Capítulos
Antes de empezar con los ejercicios, es importante recordar la base.
¿Qué es una función cuadrática?
Una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado y su regla de correspondencia es 
, donde 
son constantes reales y 
El gráfico de una función cuadrática es una cónica (círculo, elipse, parábola o hipérbola),
pero en esta sección resolveremos funciones cuadráticas de parábolas únicamente.
El gráfico de 
(la función cuadrática más simple), permite observar algunas características de las parábolas. Entre otras cosas, 
y 
para cualquier otro valor real de 
. Por lo tanto, la función tiene un mínimo en el punto 
, que se llama la cumbre de la parábola.
Si 
la parábola se encuentra en la parte inferior (se abre hacia arriba)
Si 
, la parábola se encuentra en la parte superior (se abre hacia abajo)
¿Cómo resolver y representar una función cuadrática?
Hay dos métodos para resover y representar una función cuadrática. A continuación detallamos los pasos de cada uno de ellos:
Fórmula del vértice
1Encontrar los valores de .
2Encontrar el valor del vértice con la fórmula del vértice.
3Hallar el valor de 
sustituyendo el valor de
4Escribir las coordenadas 
.
Resolver el cuadrado
1Escribir la ecuación.
2Dividir por el valor del término 
.
3Mover la constante de la ecuación a la derecha.
4Completar el cuadrado al lado izquierdo de la ecuación.
5Factorizar el lado izquierdo de la ecuación.
6Hallar y escribir las coordenadas .
Ejercicios propuestos
Resuelve y representa las siguientes funciones cuadráticas
1 Vértice
Aplicamos la fórmula del vértice
Así, el vértice es 
2 Puntos de corte con el eje 
Igualamos la función a cero y calculamos sus soluciones
La cual no tiene soluciones en los reales
Así, no hay intersecciones con el eje
3 Punto de corte con el eje 
Así, las intersección con el eje es 
4 Con los datos anteriores, la representación gráfica es
1 Vértice
Aplicamos la fórmula del vértice
Así, el vértice es 
2 Puntos de corte con el eje
Igualamos la función a cero y calculamos sus soluciones
Así, las intersecciones con el eje son 
3 Punto de corte con el eje
Así, las intersección con el eje es 
4 Con los datos anteriores, la representación gráfica es
1 Vértice
Aplicamos la fórmula del vértice
Así, el vértice es 
2 Puntos de corte con el eje
Igualamos la función a cero y calculamos sus soluciones
Obtenemos las soluciones 
Así, las intersecciones con el eje son 
y 
3 Punto de corte con el eje
Así, las intersección con el eje es 
4 Con los datos anteriores, la representación gráfica es
1 Vértice
Aplicamos la fórmula del vértice
Así, el vértice es 
2 Puntos de corte con el eje
Igualamos la función a cero y calculamos sus soluciones
Obtenemos la solución 
Así, las intersecciones con el eje es 
3 Punto de corte con el eje
Así, las intersección con el eje es 
4 Con los datos anteriores, la representación gráfica es
1 Vértice
Aplicamos la fórmula del vértice
Así, el vértice es 
2 Puntos de corte con el eje
Igualamos la función a cero y calculamos sus soluciones
Como el discriminante es negativo, 
, no hay intersecciones con el eje es
3 Punto de corte con el eje
Así, las intersección con el eje es
4 Con los datos anteriores, la representación gráfica es
Halla el vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes parábolas
1
;
2
;
3
;
4
;
5
;
6
;
7
;
8
;
9
;
10
El vértice de la parábola 
viene dado por 
y el eje de simetría por 
. Para la parábola 
, el vértice viene dado por
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Indica, sin dibujarlas, en cuantos puntos cortan al eje de abscisas las siguientes parábolas
1
;
2
;
3
;
4
;
5
.
Aplicamos el discriminante 
y a partir de su signo concluimos si las parábolas cortan 2 veces, 1 vez o ninguna vez al eje de las abscisas.
1
Calculamos el discriminante
Calculamos el discriminante
Como el discriminante es positivo, se tienen dos puntos de corte.
