¿Qué es infinito y como resolvemos ejercicios de limites?

 

Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con ∞ son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites.

En ocasiones es necesario hacer un trabajo algebraico en la función antes de resolver el limite, para evitar que el calculo del mismo sea indeterminado, a esto se le conoce como "Evitar la indeterminación"

Criterio Epsilon - Delta : El limite existe si y solo si  "Dado cualquier ε>0, existe un δ>0 tal que, para todo x se cumple que 0<|x-a|<δ " Entonces |f(x)-L|<ε "

 

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Aplicando la definición de límite, probar que

 

Ejercicio propuesto sobre limites

 

Aplicando la definición de límite, probar que:

 

Ejercicio propuesto sobre limites

 

Aplicando el criterio Epsilon-delta, tenemos :

 

criterio Epsilon-delta en la función

 

criterio Epsilon-delta en la función

 

Si hacemos δ=2ε, se cumplirá la definición de limite:

 

Declaración del limite a través del criterio Epsilon-delta

 

Para comprobarlo vamos a tomar a ε = 0,01.

 

     \begin{align*} E_{2\varepsion}(1) &= E_{0.02}(1)\\ &= (1 - 0.02, 1 + 0.02)\\ &= (0.98, 1.02)\\ \end{align*}

 

Entonces cualquier punto que pertenezca a este entorno tiene que
tener su imagen en el entorno:

 

     \begin{align*} E_{\varepsion}(2) &= E_{0.01}(2)\\ &= (2 - 0.01, 2 + 0.01)\\ &= (1.99, 2.01)\\ \end{align*}

 

Para x = 0.995    f(x)= (0.995 + 3)/ 2= 1.9975.

Para x = 1.015    f(x)=(1.015 + 3)/2 = 2.0075.

 

 

Observa la siguiente gráfica de función f(x) y calcula los límites

 

Ejercicio propuesto sobre el calculo de limites en distintos puntos de la gráfica

 

 

Ejercicio propuesto sobre el calculo de limites en distintos puntos de la gráfica

 

 

Resultado del limite

 

Resultado del limite

 

Resultado del limite

 

Resultado del limite

 

Resultado del limite

 

Calcula los siguientes límites

1 Ejercicio propuesto sobre limites

 

 

Calcular el límite de:

 

Ejercicio propuesto sobre limites

 

Evaluación directa lleva a indeterminación

 

Para hallar el límite cuando x tiende a –∞, tenemos en cuenta que:

 

Propiedad de limites

 

Ejercicio propuesto e indeterminado

 

Multiplicamos y dividimos por el conjugado

 

Limite multiplicado y dividido por el conjugado

 

Simplificación del limite, indeterminado

 

Como llegamos a la indeterminación ∞/∞, tenemos que dividir todos
los sumandos por x elevado al mayor grado, que fuera de la raíz es x
y dentro de la raíz

 

Evitando la indeterminación en el limite

 

Hallamos el límite sustituyendo por ∞ y tenemos en cuenta que una
constante dividida entre ∞ es igual a 0

 

Resultado del ejercicio de limite

 

2Ejercicio propuesto sobre limites

 

 

Calcular el límite de:

 

Ejercicio propuesto sobre limites

 

Evaluación directa lleva a indeterminación

 

Para resolver la indeterminación ponemos a común denominador
las fracciones, que posiblemente nos lleve a la indeterminación ∞/∞

 

Ejercicio propuesto e indeterminado

 

Tenemos que dividir todos los sumandos por x elevado al mayor grado: x²

 

Evitando la indeterminación en el limite

 

Aplicamos el límite

 

Resultado del ejercicio de limite

 

3Ejercicio propuesto sobre limites

 

 

Calcular el límite de:

 

Ejercicio propuesto sobre limites

 

 Evaluación directa lleva a indeterminación

 

Como llegamos a la indeterminación ∞/∞, tenemos que dividir todos
los sumandos por x elevado al mayor grado, que fuera de la raíz es x
y dentro de la raíz

