Si {f} y {f'} son derivables en {a}, se dice que {a} es un punto de inflexión si se cumple que:

 

1{f''(a)=0}

 

2{f'''(a)\neq 0}

 

Cálculo de los puntos de inflexión

 

Para hallar los puntos de inflexión, seguiremos los siguientes pasos:

 

1 Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.

 

2 Realizamos la derivada tercera, y calculamos el valor que toman en ella los ceros de derivada segunda

 

3 Si el resultado es diferente de cero, tenemos un punto de inflexión.

 

4 Calculamos la imagen del punto de inflexión.

 

Ejemplo:

 

Hallar los puntos de inflexión de {f(x)=x^{3}-3x+2}

 

1 Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.

 

{\begin{array}{l} f'(x)= 3x^{2}-3 \\ \\ f''(x) = 6x \end{array}}

 

{x=0} es la única raíz de {f''(x)}

 

2 Realizamos la derivada tercera, y calculamos el valor que toman en ella los ceros de derivada segunda

 

{\begin{array}{l} f'''(x)= 6 \\ \\ f'''(0) = 6 \end{array}}

 

3 Como {f'''(0)} es diferente de cero, tenemos un punto de inflexión.

 

4 Calculamos la imagen del punto de inflexión.

 

{f(0)=(0)^{3}-3(0)+2=2}

 

La función tiene un punto de inflexión en {(0,2)}

 

Si ya hemos estudiado la concavidad y convexidad de una función habrá:

 

Puntos de inflexión en los puntos en que esta pasa de cóncava a convexa o viscecersa.

 

Ejemplo:

 

Hallar los puntos de inflexión de {f(x)=\displaystyle\frac{x^{3}}{(x-1)^{2}}}

 

1Hallamos el dominio de la función, esto es, los valores donde el denominador es distinto de cero. Como {(x-1)^{2}} se anula para {x=1}, el dominio es:

 

{Df=\mathbb{R}-\{1\}}

 

2 Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.

 

{\begin{array}{l} f'(x)= \displaystyle\frac{x^{3}-3x^{2}}{(x-1)^{3}} \\ \\ f''(x) = \displaystyle\frac{6x}{(x-1)^{4}} \end{array}}

 

{x=0} es la única raíz de {f''(x)}

 

3La raíz de {f''(x)} divide al dominio en tres partes, las cuales pueden ser cóncavas o convexas

 

{(-\infty, 0), \ \ (0, 1), \ \ (1, \infty)}

 

4Verificamos la concavidad y convexidad para cada intervalo, para esto tomamos un representante y lo evaluamos en {f''(x)}

 

{\begin{array}{l} f''(-1)= \displaystyle\frac{6(-1)}{(-1-1)^{4}}=\frac{-3}{8}<0 \\ \\ f''\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right) = \displaystyle\frac{6\left(\frac{1}{2}\right)}{\left(\left(\frac{1}{2}\right)-1\right)^{4}}=48>0 \\ \\ f''(2)= \displaystyle\frac{6(2)}{(2-1)^{4}}=12>0 \end{array}}

 

{f(x)} es cóncava en {(-\infty, 0)} y convexa en {(0, 1), \ \ (1, \infty)}.

 

5Tenemos un punto de inflexión en {x=0}, ya que la función pasa de cóncava a convexa.

 

6 Calculamos la imagen del punto de inflexión.

 

{f(0)=\displaystyle\frac{(0)^{3}}{(0-1)^{2}}=0}

 

La función tiene un punto de inflexión en {(0,0)}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