Definición de gráfica de una función

 

La gráfica de una función y está formada por el conjunto de puntos (x,y) cuando x varía en el dominio D.

 

text{grafica}(f)={(x, f(x) ) : forall xin D}

 

Para representarla calcularemos aquellos puntos o intervalos donde la función tiene un comportamiento especial, que determinaremos mediante el estudio de los siguientes apartados:

 

1 Dominio de la función

2 Simetría

3Periodicidad

4Puntos de corte con los ejes

5Asíntotas

6Ramas parabólicas

7 Crecimiento y Decrecimiento

8 Máximos y mínimos

9Concavidad y convexidad

10 Puntos de inflexión

 

Superprof

Ejemplo de función y pasos para graficarla

 

displaystyle f(x)=frac{x}{1+x^2}

 

Dominio

Por ser un cociente, los valores en los que podría no estar definida la función es cuando el denominador se anule, es decir

 1+x^2=0

  No tiene solución, y esto nos indica que D=mathbb{R}

Simetría

Evaluamos -x en la función

displaystyle f(-x)=frac{-x}{1+(-x)^2}=-frac{x}{1+x^2}=-f(x)

 

En este caso obtuvimos que f(-x)=-f(x), por lo tanto la función tiene simetría respecto al origen, dicho en otras palabras, es impar

 

Puntos de corte

Punto de corte con OX: Hacemos y=0, es decir, igualamos la función a cero.

displaystyle frac{x}{1+x^2}=0

  La única solución es x=0 Entonces el punto de corte OX es </span>(0,0) Punto de corte con OY: Hacemos x=0, es decir, sustituimos con 0 en la función

displaystylefrac{0}{1+0^2}=0

  Entonces el punto de corte OY es </span>(0,0)

Asíntotas

Asíntota horizontal Tomamos el límite cuando xrightarrow infty

displaystyle lim_{xrightarrow infty} frac{x}{1+x^2}=0

  Entonces tiene una asíntota horizontal en y=0 Asíntota vertical

No tiene asíntotas verticales ni oblicuas

 

Crecimiento y decrecimiento

Obtenemos la derivada

displaystyle f'(x)=frac{1-x^2}{1+x^2}

  Igualamos a cero y resolvemos para obtener los puntos críticos

displaystylefrac{1-x^2}{1+x^2}=0 hspace{1cm}Rightarrow hspace{1cm} 1-x^2=0 hspace{1cm} x=pm 1

  Realizamos la tabla de análisis de crecimiento/decrecimiento

displaystyle begin{matrix} x & (-infty,-1) & (-1,1) & (1,infty)\ f'(x) & - & + & -\ & searrow & nearrow & searrow end{matrix}

  Creciente: (-1,1)   Decreciente: (-infty ,-1)cup (1, infty )

Máximos y mínimos

 

Candidatos a extremos: x = − 1 y x = 1

  Usamos la segunda derivada para evaluarlos

displaystyle f''(x)=frac{2x^3-6x}{(1+x^2)^3}

  Si obtenemos un número negativo el punto es máximo y si es positivo el punto es mínimo

displaystyle f''(-1)=frac{2(-1)^3-6(-1)}{(1+(-1)^2)^3}=frac{4}{8}>0

  El punto mínimo se ubica en displaystyle left(-1, -frac{1}{2}right)

displaystyle f''(1)=frac{2(1)^3-6(1)}{(1+(1)^2)^3}=frac{-4}{8}<0

  El punto máximo se ubica en displaystyle left(1, frac{1}{2}right)

Concavidad y convexidad

Usamos la segunda derivada

displaystyle f''(x)=frac{2x^3-6x}{(1+x^2)^3}

  Igualamos a cero y resolvemos para obtener los puntos de inflexión

displaystyle frac{2x^3-6x}{(1+x^2)^3}=0 hspace{1cm}Rightarrow hspace{1cm} 2x^3-6x=0 hspace{1cm} x=0 hspace{1cm}  x=pm sqrt{3}

  Realizamos la tabla de análisis de concavidad

displaystyle begin{matrix} x & (-infty,-sqrt{3}) & (-sqrt{3},0) & (0,sqrt{3}) & (sqrt{3},infty)\ f''(x) & - & + & - & +\ & cap & cup & cap & cup end{matrix}

    Convexa: displaystyle (-sqrt{3},0)cup (sqrt{3},infty) Cóncava: displaystyle (-infty,-sqrt{3})cup(0,sqrt{3})

Puntos de inflexión

 

Puntos de inflexión: displaystyle left( -sqrt{3}, -frac{sqrt{3}}{4}right) hspace{1cm} (0,0) hspace{1cm} left( sqrt{3}, frac{sqrt{3}}{4}right)

 

Representación gráfica

 

como graficar una funcion

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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alejandro
alejandro
Invité
8 Sep.

pudieras explicar que pasos hacemos en cada uno de las operaciones seria mejor de entender,gracias

Superprof
Superprof
Administrateur
30 Dic.

Hola Alejandro, hemos detallado cada paso de resolución. ¡Gracias por tu comentario!