¿Qué es infinito y cómo resolvemos ejercicios de limites?

 

Cuando resolvemos límites con frecuencia necesitamos operar con el infinito. Sin embargo, debemos recordar que el infinito no es un número. En algunas ocasiones lo vamos a operar como un número con el fin de encontrar límites, no obstante, debemos tener en cuenta que en muchas ocasiones el infinito no se comporta como un número.

 

Existen algunas ocasiones donde la operación con el infinito está indeterminada. Esta es una de esas ocasiones donde \infty no se comporta como un número. Cuando nos encontramos con algunas de esas operaciones indeterminadas, debemos hacer una ligera modificación a la función a la cual estamos calculando el límite con el fin de evitar la indeterminación. Esto se conoce como "evitar la indeterminación"

 

La definición épsilon-delta del límite es la siguiente:

 

Un valor L es el límite de la función f(x) en a si para todo \varepsilon > 0 existe un \delta > 0 tal que para todo x que satisface | x - a | < \delta se cumple que |f(x) - L| < \varepsilon.

 

Verificar que se cumplen los criterios de la definición es una forma de demostrar que existe el límite para una función en un x dado.

 

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Ejercicios con la definición de límite

 

1 Utilizando la definición de límite (épsilon-delta), prueba que

 

\displaystyle \lim_{x \to 1}{\frac{x + 3}{2}} = 2

 

Consideremos un \varepsilon > 0 arbitrario. Debemos probar que existe un \delta > 0 que satisfaga la definición de límite.

 

Deseamos que cuando | x -  1 | < \delta (que todavía no conocemos), se cumpla que:

 

\displaystyle \left| f(x) - L \right| = \left| \frac{x + 3}{2} - 2 \right| < \varepsilon

 

Si simplicamos un poco, tenemos:

 

\displaystyle \left| \frac{x + 3}{2} - 2  \right| = \left| \frac{x + 3 - 4}{2} \right| = \left| \frac{x - 1}{2} \right| = \frac{\left| x - 1 \right|}{2} < \varepsilon

 

Nota que estamos tratando de dejar |x - 1| de un lado de la desigualdad para poder obtener una expresión para \delta. Si multiplicamos por 2 ambos lados de la desigualdad, obtendremos:

 

|x - 1| < 2\varepsilon

 

Por lo tanto, si tomamos \delta = 2\varepsilon se cumple la desigualdad. Con lo que terminamos la demostración.

 

¿Qué significa esto?

 

Significa que para cualquier \varepsilon > 0 que nos den, siempre podremos encontrar un \delta > 0 que satisfaga la definición debido a que ya tenemos la fórmula para ello —\delta = 2\varepsilon en este caso—.

 

Por ejemplo, si tuviéramos \varepsilon = 0.01, entonces \delta = 2 \cdot 0.01 = 0.02. Por lo tanto, si | x  - 1 | < 0.02 es equivalente a

 

-0.02 < x - 1 < 0.02 \qquad \Rightarrow \qquad 0.98 < x < 1.02.

 

Es decir, x \in (0.98, 1.02). Por lo tanto, si tomamos cualquier x en el intervalo (0.98, 1.02) se va a cumplir que

 

| f(x) - 2 | < 0.01

 

Por ejemplo, tomemos x = 0.99, entonces f(0.99) = 1.995. De este modo:

 

\displaystyle | f(x) - 2 | = |1.995 - 2 | = |-0.005| = 0.005 < 0.01 = \varepsilon

 

Similarmente, si tomamos x = 1.015, entonces f(x) = 2.0075. Por lo que:

 

\displaystyle | f(x) - 2 | = |2.0075 - 2 | = |0.0075| = 0.0075 < 0.01 = \varepsilon

 

Límites a partir de la gráfica de la función

 

2Observa la siguiente gráfica de f(x) y determina los límites que se solicitan:

 

Ejercicio propuesto sobre el calculo de limites en distintos puntos de la gráfica

 

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Ejercicio propuesto sobre el calculo de limites en distintos puntos de la gráfica

 

1 El primer límite que se nos pide es

 

\displaystyle \lim_{x \to -\infty}{f(x)}

 

Notemos que cuando \displaystyle x \to -\infty, es decir, cuando x decrece "infinitamente", la función también decrece infinitamente. Por lo tanto,

 

\displaystyle \lim_{x \to -\infty}{f(x)} = -\infty

 

2Ahora se nos pide determinar

 

\displaystyle \lim_{x \to -1}{f(x)}

 

En este caso observemos que cuando x se acerca mucho a -1 por la izquierda, la función decrece infinitamente. Por otro lado, cuando x se acerca mucho a -1 por la derecha, la función crece infinitamente. Por tanto, podemos concluir que el límite no existe.

 

3 Ahora se nos pide calcular

 

\displaystyle \lim_{x \to 1^{-}}{f(x)}

 

el cual se refiere al límite por la izquierda. Observemos que, cuando x se aproxima a 1 por la izquierda, la función decrece infinitamente. Por tanto, el límite es

 

\displaystyle \lim_{x \to 1^{-}}{f(x)} = -\infty

 

4 El cuarto límite es

 

\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}}{f(x)}

 

que se trata ahora del límite por la derecha. Por lo tanto,

 

\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}}{f(x)} = \infty

 

5 Por último se nos pide el límite

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{f(x)}

 

el cual es muy similar al primer límite. Podemos observar que x crece indefinidamente, f(x) también crece indefinidamente. Por lo tanto,

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{f(x)} = \infty

 

Cálculo de límites

 

3 Calcula el límite:

 

\displaystyle \lim_{x \to -\infty}{\left( \sqrt{x^2 + 3x} - \sqrt{x^2 + x} \right)}

 

Deseamos encontrar el límite

 

L = \displaystyle \lim_{x \to -\infty}{\left( \sqrt{x^2 + 3x} - \sqrt{x^2 + x} \right)}

 

Notemos, primero, que si "evaluamos en infinito", obtenemos una forma indeterminada:

 

L = \displaystyle \lim_{x \to -\infty}{\left( \sqrt{x^2 + 3x} - \sqrt{x^2 + x} \right)} = \infty - \infty

 

Como el valor de \infty - \infty no está determinado, necesitamos realizar una manipulación algebraica de nuestra función.

