Área máxima de un rectángulo inscrito en un círculo

1Hallar los lados del rectángulo de área máxima inscrito en un círculo de radio 7  cm.

1 Consideramos x, y la base y la altura del rectángulo.

 

ejercicios de optimizacion 1

 

2 Función a optimizar

 

{A = xy}

 

3Relacionamos las variables, para ello consideramos la diagonal de rectángulo y aplicamos el teorema de Pitágoras

 

{14^2 = x^2 + y^2    Longrightarrow    y = sqrt{196 - x^2}}

 

4 Sustituimos en la función a optimizar

 

{A = xsqrt{196 - x^2}}

 

5 Derivamos la función a optimizar

 

{begin{array}{rcl}A' & = & sqrt{196 - x^2} - displaystyle frac{2x^2}{2sqrt{196 - x^2}} \\ & = & displaystyle frac{196 - 2x^2}{sqrt{196 - x^2}} end{array}}

 

6 Igualamos la derivada a cero y calculamos las raíces

 

{begin{array}{rcl}A' & = & 0 \\  displaystyle frac{196 - 2x^2}{sqrt{196 - x^2}} & = & 0 \\ displaystylefrac{2(7sqrt{2} - x)(7sqrt{2} + x)}{sqrt{196 - x^2}} & = & 0, end{array}}

 

entonces {x = pm 7sqrt{2}}, pero solamente consideramos el resultado positivo

 

Encontramos la altura

 

{y = sqrt{196 - (7sqrt{2})^2} =7sqrt{2}}

 

7 Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido

 

{begin{array}{rcl}A'' & = & displaystyle frac{2x(x^2 - 294)}{left(196 - x^2 right)^{3/2}} end{array}}

 

Sustituimos {x = 7sqrt{2}}

 

{A''(7sqrt{2}) = displaystyle frac{2(7sqrt{2})((7sqrt{2})^2 - 294)}{left(196 - (7sqrt{2})^2 right)^{3/2}} < 0}

 

Luego {x = 7sqrt{2}} maximiza el área. Así, el rectángulo de área máxima es aquel cuya base y altura es {7sqrt{2}}

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Vamos

Área máxima de un rectángulo inscrito en una elipse

2Hallar los lados del rectángulo de área máxima inscrito en la elipse {displaystyle frac{x^2}{9} + frac{y^2}{4} = 1}

1 Consideramos (x, y) un vértice del rectángulo en la elipse, así por la simetría de la elipse respecto al origen, la base del rectángulo es {2x} y su altura es {2y}

 

ejercicios de optimizacion 2

 

2 Función a optimizar

 

{A = 4 xy}

 

3Relacionamos las variables, para ello consideramos despejamos una de las variables en la ecuación de la elipse

 

{displaystyle frac{x^2}{9} + frac{y^2}{4} = 1    Longrightarrow    y = displaystyle frac{sqrt{36 - 4x^2}}{3}}

 

4 Sustituimos en la función a optimizar

 

{A = 4xdisplaystyle frac{sqrt{36 - 4x^2}}{3} = frac{8xsqrt{9 - x^2}}{3}}

 

5 Derivamos la función a optimizar

 

{begin{array}{rcl}A' & = & displaystyle frac{8}{3} left(sqrt{9 - x^2} - displaystyle frac{2x^2}{2sqrt{9 - x^2}}right) \\ & = & displaystyle frac{8}{3} left( frac{9 - 2x^2}{sqrt{9 - x^2}}right) end{array}}

 

6 Igualamos la derivada a cero y calculamos las raíces

 

{begin{array}{rcl}A' & = & 0 \\ displaystyle frac{8}{3} left( frac{9 - 2x^2}{sqrt{9 - x^2}}right) & = & 0 \\ displaystylefrac{8(3 - sqrt{2}x)(3 + sqrt{2}x)}{3 sqrt{9 - x^2}} & = & 0, end{array}}

 

entonces {x = pm displaystylefrac{3sqrt{2}}{2}}, pero solamente consideramos el resultado positivo. Así, la base es {2x = 3sqrt{2}}

 

Encontramos la altura

 

{y = displaystyle frac{2sqrt{9 - left(displaystylefrac{3sqrt{2}}{2}right)^2}}{3} =sqrt{2}    Longrightarrow    2y = 2sqrt{2}}

 

7 Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido

 

{begin{array}{rcl}A'' & = & displaystyle frac{8x(2x^2 - 27)}{3left(9 - x^2 right)^{3/2}} end{array}}

 

Sustituimos {x = displaystylefrac{3sqrt{2}}{2}}}

 

{A''left(displaystylefrac{3sqrt{2}}{2}right) = displaystyle frac{8 left(displaystylefrac{3sqrt{2}}{2}right)left[ 2left(displaystylefrac{3sqrt{2}}{2}right)^2 - 27right]}{3left[9 - left( displaystyle frac{3sqrt{2}}{2} right)^2 right]^{3/2}} < 0}

 

Luego {2x = 3sqrt{2}} maximiza el área. Así, el rectángulo de área máxima es aquel cuya base y altura son {3sqrt{2}} y {2sqrt{2}}

Área lateral mínima de un cono

3Se pretende fabricar una cono (sin tapa) de volumen {1  u^3}. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo posible de material?

1 Consideramos {r} el radio de la base del cono y {h} su altura

 

ejercicios de optimizacion 3

 

2 Función a optimizar

 

{A_L = pi r g}

 

3Relacionamos las variables, para ello consideramos el volumen y la generatriz

 

{V = displaystyle frac{pi r^2 h}{3} = 1    Longrightarrow    h = frac{3}{pi r^2}}

{g = sqrt{h^2 + r^2}     Longrightarrow    g = displaystyle frac{sqrt{9 + pi^2 r^6}}{pi r^2}}

 

4 Sustituimos en la función a optimizar

 

{A_L = pi r^2 displaystyle frac{sqrt{9 + pi^2 r^6}}{pi r^2} = frac{sqrt{9 + pi^2 r^6}}{r}}

 

5 Derivamos la función a optimizar

 

{begin{array}{rcl}A'_L & = & displaystyle frac{displaystyle frac{6 pi^2 r^6}{2sqrt{9 + pi^2 r^6}} - displaystyle sqrt{9 + pi^2 r^6}}{r^2} \\ & = & displaystyle frac{2pi^2 r^6 - 9}{r^2sqrt{9 + pi^2 r^6}} end{array}}

 

6 Igualamos la derivada a cero y calculamos las raíces

 

{begin{array}{rcl}A'_L & = & 0 \\ displaystyle frac{2pi^2 r^6 - 9}{r^2sqrt{9 + pi^2 r^6}} & = & 0 end{array}}

 

entonces {r = pm displaystyle frac{sqrt[3]{3}}{sqrt[6]{2pi^2}} = pm frac{sqrt[6]{288 pi^4}}{2 pi} }, pero solamente consideramos el resultado positivo

 

Encontramos la altura

 

{h = displaystyle frac{3}{pi displaystyle left(frac{sqrt[6]{288 pi^4}}{2 pi}right)^2} = frac{sqrt[3]{6 pi^2}}{pi} }

 

7 Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido

 

{begin{array}{rcl}A''_L & = & displaystyle frac{2 pi^4 r^{12} + 117pi^2 r^6 + 162}{r^3 left(9 + pi^2 r^6right)^{3/2}} end{array}}

 

Sustituimos {r = displaystyle frac{sqrt[6]{288 pi^4}}{2 pi} }

 

{A''_Lleft(displaystyle frac{sqrt[6]{288 pi^4}}{2 pi} right) = displaystyle frac{2 pi^4 left( frac{sqrt[6]{288 pi^4}}{2 pi} right)^{12} + 117pi^2 left( frac{sqrt[6]{288 pi^4}}{2 pi} right)^6 + 162}{left( frac{sqrt[6]{288 pi^4}}{2 pi} right)^3 left(9 + pi^2 left( frac{sqrt[6]{288 pi^4}}{2 pi} right)^6right)^{3/2}} > 0}

 

Luego {r = displaystyle frac{sqrt[6]{288 pi^4}}{2 pi} } minimiza el área lateral. Así, las medidas del cono que minimizan el área lateral es aquel cuyo radio y altura son {displaystyle frac{sqrt[6]{288 pi^4}}{2 pi} } y {displaystyle frac{sqrt[3]{6 pi^2}}{pi} }

Producto máximo de dos números

4Encontrar dos números positivos cuya suma sea {a} y tal que el producto de uno de ellos con el cuadrado del otro sea máximo.

