Temas

¿Qué es una función cuadrática?
¿Cómo resolver y representar una función cuadrática?
Ejercicios propuestos

Antes de empezar con los ejercicios, es importante recordar la base.

¿Qué es una función cuadrática?

Una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado y su regla de correspondencia es $f(x) = ax^2 + bx + c$ , donde $a, b, c$ son constantes reales y $a \neq 0$

El gráfico de una función cuadrática es una cónica (círculo, elipse, parábola o hipérbola),
pero en esta sección resolveremos funciones cuadráticas de parábolas únicamente.

El gráfico de $f(x) = x^2$ (la función cuadrática más simple), permite observar algunas características de las parábolas. Entre otras cosas, $f(0) = 0$ y $f(x) > 0$ para cualquier otro valor real de $x$ . Por lo tanto, la función tiene un mínimo en el punto $(0, 0)$ , que se llama la cumbre de la parábola.

Si $a > 0$ la parábola se encuentra en la parte inferior (se abre hacia arriba)

Si $a < 0$ , la parábola se encuentra en la parte superior (se abre hacia abajo)

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¿Cómo resolver y representar una función cuadrática?

Hay dos métodos para resover y representar una función cuadrática. A continuación detallamos los pasos de cada uno de ellos:

Fórmula del vértice

1Encontrar los valores de $a, b, c$ .

2Encontrar el valor $x$ del vértice con la fórmula del vértice.

3Hallar el valor de $y$ sustituyendo el valor de $x$

4Escribir las coordenadas $x, y$ .

Resolver el cuadrado

1Escribir la ecuación.

2Dividir por el valor del término $x^2$ .

3Mover la constante de la ecuación a la derecha.

4Completar el cuadrado al lado izquierdo de la ecuación.

5Factorizar el lado izquierdo de la ecuación.

6Hallar y escribir las coordenadas $x, y$ .

Ejercicios propuestos

Resuelve y representa las siguientes funciones cuadráticas

1 $y = -x^2 + 4x - 3$

1 Vértice

Aplicamos la fórmula del vértice

$\left ( -\cfrac{4}{2(-1)}, -3 - \cfrac{4^2}{4(-1)} \right ) = (2, 1)$

Así, el vértice es $V(2, 1)$

2 Puntos de corte con el eje $OX$

Igualamos la función a cero y calculamos sus soluciones

$\begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(-1)(-3)}}{2(-1)} \\\\ & = & \cfrac{-4 \pm 2}{-2} \end{array}$

Obtenemos las soluciones $x = 3, \ x = 1$

Así, las intersecciones con el eje $OX$ son $(1, 0)$ y $(3, 0)$

3 Punto de corte con el eje $OY$

$x = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = -3$

Así, las intersección con el eje $OY$ es $(0, -3)$

4 Con los datos anteriores, la representación gráfica es

2 $y = x^2 + 2x + 1$

1 Vértice

Aplicamos la fórmula del vértice

$\left ( -\cfrac{2}{2(1)}, 1 - \cfrac{2^2}{4(1)} \right ) = (-1, 0)$

Así, el vértice es $V(-1, 0)$

2 Puntos de corte con el eje $OX$

Igualamos la función a cero y calculamos sus soluciones

$\begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} \\\\ & = & \cfrac{-2 \pm 0}{2} \end{array}$

Obtenemos la solución $x = -1$

Así, las intersecciones con el eje $OX$ es $(-1, 0)$

3 Punto de corte con el eje $OY$

$x = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = 1$

Así, las intersección con el eje $OY$ es $(0, 1)$

4 Con los datos anteriores, la representación gráfica es

Gráfica de una parábola hacia arriba

3 $y = x^2 + x + 1$

1 Vértice

Aplicamos la fórmula del vértice

$\left ( -\cfrac{1}{2(1)}, 1 - \cfrac{1^2}{4(1)} \right ) = \left (-\cfrac{1}{2}, \cfrac{3}{4}\right)$

Así, el vértice es $V\left (-\cfrac{1}{2}, \cfrac{3}{4}\right)$

2 Puntos de corte con el eje $OX$

Igualamos la función a cero y calculamos sus soluciones

$\begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} \\\\ & = & \cfrac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} \end{array}$

Como el discriminante es negativo, $-3$ , no hay intersecciones con el eje $OX$ es $(-1, 0)$

3 Punto de corte con el eje $OY$

$x = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = 1$

Así, las intersección con el eje $OY$ es $(0, 1)$

4 Con los datos anteriores, la representación gráfica es

Gráfica de una parábola que habré hacia arriba

Halla el vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes parábolas

1 $y = (x - 1)^2 + 1$ ;