 

Antes de hacer la manipulación algebraica, transformemos el límite utilizando la propiedad:

 

\displaystyle \lim_{x \to -\infty}{f(x)} = \lim_{x \to \infty}{f(-x)}

 

Con lo que el límite resulta ser:

 

    \begin{align*} L & = \displaystyle \lim_{x \to \infty}{\left( \sqrt{(-x)^2 + 3(-x)} - \sqrt{(-x)^2 + (-x)} \right)}\\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty}{\left( \sqrt{x^2 - 3x} - \sqrt{x^2 - x} \right)} \end{align*}

 

Ahora necesitamos manipular algebraicamente los límites con el fin de eliminar la resta de infinitos. Esto se logra "racionalizando" (es decir, multiplicar y dividir por el conjugado):

 

    \begin{align*} L &= \displaystyle \lim_{x \to \infty}{\frac{\left( \sqrt{x^2 - 3x} - \sqrt{x^2 - x} \right) \cdot \left( \sqrt{x^2 - 3x} + \sqrt{x^2 - x} \right)}{ \sqrt{x^2 - 3x} + \sqrt{x^2 - x} }}\\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty}{\frac{x^2 - 3x - x^2 + x}{ \sqrt{x^2 - 3x} + \sqrt{x^2 - x} }}\\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty}{\frac{- 2x}{\sqrt{x^2 - 3x} + \sqrt{x^2 - x}}} = -\frac{\infty}{\infty} \end{align*}

 

Observemos que si evaluamos en infinito, volvemos a tener una nueva indeterminación. En este caso se trata de una indeterminación \infty / \infty. Para deshacernos de esta indeterminación debemos realizar otra manipulación algebraica. En este caso se trata de multiplicar y dividir por 1/x:

 

    \begin{align*} L & = \displaystyle \displaystyle \lim_{x \to \infty}{\frac{- 2x}{\sqrt{x^2 - 3x} + \sqrt{x^2 - x}}} \cdot \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}\\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty}{\frac{-2}{\sqrt{1 - \frac{3}{x}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x}}}} = \frac{-2}{2} = -1 \end{align*}

 

El cual es el resultado que buscábamos.

4 Calcula el siguiente límite:

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{\left( \frac{x^2}{x - 1} - \frac{x^2 + 1}{x - 2} \right)}

 

Ahora tenemos el límite:

 

\displaystyle L = \lim_{x \to \infty}{\left( \frac{x^2}{x - 1} - \frac{x^2 + 1}{x - 2} \right)}

 

Notemos que si evaluamos en infinito directamente, obtenemos:

 

\displaystyle L = \lim_{x \to \infty}{\left( \frac{x^2}{x - 1} - \frac{x^2 + 1}{x - 2} \right)} = \infty - \infty

 

Para deshacernos de esta indeterminación podemos sumar las fracciones (utilizando el común denominador)

 

    \begin{align*} \displaystyle L & = \lim_{x \to \infty}{\frac{x^3 - 2x^2 - x^3 - x + x^2 + 1}{x^2 - 3x + 2}}\\ & = \lim_{x \to \infty}{\frac{- x^2 - x + 1}{x^2 - 3x + 2}} = \frac{-\infty}{\infty} \end{align*}

 

Como ahora tenemos una indeterminación de la forma \infty/\infty, entonces buscaremos multiplicar y dividir por un término apropiado para evitar la indeterminación. El término apropiado es el monomio de mayor grado en el numerador o denominador, es decir, 1/x^2. Por lo tanto, nos queda:

 

    \begin{align*} \displaystyle L & = \lim_{x \to \infty}{\frac{- x^2 - x + 1}{x^2 - 3x + 2}} \cdot \frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}}\\ & = \lim_{x \to \infty}{\frac{- \frac{x^2}{x^2} - \frac{x}{x^2} + \frac{1}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} - \frac{3x}{x^2} + \frac{2}{x^2}} }\\ & = \lim_{x \to \infty}{\frac{- 1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}} } = \frac{-1}{1} = 1 \end{align*}

 

Por lo que el límite es -1.

5Calcula el siguiente límite:

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{\frac{7x - 1}{\sqrt[3]{5x^3 + 4x - 1} }}

 

Si evaluamos en infinito, obtenemos lo siguiente:

 

\displaystyle L = \lim_{x \to \infty}{\frac{7x - 1}{\sqrt[3]{5x^3 + 4x - 2}}} = \frac{\infty}{\infty}

 

La cual es una indeterminación de \infty/\infty. Por lo tanto, debemos multiplicar y dividir entre el monomio de mayor grado (ya sea en numerador o denominador). En este caso es 1/x —como el denominador involucra una raíz cúbica, entonces el "monomio" x^3 se considera como un monomio de grado 1—. Así:

