El dominio de una función irracional de índice par está formado por el conjunto los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual a cero.

1 $\displaystyle f(x)= \sqrt{x-2}$

Hacemos el radicando mayor o igual a cero y resolvemos la inecuación

$x-2\geq 0$

$x\geq 2$

Por lo que los valores del dominio deben ser mayores o iguales que 2

$D=[2,\infty)$

2 $\displaystyle f(x)= \sqrt{-x+2}$

$-x+2\geq 0$

Multiplicamos la inecuación por –1 y cambia el sentido de la desigualdad

$x-2\leq 0$

$x\leq 2$

Los valores del dominio deben ser menores o iguales que 2

$D=(-\infty,2]$

3 $\displaystyle f(x)= \sqrt{x^2-6x+8}$

$x^2-6x + 8 \geq 0$

Igualamos a cero para encontrar las raíces de la ecuación.

$x^2-6x + 8 = 0$

Resolvemos la ecuación por factorización o por fórmula general, y las raíces son $2$ y $4$ .

Las raíces me dividen la recta real en 3 intervalos: $(-\infty,2),\ (2,4),\ (4, \infty)$ .
Analizamos la positividad o negatividad de $x^2-6x + 8$ en estos intervalos. Para esto solo basta con tomar un punto en cada uno y evaluar. Concluiremos lo siguiente

Tiene que ser mayor (tomamos los intervalos con el signo +) o igual a cero (tomamos como solución los extremos de los intervalos).

$D=(-\infty,2]\cup [4,\infty)$

4 $\displaystyle f(x)= \sqrt{-x^2+6x-8}$

$-x^2+6x -8 \geq 0$

Multiplicamos por –1 y cambiamos el signo de la desigualdad

$x^2-6x + 8 \leq 0$

Resolvemos la ecuación y las raíces son 2 y 4

Tomamos como solución el intervalo negativo porque ahora tenemos menor o igual que cero.

$D=[2,4]$

5 $\displaystyle f(x)= \sqrt{x^2+4x+4}$

$x^2+4x + 4 \geq 0$

Esta ecuación tiene una raíz doble: $x = -2$ , se factoriza como un binomio al cuadrado.

$(x+2)^2\geq 0$

Como es mayor o igual a cero y además cualquier número elevado al cuadrado es positivo o 0, el dominio será $\mathbb{R}$

$D=\mathbb{R}$

6 $\displaystyle f(x)= \sqrt{x^2+x+4}$

Si igualamos a cero, la ecuación correspondiente no tiene soluciones reales.

Si tomamos cualquier valor será positivo.

$x^2+x + 4 \geq 0$

$D=\mathbb{R}$

7 $\displaystyle f(x)= \sqrt{-x^2-4x-4}$

$-x^2-4x-4\geq 0$

$-(x + 2)^2\geq 0$

El binomio al cuadrado siempre es positivo, pero como tenemos el signo delante siempre será negativo.

Tan solo encontramos solución con $\displaystyle x=-2$ porque anula la ecuación

$\displaystyle -(x+2)^2\geq 0$

$\displaystyle D=\{-2\}$

8 $\displaystyle f(x)= \sqrt{x^3-4x^2+3x}$

$\displaystyle x(x^2-4x+3)\geq 0 \hspace{2cm} x(x-1)(x-3)\geq 0$

$x(x-1)(x-3)= 0$

Las raíces son 1, 3 y 0. Esto nos divide la recta real en los intervalos:

Tomamos los intervalos positivos y las raíces

$\displaystyle D=[0,1] \cup [3,\infty)$

9 $\displaystyle f(x)= \frac{x-5}{\sqrt{x-2}}$

Por estar la raíz en el denominador, el radicando tiene que ser mayor que cero, pero no igual porque entonces anularía el denominador.

$\displaystyle x-2>0$

$\displaystyle D=(2,\infty)$

10 $\displaystyle f(x)= \frac{\sqrt{x-2}}{x-5}$

En este caso se tiene que cumplir que el denominador sea distinto de cero y la raíz del numerador mayor o igual que cero.

$\left\{\begin{matrix} x-5\not =0 & & D_1=\mathbb{R}-\{5\}\\ x-2\geq 0 & & D_2=[2,\infty) \ \ \ \end{matrix}\right.$

La solución es la intersección de los dos conjuntos

$D=[2,5)\cup (5,\infty)$

11 $\displaystyle f(x)= \sqrt[3]{\frac{3x+2}{x+1}}$

Por ser una raíz de índice impar el único punto que no pertenece al dominio es $x = -1$ porque anula el denominador.

$\displaystyle D=\mathbb{R}-\{-1\}$

Dominio de funciones exponenciales

Calcular el dominio de las funciones exponenciales:

1 $f(x)=e^{2x-3}$

2 $\displaystyle f(x)=e^{\frac{2x-3}{x}}$

1 $f(x)=e^{2x-3}$

El dominio de una función exponencial es $\mathbb{R}$

$D=\mathbb{R}$

2 $\displaystyle f(x)=e^{\frac{2x-3}{x}}$

Como el exponente es racional, $x=0$ no pertenece al dominio porque anula al denominador.

$D=\mathbb{R}-\left \{ 0 \right \}$

Dominio de funciones logarítmicas

Calcular el dominio de las funciones logarítmicas:

1 $f(x)=\ln (x-2)$

2 $\displaystyle f(x)=\ln \left ( \frac{x}{x^{2}+1} \right )$

1 $f(x)=\ln (x-2)$

Para que exista el logaritmo la función tiene que ser mayor que cero.

$x-2 > 0\; \; \; \; \;\Rightarrow \; \; \; \; \; D=(2,\infty )$

2 $\displaystyle f(x)=\ln \left ( \frac{x}{x^{2}+1} \right )$

Como el denominador es siempre positivo, tan solo estudiamos el numerador.

$\cfrac{x}{x^{2}+1}> 0\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; x> 0\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; D=(0,\infty )$

Dominio de funciones trigonométricas

Calcular el dominio de las funciones trigonométricas:

1 $f(x)=\sqrt{1-\sin^{2}x}$

2 $f(x)=\sqrt{1-\cos x}$

1 $f(x)=\sqrt{1-\sin^{2}x}$

$1-\sin^{2}x\geq 0\hspace{2cm} \sin^{2}x\leq 1$

El valor del seno está comprendido entre $0$ y $1$ , por tanto el $\sin^{2}x$ siempre será menor o igual que $1$ .

$D=\mathbb{R}$

2 $f(x)=\sqrt{1-\cos x}$

$1-\cos x\geq 0\hspace{2cm} \cos x\leq 1$

El valor del coseno siempre es menor o igual $1$ . Así que

$D=\mathbb{R}$

Simetría de funciones

Estudia la simetría de las siguientes funciones:

1 $f(x)=x^{6}+x^{4}-x^{2}$

2 $f(x)=x^{5}+x^{3}-x$

3 $f(x)=x\cdot \left | x \right |$

4 $f(x)=\left | x \right |-1$

1 $f(x)=x^{6}+x^{4}-x^{2}$

$f(-x)=(-x)^{6}+(-x)^{4}-(-x)^{2}=x^{6}+x^{4}-x^{2}=f(x)$

Simétrica respecto al eje de ordenadas. Función par.

2 $f(x)=x^{5}+x^{3}-x$

$f(-x)=(-x)^{5}+(-x)^{3}-(-x)=-x^{5}-x^{3}+x=-f(x)$

Simétrica respecto al origen. Función impar.

3 $f(x)=x\cdot \left | x \right |$

$f(-x)=-x\cdot \left | -x \right |=-x\cdot \left | x \right |=-f(x)$ .

Simétrica respecto al origen. Función impar.

4 $f(x)=\left | x \right |-1$

$f(-x)=\left | -x \right |-1=\left | x \right |-1=f(x)$

Simétrica respecto al eje de ordenadas. Función par.

Crecimiento y decrecimiento de funciones

Estudia el crecimiento o decrecimiento de las siguientes funciones

1 $f(x)=5x^{2}-3x+1$ en $x = 1$

2 $f(x)=\cfrac{1}{x}$ en $x=3$

1 $f(x)=5x^{2}-3x+1$ en $x = 1$

Tomamos un incremento, $h=0.001$ , en el punto $x = 1$ .

