Para resolver la indeterminación {\infty - \infty} tenemos varios métodos:

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1. Por comparación de infinitos

 

Ejemplo:

 

{\displaystyle\lim_{x \to \infty}(x^{7}-x^{5}+x^{3}-x^{2})=\infty}

 

Se obtiene por tener {x^{7}} el mayor orden.

 

Ejemplo:

 

{\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left(x^{2}-\sqrt{x+3}\right)=\infty}

 

Se obtiene por tener {x^{2}} el mayor orden.

 

Ejemplo:

 

{\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left(x^{2}-\sqrt{x^{5}+3}\right)=-\infty}

 

Se obtiene puesto que {5/2>2} .

 

Ejemplo:

 

{\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left(3^{x}-\sqrt{x^{8}-2}\right)=\infty}

 

Se obtiene por tener {3^{x}} el mayor orden.

 

2. Con funciones racionales

 

Ejemplo:

 

{\displaystyle\lim_{x \to 3}\left( \frac{x-1}{x-3}-\frac{x+5}{x^2-4x+3} \right)}

 

1El límite anterior posee la indeterminación {\infty-\infty}

 

2Realizamos la suma de fracciones para tener un común denominador.

 

{\displaystyle\lim_{x \to 3}\left( \frac{x-1}{x-3}-\frac{x+5}{x^2-4x+3} \right)=\displaystyle\lim_{x \to 3}\frac{x^{2}-3x-4}{(x-3)(x-1)}}

 

3Observamos que el denominador se aproxima a cero cuando {x \to 3}, mientras que el numerador se aproxima a {-4}; por ello debemos proceder mediante límites laterales.

 

4Calculamos los límites laterales

 

{\displaystyle\lim_{x \to 3^{-}}\left( \frac{x-1}{x-3}-\frac{x+5}{x^2-4x+3} \right)=\displaystyle\lim_{x \to 3^{-}}\frac{x^{2}-3x-4}{(x-3)(x-1)}=\infty}

 

{\displaystyle\lim_{x \to 3^{+}}\left( \frac{x-1}{x-3}-\frac{x+5}{x^2-4x+3} \right)=\displaystyle\lim_{x \to 3^{+}}\frac{x^{2}-3x-4}{(x-3)(x-1)}=-\infty}

 

5Por el teorema de los Límites Laterales concluimos que

 

{\displaystyle\lim_{x \to 3}\left( \frac{x-1}{x-3}-\frac{x+5}{x^2-4x+3} \right)=\nexists}

 

 

3. Con funciones irracionales

 

Ejemplo:

 

{\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left( \sqrt{x^{2}-2}-\sqrt{x^2+x} \right)}

 

1El límite anterior posee la indeterminación {\infty-\infty}

 

2Cuando se trata de funciones irracionales podemos multiplicar y dividir por el conjugado.

 

{\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left( \sqrt{x^{2}-2}-\sqrt{x^2+x} \right)=\lim_{x \to \infty}\frac{\left( \sqrt{x^{2}-2}-\sqrt{x^2+x} \right)\left( \sqrt{x^{2}-2}+\sqrt{x^2+x} \right)}{\sqrt{x^{2}-2}+\sqrt{x^2+x}}}

 

3En el numerador tenemos una suma por diferencia que es igual a diferencia de cuadrados

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\lim_{x \to \infty}\left( \sqrt{x^{2}-2}-\sqrt{x^2+x} \right) & = &\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{\left( \sqrt{x^{2}-2}-\sqrt{x^2+x} \right)\left( \sqrt{x^{2}-2}+\sqrt{x^2+x} \right)}{\sqrt{x^{2}-2}+\sqrt{x^2+x}} \\ && \\  & = &\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{x^{2}-2-x^{2}-x}{\sqrt{x^{2}-2}+\sqrt{x^2+x}} \\  && \\  & = &\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{-2-x}{\sqrt{x^{2}-2}+\sqrt{x^2+x}} \\ \end{array}}

 

4Observamos que cuando {x \to \infty}, el numerador se aproxima a cuando {-\infty}  mientras que el denominador se aproxima a cuando {\infty}.

 

5Para resolver la indeterminación dividimos todos los sumandos por la {x} de mayor grado, que fuera de la raíz es {x} y al introducirla en la raíz cuadrada será {x^{2}}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{-2-x}{\sqrt{x^{2}-2}+\sqrt{x^2+x}} & = & \displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{\displaystyle\frac{-2}{x}-\displaystyle\frac{x}{x}}{\sqrt{\displaystyle\frac{x^{2}}{x^{2}}-\displaystyle\frac{2}{x^{2}}}+\sqrt{\displaystyle\frac{x^2}{x^{2}}+\displaystyle\frac{x}{x^{2}}}} \\ &=&\\  &=& \displaystyle\frac{-1}{1+1}  &=&\\  &=& \displaystyle\frac{-1}{2} \end{array}}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