 

    \begin{align*} L &= \lim_{x \to \infty}{\frac{7x - 1}{\sqrt[3]{5x^3 + 4x - 2}}} \cdot \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}\\ & = \lim_{x \to \infty}{\frac{\frac{7x}{x} - \frac{1}{x}}{\sqrt[3]{\frac{5x^3}{x^3} + \frac{4x}{x^3} - \frac{2}{x^3}}}}\\ & = \lim_{x \to \infty}{\frac{7 - \frac{1}{x}}{\sqrt[3]{5 + \frac{4}{x^2} - \frac{2}{x^3}}}}\\ \end{align*}

 

Que al "evaluar en infinito" tenemos:

 

\displaystyle L = \lim_{x \to \infty}{\frac{7 - \frac{1}{x}}{\sqrt[3]{5 + \frac{4}{x^2} - \frac{2}{x^3}}}} = \frac{7 - 0}{\sqrt[3]{5 + 0 - 0}} = \frac{7}{\sqrt[3]{5}}

6Evalúa el siguiente límite:

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \frac{\sqrt{4x^4 + x^2 + 1}}{x^2 + 1} }

Si evaluamos la función en infinito, obtenemos:

 

\displaystyle L = \lim_{x \to \infty}{ \frac{\sqrt{4x^4 + x^2 + 1}}{x^2 + 1} } = \frac{\infty}{\infty}

 

Por tanto, al ser una forma indeterminada, debemos multiplicar y dividir por el monomio de mayor grado (x^2; recordemos que las potencias del numerador las dividimos por 2 ya que se encuentran dentro de una raíz cuadrada):

 

(1)   \begin{align*}L &= \lim_{x \to \infty}{ \frac{\sqrt{4x^4 + x^2 + 1}}{x^2 + 1} \cdot \frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}}}\\ & = \lim_{x \to \infty}{\frac{ \sqrt{4 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^4}} }{1 + \frac{1}{x^2}}} \end{align*}

 

Luego, evaluando en infinito, tenemos:

 

\displaystyle L = \frac{\sqrt{4 + 0 + 0}}{1 + 0} = \frac{\sqrt{4}}{1} = 2

 

Por tanto, el límite es 2.

7 Evalúa el siguiente límite:

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{\frac{(x^2 + 1)^2 - 3x^2 + 3}{x^3 - 5}}

 

Si evaluamos la función en infinito, de inmediato podemos ver que:

 

\displaystyle L = \lim_{x \to \infty}{\frac{(x^2 + 1)^2 - 3x^2 + 3}{x^3 - 5}} = \frac{\infty}{\infty}

 

Por lo tanto, debemos realizar una manipulación algebraica para poder deshacernos de la indeterminación.

 

Este límite lo podemos resolver de dos maneras.

 

1 Por comparación de infinitos:

 

Primero expandemos el binomio al cuadrado, así obtenemos

 

\displaystyle L = \lim_{x \to \infty}{\frac{x^4 - x^2 + 4}{x^3 - 5}} = \infty

 

Notemos que en el numerador obtenemos x^4 mientras que en el denominador tenemos x^3 como los términos de mayor grado. Por consiguiente, el grado del numerador es mayor y el límite será \infty. Recordemos que cuando grado del numerador es mayor, entonces el límite es \infty si los términos de mayor grado tienen el mismo signo.

 

2 Dividiendo numerador y denominador por el término de mayor grado:

 

    \begin{align*} L & = \lim_{x \to \infty}{\frac{x^4 - x^2 + 4}{x^3 - 5}}\\ & = \lim_{x \to \infty}{\frac{ \frac{x^4}{x^4} - \frac{x^2}{x^4} + \frac{4}{x^4}}{ \frac{x^3}{x^4} - \frac{5}{x^4}}}\\ & = \lim_{x \to \infty}{\frac{ 1 - \frac{1}{x^2} + \frac{4}{x^4}}{ \frac{1}{x} - \frac{5}{x^4}}} & = \frac{1}{0} = \infty \end{align*}

 

Observemos que, en general, 1/0 es una forma indeterminada. Sin embargo, estamos calculando un límite cuando x \to \infty, además, tanto el numerador como el denominador son positivos conforme x crece, Por lo tanto, podemos concluir que el límite será \infty.

8 Calcula el siguiente límite:

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{\frac{\log(x^8 - 5)}{x^2}}

 

Si evaluamos en infinito, tenemos:

 

\displaystyle L = \lim_{x \to \infty}{\frac{\log(x^8 - 5)}{x^2}} = \frac{\infty}{\infty}

 

Sin embargo, el infinito del denominador tiene un orden superior. Por lo tanto, podemos concluir que L = 0.

 

No obstante, demostrar que el límite es 0 sin utilizar L'Hopital o criterio del "orden" es complicado. Para hacerlo, denotemos:

 

\displaystyle f(x) = \frac{\log(x^8 - 5)}{x^2}

 

Para encontrar el límite, debemos buscar dos funciones h(x) y g(x) tales que h(x) \leq f(x) \leq g(x) y

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{h(x)} = 0, \qquad \lim_{x \to \infty}{g(x)} = 0

 

Si encontramos estas funciones, entonces podemos concluir que \lim_{x \to \infty}{f(x)} = 0.

 

En primer lugar, observemos que cuando x^8 - 5 > 1, entonces \log(x^8 - 5) \geq 0 (y esto se cumple cuando x es grande). Asimismo, tenemos que x^2 > 0 para x > 0. Por lo tanto, tenemos que:

 

\displaystyle f(x) = \frac{\log(x^8 - 5)}{x^2} \geq 0

 

cuando x "es suficientemente grande". Así, tenemos que h(x) = 0 donde es claro que \lim_{x \to \infty}{h(x)} = 0.

