Antes que todo establezcamos cierta notación alterna para las derivadas de una función \displaystyle f(x).

 

La razón de establecer notaciones alternas para el mismo concepto, es porque hay ocasiones en que los desarrollos son muy grandes o complicados, y es necesario para que sea más práctico que se hagan menos extensas las notaciones, ya que aquí lo importante es que sigan representando el mismo concepto.

 

La primer derivada de una función tiene las tres notaciones que tenemos aquí:

 

  • \displaystyle \frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x}=f^{(1)}(x)=f'(x)

 

y la segunda derivada de una función (la derivada de la derivada), tiene las siguientes notaciones alternas:

 

  • \displaystyle \frac{\mathrm{d}^2 f(x)}{\mathrm{d} x^2}=f^{(2)}(x)=f''(x)

 

en este caso por términos de claridad ocuparemos para la primer derivada, a la notación \displaystyle f^{(1)}(x)}, y para la segunda derivada \displaystyle f^{(2)}(x).

 

Una vez establecida la notación que usaremos, comentemos acerca de ciertas características que podemos estudiar de las funciones.

 

Hablando de forma más precisa, conozcamos los criterios que nos informan dónde una función adquiere su máximo o mínimo valor posible dentro de una región establecida, razón por la cual se llaman máximo o mínimo relativos.

 

Extremos relativos

 

Antes que todo identifiquemos el tipo de punto que deseamos localizar, en términos simples se trata de puntos donde una función adquiere un máximo o mínimo valor posible, esto es en comparación a los puntos de un entorno cercano a ellos, a este tipo de puntos los llamaremos extremos relativos.

 

Si \displaystyle f es una función derivable en \displaystyle a \in Dom(f), entonces \displaystyle a es un extremo relativo o local si:

 

  • \displaystyle f ^{(1)}(a)=0

 

  • \displaystyle f ^{(2)}(a) \neq 0

 

Máximos relativos

 

Si \displaystyle f es una función derivable en \displaystyle a \in Dom(f), entonces \displaystyle a es un máximo relativo o local si:

 

  • \displaystyle f ^{(1)}(a)=0

 

  • \displaystyle f ^{(2)}(a) < 0

 

Mínimos relativos

 

Si \displaystyle f es una función derivable en \displaystyle a \in Dom(f), entonces \displaystyle a es un mínimo relativo o local si:

 

  • \displaystyle f ^{(1)}(a)=0

 

  • \displaystyle f ^{(2)}(a) > 0

 

Superprof

Cálculo de máximos y mínimos

 

Consideremos a la siguiente función \displaystyle f(x)=x^3-3x+2

 

Para hallar los extremos locales seguiremos los siguientes pasos:

 

1Hallamos la primera derivada de la función y calculamos sus raíces.

Primero la derivada de la función

 

\displaystyle f^{(1)}(x)=3x^2-3

 

Ahora sus raíces, resolviendo la ecuación

 

    \begin{align*} 3x^2-3 &= 0 \\ x^2 &= 1 \\ x &=\pm 1 \end{align*}

 

Entonces sus raíces son

 

\displaystyle x_1=-1 \hspace{1cm} x_2=1

 

2Realizamos la segunda derivada, y calculamos el signo que toman en ella las raíces.

Calculemos la segunda derivada de la función

 

\displaystyle f^{(2)}(x)=6x

 

Evaluemos las raíces obtenidas en la segunda derivada

 

\displaystyle f^{(2)}(-1)=6(-1)=-6<0, \rightarrow en \displaystyle x=-1 la función tiene un máximo relativo

 

\displaystyle f^{(2)}(1)=6(1)=6>0, \rightarrow en \displaystyle x=1 la función tiene un mínimo relativo

 

3Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

 

\displaystyle f(-1)=(-1)^3-3(-1)+2=4,\rightarrow en \displaystyle (-1,4) la gráfica de la función tiene un máximo relativo

 

\displaystyle f(1)=(1)^3-3(1)+2=0, \rightarrow en \displaystyle (1,0) la gráfica de la función tiene un mínimo relativo

 

Estudio de los extremos relativos a partir del crecimiento

 

Si ya hemos estudiado el crecimiento y decrecimiento de una función habrá:

 

  • Un máximo en el punto de la función cuando esta pasa de creciente \displaystyle \nearrow a decreciente \displaystyle \searrow.

 

  • Un mínimo en el punto de la función cuando esta pasa de decreciente \displaystyle \searrow a creciente \displaystyle \nearrow.

 

Ejemplo:

 

Consideremos a la siguiente función \displaystyle f(x)=\frac{x^3}{(x-1)^2}

 

Para hallar los extremos locales seguiremos los siguientes pasos:

 

1Hallamos el dominio de la función, la primera derivada y calculamos sus raíces.

Primero el dominio de la función

 

Busquemos los puntos donde se indetermina la función, es decir, valores donde \displaystyle (x-1)^2=0

.

Dicho valor es \displaystyle x=1, es el valor que debemos quitar, por lo tanto \displaystyle Dom(f)=\mathbb{R}-\{1\}

.

Ahora calculemos la derivada de la función

 

\displaystyle f^{(1)}(x)=\frac{(x-1)^23x^2-x^32(x-1)}{(x-1)^4}=\frac{x^3-3x^2}{(x-1)^3}

 

Ahora sus raíces, resolviendo la ecuación

 

    \begin{align*} \frac{x^3-3x^2}{(x-1)^3} &= 0 \\ x^3-3x^2 &= 0 \\ x^2(x-3)&=0 \end{align*}

 

 Sus raíces son

 

\displaystyle x_1=0 \hspace{1cm} x_2=3

 

2Tomamos a los valores calculados y generamos a sectores de la recta real.

Después tomamos a un valor de cada sector, lo evaluamos en la primer derivada y observamos los signos obtenidos, con la finalidad de analizar la naturaleza de la función en cada sector.

 

Tomamos a los valores calculados y generamos a sectores de la recta real

 

Los valores son \displaystyle 0,1,3 entonces los sectores son \displaystyle (-\infty,0),(0,1),(1,3),(3,\infty)

 

Evaluemos un elemento de cada sector en la primer derivada

 

  • Sea \displaystyle -1 \in (-\infty,0), entonces \displaystyle f^{(1)}(-1)=\frac{(-1)^3-3(-1)^2}{(-1-1)^3}=\frac{4}{8}>0 \rightarrow en \displaystyle (-\infty,0) la función es creciente \displaystyle \nearrow

 

  • Sea \displaystyle 0.5 \in (0,1), entonces \displaystyle f^{(1)}(0.5)=5>0 \rightarrow en \displaystyle (0,1) la función es creciente \displaystyle \nearrow

 

  • Sea \displaystyle 2 \in (1,3), entonces \displaystyle f^{(1)}(2)=-4<0 \rightarrow en \displaystyle (1,3) la función es decreciente \displaystyle \searrow

 

  • Sea \displaystyle 4 \in (3,\infty), entonces \displaystyle f^{(1)}(4)=\frac{16}{27}>0 \rightarrow en \displaystyle (3,\infty) la función es creciente \displaystyle \nearrow

 

En la siguiente tabla podemos ver la información obtenida:

 

\displaystyle \begin{matrix} x & (\-\infty,0) & (0,1) & (1,3) & (3,\infty) \\ f^{(1)}(x)& + & + & - & +\\ & \nearrow & \nearrow & \searrow &\nearrow \end{matrix}

 

3Interpretamos la información e identificamos los máximo o mínimos.

 

Observamos que se generan dos cambios de signo, el que se encuentra de \displaystyle (0,1) a \displaystyle (1,3) lo descartamos porque ahí se tiene la indeterminación.

 

El siguiente cambio de signo es de \displaystyle (1,3) a \displaystyle (3,\infty), y como es de decrecente a creciente entonces en \displaystyle x=3 se tiene un mínimo relativo

 

4Evaluar el número en la función para conocer el punto del plano.

 

Vemos que \displaystyle f(3)=\frac{3^3}{(3-1)^2}=\frac{27}{4}, entonces en el punto \displaystyle \left (3,\frac{27}{4} \right ), la función tiene un mínimo relativo.

 

Ejercicios para practicar

Consideremos a la siguiente función \displaystyle f(x)=x^4-8x^2+3

 

1Hallamos la primera derivada de la función y calculamos sus raíces.

Primero la derivada de la función

 

\displaystyle f^{(1)}(x)=4x^3-16x

 

Ahora sus raíces, resolviendo la ecuación

 

    \begin{align*} 4x^3-16x &= 0 \\ 4x(x^2-4) &= 0 \end{align*}

 

Sus raíces son

 

\displaystyle x_1=0 \hspace{1cm} x_2=-2 \hspace{1cm} x_3=2

 

2Realizamos la segunda derivada, y calculamos el signo que toman en ella las raíces.