2 $y = 3(x - 1)^2 + 1$ ;

3 $y = 2(x + 1)^2 - 3$ ;

4 $y = -3(x - 2)^2 - 5$ ;

5 $y = x^2 - 7x - 18$ ;

6 $y = 3x^2 + 12x - 5$ ;

El vértice de la parábola $y = (x - h)^2 + k$ viene dado por $V(h, k)$ y el eje de simetría por $x = h$ . Para la parábola $y = x^2 + bx + c$ , el vértice viene dado por $V\left(-\cfrac{b}{2a}, c - \cfrac{b^2}{4a} \right)$

1 $y = (x - 1)^2 + 1$

$V(1, 1)$

$x = 1$

2 $y = 3(x - 1)^2 + 1$

$V(1, 1)$

$x = 1$

3 $y = 2(x + 1)^2 - 3$

$V(-1, -3)$

$x = -1$

4 $y = -3(x - 2)^2 - 5$

$V(2, -5)$

$x = 2$

5 $y = x^2 - 7x - 18$

$V\left(-\cfrac{-7}{2(1)}, -18 - \cfrac{(-7)^2}{4(1)} \right) = V\left(\cfrac{7}{2}, -\cfrac{121}{4} \right)$

$x = \cfrac{7}{2}$

6 $y = 3x^2 + 12x - 5$

$V\left(-\cfrac{12}{2(3)}, -5 - \cfrac{(12)^2}{4(3)} \right) = V\left(-2, -17 \right)$

$x = -2$

Indica, sin dibujarlas, en cuantos puntos cortan al eje de abscisas las siguientes parábolas

1 $y = x^2 - 5x + 3$ ;

2 $y = 2x^2 - 5x + 4$ ;

3 $y = x^2 - 4x + 4$ ;

4 $y = -x^2 - x + 3$ .

Aplicamos el determinante $b^2 - 4ac$ y a partir de su signo concluimos si las parabolas cortan 2 veces, 1 vez o ninguna vez al eje de las abscisas.1 $y = x^2 - 5x + 3$

Calculamos el determinante

$(-5)^2 - 4(1)(3) = 25 - 12 > 0$

Como el determinante es positivo, se tienen dos puntos de corte.

2 $y = 2x^2 - 5x + 4$

Calculamos el determinante

$(-5)^2 - 4(2)(4) = 25 - 32 < 0$

Como el determinante es negativo, no se tienen puntos de corte.

3 $y = x^2 - 4x + 4$

Calculamos el determinante

$(-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0$

Como el determinante es cero, se tiene un punto de corte.

4 $y = -x^2 - x + 3$

Calculamos el determinante

$(-1)^2 - 4(-1)(3) = 1 + 12 > 0$

Como el determinante es positivo, se tienen dos puntos de corte.

Encuentra los elementos pedidos en cada una de las funciones siguientes

1Una función cuadrática tiene una expresión de la forma $y = x^2 + ax + a$ y pasa por el punto $(1, 9)$ . Calcular el valor de $a$ .

1Sustituimos el punto en la función $(1, 9) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 9 = 1 + a + a$

2Resolvemos para $a$

$a = 4$

2Se sabe que la función cuadrática de la forma $y = ax^2 + bx + c$ pasa por los puntos $(1, 1), \ (0, 0)$ y $(-1, 1)$ . Calcula $a, \ b$ y $c$ .

1Sustituimos el valor de cada punto en $y = ax^2 + bx + c$ $\begin{array}{rcl}(1, 1) & \Longrightarrow & 1 = a + b + c \\\\ (0, 0) & \Longrightarrow & 0 = c \\\\ (-1, 1) & \Longrightarrow & 1 = a - b + c \end{array}$ 2Se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones

$\left \{ \begin{array}{l} 1 = a + b + c \\ 0 = c \\ 1 = a - b + c \end{array} \right.$

3Resolviendo el sistema se obtiene $a = 1, b = c = 0$

3Una parábola tiene su vértice en el punto $(1, 1)$ y pasa por el punto $(0, 2)$ . Hallar su ecuación.

1La ecuación se expresa de la forma $y = a(x - h)^2 + k$

2Sustituimos los valores del vértice

$y = a(x - 1)^2 + 1$

3Sustituimos los valores del punto $(0, 2)$ por donde pasa y despejamos $a$

$2 = a(0 - 1)^2 + 1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a = 1$

4Sustituimos el valor de $a$ y desarrollamos

$y = (x - 1)^2 + 1 = x^2 -2x + 2$

Partiendo de la gráfica de la función $f(x) = x^2$ , representa:

1 $y = x^2 + 2$ ;

2 $y = x^2 - 2$ ;

3 $y = (x + 2)^2$ ;

4 $y = (x - 2)^2$ ;

5 $y = (x - 2)^2 + 2$ ;

6 $y = (x + 2)^2 - 2$ .