La función será creciente o decreciente en el punto $x = 1$ si lo es en el intervalo $\left [ 1,1.001 \right ]$ .

Para comprobarlo, calculamos la tasa de variación en el intervalo dado:

$f(1.001)-f(1)=(5\cdot 1.001^{2}-3\cdot 1.001+1)-(5\cdot 1^{2}-3\cdot 1+1)$

$f(1.001)-f(1)=0.007> 0$

La función es creciente en $x = 1$

2 $f(x)=\cfrac{1}{x}$ en $x=3$

Tomamos un incremento, $h=0.001$ , en el punto $x = 3$ .

La función será creciente o decreciente en el punto $x = 3$ si lo es en el intervalo $\left [ 3,3.001 \right ]$ .

Para comprobarlo, calculamos la tasa de variación en el intervalo dado:

$f(3.001)-f(3)=\cfrac{1}{3.001}-\cfrac{1}{3}=0.332-0.333< 0$

La función es decreciente en $x = 3$

Inversa de una función

Hallar las funciones inversas de

1 $f(x)=2x+1$

2 $f(x)=\cfrac{2x-3}{4}$

3 $f(x)=\cfrac{x+3}{x-2}$

4 $f(x)=x^{2}$

1 $f(x)=2x+1$

Se escribe la función con $x$ e $y$

Se despeja la variable $x$ en función de la variable $y$

$y=2x+1$

$x=\cfrac{1}{2}\, y-\cfrac{1}{2}$

Se intercambian las variables

$f^{-1}(x)=\cfrac{1}{2}\, x-\cfrac{1}{2}$

2 $f(x)=\cfrac{2x-3}{4}$

Se despeja la variable $x$ en función de la variable $y$

$y=\cfrac{2x-3}{4}$

$4y=2x-3$

$x=\cfrac{4y+3}{2}$

Se intercambian las variables

$f^{-1}(x)=\cfrac{4x+3}{2}$

3 $f(x)=\cfrac{x+3}{x-2}$

Quitamos denominadores

$y=\cfrac{x+3}{x-2}$

$y(x-2)=x+3$

Quitamos paréntesis y sacamos factor común $x$ e intercamibamos las variables

$xy-2y=x+3$

$x(y-1)=2y+3$

$x=\cfrac{2y+3}{y-1}$

Se intercambian las variables

$f^{-1}(x)=\cfrac{2x+3}{x-1}$

4 $f(x)=x^{2}$

Se despeja la variable $x$ en función de la variable $y$

$y=x^{2}$

$x=\pm \sqrt{y}$

Se intercambian las variables

$f^{-1}(x)=\pm \sqrt{x}$

No es una función. No existe función inversa porque cualquier elemento tiene dos imágenes y una función puede tener a lo sumo una imagen.

Composición de funciones

Dadas las funciones:

$f(x)=\cfrac{1}{2x-1}\hspace{2cm} g(x)=\cfrac{2x-1}{2x+1}\hspace{2cm} h(x)=\cfrac{1}{x}$

Calcular:

1 $g\circ f$

2 $f\circ g$

3 $h\circ f \circ g$

4 $h^{-1}$

5 $g^{-1}$

6 $f^{-1}$

7 Probar que: $f^{-1}\circ f=i$

1 $g\circ f$

$g\circ f=g\left [ f(x) \right ]=g\left ( \cfrac{1}{2x-1} \right )=\cfrac{2\left (\cfrac{1}{2x-1} \right )-1}{2\left (\cfrac{1}{2x-1} \right )+1}=\cfrac{-2x+3}{2x+1}$

2 $f\circ g$

$f\circ g=f\left [ g(x) \right ]=f\left ( \cfrac{2x-1}{2x+1} \right )=\cfrac{1}{2\left ( \cfrac{2x-1}{2x+1} \right )-1}=\cfrac{2x+1}{2x-3}$

3 $h\circ f\circ g$

$h\circ f\circ g=h\left [ f\circ g(x) \right ]=f\left ( \cfrac{2x+1}{2x-3} \right )=\cfrac{1}{\cfrac{2x+1}{2x-3}}=\cfrac{2x-3}{2x+1}$

4 $h^{-1}$

$h(x)=\cfrac{1}{x}$

$y=\cfrac{1}{x}$

$x=\cfrac{1}{y}$

$h^{-1}(x)=\cfrac{1}{x}$

5 $g^{-1}$

$g(x)=\cfrac{2x-1}{2x+1}$

$y=\cfrac{2x-1}{2x+1}$

$y(2x+1)=2x-1$

$2xy+y=2x-1$

$2xy-2x=-1-y$

$x(2y-2)=-1-y$

$x=\cfrac{-y-1}{2y-2}$

$g^{-1}(x)=\cfrac{-x-1}{2x-2}$

6 $f^{-1}$

$f(x)=\cfrac{1}{2x-1}$

$y=\cfrac{1}{2x-1}$

$y(2x-1)=1$

$2xy-y=1$

$2xy=y+1$

$x=\cfrac{y+1}{2y}$

$f^{-1}(x)=\cfrac{x+1}{2x}$

7 Probar que: $f^{-1}\circ f=i$

$f^{-1}\circ f(x)=f^{-1}\left [ f(x) \right ]=f^{-1}\left ( \cfrac{1}{2x-1} \right )=\cfrac{1+\left ( \cfrac{1}{2x-1} \right )}{2\left ( \cfrac{1}{2x-1} \right )}=x=i(x)$

En efecto, $f^{-1}\circ f$ es la función identidad

Composición de funciones trigonométricas

Dadas las funciones:

$f(x)=\sin^{2}x \hspace{2cm} g(x)=\cot^{2}5x$

Calcular:

1 $g\circ f$

2 $f\circ g$

1 $g\circ f$

$g\circ f=g\left [ f(x) \right ]=g\left ( \sin^{2}x \right )=\cot^{2}(5\sin^{2}x)$

2 $f\circ g$

$f\circ g=f\left [ g(x) \right ]=f\left (\cot^{2}5x \right )=\sin^{2}\left ( \cot^{2}5x \right )$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Resumen

Funciones: propiedades y ejemplos

Funciones reales

Graficas y funciones

Continuidad de funciones

Grafica de funciones y definiciones

Resumen de funciones I

Resumen de las funciones II

Teoría

Limites infinitos

Representación de puntos

Caracteristicas: graficas

Función lineal y función identidad

Función constante

Concepto de funcion II

Composicion de funciones

La funcion inversa

Maximos y minimos absolutos y relativos

Funciones simétricas

Funciones constantes

Funciones lineales

Funciones radicales

Función valor absoluto

Logaritmos y funciones logaritmicas

Limite de una funcion

Limites laterales

¿Cuales son las propiedades de los límites?

Operaciones con infinito

Limites de funciones en intervalos y en un punto

Calculo de limites cuando x tiende a infinito

Las siete indeterminaciones

Limites por comparacion de infinitos

Indeterminacion division infinito entre infinito en funciones

Resolver la indeterminacion infinito menos infinito

Indeterminacion cero entre cero

Indeterminacion uno elevado a infinito

Teoria y ejercicios de la regla de L’Hopital

Funcion continua

Funciones matematicas: discontinuidad

Discontinuidad evitable y discontinuidad inevitable

Puntos de interseccion con los ejes

Puntos de inflexion de una funcion

Estudio de una funcion

Funciones. Gráficas

Gráficas de funciones

Maximos y minimos de una funcion

Limite de la funcion exponencial

Funcion cuadratica

Optimizacion de funciones

Representacion grafica

Los Diferentes Tipos de Funciones

Simetria de una funcion

Grafica de funciones

Limite de la funcion logaritmica

¿Como leer las coordenadas en el plano?

Limite de un numero partido por cero

Representar la funcion afin

Discontinuidad evitable

Las limites en el infinito

Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Dominio de una funcion

Funcion exponencial con ejemplos

Asintotas de la funcion

Funciones trigonométricas

Funciones periodicas

Representacion de funciones

Tablas de valores

Concepto de funcion I

¿Que son las funciones racionales?

Discontinuidad inevitable

Teorema de Weierstrass

La continuidad de funciones

Ejemplos de funciones definidas a trozos

Funciones acotadas

Continuidad en un intervalo

Discontinuidad esencial

Reflexiones, dilataciones y contracciones de funciones

Traslaciones de parabolas

Traslaciones de hipérbolas

Ramas parabólicas

Concavidad y convexidad de una funcion

Propiedad de Darboux

Continuidad lateral

Fórmulas

Fórmulas de cálculo de límites

Fórmulas de asíntotas

Ejercicios interactivos

Ejercicios interactivos de coordenadas en el plano

Ejercicios interactivos de representación gráfica de puntos

Ejercicios interactivos de tablas de valores

Ejercicios interactivos de representación gráfica

Ejercicios interactivos de características de las gráficas

Ejercicios interactivos de concepto de función

Ejercicios interactivos de función II

Ejercicios interactivos del estudio de gráficas y funciones

Ejercicios interactivos de puntos de una función

Ejercicios interactivos de representación gráfica de una función

Ejercicios interactivos de continuidad y discontinuidad

Ejercicios interactivos de crecimiento y decrecimiento

Ejercicios interactivos de funciones acotadas

Ejercicios interactivos de máximos y mínimos absolutos y relativos

Ejercicios interactivos de funciones simétricas

Ejercicios interactivos de funciones periódicas

Ejercicios interactivos: la funcion constante

Ejercicios interactivos de funciones lineales

Ejercicios interactivos de la funcion afin

Ejercicios interactivos de funcion I

Ejercicios interactivos de dominio de una funcion

Ejercicios interactivos de funciones cuadraticas

Ejercicios interactivos de recorrido de una funcion

Ejercicios interactivos de la variable dependiente

Otros ejercicios

Ejercicios de graficas y funciones

Ejercicios del dominio de una funcion

Ejercicios de la funcion lineal

Ejercicios de funciones con valor absoluto

Diferenciales de funciones

Ejercicios resueltos de continuidad

Ejercicios: teorema de Bolzano parte I

Ejercicios resueltos de asintotas

Ejercicios resueltos de ramas parabólicas

Ejercicios de composicion de funciones

Problemas de optimización

Ejercicios de la ecuacion de la recta tangente y normal

Ejercicios del teorema de Bolzano II

Ejercicios de continuidad

Ejercicios de la regla de L’Hopital

Ejercicios resueltos de graficas de funciones I

Ejercicios resueltos de maximos y minimos

Problemas de aplicacion de funciones exponenciales

Problemas de optimizacion de funciones

Ejercicios de limites de funciones

Ejercicios de funciones inversas o reciprocas

Ejercicios de la funcion cuadratica

Ejercicios de funciones definidas a trozos

Ejercicios de crecimiento y decrecimiento

Ejercicios de simetria de funciones

Problemas de maximos, minimos y puntos de inflexion

Ejercicios de puntos de inflexion

Problemas de optimizacion de funciones resueltos

Ejercicios resueltos de puntos de corte con los ejes

Ejercicios de concavidad y convexidad

Ejercicios de gráficas y funciones II

Ejercicios de gráficas de funciones III

Ejercicios: funciones reales I

Ejercicios resueltos de graficas de funciones II

Ejercicios de representacion de funciones II

Ejercicios de optimizacion utilizando derivadas

Ejercicios de representacion de funciones

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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ANDRES EDUARDO

Diciembre 2021

Determina el dominio, rango y traza la grafica de la siguiente función

𝑥2 − 1 𝑥 < −1
𝑓(𝑥) = {4 − 1 ≤ 𝑥 < 3
5𝑥 − 4 𝑥 ≥ 3

ME PODRIA AYUDAR CON ESTE EJERCICO QUE NO ME SALE POR FAVOR

Ambar

Noviembre 2021

Hola muchos gusto quisiera que me ayudara en esta función
Determinar lo siguiente de cada número que se indica 1236 en la función
F(×) =-3×+2
F(×)=×/2

juliana

Octubre 2021

Hola necesito ayuda por favor g(x)=x^2/x+1

YAHAIRA HALLE

Julio 2021

Si f(x) =
Vi -3,72
x > 3
| x² + 2x-3. hel-11 >
Determinar f*(x) si existe

carlos

Julio 2021

El servicio de lustrar zapatos en cierto hotel de Chiclayo atiende a 120 hospedados por semana
cobrándoles 4 soles por el servicio mencionado, por cada incremento de 50 céntimos en el
precio, el hotel pierde 8 clientes
¿Qué precio máximo deberá fijar para obtener ingresos semanales de 520 soles?

