Ejercicios propuestos

Representar las siguientes funciones, estudiando su:

  • Dominio
  • Simetría
  • Puntos de corte con los ejes
  • Asíntotas y ramas parabólicas
  • Crecimiento y decrecimiento
  • Máximos y mínimos
  • Concavidad y convexidad
  • Puntos de inflexión

1 f(x)=\frac{x^{2}-x-4}{x-1}

Dominio
Consideramos donde no se anula el denominador:

    \[ x-1=0 \quad \Rightarrow \quad D=\mathbb{R}-\{1\} \]

Simetría

    \[ f(-x)=\frac{x^{2}+x-4}{-x-1} \quad \Rightarrow \quad \textrm{no presenta} \]

Puntos de corte con los ejes
Puntos de corte con OX:

    \[ \left(\frac{1-\sqrt{17}}{2}, 0\right) \quad\left(\frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}, 0\right) \]

Punto de corte con OY:

     \[ f(x)=\frac{0^{2}-0-4}{0-1} \quad \Rightarrow \quad (0,4)\]

Asíntotas
Asíntota horizontal

     \[ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}-x-4}{x-1}=\infty \quad \Rightarrow \quad \textrm{ No tiene } \]

Asintotas verticales

     \[ \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-x-4}{x-1}=\infty \quad \Rightarrow \quad x=1 \]

Asintota oblicua

     \[ m=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{x^{2}-x-4}{x-1}}{x}=1 , \quad n=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^{2}-x-4}{x-1}-x\right)=0 \]

entonces

     \[ y=x \]

Crecimiento y decrecimiento

     \[ f^{\prime}(x)=\frac{x^{2}-2 x+5}{(x-1)^{2}} \]

y

     \[ x^{2}-2 x+5=0 \quad \textrm{Sin solución real} \]

Además

     \[ \begin{array}{ccc}x & (-\infty, 1) & (1, \infty) \\ f^{\prime}(x) & + & + \\ & \nearrow & \nearrow\end{array} \]

entonces : Creciente de (-\infty, 1) \cup(1, \infty).

Máximo y minimos

No existen extremos locales.

Concavidad y convexidad

Tenemos que

     \[ f^{\prime \prime}(x)=\frac{-8}{(x-1)^{3}}, \quad \frac{-8}{(x-1)^{3}}=0 \quad \textrm{ Sin solución} \]

y

    \[\begin{array}{ccc} x & (-\infty, 1) & (1, \infty) \\ f^{\prime \prime}(x) & + & - \\ & \cup & \cap \end{array}\]

entonces

Convexa: (-\infty, 1)
Cóncava: (1, \infty)

Puntos de inflexión

No hay punto de inflexión.

Representación gráfica

Grafica

2 f(x)=\frac{1}{2 \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2} x^{2}}

Dominio

    \[ D=\mathbb{R} \]

Simetria
Puntos de corte con los ejes Puntos de corte con OX:

     \[ \frac{1}{2 \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2} x^{2}}=0 \quad \Rightarrow \quad \textrm{No tiene puntos de corte con } OX \]

Punto de corte con OY:

     \[ f(0)=\frac{1}{2 \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2} 0^{2}}=\frac{1}{2 \sqrt{2 \pi}} \quad\ \Rightarrow \quad \left(0, \frac{1}{2 \sqrt{2 \pi}}\right)\]

AsíntotasAsíntota horizontal:

     \[ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{2 \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2} x^{2}}=0 \quad \Rightarrow \quad y=0 \]

No hay asíntotas verticales ni oblicuas.

Crecimiento y decrecimiento

     \[ f^{\prime}(x)=-\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}xe^{-\frac{1}{2} x^{2}} \Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} x e^{-\frac{1}{2} x^{2}}=0 \Rightarrow x=0 \]

y

     \[\begin{array}{ccc} x & (-\infty, 0) & (0, \infty) \\ f^{\prime}(x) & + & - \\ & \nearrow & \searrow \end{array}\]

entonces

Creciente:  (-\infty, 0)
Decreciente:  (0, \infty)

Máximos

Máximo  \left(0, \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\right)

Concavidad y convexidad

     \[ f^{\prime \prime}(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\left(x^{2}-1\right) e^{-\frac{1}{2} x^{2}} \]

de aquí

     \[ \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\left(x^{2}-1\right) e^{-\frac{1}{2} x^{2}} \]

y

     \[x^{2}-1=0 \quad \Rightarrow \quad x=\pm 1 \]

entonces

    \[ \begin{array}{cccc} x & (-\infty,-1) & (-1,1) & (1, \infty) \\ f^{\prime \prime}(x) & + & - & + \\ & \cup & \cap & \cup \end{array}\]

Convexa:(-\infty,-1) \cup(1, \infty)

Cóncava: (-1,1)

Puntos de inflexión

\left(-1, \frac{1}{\sqrt{2 \pi \mathrm{e}}}\right) \quad \textrm{y} \quad \left(1, \frac{1}{\sqrt{2 \pi \mathrm{e}}}\right)

Representación gráfica

Representacion grafica

 

3  f(x) = xe^x

Dominio

     \[ D(f)=\mathbb{R} \]

Puntos de corte con los ejes
Corte en el eje X:  (0,0)
Corte eje Y: (0,0)
Simetrías
La función no es par ni impar.
Asíntotas
Verticales:
No tiene porque D(f)=\mathbb{R}Horizontales:

     \[ y=0 \quad \textrm{en} \quad -\infty \]

porque

     \[ \lim _{x \rightarrow-\infty} x e^{x}=\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x}{e^{-x}}=\frac{-\infty}{+\infty} (indet.) =\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{1}{-e^{-x}}=0 \]

Oblicuas:

No tiene porque

     \[ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x e^{x}}{x}=\lim _{x \rightarrow+\infty} e^{x}=+\infty \]

.

Puntos singulares y crecimiento:

    \[ f^{\prime}(x)=(x+1) e^{x}=0 \Rightarrow x=-1 \]

Decrece en (-\infty,-1) y crece en (-1,+\infty). Mínimo en \left(-1,-\frac{1}{e}\right).

Puntos de inflexión y concavidad

    \[ f^{\prime \prime}(x)=e^{x}(x+2)=0 \Rightarrow x=-2 \]

Cóncava hacia abajo en (-\infty,-2) y cóncava hacia arriba en (-2,+\infty).

Punto de inflexión: \left(-2,-\frac{2}{e^{2}}\right)

Representación gráfica

Grafica 3

4 \textrm{e}^{x+1}

Dominio

     \[ D(f)=\mathbb{R} \]

Puntos de corte con los ejes
Corte con el eje Y : (0, \textrm{e})
Simetrías
La función no es par ni impar.
AsíntotasVerticales:No tiene porque D(f)=\mathbb{R}

Horizontales:

y=0 en -\infty porque \lim _{x \rightarrow-\infty} \textrm{e}^{x+1}=0

Oblicuas: No tiene.

Puntos singulares y crecimiento

     \[ f^{\prime}(x)=\textrm{e}^{x+1} \neq 0 \]

No tiene máximos y mínimos la función es siempre creciente.

Puntos de inflexión y concavidad

     \[ f^{\prime \prime}(x)= \textrm{e}^{x+1} \neq 0 \]

No tiene puntos de inflexión.

Cóncava hacia arriba en \mathbb{R}.

Representación gráfica

Grafica4

5 \frac{\textrm{e}^x}{x}

Dominio:

     \[ D(f)=(-\infty, 0) \cup(0,+\infty) \]

Puntos de corte con los ejes:
No corta a ninguno de los ejes.
Simetrías:
La función no es par ni impar.Asíntotas:Verticales: x=0 porque

    \[ \lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=-\infty \quad \textrm{y} \quad \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=+\infty \]

Horizontales:  y=0 en -\infty porque

     \[\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{e^{x}}{x}=0 \]

Oblicuas: No tiene.

Puntos singulares y crecimiento:

     \[ f^{\prime}(x)=\frac{\textrm{e}^{x}(x-1)}{x^{2}}=0 \Rightarrow x=1 \]

Decrece en (-\infty, 0) \cup(0,1) y crece en (1,+\infty).

Mínimo en (1, \textrm{e}).

Puntos de inflexión y concavidad:

    \[ f^{\prime \prime}(x)=\frac{\textrm{e}^{x}\left(x^{2}-2 x+2\right)}{x^{3}} \neq 0\]

No tiene puntos de inflexión.

Cóncava hacia abajo en (-\infty, 0) y cóncava hacia arriba en (0,+\infty).

Representación gráfica

Grafica 5

6 f(x) = x \ln x

Dominio

     \[ D(f)=(0,+\infty) \]

Puntos de corte con los ejes:
Corte con el eje Y: No tieneCorte con el eje X: (1,0)Simetrias:
La función no es par ni impar.Asíntotas:Verticales: No tiene.

Horizontales: No tiene.

Oblicuas: No tiene.

Puntos singulares y crecimiento:

\[ f^{\prime}(x)=1+\ln x=0 \Rightarrow \ln x=-1 \Rightarrow x=\frac{1}{e}

Decrece en \left(0, \frac{1}{e}\right) y crece en \left(\frac{1}{e},+\infty\right).

Mínimo relativo en \left(\frac{1}{e},-\frac{1}{e}\right).

Puntos de inflexión y concavidad:

     \[ f^{\prime \prime}(x)=\frac{1}{x} \neq 0 \Rightarrow \]

Cóncava hacia arriba en (0,+\infty)

Representación gráfica

Grafica 6

7 f(x) = \ln (2x+ 3)

Dominio

     \[ D(f)=\left(-\frac{3}{2},+\infty\right)\]

Puntos de corte con los ejes:
Corte en el eje X: (-1,0) Corte en el eje Y: (0, \ln 3)Simetrías:La función no es par ni impar.

Asíntotas:

Verticales:  x=-\frac{3}{2} porque

     \[ \lim _{x \rightarrow-\frac{3}{2}} \ln (2 x+3)=-\infty \]

Horizontales: No tiene.

Oblicuas: No tiene.

Puntos singulares y crecimiento

     \[ f^{\prime}(x)=\frac{2}{2 x+3} \neq 0 \]

no tiene extremos relativos y la función es creciente en todo su dominio.

Puntos de inflexión y concavidad

     \[ f^{\prime \prime}(x) \neq 0\]

No tiene puntos de inflexión. Cóncava hacia abajo en \left(-\frac{3}{2},+\infty\right).

Representación gráfica

grafica ln

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