Ejercicios de optimización utilizando derivadas.

Ejercicios propuestos

1 El valor de un rubí es proporcional al cuadrado de su peso. Divide un rubí de 2g en dos partes de x gramos y de 2 - x gramos, de forma que la suma de los valores de los dos rubíes formados sea mínima.

El valor de dos rubíes será, en función del peso de uno de ellos:

     \[ V(x) = k x^{2}+k(2-x)^{2}=k\left(2 x^{2}-4 x+4\right) \]

Calculamos la derivada e igualamos a cero para encontrar valores críticos: \begin{aligned} &V^{\prime}(x)=k(4 x-4) \\ &V^{\prime}(x)=0 \quad \Leftrightarrow \quad k(4 x-4)=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=1 \end{aligned}

Calculamos la derivada segunda y sustituimos:

 \begin{aligned} &V^{\prime \prime}(x)=4k \\ &V^{\prime \prime}(1)=4k >0 \quad \Rightarrow \quad x=1 \text{ es un mínimo } \end{aligned}

Por tanto, el rubí se ha de dividir en dos partes iguales de 1g.

2 Encontrar, de entre todas las rectas que pasan por por el punto (1, 2) aquella que forma con la partes positivas de los ejes de coordenadas un triángulo de área mínima.

De la forma punto-pendiente de la recta tenemos que la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) es

     \[ y-2 = m(x-1) \]

Puesto que queremos que los vértices queden en las partes positivas de los ejes coordenados necesitamos el valor que toma x cuando y = 0 y el valor que toma y cuando x = 0[latex] \[ \begin{array}{ll}
x=0 & \Rightarrow \quad y=2-m \\
y=0 & \Rightarrow \quad x=-\frac{2}{m}+1
\end{array} \] [/latex]

Por tanto A(-\frac{2}{m}+1,0) y B(0, 2-m ) vértices del triangulo.

triangulo formado con la recta que pasa por (1,2)

Ahora bien, queremos que el área del triangulo formado por la recta sea mínima, recordemos que el area del triangulo es

     \[ \frac{base \times altura}{2} \]

en este caso queda

     \[ S(m)=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{OA}} \cdot \overline{\mathrm{OB}}=\frac{1}{2}\left(-\frac{2}{m}+1\right)(2-m)=-\frac{2}{m}-\frac{m}{2}+2 \]

Calculamos la derivada e igualamos a cero para encontrar valores críticos:

     \[ S^{\prime}(m)=\frac{2}{m^{2}}-\frac{1}{2}=\frac{4-m^{2}}{2 m^{2}}\]

     \[ \frac{4-m^{2}}{2 m^{2}}=0 \quad \Rightarrow \quad m = \pm 2\]

Notemos que con m = 2 no se formaría un triángulo porque las coordenadas de A y B coinciden con el origen de coordenadas, por tanto tomamos m = -2

Calculamos la derivada segunda y sustituimos:

 \begin{aligned} &S^{\prime \prime}(x)=\frac{-2}{m^3} \\ &S^{\prime \prime}(-2)=\frac{-2}{(-2)^3}>0 \quad \Rightarrow \quad m=-2 \text{ es un mínimo } \end{aligned}

Por tanto, la recta es la que tiene pendiente m = -2

     \[ y-2 = -2(x-1) \]

3 Una boya, formada por dos conos rectos de hierro unidos por sus bases ha de ser construido mediante dos placas circulares de 3 m de radio. Calcular las dimensiones de la boya para que su volumen sea máximo.

Forma y dimensiones de boya del ejercicio 3Recordemos que la formula del volumen del cono es

     \[ V = \frac{\pi \cdot r^2 \codt h}{3} \]

en este caso de acuerdo a la figura tendríamos que la función a optimizar es

     \[ V = 2 \cdot \frac{1}{3} \pi x^{2} y \]

Relacionamos las variables:

    \[ x^{2}+y^{2}=9 \quad \Rightarrow \quad x^{2}=9-y^{2} \]

Sustituimos en la función:

    \[ V=2 \cdot \frac{1}{3} \pi\left(9-y^{2}\right)y=\frac{2 \pi}{3}\left(9 y-y^{3}\right) \]

Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.

    \[ \begin{array}{ll} V^{\prime}=\frac{2 \pi}{3}\left(9-3 y^{2}\right)\quad & \frac{2 \pi}{3}\left(9-3 y^{2}\right)=0 \\ y=\sqrt{3} \quad & x=\sqrt{6} \end{array}\]

Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido

    \[ V^{\prime \prime}=\frac{2 \pi}{3}(-6 y)<0 \]

4 Hallar dos números que sumados den 20 y cuyo producto sea máximo.

Sean x, y los números buscados. El problema a resolver seria el siguiente: \left\{\begin{array}{l} x+y=20 \\ x y \text { máximo } \end{array}\right.