Calculemos la segunda derivada de la función

 

\displaystyle f^{(2)}(x)=12x^2-16

 

Evaluemos las raíces obtenidas en la segunda derivada

 

\displaystyle f^{(2)}(0)=12(0)^2-16=-16<0, \rightarrow en \displaystyle x=0 la función tiene un máximo relativo

 

\displaystyle f^{(2)}(-2)=12(-2)^2-16=42>0, \rightarrow en \displaystyle x=-2 la función tiene un mínimo relativo

 

\displaystyle f^{(2)}(2)=12(2)^2-16=42>0, \rightarrow en \displaystyle x=2 la función tiene un mínimo relativo

 

3Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

 

\displaystyle f(-2)=(-2)^4-8(-2)^2+3=-13, \rightarrow en \displaystyle (-2,-13) la gráfica de la función tiene un mínimo relativo

 

\displaystyle f(0)=(0)^4-8(0)^2+3=3,\rightarrow en \displaystyle (0,3) la gráfica de la función tiene un máximo relativo

 

\displaystyle f(2)=(2)^4-8(2)^2+3=-13, \rightarrow en \displaystyle (2,-13) la gráfica de la función tiene un mínimo relativo

 

Consideremos a la siguiente función \displaystyle f(x)=\frac{x^2-x-2}{x^2-6x+9}=\frac{x^2-x-2}{(x-3)^2}

 

1Hallamos la primera derivada de la función y calculamos sus raíces.

Primero la derivada de la función

 

\displaystyle f^{(1)}(x)=\frac{(x-3)^2(2x-1)-(x^2-x-12)(2x-6)}{(x-3)^4}=\frac{-5x+7}{(x-3)^3}

 

Ahora sus raíces, resolviendo la ecuación

 

    \begin{align*} \frac{-5x+7}{(x-3)^3} &= 0 \\ -5x+7 &= 0 \end{align*}

 

significa que su raíz es

 

\displaystyle x=\frac{7}{5}

 

2Realizamos la segunda derivada, y calculamos el signo que toman en ella las raíces.

Calculemos la segunda derivada de la función

 

\displaystyle f^{(2)}(x)=\frac{2\left (5x-3 \right )}{\left (x-3 \right )^4}

 

Evaluemos la raíz obtenida en la segunda derivada

 

\displaystyle f^{(2)}\left (\frac{7}{5}\right )=\frac{2\left (5\left (\frac{7}{5} \right )-3 \right )}{\left (\left (\frac{7}{5} \right )-3 \right )^4}=\frac{625}{512}>0, \rightarrow en \displaystyle x=\frac{7}{5} la función tiene un mínimo relativo

 

 

3Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

 

\displaystyle f\left ( \frac{7}{5} \right )=\frac{\left (\frac{7}{5} \right )^2-\frac{7}{5}-2}{\left (\left (\frac{7}{5} \right )-3 \right ))^2}=-\frac{9}{16} \rightarrow en \displaystyle \left ( \frac{7}{5},-\frac{9}{16} \right ) la gráfica de la función tiene un mínimo relativo

 

Consideremos a la siguiente función \displaystyle f(x)=e^x(2x^2+x-8)

 

1Hallamos la primera derivada de la función y calculamos sus raíces.

Primero la derivada de la función

 

\displaystyle f^{(1)}(x)=e^x(4x+1)+e^x(2x^2+x-8)=e^x(2x^2+5x-7)

 

Ahora sus raíces, resolviendo la ecuación

 

    \begin{align*} e^x(2x^2+5x-7) &= 0 \\ e^x(x-1)(2x+7) &= 0  \\ (x-1)(2x+7) &= 0 \end{align*}

 

significa que sus raíces son

 

\displaystyle x_1=-\frac{7}{2} \hspace{1cm} x_2=1

 

2Realizamos la segunda derivada, y calculamos el signo que toman en ella las raíces.

