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Caso 1: Si a > 1

 

grafica de limite de funcion exponencial en infinito 1

 

De la gráfica podemos observar que

 

1{\displaystyle\lim_{x\to \infty}a^{x}=\infty}

 

2{\displaystyle\lim_{x\to -\infty}a^{x}=0}

 

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Caso 2: Si 0 < a < 1

 

grafica de limite de funcion exponencial en infinito 2

 

De la gráfica podemos observar que

 

1{\displaystyle\lim_{x\to \infty}a^{x}=0}

 

2{\displaystyle\lim_{x\to -\infty}a^{x}=\infty}

 

Ejemplos

 

1{\displaystyle\lim_{x\to \infty}3^{x+2}}

 

Solución:

 

Aplicamos la siguiente ley de los exponentes: {(ab)^{n}=a^{n}b^{n}}

 

{\displaystyle\lim_{x\to \infty}3^{x+2}=\lim_{x\to \infty}\left(3^{x}3^{2}\right)

 

Aplicamos límite a cada elemento del producto y obtenemos

 

{\displaystyle\lim_{x\to \infty}3^{x+2}=\lim_{x\to \infty}\left(3^{x}3^{2}\right)=\left(\lim_{x\to \infty}3^{2}\right)\left(\lim_{x\to \infty}3^{x}\right)=3^{2}(\infty)=\infty}

 

2{\displaystyle\lim_{x\to \infty}3^{-x+2}}

 

Solución:

 

Aplicamos las siguientes leyes de los exponentes: {(ab)^{n}=a^{n}b^{n} \ \ \ \ a^{-n}=\displaystyle\frac{1}{a^{n}}}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\lim_{x\to \infty}3^{-x+2} &=&\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(3^{-x}3^{2}\right)=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(\frac{1}{3^{x}}3^{2}\right) \end{array}}

 

Aplicamos límite a cada elemento del producto

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\lim_{x\to \infty}3^{-x+2} &=&\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(3^{-x}3^{2}\right)=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(\frac{1}{3^{x}}3^{2}\right)=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(3^{2}\right)\left(\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(\frac{1}{3^{x}}\right)\right) \end{array}}

 

Aplicamos límite a cada elemento del cociente y obtenemos

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\lim_{x\to \infty}3^{-x+2} &=&\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(3^{-x}3^{2}\right)=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(\frac{1}{3^{x}}3^{2}\right)=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(3^{2}\right)\left(\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(\frac{1}{3^{x}}\right)\right) \\ && \\ &=&3^{2}\left(\displaystyle\frac{\displaystyle\lim_{x\to \infty}1}{\displaystyle\lim_{x\to \infty}3^{x}}\right)=3^{2}\left(\displaystyle\frac{1}{\infty}\right)=3^{2}(0)=0 \end{array}}

 

3{\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{x+2}}

 

Solución:

 

Aplicamos la siguiente ley de los exponentes: {(ab)^{n}=a^{n}b^{n}}

 

{\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{x+2}=\lim_{x\to \infty}\left[\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\right]}

 

Aplicamos límite a cada elemento del producto y obtenemos

 

{\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{x+2}=\lim_{x\to \infty}\left[\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\right]=\left[ \lim_{x\to \infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\right]\left[ \lim_{x\to \infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\right]=\left(\frac{1}{3}\right)^{2} (0)=0}

 

4{\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{x+2}}

 

Solución:

 

Aplicamos la siguiente ley de los exponentes: {(ab)^{n}=a^{n}b^{n}}

 

{\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{x+2}=\lim_{x\to -\infty}\left[\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\right]}

 

Aplicamos límite a cada elemento del producto y obtenemos

 

{\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{x+2}=\lim_{x\to -\infty}\left[\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\right]=\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\left[ \lim_{x\to -\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\right]=\left(\frac{1}{3}\right)^{2} (\infty)=\infty}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