Definición de valor absoluto
El valor absoluto es una función, denotada como 
que se encuentra definida sobre todos los números reales y que devuelve, por cada número real, su respectivo valor positivo.
Por ejemplo, para un número real positivo 
su valor absoluto 
será igual a él mismo, o sea 
Mientras que para un número real negativo 
tendrá como valor absoluto a 
por lo tanto 
Funciones a trozos
Una función a trozos es una función que tiene definiciones distintas en "trozos" (o conjuntos de números) distintos. Por ejemplo
es una función a trozos.
Como podemos ver, hemos definido de manera sencilla la función valor absoluto representándola como una función a trozos. Ésta es una técnica común al estudiar funciones en valor absoluto, pues al expresarlas como funciones a trozos será más fácil graficarlas y entender su comportamiento.
Transformación a función a trozos
Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:
- Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.
- Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.
- Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la
es negativa se cambia el signo de la función. - Representamos la función resultante.
Ejemplos
Resolveremos los siguientes problemas usando los pasos anteriores
1.Transformar la función valor absoluto 
en una función a trozos.
Paso 1. Debemos igualar a cero la función, sin el valor absoluto, y calcular las raíces de la ecuación resultante.
Igualando a cero
y sumando 3 en ambos lados de la igualdad anterior 
tenemos que 
. En este caso, 3 es raíz de la ecuación.
Paso 2. Se forman intervalos con la raíz y se evalúa el signo de cada intervalo.
Dado que el valor de la raíz es 
este es nuestro punto de referencia. Tal y como vemos en la figura la ecuación será positiva si tomamos valores de mayores a 
y negativa si tomamos valores de menores a .
Paso 3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde es negativo se cambia el signo de la función.
Paso 4. Finalmente podemos representar la función graficamente. Ya que es la raíz de nuestra ecuación inicial, entonces es nuestro punto de referencia, entonces la función será decreciente para valores menores a y creciente para valores mayores a tal y como se oberva en la figura.
2.Transformar la función valor absoluto 
en una función a trozos.
Paso 1. Igualamos a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.
En este caso, nuestra ecuación es 
y utilizando la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado
donde 
y 
Entonces, tenemos que
Paso 2. Se forman intervalos con la raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.
Al evaluar la ecuación en distintos valores, por ejemplo para 
y
tenemos que
Esto quiere decir que la ecuación toma valores negativos para 
y valores positivos para 
y 
tal y como vemos en la figura.
Paso 3. Dada la información anterior podemos definir la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función
Paso 4. Finalmente representamos la función graficamente.
Ya que la función es cuadratica, la grafica debe ser similar a una parábola, solo debemos tener en cuenta los lugares donde la función es positiva, negativa y donde se anula.
Podemos ver cómo la grafica coincide con la información obtenida anteriormente
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Hola, escribo porque creo que he visto un error en el texto de «Transformación a función por trozos»
«Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.»
Lo correcto no sería «….donde la y es negativa se cambia el signo de la función» …. porque independientemente del signo de la x, lo que importa es en qué intervalo se queda la y negativa para saber que ese intervalo es el que requiere una inversión de la función original.
Un saludo y gracias por vuestra labor. Vuestra web es un básico en mi día a día como profesora.
Lo que pasa es que el articulo del caso de valor absoluto de x, y tu lo mencionas de forma generalizada lo cual es correcto, pero como se presentan las reglas después de definir el valor absoluto se aplica solo a x para no crear confusión.
Hola le escribo porque tengo un problema con funcion por tramo cuando tengo una función por tramos y dentro tienen valor absoluto y me dice como condición menor que t menor a 35 por ejemplo se que tengo que resolver el valor absoluto pero no sé a qué tramo va cada condición
La cuestión es igualar a cero pero sin el valor absoluto y encontrar las raíces, a partir de allí de la raíz se puede graficar usando ahora si el valor absoluto.
requiero desarrollar la funcion en valor absoluto de (2x+1)/3 pero me da puntos negativos debajo del eje x me podria ayudar
en el paso 3, la ultima definición es x >= 3
Así es la x es mayor o igual a 3
Cordiales saludos. Muchas gracias por la ayuda, pero considero que los intervalos no están del todo muy bien definidos en el Ejemplo N° 2, pues la función es positiva para valores de x menores o iguales a 2 y para valores de x mayores o iguales a 3. En el caso particular de valores de x, contenidos en el intervalo abierto (2,3); la función devuelve un valor menor que 0, por tanto debemos multiplicar por -1, para que se cumpla la función [ ], por tanto considero que la función f(x) evaluada en el intervalo 2 menor que x menor que 3, debe ser multiplicada por -1.
Poner
es lo mismo que multiplicar a 
por 
.