Temas
- Calcular el dominio de las funciones polinómicas
- Calcular el dominio de las funciones racionales
- Calcular el dominio de las funciones radicales
- Calcular el dominio de las funciones exponenciales
- Calcular el dominio de las funciones logarítmicas
- Calcular el dominio de las funciones trigonométricas
- Estudia la simetría de las siguientes funciones
- Estudia el crecimiento o decrecimiento de las siguientes funciones
- Hallar las funciones inversas de
- Dadas las funciones, calcular
- Dadas las funciones trigonométricas; calcular
Calcular el dominio de las funciones polinómicas
1
2
1 
El dominio de una función polinómica entera es ℛ
2 
Esta función también es polinómica entera porque no tiene x en el
denominador, se puede escribir como:
Calcular el dominio de las funciones racionales
1
2
3
4
5
1 
El dominio de una función racional es ℛ menos los valores que
anulan el denominador
Tenemos que igualar el denominador a cero y resolver la ecuación.
Las soluciones a la ecuación son los puntos que no pertenecen al dominio,
ya que anulan el denominador
2 
3
Como esta ecuación no tiene raíces reales el dominio es ℛ
4
Como está ecuación tiene una raíz doble, el único elemento que no
pertenece al dominio es –1
5
Observamos que el polinomio es el desarrolo de un binomio al cubo
Como está ecuación tiene una raíz triple, el único elemento que no pertenece al dominio es –1
Calcular el dominio de las funciones radicales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1 
El dominio de una función irracional de índice par está formado por el
conjunto los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual a cero
Por tanto hacemos el radicando mayor o igual a cero y resolvemos la inecuación
2 
–x + 2 ≥ 0
Multiplicamos la inecuación por –1 y cambia el sentido de la desigualdad
x – 2 ≤ 0
3
x² – 6x + 8 ≥ 0
Igualamos a cero para encontrar las raíces de la ecuación
x² – 6x + 8 = 0
Resolvemos la ecuación y las raíces son 2 y 4
Tiene que ser mayor (tomamos los intervalos con el signo +) o igual
a cero (tomamos como solución los extremos de los intervalos)
4
–x² + 6x – 8 ≥ 0
Multiplicamos por –1 y cambiamos el signo de la desigualdad
x² – 6x + 8 ≤ 0
Resolvemos la ecuación y las raíces son 2 y 4
Tomamos como solución el intervalo negativo porque ahora tenemos
menor o igual que cero
5 
x² + 4x + 4 ≥ 0
Esta ecuación tiene una raíz doble: x = –2, se factoriza como un
binomio al cuadrado
Como es mayor o igual a cero y además cualquier número elevado
al cuadrado es positivo, el dominio será ℛ
6 
Si igualamos a cero, la ecuación correspondiente no tiene soluciones reales
Si tomamos cualquier valor será positivo o cero
7
–(x + 2)² = 0 x = –2
El binomio al cuadrado siempre es positivo, pero como tenemos el
signo delante siempre será negativo
Tan solo encontramos solución con x = –2 porque anula la ecuación
8
9
Por estar la raíz en el denominador, el radicando tiene que ser mayor
que cero, pero no igual porque entonces anularía el denominador
10 
En este caso se tiene que cumplir que el denominador sea distinto de
cero y la raíz del numerador mayor o igual que cero
La solución es la intersección de los dos conjuntos
11 
Por ser una raíz de índice impar el único punto que no pertenece al
dominio es x = –1 porque anula el denominador
Calcular el dominio de las funciones exponenciales
1
2
1
El dominio de una función exponencial es ℛ
2
Como el exponente es racional, x = 0 no pertenece al dominio
porque anula al denominador
Calcular el dominio de las funciones logarítmicas
1
2
1 
Para que exista el logaritmo la función tiene que ser mayor que cero
2
Como el denominador es siempre positivo, tan solo estudiamos el numerador
Calcular el dominio de las funciones trigonométricas
1
2
1 
El valor del seno está comprendido entre 0 y 1, por tanto el
sen² x será menor o igual que 1
2
El valor del coseno está comprendido entre 0 y 1
Estudia la simetría de las siguientes funciones
Estudia la simetría de las siguientes funciones:
1 f(x) = x6 + x4 − x²
2 f(x) = x5 + x³ − x
3 f(x)= x |x|
4 f(x) = |x| − 1
1 f(x) = x6 + x4 − x²
f(−x) = (−x)6 + (−x)4 − (−x)² = x6 + x4 − x² = f(x)
Simétrica respecto al eje de ordenadas. Función par
2f(x) = x5 + x³ − x
f(−x) = (−x)5 + (−x)³ − (−x) = −x5 − x³ + x = −f(x)
Simétrica respecto al origen. Función impar
3f(x)= x |x|
f(−x) = −x |−x| = −x |x|= −f(x). Función impar
Simétrica respecto al origen
4f(x) = |x| − 1
f(−x) = |−x| − 1 = |x| − 1 = f(x)
Simétrica respecto al eje de ordenadas. Función par
Estudia el crecimiento o decrecimiento de las siguientes funciones
1f(x) = 5x² - 3x + 1 en x = 1
2
funciones en los puntos que se indican:
1 f(x) = 5x² − 3x + 1 en x = 1
Tomamos un incremento, h = 0.001, en el punto x = 1.
La función será creciente o decreciente en el punto x = 1 si lo
es en el intervalo [1, 1.001].
Para comprobarlo, calculamos la tasa de variación en el intervalo dado:
f(1.001) − f(1) = (5 · 1.001² − 3 · 1.001 + 1) − (5 · 1² − 3 · 1 + 1) = 0.007 > 0
Creciente
2
Tomamos un incremento, h = 0.001, en el punto x = 3.
La función será creciente o decreciente en el punto x = 3 si lo
es en el intervalo [3, 3.001].
Para comprobarlo, calculamos la tasa de variación en el intervalo dado:
Dereciente
Hallar las funciones inversas de
1
2
3
4
1 
Se escribe la función con x e y
Se despeja la variable x en función de la variable y
Se intercambian las variables
2
3
Quitamos denominadores
Quitamos paréntesis y sacamos factor común x
4
No existe función inversa porque cualquier elemento tiene
dos imágenes y una función puede tener a lo sumo una imagen
Dadas las funciones, calcular
Dadas las funciones:
Calcular:
1
2
3
4
5
6
7 Probar que: 
Calcular:
1 
2
3
4
5 
6
7 Probar que: 
Dadas las funciones trigonométricas; calcular
Dadas las funciones:
Calcular:
1
2
Calcular:
1 
2
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