Ejercicios de límites de funciones, limites en intervalos y limites en un punto especifico

Consideremos un arbitrario. Debemos probar que existe un que satisfaga la definición de límite.

Deseamos que cuando (que todavía no conocemos), se cumpla que:

Si simplicamos un poco, tenemos:

Nota que estamos tratando de dejar de un lado de la desigualdad para poder obtener una expresión para . Si multiplicamos por 2 ambos lados de la desigualdad, obtendremos:

Por lo tanto, si tomamos se cumple la desigualdad. Con lo que terminamos la demostración.

¿Qué significa esto?

Significa que para cualquier que nos den, siempre podremos encontrar un que satisfaga la definición debido a que ya tenemos la fórmula para ello — en este caso—.

Por ejemplo, si tuviéramos , entonces . Por lo tanto, si es equivalente a

.

Es decir, . Por lo tanto, si tomamos cualquier en el intervalo se va a cumplir que

Por ejemplo, tomemos , entonces . De este modo:

Similarmente, si tomamos , entonces . Por lo que:

1 El primer límite que se nos pide es

Notemos que cuando , es decir, cuando decrece "infinitamente", la función también decrece infinitamente. Por lo tanto,

2Ahora se nos pide determinar

En este caso observemos que cuando se acerca mucho a por la izquierda, la función decrece infinitamente. Por otro lado, cuando se acerca mucho a por la derecha, la función crece infinitamente. Por tanto, podemos concluir que el límite no existe.

3 Ahora se nos pide calcular

el cual se refiere al límite por la izquierda. Observemos que, cuando se aproxima a por la izquierda, la función decrece infinitamente. Por tanto, el límite es

4 El cuarto límite es

que se trata ahora del límite por la derecha. Por lo tanto,

5 Por último se nos pide el límite

el cual es muy similar al primer límite. Podemos observar que crece indefinidamente, también crece indefinidamente. Por lo tanto,

Deseamos encontrar el límite

Notemos, primero, que si "evaluamos en infinito", obtenemos una forma indeterminada:

Como el valor de no está determinado, necesitamos realizar una manipulación algebraica de nuestra función.

Antes de hacer la manipulación algebraica, transformemos el límite utilizando la propiedad:

Con lo que el límite resulta ser:

Ahora necesitamos manipular algebraicamente los límites con el fin de eliminar la resta de infinitos. Esto se logra "racionalizando" (es decir, multiplicar y dividir por el conjugado):

Observemos que si evaluamos en infinito, volvemos a tener una nueva indeterminación. En este caso se trata de una indeterminación . Para deshacernos de esta indeterminación debemos realizar otra manipulación algebraica. En este caso se trata de multiplicar y dividir por :

El cual es el resultado que buscábamos.

Ahora tenemos el límite:

Notemos que si evaluamos en infinito directamente, obtenemos:

Para deshacernos de esta indeterminación podemos sumar las fracciones (utilizando el común denominador)

Como ahora tenemos una indeterminación de la forma , entonces buscaremos multiplicar y dividir por un término apropiado para evitar la indeterminación. El término apropiado es el monomio de mayor grado en el numerador o denominador, es decir, . Por lo tanto, nos queda:

Por lo que el límite es .

Si evaluamos en infinito, obtenemos lo siguiente:

La cual es una indeterminación de . Por lo tanto, debemos multiplicar y dividir entre el monomio de mayor grado (ya sea en numerador o denominador). En este caso es —como el denominador involucra una raíz cúbica, entonces el "monomio" se considera como un monomio de grado 1—. Así:

Que al "evaluar en infinito" tenemos:

Si evaluamos la función en infinito, obtenemos:

Por tanto, al ser una forma indeterminada, debemos multiplicar y dividir por el monomio de mayor grado (; recordemos que las potencias del numerador las dividimos por 2 ya que se encuentran dentro de una raíz cuadrada):

Luego, evaluando en infinito, tenemos:

Por tanto, el límite es 2.

Si evaluamos la función en infinito, de inmediato podemos ver que:

Por lo tanto, debemos realizar una manipulación algebraica para poder deshacernos de la indeterminación.

Este límite lo podemos resolver de dos maneras.

1 Por comparación de infinitos:

Primero expandemos el binomio al cuadrado, así obtenemos

Notemos que en el numerador obtenemos mientras que en el denominador tenemos como los términos de mayor grado. Por consiguiente, el grado del numerador es mayor y el límite será . Recordemos que cuando grado del numerador es mayor, entonces el límite es si los términos de mayor grado tienen el mismo signo.

2 Dividiendo numerador y denominador por el término de mayor grado:

Observemos que, en general, es una forma indeterminada. Sin embargo, estamos calculando un límite cuando , además, tanto el numerador como el denominador son positivos conforme crece, Por lo tanto, podemos concluir que el límite será .

Si evaluamos en infinito, tenemos:

Sin embargo, el infinito del denominador tiene un orden superior. Por lo tanto, podemos concluir que .

No obstante, demostrar que el límite es 0 sin utilizar L'Hopital o criterio del "orden" es complicado. Para hacerlo, denotemos:

Para encontrar el límite, debemos buscar dos funciones y tales que y

Si encontramos estas funciones, entonces podemos concluir que .

En primer lugar, observemos que cuando , entonces (y esto se cumple cuando es grande). Asimismo, tenemos que para . Por lo tanto, tenemos que:

cuando "es suficientemente grande". Así, tenemos que donde es claro que .

Para encontrar la segunda función, primero notemos que es una función creciente, por lo tanto, debido a que , entonces . Así, tenemos que

ahora, si tomamos , entonces podemos escribir

Una propiedad muy importante sobre la función exponencial es

para cualquier y . Si tomamos , entonces tenemos

De aquí se sigue que

Por lo tanto, tenemos que

Así, donde . Además, . Por lo tanto, .

Si evaluamos en , entonces obtenemos

También aquí podemos observar el "órden" del denominador y numerador para determinar el límite. En este caso el numerador tiene un límite de orden superior, por lo tanto,

Para demostrarlo, denotemos

y debemos encontrar una función tal que y . En primer lugar, observemos que cuando , entonces (es decir, el radicando es positivo para un lo suficientemente grande). Además, cuando , por lo tanto

Ahora notemos que si , entonces . De aquí se sigue que

Por tanto, . Asimismo, como sabemos que

cuando , entonces tenemos que

Así, tenemos que

donde . Por lo tanto, el límite es

Al evaluar en infinito, tenemos que

Por lo tanto, el límite debe ser infinito, pues tanto el numerador como el denominador son positivos para un suficientemente grande. Para verlo de forma más clara, notemos que

Por tanto,

Si evaluamos en 0, tenemos

donde tenemos una forma indeterminada de la forma . Notemos que en este caso no podemos decir que ya que estamos calculando un límite cuando y es positivo o negativo cerca del 0 (cuando calculamos límites esto no suele ser un problema).

Por tanto, debemos calcular los límites laterales:

1 Primero calculamos el límite por la izquierda

2 Ahora calculamos el límite por la derecha

Aquí podemos observar que los dos límites laterales son diferentes, por lo tanto, el límite cuando no existe.

Si "evaluamos en infinito", obtenemos

Por lo tanto, debemos realizar una manipulación algebraica. Primero escribamos el límite como una sola fracción:

Ahora dividamos el numerador y denominador por el coeficiente de mayor grado (es decir ya que se encuentra dentro de una raíz):

Ahora ya podemos evaluar en infinito, de modo que obtenemos:

Por lo tanto, el límite es .

Si evaluamos en 0, podemos observar que

por lo que tenemos una indeterminación y necesitamos realizar una manipulación algebraica. Para esto, expandemos el binomio al cuadrado:

Si evaluamos ahora en 0, obtenemos:

Por tanto, el límite es 2.

Si evaluamos en 3, obtendremos

Por lo que podemos observar que tenemos, de nuevo, una forma indeterminada. Para evitar la indeterminación factorizaremos tanto el numerador como el denominador (observemos que el numerador es una diferencia de cuadrados; mientras que el denominador se puede factorizar al encontrar un par de números que multiplicados resulten 6 y que sumados resulten -5):

De este modo, podemos cancelar para tener

Así, el límite es 6.

Si evaluamos la función en 3, observamos que

De modo que tenemos una indeterminación y debemos realizar una manipulación algebraica. En este caso, como tenemos una expresión con radicales, debemos multiplicar y dividir la fracción por el conjugado del numerador (ya que es el que tiene el radical):

lo cual se obtiene debido a que tenemos unos "binomios conjugados" en el numerador. Simplificando:

Ahora sí podemos evaluar en 3, de donde obtenemos:

Por tanto, el límite es .

Si evaluamos en , obtendremos:

La cual es una forma indeterminada. Por lo tanto, debemos realizar manipulaciones algebraicas para obtener alguna expresión similar a la definición de . Para ello, primero sumamos y restamos 2 en el exponente (denotaremos al límite como ):

Luego utilizamos propiedades de los exponentes:

Observemos que la primera potencia coincide con la definición de con . Por lo tanto, el límite es:

Al evaluar en infinito, tenemos:

Por tanto, debemos realizar una manipulación algebraica para obtener una expresión similar a la definición de . Para hacerlo, primero modificamos la expresión que tenemos dentro de los paréntesis (y denotamos como al límite):

Por tanto, en el exponente debemos tener de alguna manera. Observemos que esto se logra al hacer:

Luego utilizamos propiedades de los exponentes:

Ahora podemos calcular el límite (notando que lo que está dentro de los corchetes cuadrados es la definición de con ):

Si evaluamos en , de inmediato vemos que tenemos:

Para resolverlo, utilizaremos comparación de infinitos en las dos fracciones. Primero notemos que

ya que el numerado es un polinomio de mayor grado (y los coeficientes principales tienen el mismo signo). Similarmente,

por el mismo motivo. Por lo tanto, el límite es:

ya que la última expresión no se trata de una forma indeterminada.

De nuevo, si evaluamos en infinito obtendremos:

No obstante, si resolvemos los límites de las fracciones (comparando los órdenes de los infinitos), podemos observar que:

ya que el numerador es un polinomio de mayor grado y los coeficientes principales tienen el mismo signo. Por otro lado,

porque el numerador es un polinomio de mayor grado, pero los coeficientes principales tienen signo diferente. De este modo, tenemos que el límite es:

De nuevo, si evaluamos al infinito tenemos que

Por tanto, evaluamos los límites de las fracciones por separado. En la base de la potencia tenemos que el numerador es un polinomio de mayor grado, además de que los coeficientes principales tienen el mismo signo, por lo tanto

Por otro lado, en el exponente tanto el numerador como el denominador son polinomios con el mismo orden. Por consiguiente, el límite es el cociente de los coeficientes principales:

Por lo tanto, el límite es

ya que si .

Si evaluamos al infinito tenemos que

Por lo que tenemos que evaluar los límites de las fracciones por separado para determinar el límite general. Tenemos que

ya que el denominador es un polinomio de mayor grado. Asimismo,

debido a que el numerador es un polinomio de mayor grado y los coeficientes principales tienen el mismo signo. Por lo tanto, el límite es

debido a que (es decir, no es una forma indeterminada).

Este límite es prácticamente igual al anterior, con solo un signo de diferencia.

Así que tenemos que evaluar los límites de las fracciones por separado para determinar el límite general. Al igual que en el caso anterior, tenemos que

ya que el denominador es un polinomio de mayor grado. Asimismo, tenemos que

debido a que el numerador es un polinomio de mayor grado y los coeficientes principales tienen signo distinto. Por lo tanto, el límite es

notemos que esta sí es una forma indeterminada. Por lo tanto, debemos utilizar la propiedad:

de manera que

En este caso,

Por lo que

Nota: es importante escribirlo de esta manera. El motivo es que sí es una forma indeterminada (es decir, podemos construrir distintas funciones donde esa forma indeterminada "converja" a un valor distinto).

Al igual que en los casos anteriores, si evaluamos en infinito, obtenemos

Y al igual que en los casos anteriores, calculamos los límites de cada fracción por separado:

ya que el numerador y el denominador son polinomios del mismo grado (por lo que el límite es el cociende de los coeficientes principales). Asimismo, tenemos que

de forma que el límite es

Como en los casos anteriores, al evaluar en infinito tenemos

Calculamos los límites de cada fracción por separado:

ya que el numerador y el denominador son polinomios del mismo grado (por lo que el límite es el cociende de los coeficientes principales). Además, tenemos que

puesto que el numerador es un polinomio de mayor grado y los coeficientes principales tienen signos diferentes. Así, el límite es

ya que tenemos un una expresión de la forma donde .

Como en los casos anteriores, al evaluar en infinito tenemos

nota que la función es prácticamente la misma que la anterior, pero con solo un signo cambiado. Calculamos los límites de cada fracción por separado:

ya que el numerador y el denominador son polinomios del mismo grado (por lo que el límite es el cociende de los coeficientes principales). Además, tenemos que

debido a que el numerador es un polinomio de mayor grado y los signos de los coeficientes principales son iguales. De esta forma, el límite es

ya que tenemos un una expresión de la forma donde .