Sea p = xy y como x+y=20 entonces y=20-x, sustituyendo resulta:

     \[ p=x(20-x)=20 x-x^{2} \]

Vamos a calcular el (o los) máximo(s) de la función

     \[ p^{\prime}(x)=20-2 x \]

    \[ p^{\prime}(x)=0 \quad \Leftrightarrow \quad 20-2 x=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=10 \]

     \[ p^{\prime \prime}(x)=-2\]

     \[ p^{\prime \prime}(10)<0 \Rightarrow x=10 \]

Por lo tanto, es un máximo. Y de aquí, los números buscados son

     \[ x=10 , \quad y=20-10=10 \]

5 Cuáles son las dimensiones de un campo rectangular de 3 600 m^2 de superficie, para poderlo cercar con una valla de longitud mínima.

Sean x,y los lados del rectángulo, sabemos por la formula del área del rectángulo que

     \[ xy = 3600 \]

Figura que representa el capto rectangular

Por otro lado, la superficie que tenemos que vallar 2x + 2y , es decir, es la función a minimizar.

Tenemos que

     \[ xy = 3600 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{3600}{x} \]

Llamando f=2x + 2y y sustituyendo y=\frac{3600}{x} obtenemos:

    \[ f(x)=2 x+2 \frac{3600}{x}=\frac{2 x^{2}+7200}{x}\]

Vamos a minimizar f :

    \[\begin{aligned} f^{\prime}(x) &=\frac{4 x^{2}-2 x^{2}-7200}{x^{2}}=\frac{2 x^{2}-7200}{x^{2}} \\ f^{\prime}(x) &=0 \Leftrightarrow 2 x^{2}-7200=0 \Leftrightarrow x=\pm 60 \\ \end{aligned}\]

Calculando la segunda derivada y sustituyendo

    \[ f^{\prime \prime}(-60)<0 \Rightarrow x=-60 \quad \text{ es un máximo }\]

    \[ f^{\prime \prime}(60)>0 \Rightarrow x=60 \quad \text{es un mínimo}\]

Por tanto, las dimensiones son

     \[ x = 60, \quad y= \frac{3600}{60} = 60 \]

6 Descomponer el número 44 en dos sumandos tales que el quíntuplo del cuadrado del primero más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea un mínimo.

Queremos descomponer el numero 44 en dos sumandos, entonces

     \[ x + y = 44 \]

y queremos que el quíntuplo del cuadrado del primero más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea un mínimo por tanto

     \[ S = 5x^2 + 6y^2 \]

Puesto que

     \[ x + y = 44 \quad \Rightarrow \quad y = 44 - x \]

sustituimos "y"

     \[ S(x) =5 x^{2}+6(44-x)^{2} \]

Derivando e igualando a cero

     \[ S^{\prime}=10 x-12(44-x)=22x-528 \]

    \[ 22 x-528=0 \quad \Rightarrow \quad x=24 \]

Calculando la segunda derivada

     \[ S''(x) = 22 > 0 \]

Por tanto mínimo y los números son

     \[ x = 24 ,\quad y = 44 - 24 = 20 \]

7 El beneficio neto mensual, en millones de euros, de una empresa que fabrica autobuses viene dado por la función:

     \[ B(x) = 1.2 x + (0.1x)^3 \]

donde x es el número de autobuses fabricados en un mes. Calcula la producción mensual que hacen máximo el beneficio.

Derivamos la función del beneficio mensual e igualamos a cero

     \[ B^{\prime}(x)=1.2-3(0.1 x)^{2} \cdot 0.1=1.2-0.003 x^{2} \]

    \[ 1.2-0.003 x^{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 400 \quad \Rightarrow \quad x= 20 \]

Calculamos la segunda derivada y sustituimos

    \[ B^{\prime \prime}(x)=-0.006 x, \quad \quad B^{\prime \prime}(20)=-0.006 \cdot 20<0\]

Por tanto máximo.

8 Halla dos números tales que el cuadrado de uno multiplicado por el otro sea máximo, si la suma de dichos números es 40.

Conisderemos x,y los numero buscados, tenemos que

     \[ x + y = 40 \]

[latex]\[ x^2 y \quad \textrm{maximo} \][/latex]

Llamamos p=x^{2}y . Puesto que x+y=40 entonces se tiene que y=40-x y por tanto:

    \[ p=x^{2}(40-x)=40 x^{2}-x^{3} \]

Vamos a maximizar la función p(x)

\begin{aligned} &p^{\prime}(x)=80 x-3 x^{2} \\ &p^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow 80 x-3 x^{2}=0 \Leftrightarrow x(80-3 x)=0 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} x=0 \\ 80-3 x=0 \Rightarrow x=80 / 3 \end{array}\right. \\ &p^{\prime \prime}(x)=80-6 x \\ &p^{\prime \prime}(0)=80>0 \Rightarrow x=0 \text { es un mínimo } \\ &p^{\prime \prime}\left(\frac{80}{3}\right)=-80<0 \Rightarrow x=\frac{80}{3} \text { es un máximo } \end{aligned}

De aquí concluimos que los numero son

     \[ x = \frac{80}{30}, \quad y = 40 -\frac{80}{3} = \frac{40}{3}\]

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