3
Calculamos el discriminante
Calculamos el discriminante
Como el discriminante es cero, se tiene un punto de corte.
5
Calculamos el discriminante
Como el discriminante es positivo, se tienen dos puntos de corte.
Una función cuadrática tiene una expresión de la forma 
y pasa por el punto 
. Calcular el valor de 
1Sustituimos el punto en la función
Una función cuadrática tiene una expresión de la forma 
y pasa por el punto 
. Calcular el valor de
1Sustituimos el punto en la función
2Resolvemos para
Se sabe que la función cuadrática de la forma 
pasa por los puntos 
y 
. Calcula 
y 
1Sustituimos el valor de cada punto en
2Se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones
3Resolviendo el sistema se obtiene 
Una parábola tiene su vértice en el punto y pasa por el punto 
. Hallar su ecuación
1La ecuación se expresa de la forma
2Sustituimos los valores del vértice
3Sustituimos los valores del punto 
por donde pasa y despejamos
4Sustituimos el valor de
Una parábola tiene su vértice en el punto 
y pasa por el punto . Hallar su ecuación
1La ecuación se expresa de la forma
2Sustituimos los valores del vértice
3Sustituimos los valores del punto por donde pasa y despejamos
4Sustituimos el valor de y desarrollamos
Partiendo de la gráfica de la función , representa:
1
;
2
;
3
;
4;
5
;
6
;
7;
8
;
9
;
10
;
Emplearemos la gráfica 
1
Volteamos sobre el eje y trasladamos la gráfica de de manera que el vértice se encuentre en
2
Volteamos sobre el eje y trasladamos la gráfica de de manera que el vértice se encuentre en 
3
Volteamos sobre el eje y trasladamos la gráfica de de manera que el vértice se encuentre en 
4
Volteamos sobre el eje y trasladamos la gráfica de de manera que el vértice se encuentre en 
5
Trasladamos la gráfica de de manera que el vértice se encuentre en 
6
Trasladamos la gráfica de de manera que el vértice se encuentre en 
7
Trasladamos la gráfica de de manera que el vértice se encuentre en
8
Trasladamos la gráfica de de manera que el vértice se encuentre en
9
Trasladamos la gráfica de de manera que el vértice se encuentre en
10
Trasladamos la gráfica de de manera que el vértice se encuentre en
Encuentra la ecuación de la parábola con foco 
y vértice 
1El foco se encuentra por encima del vértice, así la parábola abre hacia arriba
2Calculamos la distancia del foco al vértice, la cual es 3
3 Empleamos la fórmula
donde igual al recíproco de cuatro veces la distancia del foco al vértice. Así, 
4Luego, la ecuación de la parábola es
Encuentra la ecuación de la parábola con foco 
y vértice 
1El foco se encuentra por debajo del vértice, así la parábola abre hacia abajo
2Calculamos la distancia del foco al vértice, la cual es 2
3 Empleamos la fórmula
donde igual al recíproco de cuatro veces la distancia del foco al vértice. Así, 
4Luego, la ecuación de la parábola es
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Me ayudarian hacer la funcion lineal con grafico
Y=2×+1
La primera derivada se anula en x = 3. Por lo tanto 3 es otro punto crítico de la función del ejemplo.
Hola gracias por la observación, podrías hacernos el favor de mostrarnos la función que se deriva y se encuentran los puntos críticos.
El Punto de inflexión en el ejercicio 2: f(x) = x^3 + x + 1 debe ser (0, 1)
Hola agradecemos tu comentario, tenias razón era un error que ya se corrigió.
la grafica esta mal echa de signos de cada cuadrante
Hola te agradecemos por visitar nuestra pagina, podrías mencionar el número de ejercicio para poder rectificar esos errores que mencionas.
Se podría añadir un poco más de explicación a por que se hace cada paso ( ejemplo porque se divide todo por x ^2?)
Hola agradecemos que puedas darnos tu opinión, cuando surja una duda en este espacio de los comentarios estaremos atentos para darte una explicación con respecto a algo que no entiendas, exista un error o se pueda mejorar una explicación, solo comunícalo y te contestaremos.