Antes de empezar con los ejercicios, es importante recordar la base.

 

¿Qué es una función cuadrática?

Una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado y
su regla de correspondencia es f(x) = ax² + bx + c, donde a, b y c son constantes
reales y a ≠ 0.

 

El gráfico de una función cuadrática es una cónica (circulo, elipse, parábola o hipérbola),
pero en esta sección resolveremos funciones cuadráticas de  parábolas únicamente.



El gráfico de f(x) = x² (la función cuadrática más simple), permite observar algunas características de las parábolas.

Entre otras cosas, f(0) = 0² = 0   y   f(x) > 0 para cualquier otro valor real de x.

Por lo tanto, la función tiene un mínimo en el punto (0, 0), que se llama la cumbre de la parábola.

 

Si a > 0, la parábola se encuentra en la parte inferior (se abre hacia arriba)
Si a < 0, la parábola se encuentra en la parte superior (se abre hacia abajo)

 

 

¿Cómo resolver y representar una función cuadrática?

 

método 1: Fórmula del vértice

  1. Encontrar los valores de a, b, y c
  2. Encontrar el valor x del vértice con la fórmula del vértice
  3. Hallar el valor de y sustituyendo el valor de x
  4. Escribir las coordenadas de "x"  y  "y"

 

método 2: Resolver el cuadrado

  1. Escribir la ecuación
  2. Dividir por el valor del término x2
  3. Mover la constante de la ecuación a la derecha
  4. Completar el cuadrado al lado izquierdo de la ecuación
  5. Factorizar el lado izquierdo de la ecuación.
  6. Hallar y escribir las coordenadas x e y

 

 

Representa la función cuadrática y = −x² + 4x − 3

 

Resolver y representar la función cuadrática y = −x² + 4x − 3

 

 

Representa gráficamente la función cuadrática:

y = −x² + 4x − 3

 

 

1. Vértice

 

xv = − 4/ −2 = 2     yv = −2² + 4· 2 − 3 = 1

 

 V(2, 1)

 

 

2. Puntos de corte con el eje OX

 

x² − 4x + 3 = 0

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado

 

(3, 0)      (1, 0)

 

 

3. Punto de corte con el eje OY

 

(0, −3)

 

Gráfica de una parábola hacia abajo

 

 

 

Representa la función cuadrática y = x² + 2x + 1

 

Resolver y representar la función cuadrática y = x² + 2x + 1

 

 

Representa gráficamente la función cuadrática:

 

y = x² + 2x + 1

 

 

1. Vértice

 

xv = −2/2 = −1     yv = (−1)² + 2 · (−1) + 1= 0

 

V(− 1, 0)

 

 

2. Puntos de corte con el eje OX

 

x² + 2x + 1= 0

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado

 

Coincide con el vértice: (−1, 0)

 

 

3. Punto de corte con el eje OY

 

 (0, 1)

 

Gráfica de una parábola hacia arriba

 

 

 

Representa la función cuadrática y = x² + x + 1

 

Resolver y representar la función cuadrática y = x² + x + 1

 

 

Representa gráficamente:

y = x² + x + 1

 

 

1. Vértice

 

xv = −1/ 2     yv = (−1/ 2)² + (−1/ 2) + 1 = 3/4

V(-\frac{1}{2} , \frac{3}{4} )

 

 

2. Puntos de corte con el eje OX

 

x² + x + 1= 0

 

1² − 4 < 0       No hay puntos de corte con OX

 

 

3. Punto de corte con el eje OY

 

(0, 1)

 

Gráfica de una parábola que habré hacia arriba

 

 

 

Vértice y ecuación del eje de simetría de las parábolas

 

Halla el vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes parábolas:

1 y = (x − 1)² + 1   ;

 

2 y = 3(x − 1)² + 1   ;

 

3 y = 2(x + 1)² – 3   ;

 

4 y = –3(x − 2)² − 5   ;

 

5 y = x² − 7x − 18   ;

 

6 y = 3x² + 12x − 5 ;

 

 

Halla el vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes parábolas:

 

1 y = (x − 1)² + 1

 

V = (1, 1)            x = 1

 

 

2 y = 3(x − 1)² + 1

 

V = (1, 1)            x = 1

 

 

3y = 2(x + 1)² − 3

 

V =(−1, −3)            x = −1

 

 

4y = −3(x − 2)² − 5

 

V = (2, −5)            x = 2

 

 

5y = x² − 7x −18

 

V = (7/2, −121/4)            x = 7/2

 

 

6y = 3x² + 12x − 5

 

V = (−2 , −17 )            x = −2

 

 

Corte del eje de abscisa

 

Indica, sin dibujarlas, en cuantos puntos cortan al eje de abscisas las siguientes parábolas:

1 y = x² − 5x + 3 ;

 

2 y = 2x² − 5x + 4 ;

