Name: Puntos de inflexion de una funcion
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Cálculo de los puntos de inflexión
Puntos de inflexión a partir de la concavidad y convexidad

Si ${f}$ y ${f'}$ son derivables en ${a}$ , se dice que ${a}$ es un punto de inflexión si se cumple que:

1 ${f''(a)=0}$

2 ${f'''(a)\neq 0}$

Cálculo de los puntos de inflexión

Para hallar los puntos de inflexión, seguiremos los siguientes pasos:

1 Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.

2 Realizamos la derivada tercera, y calculamos el valor que toman en ella los ceros de derivada segunda

3 Si el resultado es diferente de cero, tenemos un punto de inflexión.

4 Calculamos la imagen del punto de inflexión.

Ejemplo:

Hallar los puntos de inflexión de ${f(x)=x^{3}-3x+2}$

1 Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.

${\begin{array}{l} f'(x)= 3x^{2}-3 \\ \\ f''(x) = 6x \end{array}}$

${x=0}$ es la única raíz de ${f''(x)}$

2 Realizamos la derivada tercera, y calculamos el valor que toman en ella los ceros de derivada segunda

${\begin{array}{l} f'''(x)= 6 \\ \\ f'''(0) = 6 \end{array}}$

3 Como ${f'''(0)}$ es diferente de cero, tenemos un punto de inflexión.

4 Calculamos la imagen del punto de inflexión.

${f(0)=(0)^{3}-3(0)+2=2}$

La función tiene un punto de inflexión en ${(0,2)}$

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Puntos de inflexión a partir de la concavidad y convexidad

Si ya hemos estudiado la concavidad y convexidad de una función habrá:

Puntos de inflexión en los puntos en que esta pasa de cóncava a convexa o viscecersa.

Ejemplo:

Hallar los puntos de inflexión de ${f(x)=\displaystyle\frac{x^{3}}{(x-1)^{2}}}$

1Hallamos el dominio de la función, esto es, los valores donde el denominador es distinto de cero. Como ${(x-1)^{2}}$ se anula para ${x=1}$ , el dominio es:

${Df=\mathbb{R}-\{1\}}$

2 Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.

${\begin{array}{l} f'(x)= \displaystyle\frac{x^{3}-3x^{2}}{(x-1)^{3}} \\ \\ f''(x) = \displaystyle\frac{6x}{(x-1)^{4}} \end{array}}$

${x=0}$ es la única raíz de ${f''(x)}$

3La raíz de ${f''(x)}$ divide al dominio en tres partes, las cuales pueden ser cóncavas o convexas

${(-\infty, 0), \ \ (0, 1), \ \ (1, \infty)}$

4Verificamos la concavidad y convexidad para cada intervalo, para esto tomamos un representante y lo evaluamos en ${f''(x)}$

${\begin{array}{l} f''(-1)= \displaystyle\frac{6(-1)}{(-1-1)^{4}}=\frac{-3}{8}<0 \\ \\ f''\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right) = \displaystyle\frac{6\left(\frac{1}{2}\right)}{\left(\left(\frac{1}{2}\right)-1\right)^{4}}=48>0 \\ \\ f''(2)= \displaystyle\frac{6(2)}{(2-1)^{4}}=12>0 \end{array}}$

${f(x)}$ es cóncava en ${(-\infty, 0)}$ y convexa en ${(0, 1), \ \ (1, \infty)}$ .

5Tenemos un punto de inflexión en ${x=0}$ , ya que la función pasa de cóncava a convexa.

6 Calculamos la imagen del punto de inflexión.

${f(0)=\displaystyle\frac{(0)^{3}}{(0-1)^{2}}=0}$

La función tiene un punto de inflexión en ${(0,0)}$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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Vasquez
Guest

4 Jun.

Yo quisiera saber cuando en la 2da derivada queda x ejemplo 15x como se continua con el 2do paso.

Puntos de inflexión de una función

Cálculo de los puntos de inflexión

Puntos de inflexión a partir de la concavidad y convexidad

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