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Antes que todo establezcamos cierta notación alterna para las derivadas de una función 
.
La razón de establecer notaciones alternas para el mismo concepto, es porque hay ocasiones en que los desarrollos son muy grandes o complicados, y es necesario para que sea más práctico que se hagan menos extensas las notaciones, ya que aquí lo importante es que sigan representando el mismo concepto.
La primer derivada de una función tiene las tres notaciones que tenemos aquí:
y la segunda derivada de una función (la derivada de la derivada), tiene las siguientes notaciones alternas:
en este caso por términos de claridad ocuparemos para la primer derivada, a la notación 
, y para la segunda derivada 
.
Una vez establecida la notación que usaremos, comentemos acerca de ciertas características que podemos estudiar de las funciones.
Hablando de forma más precisa, conozcamos los criterios que nos informan dónde una función adquiere su máximo o mínimo valor posible dentro de una región establecida, razón por la cual se llaman máximo o mínimo relativos.
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Extremos relativos
Antes que todo identifiquemos el tipo de punto que deseamos localizar, en términos simples se trata de puntos donde una función adquiere un máximo o mínimo valor posible, esto es en comparación a los puntos de un entorno cercano a ellos, a este tipo de puntos los llamaremos extremos relativos.
Si 
es una función derivable en 
, entonces 
es un extremo relativo o local si:
Máximos relativos
Si es una función derivable en , entonces es un máximo relativo o local si:
Mínimos relativos
Si es una función derivable en , entonces es un mínimo relativo o local si:
Cálculo de máximos y mínimos
Consideremos a la siguiente función 
Para hallar los extremos locales seguiremos los siguientes pasos:
1Hallamos la primera derivada de la función y calculamos sus raíces.
Primero la derivada de la función
Ahora sus raíces, resolviendo la ecuación
Entonces sus raíces son
2Realizamos la segunda derivada, y calculamos el signo que toman en ella las raíces.
Calculemos la segunda derivada de la función
Evaluemos las raíces obtenidas en la segunda derivada
, 
en 
la función tiene un máximo relativo
, en 
la función tiene un mínimo relativo
3Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.
, en 
la gráfica de la función tiene un máximo relativo
, en 
la gráfica de la función tiene un mínimo relativo
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Estudio de los extremos relativos a partir del crecimiento
Si ya hemos estudiado el crecimiento y decrecimiento de una función habrá:
- Un máximo en el punto de la función cuando esta pasa de creciente
a decreciente 
. - Un mínimo en el punto de la función cuando esta pasa de decreciente a creciente .
Ejemplo:
Consideremos a la siguiente función 
Para hallar los extremos locales seguiremos los siguientes pasos:
1Hallamos el dominio de la función, la primera derivada y calculamos sus raíces.
Primero el dominio de la función
Busquemos los puntos donde se indetermina la función, es decir, valores donde 
.
Dicho valor es , es el valor que debemos quitar, por lo tanto 
.
Ahora calculemos la derivada de la función
Ahora sus raíces, resolviendo la ecuación
Sus raíces son
2Tomamos a los valores calculados y generamos a sectores de la recta real.
Después tomamos a un valor de cada sector, lo evaluamos en la primer derivada y observamos los signos obtenidos, con la finalidad de analizar la naturaleza de la función en cada sector.
Tomamos a los valores calculados y generamos a sectores de la recta real
Los valores son 
entonces los sectores son 
Evaluemos un elemento de cada sector en la primer derivada
- Sea
, entonces 
en 
la función es creciente - Sea
, entonces 
en 
la función es creciente - Sea
, entonces 
en 
la función es decreciente - Sea
, entonces 
en 
la función es creciente
En la siguiente tabla podemos ver la información obtenida:
3Interpretamos la información e identificamos los máximo o mínimos.
Observamos que se generan dos cambios de signo, el que se encuentra de a lo descartamos porque ahí se tiene la indeterminación.
El siguiente cambio de signo es de a , y como es de decrecente a creciente entonces en 
se tiene un mínimo relativo
4Evaluar el número en la función para conocer el punto del plano.
Vemos que 
, entonces en el punto 
, la función tiene un mínimo relativo.
Ejercicios para practicar
Hallar los máximos y mínimos de las siguientes funciones:
1Hallamos la primera derivada de la función y calculamos sus raíces.
Primero la derivada de la función
Ahora sus raíces, resolviendo la ecuación
Sus raíces son
2Realizamos la segunda derivada, y calculamos el signo que toman en ella las raíces.
Calculemos la segunda derivada de la función
Evaluemos las raíces obtenidas en la segunda derivada
, en 
la función tiene un máximo relativo
, en 
la función tiene un mínimo relativo
, en 
la función tiene un mínimo relativo
3Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.
, en 
la gráfica de la función tiene un mínimo relativo
, en 
la gráfica de la función tiene un máximo relativo
, en 
la gráfica de la función tiene un mínimo relativo
1Hallamos la primera derivada de la función y calculamos sus raíces.
Primero la derivada de la función
Ahora sus raíces, resolviendo la ecuación
significa que su raíz es
2Realizamos la segunda derivada, y calculamos el signo que toman en ella las raíces.
Calculemos la segunda derivada de la función
Evaluemos la raíz obtenida en la segunda derivada
, en la función tiene un mínimo relativo
3Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.
en 
la gráfica de la función tiene un mínimo relativo
1Hallamos la primera derivada de la función y calculamos sus raíces.
Primero la derivada de la función
Ahora sus raíces, resolviendo la ecuación
significa que sus raíces son
2Realizamos la segunda derivada, y calculamos el signo que toman en ella las raíces.
Calculemos la segunda derivada de la función
Evaluemos las raíces obtenidas en la segunda derivada
, en 
la función tiene un máximo relativo
, e en la función tiene un mínimo relativo
3Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.
, en 
la gráfica de la función tiene un máximo relativo
, en 
la gráfica de la función tiene un mínimo relativo
En este caso es necesario tener presente su dominio, ya que es posible que debamos descartar valores por no pertenecer a él.
De hecho siempre se debe de hacer, pero no se hace cuando se tiene claro cuál es el dominio.
0Hallamos el dominio de la función
El dominio de la función logaritmo natural, es cuando el argumento es positivo, entonces debemos resolver 
Las soluciones de 
son 
. Significa que debemos generar los sectores 
, y de ahí tomar a un número de cada sector, evaluarlo en 
y conocer el signo generado, para finalmente resolver.
Significa que la solución de la desigualdad, por lo tanto el dominio de la función es 
1Hallamos la primera derivada de la función y calculamos sus raíces.
Primero la derivada de la función
Ahora sus raíces, resolviendo la ecuación
Sus raíces son
Descartamos a 
ya que 
2Realizamos la segunda derivada, y calculamos el signo que toman en ella las raíces.
Calculemos la segunda derivada de la función
Evaluemos las raíces obtenidas en la segunda derivada
, en 
la función tiene un máximo relativo
3Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.
, en 
la gráfica de la función tiene un máximo relativo
1Hallamos la primera derivada de la función y calculamos sus raíces.
Primero la derivada de la función
Ahora sus raíces, resolviendo la ecuación
Sus raíces son
, con 
2Realizamos la segunda derivada, y calculamos el signo que toman en ella las raíces.
Calculemos la segunda derivada de la función
Evaluemos las raíces obtenidas en la segunda derivada
, en 
la función tiene un mínimo relativo para cada
, en 
la función tiene un máximo relativo para cada
3Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.
, en 
la gráfica de la función tiene un mínimo relativo relativo para cada
, en 
la gráfica de la función tiene un máximo relativo relativo para cada
Problemas
Determinar ,
y 
para que la función 
tenga un un mínimo para , y tome el valor 
para y 
para .
El problema se traduce a que ocurran las siguientes condiciones:
lo cual significa que debemos calcular a la primera derivada de la función
y con esto realizar las evaluaciones
generándose un sistema de ecuaciones tres por tres
cuya solución es 
Determinar , y para que la función 
tenga un máximo para 
, un mínimo para , y tome el valor para .
El problema se traduce a que ocurran las siguientes condiciones:
lo cual significa que debemos calcular a la primera derivada de la función
y con esto realizar las evaluaciones
generándose un sistema de ecuaciones tres por tres
cuya solución es 
Determinar el valor de ,, y 
para que la función 
tenga un máximo en 
y un mínimo en 
.
El problema se traduce a que ocurran las siguientes condiciones:
significa que debemos calcular a la primer derivada de la función
y entonces hacer las evaluaciones correspondientes
generando el siguiente sistema de ecuaciones cuatro por cuatro
cuya solución es 
Dada la función: 
Calcula , y , de modo que tenga en 
un extremo local y que la curva pase por el origen de coordenadas.
El problema se traduce a que ocurran las siguientes condiciones:
significa que debemos calcular a la primer derivada de la función
y entonces hacer las evaluaciones correspondientes
generando el siguiente sistema de ecuaciones tres por tres
cuya solución es 
Hallar y para que la función: 
tenga extremos en los puntos 
y 
. Para esos valores de y , ¿qué tipo de extremos tiene la función en y en ?
Calculemos la primer y segunda derivada de la función, esto es para buscar las condiciones para que sean extremos y después para conocer su naturaleza.
Ahora como queremos que la función tenga extremos en los puntos y , se establecen las siguientes igualdades
generando un sistema cuya solución es: 
y 
.
Ya encontramos los valores que provocan que la función tenga extremos en el lugar indicado, ahora veamos su naturaleza. Para esto necesitamos a la segunda derivada de la función:
Ahora veamos la naturaleza de cada extremo
-
, en , la función tiene un mínimo relativo
-
\displaystyle f^{(2)}(2)=\frac{2}{3(2)^2}-\frac{2}{6}=-\frac{1}{6}<0[/latex], [latex]\rightarrow[/latex] en [latex]\displaystyle x_2=2[/latex], la función tiene un máximo relativo
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Me ayudarian hacer la funcion lineal con grafico
Y=2×+1
La primera derivada se anula en x = 3. Por lo tanto 3 es otro punto crítico de la función del ejemplo.
Hola gracias por la observación, podrías hacernos el favor de mostrarnos la función que se deriva y se encuentran los puntos críticos.
El Punto de inflexión en el ejercicio 2: f(x) = x^3 + x + 1 debe ser (0, 1)
Hola agradecemos tu comentario, tenias razón era un error que ya se corrigió.
la grafica esta mal echa de signos de cada cuadrante
Hola te agradecemos por visitar nuestra pagina, podrías mencionar el número de ejercicio para poder rectificar esos errores que mencionas.
Se podría añadir un poco más de explicación a por que se hace cada paso ( ejemplo porque se divide todo por x ^2?)
Hola agradecemos que puedas darnos tu opinión, cuando surja una duda en este espacio de los comentarios estaremos atentos para darte una explicación con respecto a algo que no entiendas, exista un error o se pueda mejorar una explicación, solo comunícalo y te contestaremos.