Sea una función continua en
con
entonces existe un punto
tal que
.
Ahora definamos la Propiedad de Darboux,
Propiedad de Darboux
Si una función es continua en el intervalo y
es un número comprendido entre los valores
y
, entonces existe algún
en
tal que
Podemos decir que la Propiedad de Darboux es una generalización del Teorema de Bolzano, pues al tomar en el enunciado de la Propiedad de Darboux obtenemos el Teorema de Bolzano.
También podemos definir la propiedad de Darboux de este otro modo:
Si una función es continua en el intervalo la función alcanza en este intervalo todos los valores comprendidos entre
y
Ejemplos
1 Probar que la función toma el valor
.
La función es continua en todo por ser el producto de dos funciones continuas.
Tomamos el intervalo y estudiamos el valor de las imágenes de los extremos:
Por tanto existe un tal que
2 Considere la función con dominio
.
Notemos que
Por lo tanto . De la Propiedad de Darboux o del Teorema de Bolzano tenemos que existe un número
tal que
. Más aún sabemos que este número
es cero.
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puede passar por el (0,0) la continuidad o no ?