1 Demuestra que la función {f(x) = x^{2}- 4x + 2} corta al eje de las abscisas en el intervalo {[0,2]}. ¿Se puede decir lo mismo de la función {f(x)=\displaystyle\frac{2x-3}{x-1}}?

 

 

Demuestra que la función {f(x) = x^{2}- 4x + 2} corta al eje de las abscisas en el intervalo {[0,2]}. ¿Se puede decir lo mismo de la función {f(x)=\displaystyle\frac{2x-3}{x-1}}?

 

1La primera función es continua en todo {\mathbb{R}}.

 

2{f(0) = 0^{2} - 4(0) + 2 > 0}.

 

{f(2) = 2^{2} - 4 (2) + 2 < 0}

 

3Como se cumple el teorema de Bolzano, existe al menos un {c} que pertenece al intervalo {(0, 2)} que corta al eje de abscisas.

 

4No podemos afirmar lo mismo de la segunda función ya que no es continua en {x = 1}.

 

2 Sea la función:

{f(x)=\displaystyle\frac{x^{2}+4x-2}{x^{2}-2x+1}}

¿Se puede afirmar que {f(x)} está acotada en el intervalo {[1,4]}?

 

 

Sea la función:

{f(x)=\displaystyle\frac{x^{2}+4x-2}{x^{2}-2x+1}}

¿Se puede afirmar que {f(x)} está acotada en el intervalo {[1,4]}?

 

1 La función {f(x)} no es continua en {x=1}.

 

2 Entonces la función no es continua en el intervalo cerrado {[1,4]}.

 

3 Como consecuencia no podemos afirmar que la función esté acotada en dicho intervalo.

 

3 Sea la función {f(x)= x^{2} + 1}. ¿Se puede afirmar que la función toma todos los valores del intervalo {[1,5]}?

 

 

Sea la función {f(x)= x^{2} + 1}. ¿Se puede afirmar que la función toma todos los valores del intervalo {[1,5]}?

 

1La función es continua en toda {\mathbb{R}} por ser una función polinómica.

 

2Es en el intervalo {[0,2]} donde se verifica que {f(0) = 1} y {f(2)= 5}.

 

3Por la propiedad de Darboux, la función alcanza todos los valores comprendidos en el intervalo {[1,5]}}.

 

4 Utilizando el teorema de Bolzano, demostrar que la ecuación: {x^{3}+ x - 5 = 0}, tiene al menos una solución {x = a} tal que {1 < a < 2}.

 

 

Utilizando el teorema de Bolzano, demostrar que la ecuación: {x^{3}+ x - 5 = 0}, tiene al menos una solución {x = a} tal que {1 < a < 2}.

 

1{f(x)} es continua en {[1, 2]}

 

2La función cambia de signo en {[1, 2]}

 

{f(1) = 1^{3} + 1 - 5 = -3 < 0}

 

{f(2) = 2^{3} + 2 - 5 = 5 > 0}

 

3Por cumplirse las tres propiedades anteriores según el teorema de Bolzano, existe {c \in (1,2)} tal que:

 

{f(c) = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ c^{3} + c - 5 = 0}.

 

4Por tanto existe al menos una solución real a la ecuación {x^{3} + x -5 = 0}.

 

5 Sea la función {f(x) = x^{3} - x^{2} + 1}. ¿Se puede afirmar que existe al menos un punto {c} en el interior del intervalo {[1,2]} tal que {f(c) = 0}?

 

 

Sea la función {f(x) = x^{3} - x^{2} + 1}. ¿Se puede afirmar que existe al menos un punto {c} en el interior del intervalo {[1,2]} tal que {f(c) = 0}?

 

1{f(x)} es continua en {[1, 2]}.

 

2La función no cambia de signo en {[1, 2]}

 

{f(1) = 1^{3} - 1^{2} + 1 = 1 > 0}.

 

{f(2) = 2^{3} - 2^{2} + 1 = 5 > 0}.

 

3No puede aplicarse el teorema de Bolzano porque no cambia de signo.

 

6 Justificar que la función polinómica {f(x) = x^{3} + x + 1} tiene un cero comprendido entre {-1} y {0}.

 

 

Justificar que la función polinómica {f(x) = x^{3} + x + 1} tiene un cero comprendido entre {-1} y {0}.

 

1 Por ser polinómica la función es continua en el intervalo {[-1, 0]}.

 

{f(-1) = (-1)^{3} + (-1) + 1 = -1 < 0}.

 

{f(0) = 0^{3} + 0 + 1 = 1 > 0}.

 

2Por cumplirse las tres propiedades anteriores según el teorema de Bolzano, existe {c \in (-1, 0)} tal que:

 

{f(c) = 0}

 

7 Demostrar que la ecuación {e^{-x} + 2 = x} tiene al menos una solución real.

 

 

Demostrar que la ecuación {e^{-x} + 2 = x} tiene al menos una solución real.

 

1 La función es continua en el intervalo {[0, 3]}.

 

{f(0) = e^{-0} + 2 - 0 > 0}.

 

{f(3) = e^{-3} + 2 - 3 < 0}.

 

2 Por cumplirse las tres propiedades anteriores según el teorema de Bolzano, existe {c \in (0, 3)} tal que:

 

{f(c) = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ e^{-c} + 2 = c}.

 

3 Por tanto existe al menos una solución real a la ecuación {e^{-x} + 2 = x}.

 

8 Demostrar que existe algún número real {x} tal que {sen \; x = x}.

 

 

Demostrar que existe algún número real {x} tal que {sen \; x = x}.

 

1 Consideremos la función {f(x) = sen x - x}.

 

Es continua en todo {\mathbb{R}}.

 

{f(-\pi) = sen (-\pi) - (-\pi) = 0 + \pi =\pi > 0}

 

{f(\pi) = sen (\pi) - (\pi) = 0 - \pi = -\pi < 0}

 

2 Por cumplirse las tres propiedades anteriores según el teorema de Bolzano, existe {c \in (-\pi, \pi)} tal que:

 

{f(c) = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ sen \; c = c}

 

3 Por tanto existe al menos una solución real a la ecuación {sen \; x = x}.

 

9 Dada la función:

{f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle\frac{7-(16)^{\frac{1}{x}}}{1+(16)^{\frac{1}{x}}} & \mbox{si} \ x\neq 0 \\ & \\ 7 & \mbox{si} \ x= 0 \end{array}\right.}

Demuestra que existe un punto del intervalo abierto {(2, 4)} en el que {f} toma el valor {1}.

 

 

Dada la función:

{f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle\frac{7-(16)^{\frac{1}{x}}}{1+(16)^{\frac{1}{x}}} & \mbox{si} \ x\neq 0 \\ & \\ 7 & \mbox{si} \ x= 0 \end{array}\right.}

Demuestra que existe un punto del intervalo abierto {(2, 4)} en el que {f} toma el valor {1}.

 

1 La función exponencial es positiva para toda {x \in \mathbb{R}}, por tanto el denominador de la función no se puede anular.

 

2 Sólo hay duda de la continuidad en {x = 0}, que está fuera del intervalo a estudiar, por tanto {f(x)} es continua en {[2, 4]}.

 

3 Tomemos la función {g} definida por {g(x) = f(x) - 1}.

 

{g} es continua en el intervalo {[2, 4]}.

 

{g(2)=\displaystyle\frac{7-\sqrt{16}}{1+\sqrt{16}}-1<0}

 

{g(4)=\displaystyle\frac{7-\sqrt[4]{16}}{1+\sqrt[4]{16}}-1>0}

 

4Como se cumplen las tres propiedades anteriores según el teorema de Bolzano, existe {c \in (2, 4)} tal que:

 

{g(c)=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ f(c)-1=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  f(c)=1}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