Calculemos la segunda derivada de la función

 

\displaystyle f^{(2)}(x)=e^x(2x^2+9x-2)

 

Evaluemos las raíces obtenidas en la segunda derivada

 

\displaystyle f^{(2)}\left (-\frac{7}{2}\right )=f^{(2)}\left (-\frac{7}{2} \right )=e^{\left (-\frac{7}{2} \right )}\left (2\left (-\frac{7}{2} \right )^2+9\left (-\frac{7}{2} \right )-2 \right )=-\frac{9}{e^{\frac{7}{2}}}<0, \rightarrow en \displaystyle x=-\frac{7}{2} la función tiene un máximo relativo

 

\displaystyle f^{(2)}\left (1 \right )=e^{\left (1 \right )}\left (2\left (1 \right )^2+9\left (1 \right )-2 \right )=9e>0, \rightarrowe en \displaystyle x=1 la función tiene un mínimo relativo

 

3Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

 

\displaystyle f\left (-\frac{7}{2} \right )=e^{-\frac{7}{2}}\left (2\left (-\frac{7}{2} \right )^2+\left (-\frac{7}{2} \right )-8 \right )=13e^{-\frac{7}{2}}, \rightarrow en \displaystyle \left ( -\frac{7}{2},13e^{-\frac{7}{2}} \right ) la gráfica de la función tiene un máximo relativo

 

\displaystyle f\left (1 \right )=e^{1}\left (2\left (1 \right )^2+\left (1 \right )-8 \right )=-5e, \rightarrow en \displaystyle \left ( 1,-5e \right ) la gráfica de la función tiene un mínimo relativo

 

Consideremos a la siguiente función \displaystyle f\left ( x \right )=x+\ln\left ( x^2-1 \right ).

 

En este caso es necesario tener presente su dominio, ya que es posible que debamos descartar valores por no pertenecer a él.

 

De hecho siempre se debe de hacer, pero no se hace cuando se tiene claro cuál es el dominio.

 

0Hallamos el dominio de la función

El dominio de la función logaritmo natural, es cuando el argumento es positivo, entonces debemos resolver \displaystyle x^2-1>0

 

Las soluciones de \displaystyle x^2-1=0 son \displaystyle x= \pm 1. Significa que debemos generar los sectores \displaystyle (-\infty,-1),(-1,1),(1,\infty), y de ahí tomar a un número de cada sector, evaluarlo en \displaystyle x^2-1 y conocer el signo generado, para finalmente resolver.

 

\begin{matrix} x & (-\infty,-1) & (-1,1) & (1,\infty) \\ x^2-1 & + & - & + \end{matrix}

 

Significa que la solución de la desigualdad, por lo tanto el dominio de la función es \displaystyle Dom(f)=(-\infty,-1) \cup (1,\infty)

 

1Hallamos la primera derivada de la función y calculamos sus raíces.

Primero la derivada de la función

 

\displaystyle f^{(1)}(x)=1+\frac{2x}{x^2-1}

 

Ahora sus raíces, resolviendo la ecuación

 

    \begin{align*} 1+\frac{2x}{x^2-1} &= 0 \\ \frac{2x}{x^2-1} &= -1  \\ 2x &= -(x^2-1) \\ x^2+2x-1 &=0 \end{align*}

 

Sus raíces son

 

\displaystyle x_1=-1-\sqrt{2}\hspace{1cm} x_2=-1+\sqrt{2}

 

Descartamos a \displaystyle x_2 ya que \displaystyle x_2 \notin Dom(f)

 

2Realizamos la segunda derivada, y calculamos el signo que toman en ella las raíces.

Calculemos la segunda derivada de la función

 

\displaystyle f^{(2)}(x)=-\frac{2(x^2+1)}{(x^2-1)^2}

 

Evaluemos las raíces obtenidas en la segunda derivada

 

\displaystyle f^{(2)}(-1-\sqrt{2})=-\frac{2((-1-\sqrt{2})^2+1)}{((-1-\sqrt{2})^2-1)^2}=-0.585786<0, \rightarrow en \displaystyle x=-1-\sqrt{2} la función tiene un máximo relativo

 

3Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

 

\displaystyle f\left ( -1-\sqrt{2} \right )=\left (-1-\sqrt{2} \right )+\ln\left ( \left (-1-\sqrt{2} \right )^2-1 \right )=-0.839693,\rightarrow en \displaystyle \left ( -1-\sqrt{2},-0.839693 \right ) la gráfica de la función tiene un máximo relativo

 

Consideremos a la siguiente función \displaystyle f\left ( x \right )=\sin\left ( 2x \right )

 

1Hallamos la primera derivada de la función y calculamos sus raíces.

