Gráfica de una función

La gráfica de una función está formada por el conjunto de puntos (x,y) cuando x varía en el dominio D.
 

Gráfica(f)= \left \{ (x, f(x))/ \ \forall \ x \in D\right \}

 

Para representarla calcularemos aquellos puntos o intervalos donde la función tiene un comportamiento especial, que determinaremos mediante el estudio de los siguientes apartados:

 

1.    Dominio de la función.

2.    Simetría

3.    Periodicidad

4.    Puntos de corte con los ejes.

5.    Asíntotas

6.    Ramas parabólicas

7.    Crecimiento y Decrecimiento

8.    Máximos y mínimos

9.    Concavidad y convexidad

10.   Puntos de inflexión

 

 

\displaystyle f(x)= \frac{x}{1 + x^2}

 

Dominio

 

1 + x^2 = 0

No tiene solución

D=\mathbb{R}

 

Simetría

 

\displaystyle f(-x)= \frac{-x}{1 +(-x)^2}= -f(x)

 

Simetría respecto al origen, es decir, la función es impar.

 

Puntos de corte
 

Punto de corte con OX:

 

\displaystyle \frac{x}{1 +x^2}= 0 \ \ \ \ \ (0,0)

 

Punto de corte con OY:

 

\displaystyle \frac{0}{1 +0^2}= 0 \ \ \ \ \ (0,0)

 

 

Asíntotas
 

Asíntota horizontal

 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty } \frac{x}{1 +x^2}= 0 \ \ \ \ \ y=0

 

No tiene asíntotas verticales ni oblicuas.

 

Crecimiento y decrecimiento

 

\displaystyle f'(x)= \frac{1 - x^2}{(1 +x^2)^2}\ \ \ \ \ \frac{1 - x^2}{(1 +x^2)^2}= 0 \ \ \ \ \ x= \pm1

 

crecimiento y decrecimiento de la función f'(x)

 

Creciente (-1,1)

 

Decreciente (-\infty ,-1)\cup (1, \infty)

 

Máximos y mínimos
 

Candidatos a extremos: x = -1 y x = 1

 

\displaystyle f''(x)= \frac{2x^3 - 6x}{(1 +x^2)^3}

 

\displaystyle f''(-1)>0 \Rightarrow hay un mínimo en x = -1

Mínimo \displaystyle \left ( -1, - \frac{1}{2} \right )

 

\displaystyle f''(1)<0 \Rightarrow hay un máximo en x = 1

Máximo \displaystyle \left ( 1,  \frac{1}{2} \right )

 

Concavidad y convexidad

 

\displaystyle f''(x)= \frac{2x^3 - 6x}{(1+x^2)^3} \ \ \ \ \ \frac{2x^3 - 6x}{(1+x^2)^3}= 0 \ \ \ \ \ x= 0 \ \ \ \ \ x = \pm \sqrt{3}

 

Concavidad y convexidad de la función f''(x)

 

Convexa (- \sqrt{3}, 0)\cup (\sqrt{3}, \infty)

Cóncava (- \infty , - \sqrt{3}) \cup (0, \sqrt{3})

 

Puntos de inflexión

 

\left ( - \sqrt{3}, \frac{ - \sqrt{3}}{4} \right ) \ \ \ \ \ (0,0) \ \ \ \ \ \left ( \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4} \right )

 

Representación gráfica

 

representación gráfica de la funcion f(x)

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