 

Evitando la indeterminación en el limite

 

Hallamos el límite

 

Resultado del ejercicio de limite

 

4Ejercicio propuesto sobre limites

 

 

Calcular el límite de:

 

Ejercicio propuesto sobre limites

 

 Evaluación directa lleva a indeterminación

 

Como llegamos a la indeterminación ∞/∞, tenemos que dividir todos
los sumandos por x elevado al mayor grado, que fuera de la raíz es
y dentro de la raíz x4

 

Evitando la indeterminación en el limite

 

Hallamos el límite

 

 Resultado del ejercicio de limite

 

5Ejercicio propuesto sobre limites

 

 

Calcular el límite de:

 

Ejercicio propuesto sobre limites

 

Evaluación directa lleva a indeterminación

 

Vamos a resolver la indeterminación de dos maneras:

 

1 Por comparación de infinitos

 

Criterio de colacionar de infinitos

 

Al elevar el binomio del numerador al cuadrado obtenemos x4, y
por tanto el grado del numerador es mayor que el grado del
denominador.

 

 

2 Dividiendo por la x de mayor grado

 

Evitando la indeterminación en el limite para obtener el resultado

 

6Ejercicio propuesto sobre limites

 

 

Calcular el límite de:

 

Ejercicio propuesto sobre limites

 

Evaluación directa lleva a indeterminación

 

Resultado del ejercicio de limite

 

El denominador es un infinito de orden superior

 

7Ejercicio propuesto sobre limites

 

 

Calcular el límite de:

 

Ejercicio propuesto sobre limites

 

Evaluación directa lleva a indeterminación

 

Resultado del ejercicio de limite

 

El numerador es un infinito de orden superior

 

8Ejercicio propuesto sobre limites

 

 

Calcular el límite de:

 

Ejercicio propuesto sobre limites

 

Resultado del ejercicio de limite

 

9 Ejercicio propuesto sobre limites

 

 

Calcular el límite de:

 

Ejercicio propuesto sobre limites

 

Evaluación directa lleva a indeterminación

 

 

Calculo de limite lateral por la izquierda

 

Calculo de limite lateral por la derecha

 

 

10Ejercicio propuesto sobre limites

 

 

Calcular el límite de:

 

Ejercicio propuesto sobre limites

 

Evaluación directa lleva a indeterminación

 

Multiplicamos

 

Simplificación del limite y solución del mismo

 

11Ejercicio propuesto sobre limites

 

 

Calcular el límite de:

 

Ejercicio propuesto sobre limites

 

Evaluación directa lleva a indeterminación

 

Realizamos las operaciones y simplificamos la fracción

 

Simplificación del limite y solución del mismo

 

12Ejercicio propuesto sobre limites

 

 

Calcular el límite de:

 

Ejercicio propuesto sobre limites

 

Evaluación directa lleva a indeterminación

 

Descomponemos en factores el numerador y el denominador, y simplificamos

 

Simplificación del limite y solución del mismo

 

13Ejercicio propuesto sobre limites

 

 

Calcular el límite de:

 

Ejercicio propuesto sobre limites

 

Evaluación directa lleva a indeterminación

 

Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado
del numerador

 

Limite multiplicado y dividido por el conjugado

 

En el numerador tenemos una suma por diferencia que transformamos
en una diferencia de cuadrados y operamos.

 

Simplificamos la fracción y hallamos el límites

 

Simplificación del limite y solución del mismo

 

14Ejercicio propuesto sobre limites

 

 

Calcular el límite de:

 

Ejercicio propuesto sobre limites

 

Evaluación directa lleva a indeterminación

 

Sumamos 2 y –2 en el exponente para que este sea igual
al denominador

 

Evitando la indeterminación en el limite

 

Aplicamos la propiedad de la división de potencias con la
misma base

 

Evitando la indeterminación en el limite, simplificación y resultado

 

15Ejercicio propuesto sobre limites

 

 

Calcular el límite de:

 

Ejercicio propuesto sobre limites

 