 

Para encontrar la segunda función, primero notemos que \log es una función creciente, por lo tanto, debido a que x^8 \geq x^8 - 5, entonces \log(x^8) \geq \log(x^8 - 5). Así, tenemos que

 

\displaystyle \frac{\log(x^8 - 5)}{x^2} \leq \frac{\log(x^8)}{x^2}

 

ahora, si tomamos y = e^y, entonces podemos escribir

 

\displaystyle \frac{\log(x^8)}{x^2} = \frac{\log(e^{8y})}{e^{2y}} = \frac{8y}{e^{2y}}

 

Una propiedad muy importante sobre la función exponencial es

 

\displaystyle e^x > \frac{x^n}{n!}

 

para cualquier n \in \mathbb{N} y x > 0. Si tomamos n = 2, entonces tenemos

 

\displaystyle e^{2y} > \frac{(2y)^2}{2!} = \frac{4y^2}{2} = 2y^2

 

De aquí se sigue que

 

\displaystyle \frac{1}{e^{2y}} < \frac{1}{2y^2}

 

Por lo tanto, tenemos que

 

\displaystyle \frac{\log(x^8 - 5)}{x^2} \leq \frac{\log(x^8)}{x^2} < \frac{8y}{2y^2} = \frac{4}{y} = \frac{4}{\log x}

 

Así, g(x) = 4/\log x donde \lim_{x \to \infty}{g(x)} = 0. Además, h(x) \leq f(x) < g(x). Por lo tanto, \lim_{x \to \infty}{f(x)} = 0.

9 Calcula el siguiente límite:

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{\frac{3^x - 1}{\sqrt{x^7 + x^5}} }

 

Si evaluamos en \infty, entonces obtenemos

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{\frac{3^x - 1}{\sqrt{x^7 + x^5}} } = \frac{\infty}{\infty}

 

También aquí podemos observar el "órden" del denominador y numerador para determinar el límite. En este caso el numerador tiene un límite de orden superior, por lo tanto,

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{\frac{3^x - 1}{\sqrt{x^7 + x^5}} } = \infty

 

Para demostrarlo, denotemos

 

\displaystyle f(x) = \frac{3^x - 1}{\sqrt{x^7 + x^5}} }

 

y debemos encontrar una función g(x) tal que g(x) < f(x) y \lim_{x \to \infty}{g(x)} = \infty. En primer lugar, observemos que cuando x \to \infty, entonces x^7 + x^5 \to \infty (es decir, el radicando es positivo para un x lo suficientemente grande). Además, \sqrt{x^7 + x^5} < x^7 + x^5 cuando x^7 + x^5 > 1, por lo tanto

 

\displaystyle \frac{3^x - 1}{\sqrt{x^7 + x^5}} } > \frac{3^x - 1}{x^7 + x^5}

 

Ahora notemos que si y = 3^x, entonces x = \log_3 y = \ln y / \ln 3. De aquí se sigue que

 

\displaystyle \ln y = x\ln 3 \qquad \Longrightarrow \qquad y = e^{x \ln 3}

 

Por tanto, 3^x = e^{x\ln 3}. Asimismo, como sabemos que

 

\displaystyle e^x > \frac{x^n}{n!}

 

cuando x > 0, entonces tenemos que

 

\displaystyle e^{x\ln 3} > \frac{(x\ln 3)^8}{8!} = \frac{\ln^8 3 x^8}{8!}

 

Así, tenemos que

 

\displaystyle \frac{3^x - 1}{\sqrt{x^7 + x^5}} } > \frac{\ln^8 (3) x^8/8! - 1}{x^7 + x^5} = \frac{1}{8!} \frac{\ln^8 3 x^8 - 8!}{x^7 + x^5} = g(x)

 

donde \lim{x \to \infty}{g(x)} = \infty. Por lo tanto, el límite es

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{\frac{3^x - 1}{\sqrt{x^7 + x^5}} } = \infty

10 Calcula el siguiente límite:

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \frac{x^7 + x^5 + x^3}{ \left( \frac{1}{2} \right)^x } }

 

Al evaluar en infinito, tenemos que

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \frac{x^7 + x^5 + x^3}{ \left( \frac{1}{2} \right)^x } } = \frac{\infty}{0} = \infty

 

Por lo tanto, el límite debe ser infinito, pues tanto el numerador como el denominador son positivos para un x suficientemente grande. Para verlo de forma más clara, notemos que

 

\displaystyle \frac{x^7 + x^5 + x^3}{\left( \frac{1}{2} \right)^x} = \frac{x^7 + x^5 + x^3}{\frac{1^x}{2^x}} = 2^x (x^7 + x^5 + x^3)

 

Por tanto,

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \frac{x^7 + x^5 + x^3}{ \left( \frac{1}{2} \right)^x } } = \lim_{x \to \infty}{ 2^x (x^7 + x^5 + x^3) } = \infty \cdot \infty = \infty

11 Calcula el siguiente límite:

 

\displaystyle \lim_{x \to 0}{ \frac{2}{3 + 4^{1/x}} }

 

Si evaluamos en 0, tenemos

 

\displaystyle \lim_{x \to 0}{ \frac{2}{3 + 4^{1/x}} } = \frac{2}{3 + 4^{1/0}}

 

donde tenemos una forma indeterminada de la forma 1/0. Notemos que en este caso no podemos decir que 1/ 0 = \infty ya que estamos calculando un límite cuando x \to 0 y x es positivo o negativo cerca del 0 (cuando calculamos límites x \to \infty esto no suele ser un problema).