Grey

Junio 2021

¿me ayudan?
Dada la siguiente función: 𝐻 = {(5; 0), (−4; 7), (1; −1)}, determinar:
– H (5) =
– H (1) =
– H (-4) =
– H (7) =

Kamila

Junio 2021

Buenas podria ayudarme con este ejerciocio, no lo entiendo
La compañía Mango Technology es famosa por sus computadoras. Ahora está planeando incursionar en el mercado de los celulares y necesita ayuda para analizar este nuevo producto. Los ingenieros de manufactura estiman que los costos variables de producción serán de $100 por unidad. Los costos fijos que se requieren para establecer la línea de producción se calculan en $3.000.000. Los investigadores de mercado han realizado algunos estudios preliminares y establecieron que la función de demanda será lineal. Dos puntos de datos (p,q) (donde p es el precio por unidad y q es la cantidad) que se utilizarán para definir esta función (100, 26.000) y (500, 10.000) .
Como usted es el mejor analizando este tipo de situaciones, la compañía lo contrató y le solicita lo siguiente:
(1) Formulación de la ecuación de la demanda q=f(p).
(2) Formulación de la función del costo total C=C(p).
(3) Formulación de la función cuadrática del ingreso I=I(q).
(4) Determinación del nivel o niveles de equilibrio de la producción.

meyra

Abril 2021

necesito por favor solucionar
2
ex
1. y= e

2x 2 2
2. y= sen e d y/dx

kjjj

Marzo 2021

Ejemplos: La relación del conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} en el conjunto B = {1, 4, 7, 23} descrita por
el diagrama siguiente es una función.
La relación del conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} en el conjunto B = {1, 4, 7, 23} descrita por el
diagrama siguiente no es una función. Falla tanto que el elemento 1 ∈ A no está relacionado
con nadie en B como que el elemento 3 ∈ A está relacionado con dos elementos distintos de B.
(Lo primero se puede solucionar “restringiendo el dominio”, pero lo segundo no tiene solución
clara para hacer de esta relación una función.) La relación R ⊆ R × R dada por R = {(x, x2 ) : x ∈
R} es la función f : R → R, f(x) = x 2 mencionada arriba. La relación R ⊆ Z × N0 dada por R = {(k,|k|) : k ∈ Z} es una función, que se escribe f : Z → N0, f(k) = |k|. La relación R ⊆ N0 × Z dada
por R = {(k 2 , k) : k ∈ Z} no es una función, ya que por ejemplo tanto (1, 1) como (1, −1)
pertenecen a R (el elemento 1 ∈ N0 está relacionado con dos elementos de Z como se hace esto

Maria

Marzo 2021

Me podrían ayudar en este?
f: será igual a función
F(a+h)-f(a)/h

Ejercicios y problemas de funciones reales II

Dominio de funciones polinómicas

Dominio de funciones racionales

Dominio de funciones radicales

Dominio de funciones exponenciales

Dominio de funciones logarítmicas

Dominio de funciones trigonométricas

Simetría de funciones

Crecimiento y decrecimiento de funciones

Inversa de una función

Composición de funciones

Composición de funciones trigonométricas

Resumen

Funciones: propiedades y ejemplos

Funciones reales

Graficas y funciones

Continuidad de funciones

Grafica de funciones y definiciones

Resumen de funciones I

Resumen de las funciones II

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Limites infinitos

Representación de puntos

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Función lineal y función identidad

Función constante

Concepto de funcion II

Composicion de funciones

La funcion inversa

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Funciones constantes

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Funciones matematicas: discontinuidad

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