Evaluación directa lleva a indeterminación

 

Hallamos el inverso del inverso del segundo sumando

 

 Evitando la indeterminación en el limite

 

Elevamos al denominador y a su inverso
Simplificamos el exponente exterior

 

 Simplificación del limite y solución del mismo

 

16  Ejercicio propuesto sobre limites

 

17 Ejercicio propuesto sobre limites

 

18 Ejercicio propuesto sobre limites

 

19 Ejercicio propuesto sobre limites

 

20 Ejercicio propuesto sobre limites

 

21 Ejercicio propuesto sobre limites

 

22 Ejercicio propuesto sobre limites

 

23 Ejercicio propuesto sobre limites

 

 

Calcular:

 

Las indeterminaciones ∞/∞ las vamos a resolver por comparación de infinitos

 

16. Ejercicio propuesto sobre limites

 

El numerador de la base tiene mayor grado, por tanto su límite es ∞.

El numerador del exponente tiene mayor grado, por tanto su límite es ∞

 

Simplificación del limite y solución del mismo

 

17. Ejercicio propuesto sobre limites

 

El numerador de la base tiene mayor grado, por tanto su límite es ∞.

El numerador del exponente tiene mayor grado (con signo negativo),
por tanto su límite es –∞

 

Simplificación del limite y solución del mismo

 

18. Ejercicio propuesto sobre limites

 

El numerador de la base tiene mayor grado, por tanto su límite es ∞.

El numerador y el denominador del exponente tienen el mismo grado,
por tanto su límite es –3/5

 

Simplificación del limite y solución del mismo

 

El numerador de la base tiene mayor grado, por tanto su límite es ∞.

El numerador y el denominador del exponente tienen el mismo grado,
por tanto su límite es –3/5

 

19. Ejercicio propuesto sobre limites

 

El denominador de la base tiene mayor grado, por tanto su límite es 0.

El numerador del exponente tiene mayor grado, por tanto su límite es ∞

 

Simplificación del limite y solución del mismo

 

20. Ejercicio propuesto sobre limites

 

El denominador de la base tiene mayor grado, por tanto su límite es 0.

El numerador del exponente tiene mayor grado (con signo negativo),
por tanto su límite es –∞

 

Simplificación del limite y solución del mismo

 

21. Ejercicio propuesto sobre limites

 

El numerador y el denominador de la base tienen el mismo grado,
por tanto su límite es 2/3.

El denominador del exponente tiene mayor grado, por tanto su límite es 0

 

Simplificación del limite y solución del mismo

 

22. Ejercicio propuesto sobre limites

 

El numerador y el denominador de la base tienen el mismo
grado, por tanto su límite es 2/3.

El numerador del exponente tiene mayor grado (con signo
negativo), por tanto su límite es –∞

 

Simplificación del limite y solución del mismo

 

 

23. Ejercicio propuesto sobre limites

 

El numerador y el denominador de la base tienen el
mismo grado, por tanto su límite es 2/3

El numerador del exponente tiene mayor grado, por tanto
su límite es ∞

 

 

Simplificación del limite y solución del mismo

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Marta

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Velez
Velez
Invité
19 Oct.

Necesito ayuda con estos ejercicios.
(lim)┬(x→-∞)⁡〖f(x)〗
(lim)┬(x→∞)⁡〖f(x)〗
(lim)┬(x→〖-2〗^- )⁡〖f(x)〗
(lim)┬(x→-2^+ )⁡〖f(x)〗
(lim)┬(x→0^- )⁡〖f(x)〗
(lim)┬(x→0^+ )⁡〖f(x)〗

Carlos Alberto Palafox Benitez
Carlos Alberto Palafox Benitez
Invité
22 Oct.

Hay casos generales como son los primeros 2 que propones:
(lim)┬(x→-∞)⁡〖f(x)〗 = -∞
(lim)┬(x→∞)⁡〖f(x)〗 = ∞

Donde se puede dar una respuesta para una función no definida.