 

Por tanto, debemos calcular los límites laterales:

 

1 Primero calculamos el límite por la izquierda

 

    \begin{align*} \lim_{x \to 0^{-}}{ \frac{2}{3 + 4^{1/x}} } & = \frac{2}{3 + 4^{1/0^{-}}} = \frac{2}{3 + 4^{-\infty}} & = \frac{2}{3 + \frac{1}{4^\infty}} = \frac{2}{3 + \frac{1}{\infty}} = \frac{2}{3 + 0} = \frac{2}{3} \end{align*}

 

2 Ahora calculamos el límite por la derecha

 

    \begin{align*} \lim_{x \to 0^{+}}{ \frac{2}{3 + 4^{1/x}} } & = \frac{2}{3 + 4^{1/0^{+}}} = \frac{2}{3 + 4^{\infty}} & = \frac{2}{3 + \infty} = \frac{2}{\infty} = 0 \end{align*}

 

Aquí podemos observar que los dos límites laterales son diferentes, por lo tanto, el límite cuando x \to 0 no existe.

12 Calcula el siguiente límite:

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \sqrt{18x^2 + 1} \frac{1}{\sqrt{32x^2 - 3}} }

 

Si "evaluamos en infinito", obtenemos

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \sqrt{18x^2 + 1} \frac{1}{\sqrt{32x^2 - 3}} } = \infty \cdot 0

 

Por lo tanto, debemos realizar una manipulación algebraica. Primero escribamos el límite como una sola fracción:

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \sqrt{18x^2 + 1} \frac{1}{\sqrt{32x^2 - 3}} } = \lim_{x \to \infty}{ \frac{\sqrt{18x^2 + 1}}{\sqrt{32x^2 - 3}} }

 

Ahora dividamos el numerador y denominador por el coeficiente de mayor grado (es decir x ya que se encuentra dentro de una raíz):

 

    \begin{align*} \lim_{x \to \infty}{ \sqrt{18x^2 + 1} \frac{1}{\sqrt{32x^2 - 3}} } & = \lim_{x \to \infty}{ \frac{\sqrt{18x^2 + 1}}{\sqrt{32x^2 - 3}} \frac{1/x}{1/x} }\\ & = \lim_{x \to \infty}{ \frac{\sqrt{18 + \frac{1}{x^2}}{\sqrt{32 - \frac{3}{x^2}} } \end{align*}

 

Ahora ya podemos evaluar en infinito, de modo que obtenemos:

 

*** QuickLaTeX cannot compile formula: \begin{align*} \lim_{x \to \infty}{ \sqrt{18x^2 + 1} \frac{1}{\sqrt{32x^2 - 3}} } & = \frac{\sqrt{18 + \frac{1}{\infty}}{\sqrt{32 - \frac{3}{\infty}}\\ & = \frac{\sqrt{18 + 8}}{\sqrt{32 - 0}} = \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{32}} = \sqrt{\frac{18}{32}} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4} \end{align*}  *** Error message: File ended while scanning use of \align*.  Emergency stop.   

 

Por lo tanto, el límite es 3/4.

 

13 Encuentra el siguiente límite:

 

\displaystyle \lim_{x \to 0}{\frac{(1 + x)^2 - 1}{x}}

 

Si evaluamos en 0, podemos observar que

 

\displaystyle \lim_{x \to 0}{\frac{(1 + x)^2 - 1}{x}} = \frac{0}{0}

 

por lo que tenemos una indeterminación y necesitamos realizar una manipulación algebraica. Para esto, expandemos el binomio al cuadrado:

 

    \begin{align*} \lim_{x \to 0}{\frac{(1 + x)^2 - 1}{x}} & = \lim_{x \to 0}{\frac{x^2 + 2x + 1 - 1}{x}}\\ & = \lim_{x \to 0}{\frac{x^2 + 2x}{x}}\\ & = \lim_{x \to 0}{x + 2} \end{align*}

 

Si evaluamos ahora en 0, obtenemos:

 

\displaystyle \lim_{x \to 0}{\frac{(1 + x)^2 - 1}{x}} = \lim_{x \to 0}{x + 2} = 0 + 2 = 2

 

Por tanto, el límite es 2.

14 Evalúa el siguiente límite:

 

\displaystyle \lim_{x \to 3}{\frac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6}}

 

Si evaluamos en 3, obtendremos

 

\displaystyle \lim_{x \to 3}{\frac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6}} = \frac{9 - 9}{9 - 15 + 6} = \frac{0}{0}

 

Por lo que podemos observar que tenemos, de nuevo, una forma indeterminada. Para evitar la indeterminación factorizaremos tanto el numerador como el denominador (observemos que el numerador es una diferencia de cuadrados; mientras que el denominador se puede factorizar al encontrar un par de números que multiplicados resulten 6 y que sumados resulten -5):

 

\displaystyle \lim_{x \to 3}{\frac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6}} = \lim_{x \to 3}{\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(x-2)}

 

De este modo, podemos cancelar x - 3 para tener

 

\displaystyle \lim_{x \to 3}{\frac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6}} = \lim_{x \to 3}{\frac{x + 3}{x-2} = \frac{3 + 3}{3 - 2} = 6

 

Así, el límite es 6.

15 Calcula el siguiente límite:

 

\displaystyle \lim_{x \to 3}{ \frac{\sqrt{x + 1} - 2}{x - 3} }

 

Si evaluamos la función en 3, observamos que

 

\displaystyle \lim_{x \to 3}{ \frac{\sqrt{x + 1} - 2}{x - 3} } = \frac{\sqrt{4} - 2}{0} = \frac{0}{0}

 

De modo que tenemos una indeterminación y debemos realizar una manipulación algebraica. En este caso, como tenemos una expresión con radicales, debemos multiplicar y dividir la fracción por el conjugado del numerador (ya que es el que tiene el radical):

 

    \begin{align*} \lim_{x \to 3}{ \frac{\sqrt{x + 1} - 2}{x - 3} } & = \lim_{x \to 3}{ \frac{\sqrt{x + 1} - 2}{x - 3} \cdot \frac{\sqrt{x + 1} + 2}{\sqrt{x + 1} + 2} }\\ & = \lim_{x \to 3}{ \frac{(x + 1) - 4}{(x - 3)\left( \sqrt{x + 1} + 2 \right)} } \end{align*}

 

lo cual se obtiene debido a que tenemos unos "binomios conjugados" en el numerador. Simplificando:

 

    \begin{align*} \lim_{x \to 3}{ \frac{\sqrt{x + 1} - 2}{x - 3} } & = \lim_{x \to 3}{ \frac{x - 3}{(x - 3)\left( \sqrt{x + 1} + 2 \right)}}\\ & = \lim_{x \to 3}{ \frac{1}{\sqrt{x + 1} + 2 } } \end{align*}

 

Ahora sí podemos evaluar en 3, de donde obtenemos:

 

    \begin{align*} \lim_{x \to 3}{ \frac{\sqrt{x + 1} - 2}{x - 3} } & = \lim_{x \to 3}{ \frac{1}{\sqrt{x + 1} + 2 } }\\ & = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{4} \end{align*}

 

Por tanto, el límite es 1/4.

 

Límites de una función elevada a otra función

 

Recordemos que la definición de e es:

 

\displaystyle e = \lim_{n \to \infty}{\left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n}}

 

En algunos casos donde tenemos una indeterminación de la forma 1^{\infty} será necesario reescribir la expresión de una forma similar a la definición de e; de este modo podremos calcular el límite.

 

16 Calcula el siguiente límite:

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{\left( 1 + \frac{1}{x + 2} \right)^{x - 1}}

 

Si evaluamos en \infty, obtendremos:

 

\displaystyle L = \lim_{x \to \infty}{\left( 1 + \frac{1}{x + 2} \right)^{x - 1}} = \left( 1 + \frac{1}{\infty} \right)^{\infty} = 1^{\infty}

 

La cual es una forma indeterminada. Por lo tanto, debemos realizar manipulaciones algebraicas para obtener alguna expresión similar a la definición de e. Para ello, primero sumamos y restamos 2 en el exponente (denotaremos al límite como L):

 

\displaystyle L = \lim_{x \to \infty}{\left( 1 + \frac{1}{x + 2} \right)^{x + 2 - 2 - 1}} = \lim_{x \to \infty}{\left( 1 + \frac{1}{x + 2} \right)^{x + 2 - 3}}

 

Luego utilizamos propiedades de los exponentes:

 

\displaystyle L = \lim_{x \to \infty}{\left( 1 + \frac{1}{x + 2} \right)^{x + 2 - 2 - 1}} = \lim_{x \to \infty}{\left( 1 + \frac{1}{x + 2} \right)^{x + 2} \cdot \left( 1 + \frac{1}{x + 2} \right)^{-3}}

 

Observemos que la primera potencia coincide con la definición de e con n = x + 2. Por lo tanto, el límite es:

 

\displaystyle L = \lim_{x \to \infty}{\left( 1 + \frac{1}{x + 2} \right)^{x + 2} \cdot \left( 1 + \frac{1}{x + 2} \right)^{-3}} = e \cdot \left(1 + \frac{1}{\infty} \right)^{-3} = e \cdot 1^{-3} = e

17 Calcula el siguiente límite:

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{\left( 1 - \frac{2}{3x} \right)^x

 

Al evaluar en infinito, tenemos:

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{\left( 1 - \frac{2}{3x} \right)^x = \left(1 - \frac{2}{\infty} \right)^{\infty} = 1^{\infty}

 

Por tanto, debemos realizar una manipulación algebraica para obtener una expresión similar a la definición de e. Para hacerlo, primero modificamos la expresión que tenemos dentro de los paréntesis (y denotamos como L al límite):

 

\displaystyle L = \lim_{x \to \infty}{\left( 1 - \frac{2}{3x} \right)^x = \lim_{x \to \infty}{\left( 1 + \frac{2}{-3x} \right)^x = \lim_{x \to \infty}{\left( 1 + \frac{1}{-\frac{3}{2}x} \right)^x

 

Por tanto, en el exponente debemos tener -\tfrac{3}{2}x de alguna manera. Observemos que esto se logra al hacer:

 

\displaystyle L = \lim_{x \to \infty}{\left( 1 + \frac{1}{-\frac{3}{2}x} \right)^x = \lim_{x \to \infty}{\left( 1 + \frac{1}{-\frac{3}{2}x} \right)^{\left(-\frac{2}{3}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)x}

 

Luego utilizamos propiedades de los exponentes:

 

\displaystyle L = \lim_{x \to \infty}{\left( 1 + \frac{1}{-\frac{3}{2}x} \right)^{\left(-\frac{2}{3}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)x} = \left[ \lim_{x \to \infty}{\left( 1 + \frac{1}{-\frac{3}{2}x} \right)^{-\frac{3}{2}x} \right]^{-\frac{2}{3}}

 

Ahora podemos calcular el límite (notando que lo que está dentro de los corchetes cuadrados es la definición de e con n = -\tfrac{3}{2}x):

 

\displaystyle L = \left[ \lim_{x \to \infty}{\left( 1 + \frac{1}{-\frac{3}{2}x} \right)^{-\frac{3}{2}x} \right]^{-\frac{2}{3}} = e^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{e^{2/3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{e^2}}

 

Límites con formas que no son indeterminadas.

 

Nota: las formas \infty^{\infty}, 0^{\infty}, \infty^{-\infty} y \infty^{c} para algún c \in \mathbb{R}, c \neq 0 no son formas indeterminadas. Si obtenemos alguna de estas formas podemos calcular el límite con confianza.

 

18 Calcula el siguiente límite:

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \left( \frac{2x^2}{3x + 1} \right)^{\frac{3x^2 + 2}{5x - 3}}}

 

Si evaluamos en \infty, de inmediato vemos que tenemos:

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \left( \frac{2x^2}{3x + 1} \right)^{\frac{3x^2 + 2}{5x - 3}}} = \left( \frac{\infty}{\infty} \right)^{\left( \frac{\infty}{\infty} \right)}

 

Para resolverlo, utilizaremos comparación de infinitos en las dos fracciones. Primero notemos que

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \frac{2x^2}{3x + 1}} = \infty

 

ya que el numerado es un polinomio de mayor grado (y los coeficientes principales tienen el mismo signo). Similarmente,

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \frac{3x^2 + 2}{5x - 3} } = \infty

 

por el mismo motivo. Por lo tanto, el límite es:

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \left( \frac{2x^2}{3x + 1} \right)^{\frac{3x^2 + 2}{5x - 3}}} = \infty^{\infty} = \infty

 

ya que la última expresión no se trata de una forma indeterminada.

19 Determina el siguiente límite:

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \left( \frac{2x^2}{3x + 1} \right)^{\frac{-3x^2 + 2}{5x - 3}}}

 

De nuevo, si evaluamos en infinito obtendremos:

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \left( \frac{2x^2}{3x + 1} \right)^{\frac{-3x^2 + 2}{5x - 3}}} = \left( \frac{\infty}{\infty} \right)^{\left( \frac{\infty}{\infty} \right)}

 

No obstante, si resolvemos los límites de las fracciones (comparando los órdenes de los infinitos), podemos observar que:

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \frac{2x^2}{3x + 1} } = \infty

 

ya que el numerador es un polinomio de mayor grado y los coeficientes principales tienen el mismo signo. Por otro lado,

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \frac{-3x^2 + 2}{5x - 3} } = -\infty

 

porque el numerador es un polinomio de mayor grado, pero los coeficientes principales tienen signo diferente. De este modo, tenemos que el límite es:

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \left( \frac{2x^2}{3x + 1} \right)^{\frac{-3x^2 + 2}{5x - 3}}} = \left( \infty \right)^{-\infty} = \frac{1}{\infty^{\inft}} = \frac{1}{\infty} = 0

20 Determina el siguiente límite:

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \left( \frac{2x^2}{3x + 1} \right)^{\frac{-3x^2 + 2}{5x^2 - 3}}}

 

De nuevo, si evaluamos al infinito tenemos que

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \left( \frac{2x^2}{3x + 1} \right)^{\frac{-3x^2 + 2}{5x^2 - 3}} } = \left( \frac{\infty}{\infty} \right)^{\left( \frac{-\infty}{\infty} \right)}

 

Por tanto, evaluamos los límites de las fracciones por separado. En la base de la potencia tenemos que el numerador es un polinomio de mayor grado, además de que los coeficientes principales tienen el mismo signo, por lo tanto

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \frac{2x^2}{3x + 1} } = \infty

 

Por otro lado, en el exponente tanto el numerador como el denominador son polinomios con el mismo orden. Por consiguiente, el límite es el cociente de los coeficientes principales:

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \frac{-3x^2 + 2}{5x^2 - 3}} = -\frac{3}{5}

 

Por lo tanto, el límite es

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \left( \frac{2x^2}{3x + 1} \right)^{\frac{-3x^2 + 2}{5x^2 - 3}} } = \infty^{-3/5} = \frac{1}{\infty^{3/5}} = 0

 

ya que \infty^{c} = \infty si c \neq 0.

21 Evalúa el siguiente límite:

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \left( \frac{2x^2}{3x^3 + 1} \right)^{\frac{3x^2 + 2}{5x - 3}}}

 

Si evaluamos al infinito tenemos que

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \left( \frac{2x^2}{3x^3 + 1} \right)^{\frac{3x^2 + 2}{5x - 3}} } = \left( \frac{\infty}{\infty} \right)^{\left( \frac{\infty}{\infty} \right)}

 

Por lo que tenemos que evaluar los límites de las fracciones por separado para determinar el límite general. Tenemos que

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \frac{2x^2}{3x^3 + 1} } = 0

 

ya que el denominador es un polinomio de mayor grado. Asimismo,

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \frac{3x^2 + 2}{5x - 3} } = \infty

 

debido a que el numerador es un polinomio de mayor grado y los coeficientes principales tienen el mismo signo. Por lo tanto, el límite es

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \left( \frac{2x^2}{3x^3 + 1} \right)^{\frac{3x^2 + 2}{5x - 3}} } = 0^{\infty} = 0

 

debido a que 0^{\infty} = 0 (es decir, no es una forma indeterminada).

22 Evalúa el siguiente límite:

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \left( \frac{2x^2}{3x^3 + 1} \right)^{\frac{-3x^2 + 2}{5x - 3}}}

 

Este límite es prácticamente igual al anterior, con solo un signo de diferencia.