 

3 y = x² − 2x + 4 ;

 

4 y = −x² − x + 3 ;

 

 

Indica, sin dibujarlas, en cuantos puntos cortan al eje de abscisas las siguientes parábolas:

 

 

1 y = x² − 5x + 3

 

b² − 4ac = 25 − 12 > 0

 

Dos puntos de corte

 

 

2 y = 2x² − 5x + 4

 

b² − 4ac = 25 − 32 < 0

 

No hay puntos de corte

 

 

3 y = x² − 4x + 4

 

b² − 4ac = 16 − 16 = 0

 

Un punto de corte

 

 

4 y = −x² − x + 3

 

b² − 4ac = 1 + 12 > 0

 

Dos puntos de corte

 

 

Calcular el valor de a en la siguiente función cuadrática

 

Una función cuadrática tiene una expresión de la forma y = x² + ax + a
y pasa por el punto (1, 9). Calcular el valor de a.

 

 

Una función cuadrática tiene una expresión de la forma y = x² + ax + a
y pasa por el punto (1, 9). Calcular el valor de a.

 

Sustituimos el punto (1,9) en la función, donde  x=1 y=9:

 

9 = 1² + a · 1 + a        →    9=1+2a       →    9-1 =2a         →    a = 4

 

 

Calcular el valor de a,b,c en la siguiente función cuadrática

 

Se sabe que la función cuadrática de la forma y = ax² + bx + c
pasa por los puntos (1, 1),  (0, 0)  (–1, 1). Calcula a, b y c.

 

 

Se sabe que la función cuadrática de la forma y = ax² + bx + c
pasa por los puntos (1, 1),  (0, 0)  (–1, 1). Calcula a, b y c.

Sustituimos el valor de cada punto en y = ax² + bx + c

 

Para (1,1)  →   1 = a · 1² + b · 1 + c   →   1=a+b+c             ;  (ecuación 1)

 

Para (0,0)  →   0 = 0 + 0 + c      →   c=0                           ;  (ecuación 2)

 

Para (-1,1)  →   1 = a · (–1)² + b · (–1) + c  →   1=a-b+c  ;  (ecuación 3)

 

De la ecuación 2 podemos deducir que :

 

c = 0

 

Sustituimos el valor de c en las ecuaciones 1 y 2,  entonces, por método de
eliminación podemos obtener lo siguiente:

 

- \begin{array}{c} 1=a+b+0\\  \underline{1=a-b+0} \\ 0=0+2b+0 \end{array}

 

0=0+2b  →  b = 0

 

Sustituimos el valor de b y c en la ecuación 1 para obtener el valor de a:

 

1=a+0+0  →  a = 1

 

Hallar la ecuación de una parábola

 

Una parábola tiene su vértice en el punto V(1, 1) y pasa por el punto (0, 2).

 

Halla su ecuación.

 

 

Una parábola tiene su vértice en el punto V(1, 1) y pasa por el punto (0, 2).

 

Halla su ecuación.

 

Ecuación para encontrar el vértice de la parábola

 

La coordenada x del vértice es 1, lo sustituimos:

 

1= -\frac{b}{2a}     →    b=-2a

 

Sustituimos en la función  y = ax² + bx + c  los puntos que conocemos:

 

f(0) =2   →  2 = a(0)² +b(0) + c  → 2 = 0 + 0 + c

 

2 = c

 

f(1) = 1   →  1 = a(1)² +b(1) + c  →  1 = a +b + 2

 

ya sabemos que b = −2a, entonces,

 

1 = a − 2a + 2  →      \begin{array}{l} a=1\\ b=-2 \\  \end{array}

 

Por lo tanto, la ecuacion de la parabola es:

y = x² − 2x + 2

 

Representar partiendo de la gráfica de una función

 

Partiendo de la gráfica de la función f(x) = x², representa:

 

1 y = x² + 2 ;

 

2 y = x² − 2 ;

 

3 y = (x + 2)² ;

 

4 y = (x − 2)² ;

 

5 y = (x − 2)² + 2 ;

 

6 y = (x + 2)² − 2;

 

 

Partiendo de la gráfica de la función f(x) = x², representa:

 

1 y = x² + 2

2 y = x² − 2

3y = (x + 2)²

4y = (x − 2)²

5y = (x − 2)² + 2

6y = (x + 2)² − 2

 

y = x²

Parábola hacia arriba desde el origen

y = x²+2 y = x²-2

Parábola hacia arriba fuera del origen Parábola hacia arriba con centro debajo del origen

 

y = (x+2)² y = (x-2)²

Parábola hacia arriba y a la izquierda del origenParábola hacia arriba y a laderecha del origen

y = (x-2)²+2 y = (x+2)²-2

Parábola hacia arriba en el primer cuadranteParábola hacia arriba en el tercer cuadrante

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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