Pasos para la resolución de problemas

 

 1  Se plantea la función que hay que maximizar o minimizar.

 

 2  Se plantea una ecuación que relacione las distintas variables del problema, en el caso de que haya más de una variable.

 

 3  Se despeja una variable de la ecuación y se sustituye en la función de modo que nos quede una sola variable.

 

 4  Se deriva la función y se iguala a cero, para hallar los extremos locales.

 

 5  Se realiza la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido.

 

 

Superprof

Ejemplo

 

De todos los triángulos isósceles de 12 m de perímetro, hallar los lados del que tome área máxima.

 

1 El área del triángulo isósceles es la función a maximizar

 

Ejercicio optimización de funciones representación gráfica de triangulo

 

2 Planteamos la función que tenemos que maximizar

 

{S=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 2y \cdot \sqrt{x^2-y^2}}

 

3 Dejamos una sola variable, para esto despejamos la ecuación del perímetro y la sustituimos en la del área

 

{2x+2y=12 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=6-y}

 

{S=y \sqrt{(6-y)^2-y^2}=y\sqrt{36-12y}=\sqrt{36y^{2}-12y^{3}}}

 

4 Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.

 

{S'=\displaystyle\frac{36y-18y^{2}}{\sqrt{36y^{2}-12y^{3}}}}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{36y-18y^{2}}{\sqrt{36y^{2}-12y^{3}}}&=&0 \\ && \\ 36y-18y^{2} & = & 0 \\ && \\ 18y(2-y) &=&0 \end{array}}

 

Los extremos locales son

 

{y=0, \ \ \ y=2}

 

5 Realizamos la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido. Sustituimos por 2, ya que la solución 0 la descartamos porque no hay un triángulo cuyo lado sea cero

 

{S''=\displaystyle\frac{(36-18y)\sqrt{36y^{2}-12y^{3}}-(36y-18y^{2})\displaystyle\frac{72y-36y^{2}}{2\sqrt{36y^{2}-12y^{3}}}}{36y^{2}-12y^{3}}}

 

{S''=\displaystyle\frac{[36-18(2)]\sqrt{36(2)^{2}-12(2)^{3}}-[36(2)-18(2)^{2}]\displaystyle\frac{72(2)-36(2)^{2}}{2\sqrt{36(2)^{2}-12(2)^{3}}}}{36(2)^{2}-12(2)^{3}}<0}

 

Por lo que queda probado que en {y = 2} hay un máximo.

 

La base> mide 4 m y los lados oblicuos también miden 4 m, por lo que el triángulo de área máxima sería un triángulo equilátero.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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