Emplearemos la gráfica $y = x^2$ Parábola hacia arriba desde el origen

1 $y = x^2 + 2$

Trasladamos la gráfica de $y = x^2$ de manera que el vértice se encuentre en $(0, 2)$

2 $y = x^2 - 2$

Trasladamos la gráfica de $y = x^2$ de manera que el vértice se encuentre en $(0, -2)$

Parábola hacia arriba con centro debajo del origen

3 $y = (x + 2)^2$

Trasladamos la gráfica de $y = x^2$ de manera que el vértice se encuentre en $(-2, 0)$

Parábola hacia arriba y a la izquierda del origen

4 $y = (x - 2)^2$

Trasladamos la gráfica de $y = x^2$ de manera que el vértice se encuentre en $(2, 0)$

Parábola hacia arriba y a laderecha del origen

5 $y = (x - 2)^2 + 2$

Trasladamos la gráfica de $y = x^2$ de manera que el vértice se encuentre en $(2, 2)$

Parábola hacia arriba en el primer cuadrante

6 $y = (x + 2)^2 - 2$

Trasladamos la gráfica de $y = x^2$ de manera que el vértice se encuentre en $(-2, -2)$

Parábola hacia arriba en el tercer cuadrante

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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Funciones: propiedades y ejemplos

Funciones reales

Graficas y funciones

Continuidad de funciones

Grafica de funciones y definiciones

Resumen de funciones I

Resumen de las funciones II

Teoría

Limites infinitos

Representación de puntos

Caracteristicas: graficas

Función lineal y función identidad

Función constante

Concepto de funcion II

Composicion de funciones

La funcion inversa

Maximos y minimos absolutos y relativos

Funciones simétricas

Funciones constantes

Funciones lineales

Funciones radicales

Función valor absoluto

Logaritmos y funciones logaritmicas

Limite de una funcion

Limites laterales

¿Cuales son las propiedades de los límites?

Operaciones con infinito

Limites de funciones en intervalos y en un punto

Calculo de limites cuando x tiende a infinito

Las siete indeterminaciones

Limites por comparacion de infinitos

Indeterminacion division infinito entre infinito en funciones

Resolver la indeterminacion infinito menos infinito

Indeterminacion cero entre cero

Indeterminacion uno elevado a infinito

Teoria y ejercicios de la regla de L’Hopital

Funcion continua

Funciones matematicas: discontinuidad

Discontinuidad evitable y discontinuidad inevitable

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Estudio de una funcion

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Representacion grafica

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Simetria de una funcion

Grafica de funciones

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¿Como leer las coordenadas en el plano?

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Dilan

Abril 2022

y = -x^2 + 4x – 3 ayudame resolviendo esto

yiris

Abril 2022

halla la expresion de una funcion cuadratica sabiendo que sus ceros son x1=1 y x2= 5 y que el punto (3,-5) pertenece a su grafica. necesito su ayuda gracias

Tammy

Enero 2022

Espero que me sirva para un examen

juan carlos yunga

Diciembre 2021

Las parábolas representadas son f(x) = x², g(x) = 2x² y h(x) = 4x² para a. 1; y f(x) = x², g(x) 5 0,5x² y h(x) = 0,33x² para 0 < a < 1

Ninoska

Febrero 2022

F(X)=2 a la x

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Halla el vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes parábolas

Indica, sin dibujarlas, en cuantos puntos cortan al eje de abscisas las siguientes parábolas

Encuentra los elementos pedidos en cada una de las funciones siguientes

Partiendo de la gráfica de la función , representa:

Resumen

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Continuidad de funciones

Grafica de funciones y definiciones

Resumen de funciones I

Resumen de las funciones II

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Limites infinitos

Representación de puntos

Caracteristicas: graficas

Función lineal y función identidad

Función constante

Concepto de funcion II

Composicion de funciones

La funcion inversa

Maximos y minimos absolutos y relativos

Funciones simétricas

Funciones constantes

Funciones lineales

Funciones radicales

Función valor absoluto

Logaritmos y funciones logaritmicas

Limite de una funcion

Limites laterales

¿Cuales son las propiedades de los límites?

Operaciones con infinito

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Simetria de una funcion

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¿Como leer las coordenadas en el plano?

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Discontinuidad evitable

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Partiendo de la gráfica de la función $f(x) = x^2$ , representa: