Ejercicios aplicando el teorema de Bolzano II

Sea la función:

¿Se puede afirmar que está acotada en el intervalo ?

1 La función no es continua en .

2 Entonces la función no es continua en el intervalo cerrado .

3 Como consecuencia no podemos afirmar que la función esté acotada en dicho intervalo.

Demuestra que la función corta al eje de las abscisas en el intervalo . ¿Se puede decir lo mismo de la función ?

1La primera función es continua en todo .

2.

3Como se cumple el teorema de Bolzano, existe al menos un que pertenece al intervalo que corta al eje de abscisas.

4No podemos afirmar lo mismo de la segunda función ya que no es continua en .

Sea la función:

¿Se puede afirmar que está acotada en el intervalo ?

1 La función no es continua en .

2 Entonces la función no es continua en el intervalo cerrado .

3 Como consecuencia no podemos afirmar que la función esté acotada en dicho intervalo.

Sea la función . ¿Se puede afirmar que la función toma todos los valores del intervalo ?

1La función es continua en toda por ser una función polinómica.

2Es en el intervalo donde se verifica que y .

3Por la propiedad de Darboux, la función alcanza todos los valores comprendidos en el intervalo .

Utilizando el teorema de Bolzano, demostrar que la ecuación: , tiene al menos una solución tal que .

1 es continua en

2La función cambia de signo en

3Por cumplirse las tres propiedades anteriores según el teorema de Bolzano, existe tal que:

.

4Por tanto existe al menos una solución real a la ecuación .

Sea la función . ¿Se puede afirmar que existe al menos un punto en el interior del intervalo tal que ?

1 es continua en .

2La función no cambia de signo en

.

.

3No puede aplicarse el teorema de Bolzano porque no cambia de signo.

Justificar que la función polinómica tiene un cero comprendido entre y .

1 Por ser polinómica la función es continua en el intervalo .

.

.

2Por cumplirse las tres propiedades anteriores según el teorema de Bolzano, existe tal que:

Demostrar que la ecuación tiene al menos una solución real.

1 La función es continua en el intervalo .

.

.

2 Por cumplirse las tres propiedades anteriores según el teorema de Bolzano, existe tal que:

.

3 Por tanto existe al menos una solución real a la ecuación .

Demostrar que existe algún número real tal que .

1 Consideremos la función .

Es continua en todo .

2 Por cumplirse las tres propiedades anteriores según el teorema de Bolzano, existe tal que:

3 Por tanto existe al menos una solución real a la ecuación .

Dada la función:

Demuestra que existe un punto del intervalo abierto en el que toma el valor .

1 La función exponencial es positiva para toda , por tanto el denominador de la función no se puede anular.

2 Sólo hay duda de la continuidad en , que está fuera del intervalo a estudiar, por tanto es continua en .

3 Tomemos la función definida por .

es continua en el intervalo .

4Como se cumplen las tres propiedades anteriores según el teorema de Bolzano, existe tal que: