Ejercicios propuestos
Representa las funciones cuadráticas
1
y = −x² + 4x − 3
Representa gráficamente la función cuadrática:
y = −x² + 4x − 3
1. Vértice
xv = − 4/ −2 = 2 yv = −2² + 4· 2 − 3 = 1
V(2, 1)
2. Puntos de corte con el eje OX
x² − 4x + 3 = 0
(3, 0) (1, 0)
3. Punto de corte con el eje OY
(0, −3)
2y = x² + 2x + 1
1. Vértice
xv = −2/2 = −1 yv = (−1)² + 2 · (−1) + 1= 0
V(− 1, 0)
2. Puntos de corte con el eje OX
x² + 2x + 1= 0
f(x) = 0
f(x) = (x + 1)²
Entonces (x+1)² = 0
(x+1) = 0
x = -1
Coincide con el vértice: (−1, 0)
3. Punto de corte con el eje OY
(0, 1)
2
y = x² + 2x + 1
Representa gráficamente la función cuadrática:
y = x² + 2x + 1
1. Vértice
xv = −2/2 = −1 yv = (−1)² + 2 · (−1) + 1= 0
V(− 1, 0)
2. Puntos de corte con el eje OX
x² + 2x + 1= 0
Coincide con el vértice: (−1, 0)
3. Punto de corte con el eje OY
(0, 1)
3
y = x² + x + 1
Representa gráficamente:
y = x² + x + 1
1. Vértice
xv = −1/ 2 yv = (−1/ 2)² + (−1/ 2) + 1 = 3/4
V(−1/ 2, 3/ 4)
2. Puntos de corte con el eje OX
x² + x + 1= 0
1² − 4 < 0 No hay puntos de corte con OX
3. Punto de corte con el eje OY
(0, 1)
4
Halla el vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes parábolas:
Halla el vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes parábolas:
1 y = (x − 1)² + 1
V = (1, 1) x = 1
2 y = 3(x − 1)² + 1
V = (1, 1) x = 1
3y = 2(x + 1)² − 3
V =(−1, −3) x = −1
4y = −3(x − 2)² − 5
V = (2, −5) x = 2
5y = x² − 7x −18
V = (7/2, −121/4) x = 7/2
6y = 3x² + 12x − 5
V = (−2 , −17 ) x = −2
5
Indica, sin dibujarlas, en cuantos puntos cortan al eje de abscisas las siguientes parábolas:
Indica, sin dibujarlas, en cuantos puntos cortan al eje de abscisas las siguientes parábolas:
1 y = x² − 5x + 3
b² − 4ac = 25 − 12 > 0
Dos puntos de corte
2y = 2x² − 5x + 4
b² − 4ac = 25 − 32 < 0
No hay puntos de corte
3y = x² − 4x + 4
b² − 4ac = 16 − 16 = 0
Un punto de corte
4y = −x² − x + 3
b² − 4ac = 1 + 12 > 0
Dos puntos de corte
6
Una función cuadrática tiene una expresión de la forma y = x² + ax + a y pasa por el punto (1, 9). Calcular el valor de a.
Una función cuadrática tiene una expresión de la forma y = x² + ax + a y pasa por el punto (1, 9). Calcular el valor de a.
Sustituimos el punto en la función
9 = 1² + a · 1 + a a = 4
7
Se sabe que la función cuadrática de ecuación y = ax² + bx + c pasa por los puntos (1, 1), (0, 0) y (–1, 1). Calcula a, b y c.
Se sabe que la función cuadrática de ecuación y = ax² + bx + c pasa por los puntos (1,1), (0, 0) y (−1,1). Calcula a, b y c.
Sustituimos el valor de cada punto en y = ax² + bx + c
1 = a · 1² + b · 1 + c
0 = 0 + 0 + c
1 = a · (–1)² + b · (–1) + c
c = 0
1 = a + b
1 = a – b
2 = 2a a = 1
1 = 1 + b b = 0
8
Una parábola tiene su vértice en el punto V(1, 1) y pasa por el punto (0, 2). Halla su ecuación.
Una parábola tiene su vértice en el punto V(1, 1) y pasa por el punto (0, 2). Halla su ecuación.
La coordenada x del vértice es 1
1 = −b/2a b = −2a
Sustituimos en la función y = ax² + bx + c los puntos que conocemos
f(0) =2 2 = 0 + 0 + c
2 = c
f(1) = 1 1 = a + b + 2
b = −2a
1 = a − 2a + 2
a = 1 b = −2
y = x² − 2x + 2
9
Partiendo de la gráfica de la función f(x) = x², representa:
Partiendo de la gráfica de la función f(x) = x², representa:
1y = x² + 2
2y = x² − 2
3y = (x + 2)²
4y = (x − 2)²
5y = (x − 2)² + 2
6y = (x + 2)² − 2
y = x²
y = x² + 2 y = x² − 2
y = (x + 2)²y = (x − 2)²
y = (x − 2)² + 2 y = (x + 2)² − 2
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