Área máxima de un rectángulo inscrito en un círculo
Hallar los lados del rectángulo de área máxima inscrito en un círculo de radio 
.
1 Consideramos 
la base y la altura del rectángulo.
2 Función a optimizar
3Relacionamos las variables, para ello consideramos la diagonal de rectángulo y aplicamos el teorema de Pitágoras
4 Sustituimos en la función a optimizar
5 Derivamos la función a optimizar
6 Igualamos la derivada a cero y calculamos las raíces
entonces 
, pero solamente consideramos el resultado positivo
Encontramos la altura
7 Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido
Sustituimos 
maximiza el área. Así, el rectángulo de área máxima es aquel cuya base y altura es 
Área máxima de un rectángulo inscrito en una elipse
Hallar los lados del rectángulo de área máxima inscrito en la elipse 
1 Consideramos 
un vértice del rectángulo en la elipse, así por la simetría de la elipse respecto al origen, la base del rectángulo es 
y su altura es 
2 Función a optimizar
3Relacionamos las variables, para ello consideramos despejamos una de las variables en la ecuación de la elipse
4 Sustituimos en la función a optimizar
5 Derivamos la función a optimizar
6 Igualamos la derivada a cero y calculamos las raíces
entonces 
, pero solamente consideramos el resultado positivo. Así, la base es 
Encontramos la altura
7 Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido
Sustituimos 
Luego maximiza el área. Así, el rectángulo de área máxima es aquel cuya base y altura son 
y 
Área lateral mínima de un cono
Se pretende fabricar una cono (sin tapa) de volumen 
. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo posible de material?
1 Consideramos 
el radio de la base del cono y 
su altura
2 Función a optimizar
3Relacionamos las variables, para ello consideramos el volumen y la generatriz
4 Sustituimos en la función a optimizar
5 Derivamos la función a optimizar
6 Igualamos la derivada a cero y calculamos las raíces
entonces 
, pero solamente consideramos el resultado positivo
Encontramos la altura
7 Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido
Sustituimos 
Luego minimiza el área lateral. Así, las medidas del cono que minimizan el área lateral es aquel cuyo radio y altura son 
y 
Producto máximo de dos números
Encontrar dos números positivos cuya suma sea 
y tal que el producto de uno de ellos con el cuadrado del otro sea máximo.
1 Consideramos 
los dos número positivos cuya suma es .
2Función a optimizar:
3Relacionamos las variables, para ello consideramos la suma de ambos números
4Sustituimos en la función a optimizar
5Derivamos la función a optimizar
6 Igualamos la derivada a cero y calculamos las raíces
entonces 
, pero solamente consideramos el resultado positivo
Encontramos el valor del otro número
7 Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido
Sustituimos 
Luego maximiza el producto. Así, los números que maximizan el producto so n 
Área mínima de dos figuras
Se tiene un alambre de 
de longitud y se desea dividirlo en dos trozos para formar con uno de ellos un círculo y con el otro un triángulo equilátero. Determinar la longitud que se ha de dar a cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del círculo y del triángulo sea mínima.
1 Consideramos el radio del círculo y 
el lado del triángulo equilátero.
2Función a optimizar:
3Relacionamos las variables, para ello consideramos la suma de ambos perímetros
4Sustituimos en la función a optimizar
5Derivamos la función a optimizar
6 Igualamos la derivada a cero y calculamos las raíces
entonces 
Encontramos el valor del lad del triángulo
7 Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido
Sustituimos
Luego minimiza el área. Así, el alambre se divide en trozos de 
para el círculo y 
para el triángulo equilátero
Área máxima de un rectángulo inscrito en un triángulo acutángulo
Hallar las dimensiones del mayor rectángulo inscrito en un triángulo acutángulo si uno de los lados del rectángulo está contenido en la base del triángulo.
1 Consideramos el triángulo acutángulo 
de base y altura , y el rectángulo de lados con el lado 
contenido en la base del triángulo y lado opuesto con extremos 
en los otros dos lado del triángulo
2 Función a optimizar
3Relacionamos las variables, para ello consideramos los triángulos semejantes y 
4 Sustituimos en la función a optimizar
5 Derivamos la función a optimizar
6 Igualamos la derivada a cero y calculamos las raíces
entonces 
Encontramos la base
7 Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido
Sustituimos
Luego 
maximiza el área del rectángulo. Así, el rectángulo de área máxima buscado, es aquel cuya base y altura son 
y 
, respectivamente.
Costo mínimo de un contenedor cilíndrico
Hallar las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor que tiene forma de cilíndro, sabiendo que su volumen ha de ser 
y el coste de su construcción por 
es de 
€ para la base; 
para la etapa y 
para cada pared lateral.
1 Consideramos 
el radio y altura del cilíndro
2 Función a optimizar
3Relacionamos las variables, para ello consideramos el volumen 
del recipiente
4 Sustituimos en la función a optimizar
5 Derivamos la función a optimizar
6 Igualamos la derivada a cero y calculamos las raíces
entonces 
Encontramos la altura
7 Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido
Sustituimos
Luego y 
minimizan el costo del contenedor.
Perímetro mínimo
Un granjero quiere delimitar un terreno rectangular de 
. El terreno debe estar cercado y dividido en dos partes iguales por medio de una cerca paralela a dos lados. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno que emplea la mínima cantidad de cerca?
1 Consideramos el terreno con base y altura 
2 Función a optimizar
3Relacionamos las variables, para ello consideramos el área 
del terreno
4 Sustituimos en la función a optimizar
5 Derivamos la función a optimizar
6 Igualamos la derivada a cero y calculamos las raíces
entonces 
y elegimos el positivo.
Encontramos la altura
7 Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido
Sustituimos 
Luego 
y 
minimizan el costo de la cerca.
Tiempo mínimo
Una persona en una isla desea llegar a un punto 
situado sobre una playa recta en tierra firme. Lapersona se encuentra a 
del punto 
más próximo a la playa y el punto se encuentra a 
de . Si la persona nada a 
y camina a 
, determina en que punto sobre la playa debe llegar nadando para minimizar su tiempo.
1 Consideramos la distancia de a el punto en la playa donde llega la persona nadando, 
la distancia que recorre caminando
2 Función a optimizar
Primero calculamos la distancia nadada empleando el teorema de Pitágoras
Los tiempos empleados son
La función a optimizar es igual a la suma de los tiempos empleados
3 Derivamos la función a optimizar
4 Igualamos la derivada a cero y calculamos las raíces
entonces 
y tomamos el positivo.
5 Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido
Sustituimos 
Luego el tiempo mínimo ocurre cuando 
, entonces la persona debe llegar nadando a 
del punto y caminar 
para llegar a su destino.
Área máxima de un triángulo isosceles
Un triángulo isosceles tiene perímetro 
, ¿cuánto deben medir sus lados para que el área sea máxima?
1 Consideramos los lados iguales del triángulo isósceles, como base y su altura
2 Función a optimizar
3Relacionamos las variables, para ello consideramos el perímetro y la altura
Sustituimos la expresión de en la altura
4 Sustituimos la expresión de la altura en la función a optimizar
5 Derivamos la función a optimizar
6 Igualamos la derivada a cero y calculamos las raíces
entonces 
. Notemos que la derivada no está definida en 
Encontramos el valor del lado
7 Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido
Sustituimos
, luego el triángulo es equilátero.
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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Cual es un buen graficador de funciones con cuadricula en el fondo y ejes coordenados para graficar funciones.He visto uno elaborado por Mariluna Saldivar Pat titulado «¿Que es una funcion lineal? pero no se con que programa hizo el dibujo
Hola en internet esta geogebra y simbolab que son los que yo uso, creo que si preguntas en el buscador te recomiendan otros muy buenos, los que mencione antes trabajo muy bien con ellos y los recomiendo.
Me ayudarian hacer la funcion lineal con grafico
Y=2×+1
La primera derivada se anula en x = 3. Por lo tanto 3 es otro punto crítico de la función del ejemplo.
Hola gracias por la observación, podrías hacernos el favor de mostrarnos la función que se deriva y se encuentran los puntos críticos.
El Punto de inflexión en el ejercicio 2: f(x) = x^3 + x + 1 debe ser (0, 1)
Hola agradecemos tu comentario, tenias razón era un error que ya se corrigió.