¿Qué es infinito y como resolvemos ejercicios de limites?

 

Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con ∞ son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites.

En ocasiones es necesario hacer un trabajo algebraico en la función antes de resolver el limite, para evitar que el calculo del mismo sea indeterminado, a esto se le conoce como "Evitar la indeterminación"

Criterio Epsilon - Delta : El limite existe si y solo si  "Dado cualquier ε>0, existe un δ>0 tal que, para todo x se cumple que 0<|x-a|<δ " Entonces |f(x)-L|<ε "

 

Aplicando la definición de límite, probar que

 

Ejercicio propuesto sobre limites

 

Aplicando la definición de límite, probar que:

 

Ejercicio propuesto sobre limites

 

Aplicando el criterio Epsilon-delta, tenemos :

 

criterio Epsilon-delta en la función

 

criterio Epsilon-delta en la función

 

Si hacemos δ=2ε, se cumplirá la definición de limite:

 

Declaración del limite a través del criterio Epsilon-delta

 

Para comprobarlo vamos a tomar a ε = 0,01.

 

Evaluación dado un valor definido para epsilon

 

Entonces cualquier punto que pertenezca a este entorno tiene que
tener su imagen en el entorno:

 

Entorno

 

Para x = 0.995    f(x)= (0.995 + 3)/ 2= 1.9975.

Para x = 1.015    f(x)=(1.015 + 3)/2 = 2.0075.

 

 

Observa la siguiente gráfica de función f(x) y calcula los límites

 

Ejercicio propuesto sobre el calculo de limites en distintos puntos de la gráfica

 

 

Ejercicio propuesto sobre el calculo de limites en distintos puntos de la gráfica

 

 

Resultado del limite

 

Resultado del limite

 

Resultado del limite

 

Resultado del limite

 

Resultado del limite

 

Calcula los siguientes límites

1 Ejercicio propuesto sobre limites

 

 

Calcular el límite de:

 

Ejercicio propuesto sobre limites

 

Evaluación directa lleva a indeterminación

 

Para hallar el límite cuando x tiende a –∞, tenemos en cuenta que:

 

Propiedad de limites

 

Ejercicio propuesto e indeterminado

 

Multiplicamos y dividimos por el conjugado

 

Limite multiplicado y dividido por el conjugado

 

Simplificación del limite, indeterminado

 

Como llegamos a la indeterminación ∞/∞, tenemos que dividir todos
los sumandos por x elevado al mayor grado, que fuera de la raíz es x
y dentro de la raíz

 

Evitando la indeterminación en el limite

 

Hallamos el límite sustituyendo por ∞ y tenemos en cuenta que una
constante dividida entre ∞ es igual a 0

 

Resultado del ejercicio de limite

 

2Ejercicio propuesto sobre limites

 

 

Calcular el límite de:

 

Ejercicio propuesto sobre limites

 

Evaluación directa lleva a indeterminación

 

Para resolver la indeterminación ponemos a común denominador
las fracciones, que posiblemente nos lleve a la indeterminación ∞/∞

 

Ejercicio propuesto e indeterminado

 

Tenemos que dividir todos los sumandos por x elevado al mayor grado: x²

 

Evitando la indeterminación en el limite

 

Aplicamos el límite

 

Resultado del ejercicio de limite

 

3Ejercicio propuesto sobre limites

 

 

Calcular el límite de:

 

Ejercicio propuesto sobre limites

 

 Evaluación directa lleva a indeterminación

 

Como llegamos a la indeterminación ∞/∞, tenemos que dividir todos
los sumandos por x elevado al mayor grado, que fuera de la raíz es x
y dentro de la raíz

 

Evitando la indeterminación en el limite

 

Hallamos el límite

 

Resultado del ejercicio de limite

 

4Ejercicio propuesto sobre limites

 

 

Calcular el límite de:

 

Ejercicio propuesto sobre limites

 

 Evaluación directa lleva a indeterminación

 

Como llegamos a la indeterminación ∞/∞, tenemos que dividir todos
los sumandos por x elevado al mayor grado, que fuera de la raíz es
y dentro de la raíz x4

 

Evitando la indeterminación en el limite

 

Hallamos el límite

 

 Resultado del ejercicio de limite

 

5Ejercicio propuesto sobre limites

 

 

Calcular el límite de:

 

Ejercicio propuesto sobre limites

 

Evaluación directa lleva a indeterminación

 

Vamos a resolver la indeterminación de dos maneras:

 

1 Por comparación de infinitos

 

Criterio de colacionar de infinitos

 

Al elevar el binomio del numerador al cuadrado obtenemos x4, y
por tanto el grado del numerador es mayor que el grado del
denominador.

