Definición de valor absoluto

 

El valor absoluto es una función, denotada como  | \cdot|,  que se encuentra definida sobre todos los números reales y que devuelve, por cada número real, su respectivo valor positivo.

 

Por ejemplo, para un número real positivo   a,   su valor absoluto  |a|  será igual a él mismo, o sea  |a|=a.  Mientras que para un número real negativo  -a,  tendrá como valor absoluto a  a,   por lo tanto  |-a|=a.

 

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Vamos

Funciones a trozos

 

Una función a trozos es una función que tiene definiciones distintas en "trozos" (o conjuntos de números) distintos. Por ejemplo

 

    $$ |x|=\begin{cases} -x,\text{ si } x<0\\ x,\text{ si } x\geq 0\\ \end{cases} $$

 

es una función a trozos.

 

Como podemos ver, hemos definido de manera sencilla la función valor absoluto representándola como una función a trozos. Ésta es una técnica común al estudiar funciones en valor absoluto, pues al expresarlas como funciones a trozos será más fácil graficarlas y entender su comportamiento.

Transformación a función a trozos

Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

  1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.
  2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.
  3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.
  4.  Representamos la función resultante.

 

Ejemplos

 

Resolveremos los siguientes problemas usando los pasos anteriores

1.Transformar la función valor absoluto  f(x)=|x-3|  en una función a trozos.

 

Paso 1. Debemos igualar a cero la función, sin el valor absoluto, y calcular las raíces de la ecuación resultante.

 

Igualando a cero

    $$x-3=0,$$

 

y sumando 3 en ambos lados de la igualdad anterior  x-3+3=0+3,  tenemos que  x=3. En este caso, 3 es raíz de la ecuación.

 

Paso 2. Se forman intervalos con la raíz y se evalúa el signo de cada intervalo.

 

Dado que el valor de la raíz es  3,  este es nuestro punto de referencia. Tal y como vemos en la figura la ecuación será positiva si tomamos valores de x mayores a  3  y negativa si tomamos valores de x menores a 3.

 

linea de valor absoluto

 

Paso 3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde  x  es negativo se cambia el signo de la función.

 

    $$ f(x)=\begin{cases} -(x-3),\text{ si } x<3\\ (x-3),\text{ si } x\geq 3\\ \end{cases} $$

 

Paso 4. Finalmente podemos representar  la función graficamente. Ya que  3  es la raíz de nuestra ecuación inicial, entonces es nuestro punto de referencia, entonces la función será decreciente para valores menores a  3  y creciente para valores mayores a  3,  tal y como se oberva en la figura.

función valor absoluto en 3

 

2.Transformar la función valor absoluto  f(x)=|x^{2}-5x+6|  en una función a trozos.

 

Paso 1. Igualamos a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.

En este caso, nuestra ecuación es  x^{2}-5x+6=0,  y utilizando la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado

 

    $$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a},$$

 

donde  a=1,  b=-5  y  c=6. Entonces, tenemos que

 

    $$x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4(6)}}{2}$$

 

    $$x=\frac{5\pm\sqrt{25-24}}{2}$$

 

    $$x=\frac{5\pm 1}{2}$$

 

    $$x=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3,\quad  x=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2.$$

 

Paso 2. Se forman intervalos con la raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.

 

Al evaluar la ecuación  en distintos valores, por ejemplo para  x=\cfrac{5}{2},x=1  y
x=4,  tenemos que

 

    $$f(5/2)=-0.25$$

 

    $$f(1)=2$$

 

    $$f(4)=2.$$

 

Esto quiere decir que la ecuación toma valores negativos para  2\leq x<3  y valores positivos para  x<2   y  x\geq 3,  tal y como vemos en la figura.

 

valor absoluto de una ecuación cuadratica

 

Paso 3. Dada la información anterior podemos definir la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función

 

    $$ f(x)=\begin{cases} x^{2}-5x+6,\text{ si } x<2\\ -(x^{2}-5x+6),\text{ si } 2\leq x< 3\\ x^{2}-5x+6,\text{ si } x\geq2 \end{cases} $$

 

Paso 4. Finalmente representamos la función graficamente.

 

Ya que la función es cuadratica, la grafica debe ser similar a una parábola, solo  debemos tener en cuenta los lugares donde la función es positiva, negativa y donde se anula.

 

Podemos ver cómo la grafica coincide con la información obtenida anteriormente

 

parabola y valor absoluto

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