Caso 1: Si a > 1

 

grafica de limite de funcion exponencial en infinito 1

 

De la gráfica podemos observar que

 

1{\displaystyle\lim_{x\to \infty}a^{x}=\infty}

 

2{\displaystyle\lim_{x\to -\infty}a^{x}=0}

 

Superprof

Caso 2: Si 0 < a < 1

 

grafica de limite de funcion exponencial en infinito 2

 

De la gráfica podemos observar que

 

1{\displaystyle\lim_{x\to \infty}a^{x}=0}

 

2{\displaystyle\lim_{x\to -\infty}a^{x}=\infty}

 

Ejemplos

 

1{\displaystyle\lim_{x\to \infty}3^{x+2}}

 

Solución:

 

Aplicamos la siguiente ley de los exponentes: {(ab)^{n}=a^{n}b^{n}}

 

{\displaystyle\lim_{x\to \infty}3^{x+2}=\lim_{x\to \infty}\left(3^{x}3^{2}\right)

 

Aplicamos límite a cada elemento del producto y obtenemos

 

{\displaystyle\lim_{x\to \infty}3^{x+2}=\lim_{x\to \infty}\left(3^{x}3^{2}\right)=\left(\lim_{x\to \infty}3^{2}\right)\left(\lim_{x\to \infty}3^{x}\right)=3^{2}(\infty)=\infty}

 

2{\displaystyle\lim_{x\to \infty}3^{-x+2}}

 

Solución:

 

Aplicamos las siguientes leyes de los exponentes: {(ab)^{n}=a^{n}b^{n} \ \ \ \ a^{-n}=\displaystyle\frac{1}{a^{n}}}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\lim_{x\to \infty}3^{-x+2} &=&\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(3^{-x}3^{2}\right)=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(\frac{1}{3^{x}}3^{2}\right) \end{array}}

 

Aplicamos límite a cada elemento del producto

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\lim_{x\to \infty}3^{-x+2} &=&\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(3^{-x}3^{2}\right)=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(\frac{1}{3^{x}}3^{2}\right)=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(3^{2}\right)\left(\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(\frac{1}{3^{x}}\right)\right) \end{array}}

 

Aplicamos límite a cada elemento del cociente y obtenemos

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\lim_{x\to \infty}3^{-x+2} &=&\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(3^{-x}3^{2}\right)=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(\frac{1}{3^{x}}3^{2}\right)=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(3^{2}\right)\left(\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(\frac{1}{3^{x}}\right)\right) \\ && \\ &=&3^{2}\left(\displaystyle\frac{\displaystyle\lim_{x\to \infty}1}{\displaystyle\lim_{x\to \infty}3^{x}}\right)=3^{2}\left(\displaystyle\frac{1}{\infty}\right)=3^{2}(0)=0 \end{array}}

 

3{\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{x+2}}

 

Solución:

 

Aplicamos la siguiente ley de los exponentes: {(ab)^{n}=a^{n}b^{n}}

 

{\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{x+2}=\lim_{x\to \infty}\left[\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\right]}

 

Aplicamos límite a cada elemento del producto y obtenemos

 

{\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{x+2}=\lim_{x\to \infty}\left[\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\right]=\left[ \lim_{x\to \infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\right]\left[ \lim_{x\to \infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\right]=\left(\frac{1}{3}\right)^{2} (0)=0}

 

4{\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{x+2}}

 

Solución:

 

Aplicamos la siguiente ley de los exponentes: {(ab)^{n}=a^{n}b^{n}}

 

{\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{x+2}=\lim_{x\to -\infty}\left[\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\right]}

 

Aplicamos límite a cada elemento del producto y obtenemos

 

{\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{x+2}=\lim_{x\to -\infty}\left[\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\right]=\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\left[ \lim_{x\to -\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\right]=\left(\frac{1}{3}\right)^{2} (\infty)=\infty}

 

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Marta

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Madiba
Madiba
Invité
13 Oct.

Tendría que haber explicado los procedimientos para que fuesen más fácilmente comprensibles.

Superprof
Superprof
Administrateur
10 Ene.

Hola, hemos explicado los pasos en cada ejemplo. ¡Gracias por tu comentario!

Bustos
Bustos
Invité
28 Nov.

Lim 2^x+2/3^x-3
X-inf
Supongo que se trata de una indeterminación infinito partido de infinito. Como se resolvería
Gracias

Gaspar Leon
Gaspar Leon
Editor
11 Feb.

Hola, debes aplicar la linealidad en la suma de los límites y resolverlos uno por uno.
 

lim_{x -> -inf} 2^x = 0;
 
lim_{x -> -inf} (2/3)^x = +inf;
 
lim_{x -> inf} 3 = 3;
 

Tu problema se escribe de la forma
 

lim_{x -> inf} [2^x+(2/3)^x-3] =
 
=lim_{x -> inf} 2^x + lim_{x -> inf} (2/3)^x – lim_{x -> inf} 3
 
= 0 + inf -3
 
= +inf

Noemi
Noemi
Invité
6 May.

lim x tiende a infinito de:
((2x+3)/2x-3)^((x^2+4x)/(x+2))

Luis Ernesto Sanchez Perez
Luis Ernesto Sanchez Perez
Editor
13 Jun.

¡Buen día!

Resolvamos el ejercicio.

Primero, notemos que tu función se puede escribir como

     \[ \lim_{x \to \infty} {\left(\frac{\frac{1}{x} (2x + 3)}{\frac{1}{x}2x} - 3\right)^{\left(\frac{\frac{1}{x}(x^2+4x)}{\frac{1}{x}(x+2)} \right)}}  \]

     \[ = \lim_{x \to \infty} {\left(\frac{2 + \frac{3}{x}}{2} - 3\right)^{\left(\frac{x + 4}{1 + \frac{2}{x} \right)} \]

Notemos que en este caso, la base de la función tiende a -2, pero la parte que está en la potencia tiende a infinito. Por lo tanto, un número negativo que tiende a infinito su signo siempre está variando, por lo tanto, no converge.

Saludos.

Andrada Nogales
Andrada Nogales
Invité
21 May.

hola mw podrian ayudar con estos ejercicios.
lim(x->-inf) 2^-x

lim(x->inf) ((2^x)+1)/((5^x)-5)

Juan Manuel Sanchez Perez
Juan Manuel Sanchez Perez
Editor
25 Jun.

Por su puesto. El primer ejercicio es un poco sencillo (según lo que se explica en el artículo), sólo debemos notar que De este modo En tu segundo ejercicio, sin embargo, es necesario hacer alguna manipulación algebraica. Observemos que Esto lo puedes ver de dos maneras. La más sencilla es utilizar L’Hôpital. Otra forma de hacerlo es notando que en donde , por lo que, (con una manipulación algebraica similar podemos eliminar el -5, aunque ten cuidado ya que la fracción no se separa igual de sencillo). Luego, tenemos que ya que la base es menor a uno. Espero haberte… Lire la suite »