1 Consideramos {x, y} los dos número positivos cuya suma es {a}.

 

2Función a optimizar:

 

{P = x^2 y}

 

3Relacionamos las variables, para ello consideramos la suma de ambos números

 

{x + y = a    Longrightarrow    y = a - x}

 

4Sustituimos en la función a optimizar

 

{P = x^2 y = x^2(a - y)}

 

5Derivamos la función a optimizar

 

{P' = 2ax - 3x^2}

 

6 Igualamos la derivada a cero y calculamos las raíces

 

{begin{array}{rcl} P' & = & 0 \\ 2ax - 3x^2 & = & 0 \\ x(2a - 3x) & = & 0 end{array}}

 

entonces {x = 0,  x = displaystyle frac{2a}{3}}, pero solamente consideramos el resultado positivo

 

Encontramos el valor del otro número

 

{y = a - x = displaystylefrac{a}{3}}

 

7 Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido

 

{P'' = 2a - 6x}

 

Sustituimos {x = displaystyle frac{2a}{3}}

 

{P'' left( displaystyle frac{2a}{3} right) = 2a - 6 left(displaystylefrac{2a}{3}right) < 0}

 

Luego {x = displaystyle frac{2a}{3}} maximiza el producto. Así, los números que maximizan el producto son {x = displaystyle frac{2a}{3},  y = displaystyle frac{a}{3}}

Área mínima de dos figuras

5Se tiene un alambre de {1  m} de longitud y se desea dividirlo en dos trozos para formar con uno de ellos un círculo y con el otro un triángulo equilátero. Determinar la longitud que se ha de dar a cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del círculo y del triángulo sea mínima.

1 Consideramos {r} el radio del círculo y {ell} el lado del triángulo equilátero.

 

2Función a optimizar:

 

{A = pi r^2 + displaystyle frac{sqrt{3}}{4} ell^2}

 

3Relacionamos las variables, para ello consideramos la suma de ambos perímetros

 

{2pi r + 3ell = 1    Longrightarrow    ell = displaystylefrac{1 - 2pi r}{3}}

 

4Sustituimos en la función a optimizar

 

{A = pi r^2 + displaystyle frac{sqrt{3}}{4} ell^2 = pi r^2 + displaystyle frac{sqrt{3}}{4} left( displaystylefrac{1 - 2pi r}{3} right)^2}

 

5Derivamos la función a optimizar

 

{begin{array}{rcl} A' & = & 2pi r - displaystye frac{sqrt{3} pi}{9}(1-2pi r) \\ & = & displaystyle frac{pi}{9}left[ r(18 + 2sqrt{3} pi) - sqrt{3}right] end{array}}

 

6 Igualamos la derivada a cero y calculamos las raíces

 

{begin{array}{rcl} A' & = & 0 \\ displaystyle frac{pi}{9}left[ r(18 + 2sqrt{3} pi) - sqrt{3}right] & = & 0 end{array}}

 

entonces {r = displaystyle frac{sqrt{3}}{18 + 2sqrt{3} pi}}

 

Encontramos el valor del lad del triángulo

 

{ell = displaystylefrac{3}{9 + sqrt{3} pi}}

 

7 Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido

 

{A'' = displaystyle frac{pi}{9}(18 + 2sqrt{3} pi)}

 

Sustituimos {r = displaystyle frac{sqrt{3}}{18 + 2sqrt{3} pi}}

 

{A'' left(displaystyle frac{sqrt{3}}{18 + 2sqrt{3} pi} right) = displaystyle frac{pi}{9}(18 + 2sqrt{3} pi) > 0}

 

Luego {r = displaystyle frac{sqrt{3}}{18 + 2sqrt{3} pi}} minimiza el área. Así, el alambre se divide en trozos de {displaystyle frac{sqrt{3} pi}{9 + sqrt{3} pi}} para el círculo y {displaystyle frac{9}{9 + sqrt{3} pi}} para el triángulo equilátero

Área máxima de un rectángulo inscrito en un triángulo acutángulo

6Hallar las dimensiones del mayor rectángulo inscrito en un triángulo acutángulo si uno de los lados del rectángulo está contenido en la base del triángulo.

1 Consideramos el triángulo acutángulo {ABC} de base {a} y altura {h}, y el rectángulo de lados {x, y} con el lado {x} contenido en la base del triángulo y lado opuesto con extremos {C, D} en los otros dos lado del triángulo

 

ejercicios de optimizacion 4

 

2 Función a optimizar

 

{A = xy}

 

3Relacionamos las variables, para ello consideramos los triángulos semejantes {ABC} y {DEC}

 

{displaystyle frac{x}{a} = frac{h - y}{h}    Longrightarrow    x = displaystyle frac{a(h - y)}{h}}

 

4 Sustituimos en la función a optimizar

 

{A = ydisplaystyle frac{a(h-y)}{h} = frac{ay(h - y)}{h}}

 

5 Derivamos la función a optimizar

 

{begin{array}{rcl}A' & = & displaystyle frac{a}{h} left((h - y) - yright) \\ & = & displaystyle frac{a}{h} left( h - 2yright) end{array}}

 

6 Igualamos la derivada a cero y calculamos las raíces

 

{begin{array}{rcl}A' & = & 0 \\ displaystyle frac{a}{h} left( h - 2yright) & = & 0, end{array}}

 

entonces {y = displaystylefrac{h}{2}}

 

Encontramos la base

 

{x = displaystyle frac{aleft(h - displaystyle frac{h}{2}right)}{h}    Longrightarrow    x = displaystyle frac{a}{2}}

 

7 Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido

 

{begin{array}{rcl}A'' & = & displaystyle -frac{2}{a} end{array}}

 

Sustituimos {y = displaystylefrac{h}{2}}

 

{A''left(displaystylefrac{h}{2}right) = displaystyle -frac{2}{a} < 0}

 

Luego {y = displaystyle frac{h}{2}} maximiza el área del rectángulo. Así, el rectángulo de área máxima buscado, es aquel cuya base y altura son {displaystyle frac{a}{2}} y {displaystyle frac{h}{2}}, respectivamente.

Costo mínimo de un contenedor cilíndrico

7Hallar las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor que tiene forma de cilíndro, sabiendo que su volumen ha de ser {10  m^3} y el coste de su construcción por {m^2} es de {50} € para la base; {60} para la etapa y {40} para cada pared lateral.

1 Consideramos {r, h} el radio y altura del cilíndro

 

ejercicios de optimizacion 5

 

2 Función a optimizar

 

{C = 50(pi r^2) + 60(pi r^2) + 40(2pi r h) = 110 pi r^2 + 80 pi r h}

 

3Relacionamos las variables, para ello consideramos el volumen {V = 10} del recipiente

 

{ displaystyle V = pi r^2 h = 10    Longrightarrow    h = displaystyle frac{10}{pi r^2}}

 

4 Sustituimos en la función a optimizar

 

{C = 110 pi r^2 + 80 pi r left( displaystyle frac{10}{pi r^2} right) = 110 pi r^2 + displaystyle frac{800}{r}}

 

5 Derivamos la función a optimizar

 

{begin{array}{rcl}C' & = & 220 pi r - displaystyle frac{800}{r^2} end{array}}

 

6 Igualamos la derivada a cero y calculamos las raíces

 

{begin{array}{rcl}C' & = & 0 \\ 220 pi r - displaystyle frac{800}{r^2} & = & 0, end{array}}

