Continuidad de una función en un punto
Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.
Se dice que una función 
es continua en un punto 
si se cumplen las siguientes tres condiciones:
1 Que el punto tenga imagen.
Es decir, debemos verificar que la función esté definida en el punto . En otras palabras, que pertenezca al dominio de f(x).
2 Que exista el límite de la función en el punto .
Si has estudiado límites, sabrás que el límite en el punto existe si tiene límites por la derecha y por la izquierda y estos valores son iguales.
3 Que la imagen del punto 
coincida con el límite de la función en el punto.
Por último, es necesario que el valor de la imagen sea igual que el valor del límite.
Ejemplos de continuidad de una función
Estudiar la continuidad de 
en 
1 Imagen en 
Por lo tanto la función sí tiene imagen en el punto
2 Límite en
Como el límite por la derecha y el límite por la izquierda existen y son iguales, entonces
La función sí tiene límite en el punto
3 Valor de la imagen y el límite
Sí se cumple que el valor de la imagen y el valor del límite son iguales
Concluímos que es continua en
En la gráfica podemos comprobarlo
Estudiar la continuidad de 
en 
1 Imagen en
La función 
está definida solo para valores entre 
y 
, por lo que no existe la imagen en el punto 
y carece de sentido hablar de continuidad en ese punto.
La conclusión es que no es continua en .
Estudiar la continuidad de 
en
1 Imagen en
Por lo tanto la función sí tiene imagen en el punto
2 Límite en
Como el límite por la derecha y el límite por la izquierda existen y son iguales, entonces
La función sí tiene límite en el punto
3 Valor de la imagen y el límite
Tenemos que 
Pero
Por lo que no se cumple que 
pues 
Concluímos que no es continua en
En la gráfica podemos comprobarlo
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Me ayudarian hacer la funcion lineal con grafico
Y=2×+1
La primera derivada se anula en x = 3. Por lo tanto 3 es otro punto crítico de la función del ejemplo.
Hola gracias por la observación, podrías hacernos el favor de mostrarnos la función que se deriva y se encuentran los puntos críticos.
El Punto de inflexión en el ejercicio 2: f(x) = x^3 + x + 1 debe ser (0, 1)
Hola agradecemos tu comentario, tenias razón era un error que ya se corrigió.
la grafica esta mal echa de signos de cada cuadrante
Hola te agradecemos por visitar nuestra pagina, podrías mencionar el número de ejercicio para poder rectificar esos errores que mencionas.
Se podría añadir un poco más de explicación a por que se hace cada paso ( ejemplo porque se divide todo por x ^2?)
Hola agradecemos que puedas darnos tu opinión, cuando surja una duda en este espacio de los comentarios estaremos atentos para darte una explicación con respecto a algo que no entiendas, exista un error o se pueda mejorar una explicación, solo comunícalo y te contestaremos.