1Encontrar los intervalos donde la siguiente función es cóncava o convexa:

    $$f(x)=3x-x^{3}.$$

Primero notemos que el dominio de la función es D=\mathbb{R}.
Ahora utilizaremos el criterio de concavidad-convexidad de la segunda derivada, el cual

nos dice que la que función será cóncava en los intervalos donde la segunda derivada

sea positiva y será convexa en los intervalos donde la segunda derivada sea negativa.

Primero procedemos a obtener la segunda derivada

    $$f'(x)=3-3x^{2},$$

    $$f''(x)=-6x.$$

Luego procedemos a obtener los puntos donde la segunda derivada se anula, lo cual

nos dará los puntos de inflexión

    $$f''(x)=-6x=0\quad\Rightarrow\quad x=0.$$

Finalmente, analizamos en que intervalos la segunda derivada es positiva o negativa

    $$f''(x)=-6x>0\quad\Rightarrow\quad x\in(-\infty,0),$$

    $$f''(x)=-6x<0\quad\Rightarrow\quad x\in(0,\infty).$$

Esto ultimo nos dice que f(x) es cóncava en (-\infty,0) y convexa en (0,\infty).

2Encontrar los intervalos donde la siguiente función es cóncava o convexa:

    $$f(x)=x^{4}-2x^{2}-8.$$

Primero notemos que el dominio de la función es D=\mathbb{R}.Ahora utilizaremos el criterio de concavidad-convexidad de la segunda derivada, el cualnos dice que la que función será cóncava en los intervalos donde la segunda derivada

sea positiva y será convexa en los intervalos donde la segunda derivada sea negativa.

Primero procedemos a obtener la segunda derivada

    $$f'(x)=4x^{3}-4x,$$

    $$f''(x)=12x-4.$$

Luego procedemos a obtener los puntos donde la segunda derivada se anula, lo cual

nos dará los puntos de inflexión

    $$f''(x)=12x-4=0\quad\Rightarrow\quad x=\pm\cfrac{1}{\sqrt{3}}=\pm\cfrac{\sqrt{3}}{3}.$$

Finalmente, analizamos en que intervalos la segunda derivada es positiva o negativa

    $$f''(x)=12x-4>0\quad\Rightarrow\quad x\in\left(-\infty,-\cfrac{\sqrt{3}}{3}\right)\cup\left(\cfrac{\sqrt{3}}{3},\infty\right),$$

    $$f''(x)=12x-4<0\quad\Rightarrow\quad x\in\left(-\cfrac{\sqrt{3}}{3},\cfrac{\sqrt{3}}{3}\right).$$

Esto ultimo nos dice que f(x) es cóncava en \left(-\infty,-\cfrac{\sqrt{3}}{3}\right)\cup\left(\cfrac{\sqrt{3}}{3},\infty\right) y convexa en \left(-\cfrac{\sqrt{3}}{3},\cfrac{\sqrt{3}}{3}\right).

3Encontrar los intervalos donde la siguiente función es cóncava o convexa:

    $$f(x)=\cfrac{x^{3}}{(x-1)^{2}}.$$

Primero notemos que el dominio de la función es D=\mathbb{R}-\left{1\right}.Ahora utilizaremos el criterio de concavidad-convexidad de la segunda derivada, el cualnos dice que la que función será cóncava en los intervalos donde la segunda derivada

sea positiva y será convexa en los intervalos donde la segunda derivada sea negativa.

Primero procedemos a obtener la segunda derivada

    $$f'(x)=\cfrac{x^{3}-3x^{2}}{(x-1)^{3}},$$

    $$f''(x)=\cfrac{6x}{(x-1)^{4}}.$$

Luego procedemos a obtener los puntos donde la segunda derivada se anula, lo cual

nos dará los puntos de inflexión

    $$f''(x)=\cfrac{6x}{(x-1)^{4}}=0\quad\Rightarrow\quad x=0.$$

Finalmente, analizamos en que intervalos la segunda derivada es positiva o negativa

    $$f''(x)=\cfrac{6x}{(x-1)^{4}}>0\quad\Rightarrow\quad x\in\left(0,1\right)\cup\left(1,\infty\right),$$

    $$f''(x)=\cfrac{6x}{(x-1)^{4}}<0\quad\Rightarrow\quad x\in\left(-\infty,0\right).$$

Esto ultimo nos dice que f(x) es cóncava en \left(0,1\right)\cup\left(1,\infty\right) y convexa en \left(-\infty,0\right).

4Encontrar los intervalos donde la siguiente función es cóncava o convexa:

    $$f(x)=\cfrac{x^{4}+1}{x^{2}}.$$

Primero notemos que el dominio de la función es D=\mathbb{R}-\left{ 0 \right}.Ahora utilizaremos el criterio de concavidad-convexidad de la segunda derivada, el cualnos dice que la que función será cóncava en los intervalos donde la segunda derivada

sea positiva y será convexa en los intervalos donde la segunda derivada sea negativa.

Primero procedemos a obtener la segunda derivada

    $$f'(x)=\cfrac{2(x^{4}-1)}{x^{3}},$$

    $$f''(x)=\cfrac{2(x^{4}+3)}{x^{4}}.$$

Luego procedemos a obtener los puntos donde la segunda derivada se anula, lo cual

nos dará los puntos de inflexión

    $$f''(x)=\cfrac{2(x^{4}+3)}{x^{4}}=0\quad\Rightarrow\quad x=\sqrt[4]{-3}.$$

Finalmente, analizamos en que intervalos la segunda derivada es positiva o negativa

    $$f''(x)=\cfrac{2(x^{4}+3)}{x^{4}}>0\quad\Rightarrow\quad x\in\left(-\infty,0\right)\cup\left(0,\infty\right),$$

    $$f''(x)=\cfrac{2(x^{4}+3)}{x^{4}}<0\quad\Rightarrow\quad \text{no aplica}.$$

Esto ultimo nos dice que f(x) es cóncava en \left(-\infty,0\right)\cup\left(0,\infty\right) y no tiene intervalos de convexidad.

5Encontrar los intervalos donde la siguiente función es cóncava o convexa:

    $$f(x)=\cfrac{x^{2}}{2-x}.$$

Primero notemos que el dominio de la función es D=\mathbb{R}-\left{ 2 \right}.Ahora utilizaremos el criterio de concavidad-convexidad de la segunda derivada, el cualnos dice que la que función será cóncava en los intervalos donde la segunda derivada

sea positiva y será convexa en los intervalos donde la segunda derivada sea negativa.

Primero procedemos a obtener la segunda derivada

    $$f'(x)=\cfrac{4x-x^{2}}{(2-x)^{2}},$$

    $$f''(x)=\cfrac{8}{(2-x)^{3}}.$$

Luego procedemos a obtener los puntos donde la segunda derivada se anula, lo cual

nos dará los puntos de inflexión

    $$f''(x)=\cfrac{8}{(2-x)^{3}}=0\quad\Rightarrow\quad \text{Sin solución}.$$

Finalmente, analizamos en que intervalos la segunda derivada es positiva o negativa

    $$f''(x)=\cfrac{8}{(2-x)^{3}}>0\quad\Rightarrow\quad x\in\left(-\infty,2\right),$$

    $$f''(x)=\cfrac{8}{(2-x)^{3}}<0\quad\Rightarrow\quad x\in\left(2,\infty\right).$$

Esto ultimo nos dice que f(x) es cóncava en \left(-\infty,2\right) y convexa en \left(2,\infty\right).

6Encontrar los intervalos donde la siguiente función es cóncava o convexa:

    $$f(x)=\cfrac{x}{1+x^{2}}.$$

Primero notemos que el dominio de la función es D=\mathbb{R}.Ahora utilizaremos el criterio de concavidad-convexidad de la segunda derivada, el cualnos dice que la que función será cóncava en los intervalos donde la segunda derivada

sea positiva y será convexa en los intervalos donde la segunda derivada sea negativa.

Primero procedemos a obtener la segunda derivada

    $$f'(x)=\cfrac{1-x^{2}}{(1+x^{2})^{2}},$$

    $$f''(x)=\cfrac{2x^{3}-6x}{(1+x^{2})^{3}}.$$

Luego procedemos a obtener los puntos donde la segunda derivada se anula, lo cual

nos dará los puntos de inflexión

    $$f''(x)=\cfrac{2x^{3}-6x}{(1+x^{2})^{3}}=0\quad\Rightarrow\quad x=0,\quad x=\pm\sqrt{3}.$$

Finalmente, analizamos en que intervalos la segunda derivada es positiva o negativa

    $$f''(x)=\cfrac{2x^{3}-6x}{(1+x^{2})^{3}}>0\quad\Rightarrow\quad x\in\left(-\sqrt{3},0\right)\cup\left(\sqrt{3},\infty\right),$$

    $$f''(x)=\cfrac{2x^{3}-6x}{(1+x^{2})^{3}}<0\quad\Rightarrow\quad x\in\left(-\infty,-\sqrt{3}\right)\cup\left(0,\sqrt{3}\right).$$

Esto ultimo nos dice que f(x) es cóncava en \left(-\sqrt{3},0\right)\cup\left(\sqrt{3},\infty\right) y convexa en \left(-\infty,-\sqrt{3}\right)\cup\left(0,\sqrt{3}\right).

7Encontrar los intervalos donde la siguiente función es cóncava o convexa:

    $$f(x)=x+\sqrt{x}.$$

Primero notemos que el dominio de la función es D=[0,\infty).Ahora utilizaremos el criterio de concavidad-convexidad de la segunda derivada, el cualnos dice que la que función será cóncava en los intervalos donde la segunda derivada

sea positiva y será convexa en los intervalos donde la segunda derivada sea negativa.

Primero procedemos a obtener la segunda derivada

    $$f'(x)=1+\cfrac{1}{2\sqrt{x}},$$

    $$f''(x)=\cfrac{-1}{4x\sqrt{x}}.$$

Luego procedemos a obtener los puntos donde la segunda derivada se anula, lo cual

nos dará los puntos de inflexión

    $$f''(x)=\cfrac{-1}{4x\sqrt{x}}=0\quad\Rightarrow\quad \text{Sin solución}.$$

Finalmente, analizamos en que intervalos la segunda derivada es positiva o negativa

    $$f''(x)=\cfrac{-1}{4x\sqrt{x}}>0\quad\Rightarrow\quad \text{Sin solución},$$

    $$f''(x)=\cfrac{-1}{4x\sqrt{x}}<0\quad\Rightarrow\quad x\in\left(0,\infty\right).$$

Esto ultimo nos dice que f(x) no tiene intervalos donde es cóncava y es convexa en \left(0,\infty\right).

8Encontrar los intervalos donde la siguiente función es cóncava o convexa:

    $$f(x)={\rm e}^{-x^{2}}.$$

Primero notemos que el dominio de la función es D=\mathbb{R}.Ahora utilizaremos el criterio de concavidad-convexidad de la segunda derivada, el cualnos dice que la que función será cóncava en los intervalos donde la segunda derivada

sea positiva y será convexa en los intervalos donde la segunda derivada sea negativa.

Primero procedemos a obtener la segunda derivada

    $$f'(x)=-2x{\rm e}^{-x^{2}},$$

    $$f''(x)=-2{\rm e}^{-x^{2}}-2x{\rm e}^{-x^{2}}(-2x)=2{\rm e}^{-x^{2}}(2x^{2}-1).$$

Luego procedemos a obtener los puntos donde la segunda derivada se anula, lo cual

nos dará los puntos de inflexión

    $$f''(x)=2{\rm e}^{-x^{2}}(2x^{2}-1)=0\quad\Rightarrow\quad x=\pm\cfrac{1}{\sqrt{2}}=\pm\cfrac{\sqrt{2}}{2}.$$

Finalmente, analizamos en que intervalos la segunda derivada es positiva o negativa

    $$f''(x)=2{\rm e}^{-x^{2}}(2x^{2}-1)>0\quad\Rightarrow\quad x\in\left(-\infty,-\cfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\cup$$

    $$\left(\cfrac{\sqrt{2}}{2},\infty\right),$$

    $$f''(x)=2{\rm e}^{-x^{2}}(2x^{2}-1)<0\quad\Rightarrow\quad x\in\left(-\cfrac{\sqrt{2}}{2},\cfrac{\sqrt{2}}{2}\right).$$

Esto ultimo nos dice que f(x) es cóncava \left(-\infty,-\cfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\cfrac{\sqrt{2}}{2},\infty\right) y es convexa en \left(-\cfrac{\sqrt{2}}{2},\cfrac{\sqrt{2}}{2}\right).

9Encontrar los intervalos donde la siguiente función es cóncava o convexa:

    $$f(x)={\rm e}^{\frac{1}{x}}.$$

Primero notemos que el dominio de la función es D=\mathbb{R}-0.Ahora utilizaremos el criterio de concavidad-convexidad de la segunda derivada, el cualnos dice que la que función será cóncava en los intervalos donde la segunda derivada

sea positiva y será convexa en los intervalos donde la segunda derivada sea negativa.

Primero procedemos a obtener la segunda derivada

    $$f'(x)=\cfrac{-1}{x^{2}}{\rm e}^{\frac{1}{x}},$$

    $$f''(x)=\cfrac{1}{x^{4}}{\rm e}^{\frac{1}{x}}(2x+1).$$

Luego procedemos a obtener los puntos donde la segunda derivada se anula, lo cual

nos dará los puntos de inflexión

    $$f''(x)=\cfrac{1}{x^{4}}{\rm e}^{\frac{1}{x}}(2x+1)=0\quad\Rightarrow\quad x=\cfrac{-1}{2}.$$

Finalmente, analizamos en que intervalos la segunda derivada es positiva o negativa

    $$f''(x)=\cfrac{1}{x^{4}}{\rm e}^{\frac{1}{x}}(2x+1)>0\quad\Rightarrow\quad x\in\left(\cfrac{-1}{2},0\right)\cup(0,\infty)$$

    $$f''(x)=\cfrac{1}{x^{4}}{\rm e}^{\frac{1}{x}}(2x+1)<0\quad\Rightarrow\quad x\in\left(-\infty,\cfrac{-1}{2}\right).$$

Esto ultimo nos dice que f(x) es cóncava \left(\cfrac{-1}{2},0\right)\cup(0,\infty) y es convexa en \left(-\infty,\cfrac{-1}{2}\right)

10Encontrar los intervalos donde la siguiente función es cóncava o convexa:

    $$f(x)=(x-1){\rm e}^{-x}.$$

Primero notemos que el dominio de la función es D=\mathbb{R}-0.Ahora utilizaremos el criterio de concavidad-convexidad de la segunda derivada, el cualnos dice que la que función será cóncava en los intervalos donde la segunda derivada

sea positiva y será convexa en los intervalos donde la segunda derivada sea negativa.

Primero procedemos a obtener la segunda derivada

    $$f'(x)={\rm e}^{-x}(2-x),$$

    $$f''(x)={\rm e}^{-x}(x-3).$$

Luego procedemos a obtener los puntos donde la segunda derivada se anula, lo cual

nos dará los puntos de inflexión

    $$f''(x)={\rm e}^{-x}(x-3)=0\quad\Rightarrow\quad x=3.$$

Finalmente, analizamos en que intervalos la segunda derivada es positiva o negativa

    $$f''(x)={\rm e}^{-x}(x-3)>0\quad\Rightarrow\quad x\in\left(3,\infty\right)$$

    $$f''(x)={\rm e}^{-x}(x-3)<0\quad\Rightarrow\quad x\in\left(-\infty,3\right).$$

Esto ultimo nos dice que f(x) es cóncava \left(3,\infty\right) y es convexa en \left(-\infty,3\right)

11Encontrar los intervalos donde la siguiente función es cóncava o convexa:

    $$f(x)=\cfrac{1}{2\sqrt{2\pi}}{\rm e}^{-\frac{1}{2}x^{2}}.$$

 

Primero notemos que el dominio de la función es D=\mathbb{R}.Ahora utilizaremos el criterio de concavidad-convexidad de la segunda derivada, el cualnos dice que la que función será cóncava en los intervalos donde la segunda derivada

sea positiva y será convexa en los intervalos donde la segunda derivada sea negativa.

Primero procedemos a obtener la segunda derivada

    $$f'(x)=-\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}x{\rm e}^{-\frac{1}{2}x^{2}},$$

    $$f''(x)=\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}(x^{2}-1){\rm e}^{-\frac{1}{2}x^{2}}.$$

Luego procedemos a obtener los puntos donde la segunda derivada se anula, lo cual

nos dará los puntos de inflexión

    $$f''(x)=\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}(x^{2}-1){\rm e}^{-\frac{1}{2}x^{2}}=0\quad\Rightarrow\quad x=\pm1.$$

Finalmente, analizamos en que intervalos la segunda derivada es positiva o negativa

    $$f''(x)=\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}(x^{2}-1){\rm e}^{-\frac{1}{2}x^{2}}>0\quad\Rightarrow\quad x\in\left(-\infty,-1\right)\cup(1,\infty)$$

    $$f''(x)=\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}(x^{2}-1){\rm e}^{-\frac{1}{2}x^{2}}<0\quad\Rightarrow\quad x\in\left(-1,1\right).$$

Esto ultimo nos dice que f(x) es cóncava \left(-\infty,-1\right)\cup(1,\infty) y es convexa en \left(-1,1\right).

12Encontrar los intervalos donde la siguiente función es cóncava o convexa:

    $$f(x)=\cfrac{{\rm ln}x}{x}.$$

Primero notemos que el dominio de la función es D=\mathbb{R}^{+}=(0,\infty).Ahora utilizaremos el criterio de concavidad-convexidad de la segunda derivada, el cualnos dice que la que función será cóncava en los intervalos donde la segunda derivada

sea positiva y será convexa en los intervalos donde la segunda derivada sea negativa.

Primero procedemos a obtener la segunda derivada

    $$f'(x)=-\cfrac{1-{\rm ln}x}{x^{2}},$$

    $$f''(x)=\cfrac{2{\rm ln}x-3}{x^{3}}.$$

Luego procedemos a obtener los puntos donde la segunda derivada se anula, lo cual

nos dará los puntos de inflexión

    $$f''(x)=\cfrac{2{\rm ln}x-3}{x^{3}}=0\quad\Rightarrow\quad x={\rm e}^{\frac{3}{2}}.$$

Finalmente, analizamos en que intervalos la segunda derivada es positiva o negativa

    $$f''(x)=\cfrac{2{\rm ln}x-3}{x^{3}}>0\quad\Rightarrow\quad x\in\left({\rm e}^{\frac{3}{2}},\infty\right)$$

    $$f''(x)=\cfrac{2{\rm ln}x-3}{x^{3}}<0\quad\Rightarrow\quad x\in\left(0,{\rm e}^{\frac{3}{2}}\right).$$

Esto ultimo nos dice que f(x) es cóncava \left({\rm e}^{\frac{3}{2}},\infty\right) y es convexa en \left(0,{\rm e}^{\frac{3}{2}}\right).

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