 

entonces {r = sqrt[3]{displaystyle frac{40}{11 pi}}}

 

Encontramos la altura

 

{h = displaystyle frac{10}{pi left( displaystyle sqrt[3]{displaystyle frac{40}{11 pi}}  right)^2}    Longrightarrow    h = displaystyle frac{10}{pi} left( displaystyle sqrt[3]{displaystyle frac{11 pi}{40}}  right)}

 

7 Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido

 

{begin{array}{rcl}C'' & = & 220 pi + displaystyle frac{1600}{r^3} end{array}}

 

Sustituimos {r = sqrt[3]{displaystyle frac{40}{11 pi}}}

 

{C''left(sqrt[3]{displaystyle frac{40}{11 pi}}right) = 220 pi + displaystyle frac{1600}{left(sqrt[3]{displaystyle frac{40}{11 pi}}right)^3} > 0}

 

Luego {r = sqrt[3]{displaystyle frac{40}{11 pi}}}{h = displaystyle frac{10}{pi} left( displaystyle sqrt[3]{displaystyle frac{11 pi}{40}}  right)} minimizan el costo del contenedor.

Perímetro mínimo

8Un granjero quiere delimitar un terreno rectangular de {1000  m^2}. El terreno debe estar cercado y dividido en dos partes iguales por medio de una cerca paralela a dos lados. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno que emplea la mínima cantidad de cerca?

1 Consideramos el terreno con base {2x} y altura {y}

 

ejrcicios de optimizacion 6

 

2 Función a optimizar

 

{P = 4x +3y}

 

3Relacionamos las variables, para ello consideramos el área {A = 1000  m^2} del terreno

 

{ displaystyle A = 2xy = 1000    Longrightarrow    y = displaystyle frac{500}{x}

 

4 Sustituimos en la función a optimizar

 

{P = 4x + 3left( displaystyle frac{500}{x}right) = 4x + displaystyle frac{1500}{x}}

 

5 Derivamos la función a optimizar

 

{begin{array}{rcl}P' & = & 4 - displaystyle frac{1500}{x^2} end{array}}

 

6 Igualamos la derivada a cero y calculamos las raíces

 

{begin{array}{rcl}P' & = & 0 \\ 4 - displaystyle frac{1500}{x^2} & = & \\ displaystyle frac{4x^2 -1500}{x^2} & = & 0 \\ displaystyle frac{(2x - 10sqrt{15})(2x + 10sqrt{15})}{x^2}end{array}}

 

entonces {x = pm 5sqrt{15}} y elegimos el positivo.

 

Encontramos la altura

 

{y = displaystyle frac{500}{5sqrt{15}} = frac{20sqrt{15}}{3}}

 

7 Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido

 

{begin{array}{rcl}P'' & = & displaystyle frac{3000}{x^3} end{array}}

 

Sustituimos {x = 5sqrt{15}}

 

{P''left(5 sqrt{15}right) = displaystyle frac{3000}{left(5sqrt{15} right)^3} > 0}

 

Luego {x=5sqrt{15}} y {h = displaystyle frac{20sqrt{15}}{3}} minimizan el costo de la cerca.

Tiempo mínimo

9Una persona en una isla desea llegar a un punto {A} situado sobre una playa recta en tierra firme. Lapersona se encuentra a {3  km} del punto {B} más próximo a la playa y el punto {A} se encuentra a {6  km} de {B}. Si la persona nada a {3  km/h} y camina a {5  km/h}, determina en que punto sobre la playa debe llegar nadando para minimizar su tiempo.

