x+1}{2x-3} \right )=\cfrac{1}{\cfrac{2x+1}{2x-3}}=\cfrac{2x-3}{2x+1}$

4 $h^{-1}$

$h(x)=\cfrac{1}{x}$

$y=\cfrac{1}{x}$

$x=\cfrac{1}{y}$

$h^{-1}(x)=\cfrac{1}{x}$

5 $g^{-1}$

$g(x)=\cfrac{2x-1}{2x+1}$

$y=\cfrac{2x-1}{2x+1}$

$y(2x+1)=2x-1$

$2xy+y=2x-1$

$2xy-2x=-1-y$

$x(2y-2)=-1-y$

$x=\cfrac{-y-1}{2y-2}$

$g^{-1}(x)=\cfrac{-x-1}{2x-2}$

6 $f^{-1}$

$f(x)=\cfrac{1}{2x-1}$

$y=\cfrac{1}{2x-1}$

$y(2x-1)=1$

$2xy-y=1$

$2xy=y+1$

$x=\cfrac{y+1}{2y}$

$f^{-1}(x)=\cfrac{x+1}{2x}$

7 Probar que: $f^{-1}\circ f=i$

$f^{-1}\circ f(x)=f^{-1}\left [ f(x) \right ]=f^{-1}\left ( \cfrac{1}{2x-1} \right )=\cfrac{1+\left ( \cfrac{1}{2x-1} \right )}{2\left ( \cfrac{1}{2x-1} \right )}=x=i(x)$

En efecto, $f^{-1}\circ f$ es la función identidad

Composición de funciones trigonométricas

Dadas las funciones:

$f(x)=\sin^{2}x \hspace{2cm} g(x)=\cot^{2}5x$

Calcular:

1 $g\circ f$

2 $f\circ g$

1 $g\circ f$

$g\circ f=g\left [ f(x) \right ]=g\left ( \sin^{2}x \right )=\cot^{2}(5\sin^{2}x)$

2 $f\circ g$

$f\circ g=f\left [ g(x) \right ]=f\left (\cot^{2}5x \right )=\sin^{2}\left ( \cot^{2}5x \right )$

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Marta

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Mendoza
Invité

29 Abr.

Hola, mucho gusto, quisiera que me ayudara despejando esta duda, no tengo ni idea de como puedo resolver esto, por favor si puede hacerme llegar la respuesta estaría muy agradecido:
-Determinar el recorrido de la función real f definida por —> f: ]-3,2[ —>R; f(x)=(3x+2)/(x-3)

Luis Ernesto Sanchez Perez
Editor

26 Jun.

Buen día

Si quieres obtener toda la imagen de tu función para el intervalo, entonces, puedes hacer lo siguiente. Notemos que el intervalo para x es

$\begin{align*} -3 &< x < 2\\ -3(3) &< 3x < 2(3)\\ -9 &< 3x < 6\\ -7 & < 3x + 2 < 8\\ \end{align*}$

Por otro lado

$\begin{align*} -3 &< x < 2\\ -6 &< x - 3 < -1\\ -6 &< x - 3 < -1\\ \end{align*}$

Si dividimos las últimas desigualdades obtenemos

$- 8 &< \frac{3x + 2}{x - 3} < \frac{7}{6}$

Saludos.

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Estudio de una función

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Gráficas de funciones

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