Pero en los demás casos, es necesario tener definida la función en la que vas a trabajar, es decir, para los demás ejercicios que necesitas resolver, es indispensable tener un función.

Espero haberte ayudado

Lucas
Lucas
Invité
29 Oct.

Necesito ayuda con el ejercicio lim (x->0+) (x÷(ln x))
Gracias de antemano

Gaspar Leon
Gaspar Leon
Editor
16 Jun.

Hola,
 
observa que al sustituir tenemos que el numerador es 0 mientras que el denominador no está definido, pero tiende a – ∞; así que aplicamos la regla de L’Hopital y el límite se convierte en
limx → 01/(1/x)= limx → 0x=0
 
Un saludo

muñoz
muñoz
Invité
23 Abr.

excelente muy didáctico

Superprof
Superprof
Administrateur
24 Abr.

¡Gracias!

Pepe
Pepe
Invité
29 Abr.

Al principio en el primer ejercicio, cuando dice que «Para comprobarlo vamos a tomar a ε = 0,01» la determinación del entorno está mal:
E2ε(1)= E 0.02(1)=2-0.02,2+0.02)=(1.98,2.02)

Luis Ernesto Sanchez Perez
Luis Ernesto Sanchez Perez
Editor
26 Jun.

Buen día

Gracias por tu comentario, ya se corrigieron los intervalos a lo correctos, (0.98, 1.02) para x y (1.99, 2.01) para f(x).

Saludos.

Alvarez
Alvarez
Invité
5 May.

No entendi

Superprof
Superprof
Administrateur
19 May.

Hola Paola, te aconsejamos usar el buscador arriba a la derecha para encontrar y leer todos nuestros artículos de teoría sobre limites de funciones y luego intentar hacer los ejercicios. ¡Un saludo!

Garzón santos
Garzón santos
Invité
7 May.

Me pueden ayudar con limites que se extiende a infinito de menos x al cuadrado más tres x más 5 por favor necesito para mañana

Luis Ernesto Sanchez Perez
Luis Ernesto Sanchez Perez
Editor
12 Jun.

¡Buen día!

Resolvamos el ejercicio.

Quieres calcular el límite

lim_{x -> inf} -x^2 + 3x + 5 = – inf

Esto sucede ya que el límite lo define el grado el coeficiente que multiplica la x con el mayor exponente (es un infinito de orden superior).

Saludos.

Serna
Serna
Invité
1 Jun.

Necesito ayuda
Lim. a-√w2cuadrado + a2 cuadrada/ b-√w2cuadrado + b2 cuadrada el número 2 es al cuadrado
w> 0

Karla Paulette Flores Silva
Karla Paulette Flores Silva
Editor
28 Jun.

Hola, ¿podrías reformular tu pregunta? Te recomendamos usar el símbolo «^» para potencias y así ya no será necesario escribir la palabra «cuadrado» en medio de la expresión. También puede resultar más entendible si encierras entre paréntesis lo que hay dentro de las raices, las potencias, etcétera. Por ejemplo

3x^2 + √(x+1) – yx – (x^2-)/(x+1)

Espero los comentarios te sean útiles,
¡saludos!

car
car
Invité
6 Jun.

Necesito ayuda con estos ejercicio
derivada por limites
f(x)= 〖(x-1)〗^2

Gaspar Leon
Gaspar Leon
Editor
8 Jul.

Hola,
 
la derivada mediante límites viene dada por
f’(x)=limh → 0[f(x+h)-f(x)]/h
 
Calculamos el numerador
f(x+h)-f(x)=(x+h-1)²-(x-1)²
f(x+h)-f(x)=x²+h²+1+2xh-2x-2h-x²+2x-1
f(x+h)-f(x)=h²+2xh-2h
f(x+h)-f(x)=h(h+2x-2)
 
Finalmente el límite es
f’(x)=limh → 0[f(x+h)-f(x)]/h= limh → 0(h+2x-2)=2x-2=2(x-1)
 
Un saludo