Continuidad de una función en un punto

 

Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.

 

representacoion grafica funcion continua

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si se cumplen las siguientes tres condiciones:

 

1 Que el punto x = a  tenga imagen.

 

\exists f(a)

 

Es decir, debemos verificar que la función esté definida en el punto x = a. En otras palabras, que x = a pertenezca al dominio de f(x).

 

2 Que exista el límite de la función en el punto x = a.

 

\displaystyle \exists \lim_{x\rightarrow a} f(x) \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ \lim_{x\rightarrow a^-} f(x) =\lim_{x\rightarrow a^+} f(x)

 

Si has estudiado límites, sabrás que el límite en el punto x = a existe si tiene límites por la derecha y por la izquierda y estos valores son iguales.

 

3 Que la imagen del punto x=a coincida con el límite de la función en el punto.

 

\displaystyle f(a)=\lim_{x\rightarrow a} f(x)

 

Por último, es necesario que el valor de la imagen sea igual que el valor del límite.

 

Superprof

Ejemplos

1 Estudiar la continuidad de f(x)=\left\{\begin{matrix} x^2 & & x<2\\ 4 & & x\geq 2 \end{matrix}\right.  en x = 2

 

1 Imagen en x=2

 

 f(2)=4

Por lo tanto la función tiene imagen en el punto x=2

 

2 Límite en x=2

 

\displaystyle \text{Limite por la izquierda} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} \lim_{x\rightarrow 2^-}x^2= 2^2 =4

\displaystyle \text{Limite por la derecha} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} \lim_{x\rightarrow 2^+}4= 4

Como el límite por la derecha y el límite por la izquierda existen y son iguales, entonces

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}f(x) = 4

La función tiene límite en el punto x = 2

 

3 Valor de la imagen y el límite

 

\displaystyle f(2)= \lim_{x\rightarrow 2}f(x) \hspace{1cm} 4=4

se cumple que el valor de la imagen y el valor del límite son iguales

 

Concluímos que f(x) es continua en x=2

En la gráfica podemos comprobarlo

representacion grafica de funciones continuas

 

2 Estudiar la continuidad de f(x)= \cos^{-1} x  en x = 4

 

1 Imagen en x = 4

 

La función \cos^{-1} x está definida solo para valores entre -1 y 1, por lo que no existe la imagen en el punto x=4 y carece de sentido hablar de continuidad en ese punto.

 

dominio de una funcion continua representacion grafica cos - 1
 

La conclusión es que f(x) no es continua en x = 4.

 

3 Estudiar la continuidad de f(x)=\left\{\begin{matrix} x & & x<2\\ 2.5 & & x=2\\ 2 & & 2<x \end{matrix}\right. en x = 2

 

1 Imagen en x = 2

 

 f(2)=2.5

Por lo tanto la función tiene imagen en el punto x = 2

 

2 Límite en x = 2

 

\displaystyle \text{Limite por la izquierda} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} \lim_{x\rightarrow 2^-}x= 2

\displaystyle \text{Limite por la derecha} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} \lim_{x\rightarrow 2^+}2= 2

Como el límite por la derecha y el límite por la izquierda existen y son iguales, entonces

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}f(x) = 2

La función tiene límite en el punto x = 2

 

3 Valor de la imagen y el límite

 

Tenemos que \displaystyle \lim _{x\rightarrow 2}f(x)= 2

Pero f(2)=2.5

Por lo que no se cumple que \displaystyle f(2)=\lim_{x\rightarrow 2} f(x) pues 2.5\not = 2

 

Concluímos que f(x) no es continua en x = 2

En la gráfica podemos comprobarlo

 

funcion no continua representacion grafica

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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