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \left( \frac{2x^2}{3x^3 + 1} \right)^{\frac{-3x^2 + 2}{5x - 3}} } = \left( \frac{\infty}{\infty} \right)^{\left( \frac{-\infty}{\infty} \right)}

 

Así que tenemos que evaluar los límites de las fracciones por separado para determinar el límite general. Al igual que en el caso anterior, tenemos que

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \frac{2x^2}{3x^3 + 1} } = 0

 

ya que el denominador es un polinomio de mayor grado. Asimismo, tenemos que

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \frac{-3x^2 + 2}{5x - 3} } = -\infty

 

debido a que el numerador es un polinomio de mayor grado y los coeficientes principales tienen signo distinto. Por lo tanto, el límite es

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \left( \frac{2x^2}{3x^3 + 1} \right)^{\frac{-3x^2 + 2}{5x^2 - 3}} } = 0^{-\infty}

 

notemos que esta sí es una forma indeterminada. Por lo tanto, debemos utilizar la propiedad:

 

\displaystyle \left( \frac{a}{b} \right)^{-c} = \left( \frac{b}{a} \right)^{c}

 

de manera que

 

    \begin{align*} \lim_{x \to \infty}{ \left( \frac{2x^2}{3x^3 + 1} \right)^{\frac{-3x^2 + 2}{5x^2 - 3}} } & = \lim_{x \to \infty}{ \left( \frac{2x^2}{3x^3 + 1} \right)^{\frac{-(3x^2 - 2)}{5x^2 - 3}} }\\ & = \lim_{x \to \infty}{ \left( \frac{3x^3 + 1}{2x^2} \right)^{\frac{3x^2 - 2}{5x^2 - 3}} }\\ \end{align*}

 

En este caso,

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \frac{3x^3 + 1}{2x^2} } = \infty; \qquad \lim_{x \to \infty}{ \frac{3x^2 - 2}{5x - 3} } = \infty

 

Por lo que

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \left( \frac{3x^3 + 1}{2x^2} \right)^{\frac{3x^2 - 2}{5x^2 - 3}} } = \infty^\infty = \infty

 

Nota: es importante escribirlo de esta manera. El motivo es que 0^{-\infty} sí es una forma indeterminada (es decir, podemos construrir distintas funciones donde esa forma indeterminada "converja" a un valor distinto).

23 Evalúa el siguiente límite:

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \left( \frac{2x^2}{3x^2 + 1} \right)^{\frac{-3x + 2}{5x^2 - 3}}}

 

Al igual que en los casos anteriores, si evaluamos en infinito, obtenemos

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \left( \frac{2x^2}{3x^2 + 1} \right)^{\frac{-3x + 2}{5x^2 - 3}}} = \left( \frac{\infty}{\infty} \right)^{\left( \frac{-\infty}{\infty} \right)}

 

Y al igual que en los casos anteriores, calculamos los límites de cada fracción por separado:

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \frac{2x^2}{3x^2 + 1} } = \frac{2}{3}

 

ya que el numerador y el denominador son polinomios del mismo grado (por lo que el límite es el cociende de los coeficientes principales). Asimismo, tenemos que

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \frac{-3x + 2}{5x^2 - 3} } = 0

 

de forma que el límite es

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \left( \frac{2x^2}{3x^2 + 1} \right)^{\frac{-3x + 2}{5x^2 - 3}}} = \left( \frac{2}{3} \right)^{0} = 1

24 Evalúa el siguiente límite:

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \left( \frac{2x^2}{3x^2 + 1} \right)^{\frac{-3x^2 + 2}{5x - 3}}}

 

Como en los casos anteriores, al evaluar en infinito tenemos

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \left( \frac{2x^2}{3x^2 + 1} \right)^{\frac{-3x^2 + 2}{5x - 3}}} = \left( \frac{\infty}{\infty} \right)^{\left( \frac{-\infty}{\infty} \right)}

 

Calculamos los límites de cada fracción por separado:

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \frac{2x^2}{3x^2 + 1} } = \frac{2}{3}

 

ya que el numerador y el denominador son polinomios del mismo grado (por lo que el límite es el cociende de los coeficientes principales). Además, tenemos que

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \frac{-3x^2 + 2}{5x - 3} } = -\infty

 

puesto que el numerador es un polinomio de mayor grado y los coeficientes principales tienen signos diferentes. Así, el límite es

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \left( \frac{2x^2}{3x^2 + 1} \right)^{\frac{-3x^2 + 2}{5x - 3}}} = \left( \frac{2}{3} \right)^{-\infty} = \left( \frac{3}{2} \right)^{\infty} = \infty

 

ya que tenemos un una expresión de la forma r^{\infty} donde r > 1.

25 Determina el siguiente límite:

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \left( \frac{2x^2}{3x^2 + 1} \right)^{\frac{3x^2 + 2}{5x - 3}}}

 

Como en los casos anteriores, al evaluar en infinito tenemos

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \left( \frac{2x^2}{3x^2 + 1} \right)^{\frac{3x^2 + 2}{5x - 3}}} = \left( \frac{\infty}{\infty} \right)^{\left( \frac{\infty}{\infty} \right)}

 

nota que la función es prácticamente la misma que la anterior, pero con solo un signo cambiado. Calculamos los límites de cada fracción por separado:

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \frac{2x^2}{3x^2 + 1} } = \frac{2}{3}

 

ya que el numerador y el denominador son polinomios del mismo grado (por lo que el límite es el cociende de los coeficientes principales). Además, tenemos que

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \frac{3x^2 + 2}{5x - 3} } = \infty

 

debido a que el numerador es un polinomio de mayor grado y los signos de los coeficientes principales son iguales. De esta forma, el límite es

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \left( \frac{2x^2}{3x^2 + 1} \right)^{\frac{3x^2 + 2}{5x - 3}}} = \left( \frac{2}{3} \right)^{\infty} = 0

 

ya que tenemos un una expresión de la forma r^{\infty} donde 0 < r < 1.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