Definición de gráfica de una función

 

La gráfica de una función y está formada por el conjunto de puntos (x,y) cuando x varía en el dominio D.

 

text{grafica}(f)={(x, f(x) ) : forall xin D}

 

Para representarla calcularemos aquellos puntos o intervalos donde la función tiene un comportamiento especial, que determinaremos mediante el estudio de los siguientes apartados:

 

1 Dominio de la función.

2 Simetría

3Periodicidad

4Puntos de corte con los ejes.

5Asíntotas

6Ramas parabólicas

7 Crecimiento y Decrecimiento

8 Máximos y mínimos

9Concavidad y convexidad

10 Puntos de inflexión

 

Ejemplo de función y pasos para graficarla

 

displaystyle f(x)=frac{x}{1+x^2}

 

Dominio

Por ser un cociente, los valores en los que podría no estar definida la función es cuando el denominador se anule, es decir    

 1+x^2=0

  No tiene solución, y esto nos indica que D=mathbb{R}

Simetría

Evaluamos -x en la función  

displaystyle f(-x)=frac{-x}{1+(-x)^2}=-frac{x}{1+x^2}=-f(x)

 

En este caso obtuvimos que f(-x)=-f(x), por lo tanto la función tiene simetría respecto al origen, dicho en otras palabras, es impar

     

Puntos de corte

Punto de corte con OX: Hacemos y=0, es decir, igualamos la función a cero.  

displaystyle frac{x}{1+x^2}=0

  La única solución es x=0 Entonces el punto de corte OX es </span>(0,0) Punto de corte con OY: Hacemos x=0, es decir, sustituimos con 0 en la función  

displaystylefrac{0}{1+0^2}=0

  Entonces el punto de corte OY es </span>(0,0)

Asíntotas

Asíntota horizontal Tomamos el límite cuando xrightarrow infty  

displaystyle lim_{xrightarrow infty} frac{x}{1+x^2}=0

  Entonces tiene una asíntota horizontal en y=0 Asíntota vertical  

No tiene asíntotas verticales ni oblicuas

 

Crecimiento y decrecimiento

Obtenemos la derivada  

displaystyle f'(x)=frac{1-x^2}{1+x^2}

  Igualamos a cero y resolvemos para obtener los puntos críticos  

displaystylefrac{1-x^2}{1+x^2}=0 hspace{1cm}Rightarrow hspace{1cm} 1-x^2=0 hspace{1cm} x=pm 1

  Realizamos la tabla de análisis de crecimiento/decrecimiento  

displaystyle begin{matrix} x & (-infty,-1) & (-1,1) & (1,infty)\ f'(x) & - & + & -\ & searrow & nearrow & searrow end{matrix}

  Creciente: (-1,1)   Decreciente: (-infty ,-1)cup (1, infty )  

Máximos y mínimos

 

Candidatos a extremos: x = − 1 y x = 1

  Usamos la segunda derivada para evaluarlos  

displaystyle f''(x)=frac{2x^3-6x}{(1+x^2)^3}

  Si obtenemos un número negativo el punto es máximo y si es positivo el punto es mínimo  

displaystyle f''(-1)=frac{2(-1)^3-6(-1)}{(1+(-1)^2)^3}=frac{4}{8}>0

  El punto mínimo se ubica en displaystyle left(-1, -frac{1}{2}right)  

displaystyle f''(1)=frac{2(1)^3-6(1)}{(1+(1)^2)^3}=frac{-4}{8}<0

  El punto máximo se ubica en displaystyle left(1, frac{1}{2}right)

Concavidad y convexidad

  Usamos la segunda derivada  

displaystyle f''(x)=frac{2x^3-6x}{(1+x^2)^3}

  Igualamos a cero y resolvemos para obtener los puntos de inflexión  

displaystyle frac{2x^3-6x}{(1+x^2)^3}=0 hspace{1cm}Rightarrow hspace{1cm} 2x^3-6x=0 hspace{1cm} x=0 hspace{1cm}  x=pm sqrt{3}

  Realizamos la tabla de análisis de concavidad  

displaystyle begin{matrix}  x & (-infty,-sqrt{3}) & (-sqrt{3},0) & (0,sqrt{3}) & (sqrt{3},infty)\  f''(x) & - & + & - & +\  & cap & cup & cap & cup  end{matrix}

    Convexa: displaystyle (-sqrt{3},0)cup (sqrt{3},infty) Cóncava: displaystyle (-infty,-sqrt{3})cup(0,sqrt{3})

Puntos de inflexión

 

Puntos de inflexión: displaystyle left( -sqrt{3}, -frac{sqrt{3}}{4}right) hspace{1cm} (0,0) hspace{1cm} left( sqrt{3}, frac{sqrt{3}}{4}right)

 

Representación gráfica

 

como graficar una funcion

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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