La propiedad de Darboux es una de las herramientas mas utiles en el cálculo de una variable. Antes de enunciar dicha propiedad es bueno recordar el Teorema de Bolzano, el cual es el primer Teorema sobre valores intermedio de una funciónTeorema de Bolzano

Sea f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} una función continua en [a,b] con f(a)<0<f(b) entonces existe un punto c\in(a,b) tal que f(c)=0.

Ahora definamos la Propiedad de Darboux,

Propiedad de Darboux

Si una función es continua en el intervalo [a, b] y k es un número comprendido entre los valores f(a) y f(b), entonces existe algún c en (a, b) tal que f(c) = k.

Podemos decir que la Propiedad de Darboux es una generalización del Teorema de Bolzano, pues al tomar k=0 en el enunciado de la Propiedad de Darboux obtenemos el Teorema de Bolzano.

También podemos definir la propiedad de Darboux de este otro modo:
Si una función es continua en el intervalo [a, b] la función alcanza en este intervalo todos los valores comprendidos entre f(a) y f(b).

Teorema de Darboux

Ejemplos

1 Probar que la función f(x) = x(sen x + 1) toma el valor 2.

La función es continua en todo \mathbb{R} por ser el producto de dos funciones continuas.

Tomamos el intervalo [-\pi/2,\pi/2] y estudiamos el valor de las imágenes de los extremos:

    $$f(-\pi/2)=0<2,\quad f(\pi/2)=\pi>2.$$

Por tanto existe un c\in(-\pi/2,\pi/2) tal que f(c) = 2.

2 Considere la función f(x)=x^{3} con dominio [-1,1].
Notemos que

    $$f(-1)=-1,\quad f(1)=1.$$

Por lo tanto f(-1)<0<f(1). De la Propiedad de Darboux o del Teorema de Bolzano tenemos que existe un número c\in(-1,1) tal que f(c)=0. Más aún sabemos que este número c es cero.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