 

 

2 Dividiendo por la x de mayor grado

 

Evitando la indeterminación en el limite para obtener el resultado

 

6Ejercicio propuesto sobre limites

 

 

Calcular el límite de:

 

Ejercicio propuesto sobre limites

 

Evaluación directa lleva a indeterminación

 

Resultado del ejercicio de limite

 

El denominador es un infinito de orden superior

 

7Ejercicio propuesto sobre limites

 

 

Calcular el límite de:

 

Ejercicio propuesto sobre limites

 

Evaluación directa lleva a indeterminación

 

Resultado del ejercicio de limite

 

El numerador es un infinito de orden superior

 

8Ejercicio propuesto sobre limites

 

 

Calcular el límite de:

 

Ejercicio propuesto sobre limites

 

Resultado del ejercicio de limite

 

9 Ejercicio propuesto sobre limites

 

 

Calcular el límite de:

 

Ejercicio propuesto sobre limites

 

Evaluación directa lleva a indeterminación

 

 

Calculo de limite lateral por la izquierda

 

Calculo de limite lateral por la derecha

 

 

10Ejercicio propuesto sobre limites

 

 

Calcular el límite de:

 

Ejercicio propuesto sobre limites

 

Evaluación directa lleva a indeterminación

 

Multiplicamos

 

Simplificación del limite y solución del mismo

 

11Ejercicio propuesto sobre limites

 

 

Calcular el límite de:

 

Ejercicio propuesto sobre limites

 

Evaluación directa lleva a indeterminación

 

Realizamos las operaciones y simplificamos la fracción

 

Simplificación del limite y solución del mismo

 

12Ejercicio propuesto sobre limites

 

 

Calcular el límite de:

 

Ejercicio propuesto sobre limites

 

Evaluación directa lleva a indeterminación

 

Descomponemos en factores el numerador y el denominador, y simplificamos

 

Simplificación del limite y solución del mismo

 

13Ejercicio propuesto sobre limites

 

 

Calcular el límite de:

 

Ejercicio propuesto sobre limites

 

Evaluación directa lleva a indeterminación

 

Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado
del numerador

 

Limite multiplicado y dividido por el conjugado

 

En el numerador tenemos una suma por diferencia que transformamos
en una diferencia de cuadrados y operamos.

 

Simplificamos la fracción y hallamos el límites

 

Simplificación del limite y solución del mismo

 

14Ejercicio propuesto sobre limites

 

 

Calcular el límite de:

 

Ejercicio propuesto sobre limites

 

Evaluación directa lleva a indeterminación

 

Sumamos 2 y –2 en el exponente para que este sea igual
al denominador

 

Evitando la indeterminación en el limite

 

Aplicamos la propiedad de la división de potencias con la
misma base

 

Evitando la indeterminación en el limite, simplificación y resultado

 

15Ejercicio propuesto sobre limites

 

 

Calcular el límite de:

 

Ejercicio propuesto sobre limites

 

Evaluación directa lleva a indeterminación

 

Hallamos el inverso del inverso del segundo sumando

 

 Evitando la indeterminación en el limite

 

Elevamos al denominador y a su inverso
Simplificamos el exponente exterior

 

 Simplificación del limite y solución del mismo

 

16  Ejercicio propuesto sobre limites

 

17 Ejercicio propuesto sobre limites

 

18 Ejercicio propuesto sobre limites

 

19 Ejercicio propuesto sobre limites

 

20 Ejercicio propuesto sobre limites

 

21 Ejercicio propuesto sobre limites

 

22 Ejercicio propuesto sobre limites

 

23 Ejercicio propuesto sobre limites

 

 

Calcular:

 

Las indeterminaciones ∞/∞ las vamos a resolver por comparación de infinitos

 

16. Ejercicio propuesto sobre limites

 

El numerador de la base tiene mayor grado, por tanto su límite es ∞.

El numerador del exponente tiene mayor grado, por tanto su límite es ∞

 

Simplificación del limite y solución del mismo

 

17. Ejercicio propuesto sobre limites

 

El numerador de la base tiene mayor grado, por tanto su límite es ∞.

El numerador del exponente tiene mayor grado (con signo negativo),
por tanto su límite es –∞

 

Simplificación del limite y solución del mismo

 

18. Ejercicio propuesto sobre limites

 

El numerador de la base tiene mayor grado, por tanto su límite es ∞.

El numerador y el denominador del exponente tienen el mismo grado,
por tanto su límite es –3/5

 

Simplificación del limite y solución del mismo

 

El numerador de la base tiene mayor grado, por tanto su límite es ∞.

El numerador y el denominador del exponente tienen el mismo grado,
por tanto su límite es –3/5

 

19. Ejercicio propuesto sobre limites

 

El denominador de la base tiene mayor grado, por tanto su límite es 0.

El numerador del exponente tiene mayor grado, por tanto su límite es ∞

 

Simplificación del limite y solución del mismo

 

20. Ejercicio propuesto sobre limites

 

El denominador de la base tiene mayor grado, por tanto su límite es 0.

El numerador del exponente tiene mayor grado (con signo negativo),
por tanto su límite es –∞

 

Simplificación del limite y solución del mismo

 

21. Ejercicio propuesto sobre limites

 

El numerador y el denominador de la base tienen el mismo grado,
por tanto su límite es 2/3.

El denominador del exponente tiene mayor grado, por tanto su límite es 0

 

Simplificación del limite y solución del mismo

 

22. Ejercicio propuesto sobre limites

 

El numerador y el denominador de la base tienen el mismo
grado, por tanto su límite es 2/3.

El numerador del exponente tiene mayor grado (con signo
negativo), por tanto su límite es –∞

 

Simplificación del limite y solución del mismo

 

 

23. Ejercicio propuesto sobre limites

 

El numerador y el denominador de la base tienen el
mismo grado, por tanto su límite es 2/3

El numerador del exponente tiene mayor grado, por tanto
su límite es ∞

 

 

Simplificación del limite y solución del mismo

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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