1 Consideramos {x} la distancia de {B} a el punto en la playa donde llega la persona nadando, {d_c = 6-x} la distancia que recorre caminando

 

ejercicios de optimizacion 7

 

2 Función a optimizar

 

Primero calculamos la distancia nadada empleando el teorema de Pitágoras

 

{d_n = sqrt{x^2+9}}

 

Los tiempos empleados son

 

{t_n=displaystylefrac{sqrt{x^2+9}}{3}    t_c=displaystylefrac{6-x}{5}}

 

La función a optimizar es igual a la suma de los tiempos empleados

 

{T = displaystylefrac{6-x}{5} + frac{sqrt{x^2+9}{3}}

 

3 Derivamos la función a optimizar

 

{begin{array}{rcl}T' & = & -displaystylefrac{1}{5} + displaystyle frac{x}{3sqrt{x^2+9}} end{array}}

 

4 Igualamos la derivada a cero y calculamos las raíces

 

{begin{array}{rcl}T' & = & 0 \\ -displaystylefrac{1}{5} + displaystyle frac{x}{3sqrt{x^2+9}} & = & 0, end{array}}

 

entonces {x = pm displaystylefrac{9}{4}} y tomamos el positivo.

 

5 Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido

 

{begin{array}{rcl}T'' & = & displaystyle frac{3}{left(x^2+9right)^{3/2} end{array}}

 

Sustituimos {x = displaystyle frac{9}{4}}

 

{T''left(sqrt[3]{displaystyle frac{9}{4}}right) = displaystyle frac{3}{left[left(displaystyle frac{9}{4}right)^2 + 9right]^{3/2}} > 0}

 

Luego el tiempo mínimo ocurre cuando {x = displaystylefrac{9}{4}}, entonces la persona debe llegar nadando a {2.25  km} del punto {B} y caminar {3.75  km} para llegar a su destino.

Área máxima de un triángulo isosceles

10Un triángulo isosceles tiene perímetro {P}, ¿cuánto deben medir sus lados para que el área sea máxima?

1 Consideramos {y} los lados iguales del triángulo isósceles, {2x} como base y {h} su altura

 

ejercicios de optimizacion 8

 

2 Función a optimizar

 

{A = displaystylefrac{2xh}{2} = xh}

 

3Relacionamos las variables, para ello consideramos el perímetro y la altura

 

{ displaystyle P = 2x+2y    Longrightarrow    y = displaystyle frac{P-2x}{2} \\ h = sqrt{y^2-x^2}}

 

Sustituimos la expresión de {y} en la altura

 

{ displaystyle h = sqrt{left(displaystylefrac{P-2x}{2}right)^2-x^2} = displaystylefrac{1}{2}sqrt{P^2-4Px}}

 

4 Sustituimos la expresión de la altura en la función a optimizar

 

{A = displaystylefrac{x}{2}sqrt{P^2-4Px}}

 

5 Derivamos la función a optimizar

 

{begin{array}{rcl}A' &=& displaystylefrac{1}{2}sqrt{P^2-4Px}- frac{4Pdisplaystylefrac{x}{2}}{2sqrt{P^2-4Px}} \\ &=& displaystylefrac{P^2-6Px}{2sqrt{P^2-4Px}} end{array}}

 

6 Igualamos la derivada a cero y calculamos las raíces

 

{begin{array}{rcl}A' & = & 0 \\ displaystylefrac{P^2-6Px}{2sqrt{P^2-4Px}} & = & 0, end{array}}

 

entonces {x = displaystylefrac{P}{6}}. Notemos que la derivada no está definida en {x = displaystylefrac{P}{4}}

 

Encontramos el valor del lado {y}

 

{y = displaystyle frac{P-2left(displaystylefrac{P}{6}right)}{2}    Longrightarrow    y = displaystylefrac{P}{3}}

 

7 Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido

 

{begin{array}{rcl}A'' & = & displaystyle frac{6P^2x-2P^3}{left(P^2-4Pxright)^{3/2} end{array}}

 

Sustituimos {x = displaystylefrac{P}{6}}

 

{A''left(displaystyle frac{P}{6}right) = displaystylefrac{6P^2left(displaystylefrac{P}{6}right)-2P^3}{left[P^2-4Pleft(displaystylefrac{P}{6}right)right]^{3/2}}<0}

 

Las medidas de los lados del triángulo que maximizan su área es la misma para cada uno de los lados, esta es, displaystylefrac{P}{3}}, luego el triángulo es equilátero.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