Primero la derivada de la función

 

\displaystyle f^{(1)}\left ( x \right )=2\cos\left ( 2x \right )

 

Ahora sus raíces, resolviendo la ecuación

 

    \begin{align*} 2\cos\left ( 2x \right ) &= 0 \\ \cos\left ( 2x \right ) &= 0 \end{align*}

 

Sus raíces son

 

\displaystyle x_1=\frac{1}{2}\left ( -\frac{\pi }{2} +2\pi k\right )=-\frac{\pi }{4} +\pi k \hspace{0.4cm} x_2=\frac{1}{2}\left ( \frac{\pi }{2} +2\pi k\right )=\frac{\pi }{4} +\pi k, con \displaystyle k \in \mathbb{Z}

 

2Realizamos la segunda derivada, y calculamos el signo que toman en ella las raíces.

Calculemos la segunda derivada de la función

 

\displaystyle f^{(2)}\left ( x \right )=-4\sin\left ( 2x \right )

 

Evaluemos las raíces obtenidas en la segunda derivada

 

\displaystyle f^{(2)}\left ( -\frac{\pi}{4} \right )=-4\sin\left ( 2\left (-\frac{\pi}{4} \right ) \right )=4>0, \rightarrowen \displaystyle x=-\frac{\pi }{4} +\pi k la función tiene un mínimo relativo para cada \displaystyle k \in \mathbb{Z}

 

\displaystyle f^{(2)}\left ( \frac{\pi}{4} \right )=-4\sin\left ( 2\left (\frac{\pi}{4} \right ) \right )=-4<0, \rightarrow en \displaystyle x=\frac{\pi }{4} +\pi k la función tiene un máximo relativo para cada \displaystyle k \in \mathbb{Z}

 

3Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

 

\displaystyle f\left ( -\frac{\pi }{4} \right )=\sin\left ( 2\left ( -\frac{\pi }{4} \right ) \right )=-1, \rightarrowen \displaystyle \left ( -\frac{\pi }{4} +\pi k,-1\rigth ) la gráfica de la función tiene un mínimo relativo relativo para cada \displaystyle k \in \mathbb{Z}

 

\displaystyle f\left ( \frac{\pi }{4} \right )=\sin\left ( 2\left ( \frac{\pi }{4} \right ) \right )=1, \rightarrow en \displaystyle \left ( \frac{\pi }{4} +\pi k,1\rigth ) la gráfica de la función tiene un máximo relativo relativo para cada \displaystyle k \in \mathbb{Z}

 

Problemas

 

Determinar \displaystyle a,\displaystyle b y \displaystyle c para que la función \displaystyle f(x)=x^3+ax^2+bx+c tenga un máximo para \displaystyle x=-4, un mínimo para \displaystyle x=0, y tome el valor \displaystyle 1 para \displaystyle x=1.

 

El problema se traduce a que ocurran las siguientes condiciones:

 

  • \displaystyle f(1)=1

 

  • \displaystyle f^{(1)}(0)=0

 

  • \displaystyle f^{(1)}(-4)=0

 

lo cual significa que debemos calcular a la primera derivada de la función

 

\displaystyle f^{(1)}(x)=3x^2+2ax+b

 

y con esto realizar las evaluaciones

 

  •  \displaystyle f(1)=1+a+b+c=1

 

  • \displaystyle f^{(1)}(0)=b=0

 

  • \displaystyle f^{(1)}(-4)=3(-4)^2+2a(-4)+b=48-8a+b=0

 

generándose un sistema de ecuaciones tres por tres

 

    \begin{align*} a+b+c &= 0 \\ b&= 0 \\ -8a+b&=-48 \end{align*}

 

cuya solución es \displaystyle a=6,b=0,c=-6

 

Determinar el valor de \displaystyle a,\displaystyle b,\displaystyle c y \displaystyle d para que la función \displaystyle f(x)=ax^3+bx^2+cx+d tenga un máximo en \displaystyle (0,4) y un mínimo en \displaystyle (2,0).

 

El problema se traduce a que ocurran las siguientes condiciones:

 

  • \displaystyle f(0)=4

 

  • \displaystyle f(2)=0

 

  • \displaystyle f^{(1)}(0)=0

 

  • \displaystyle f^{(1)}(2)=0

 

significa que debemos calcular a la primer derivada de la función

 

\displaystyle f^{(1)}(x)=3ax^2+2bx+c

 

y entonces hacer las evaluaciones correspondientes

 

  • \displaystyle f(0)=d=4

 

  • \displaystyle f(2)=8a+4b+2c+d=0

 

  • \displaystyle f^{(1)}(0)=c=0

 

  • \displaystyle f^{(1)}(2)=12a+4b+c=0

 

generando el siguiente sistema de ecuaciones cuatro por cuatro

 

     \begin{align*}d &= 4 \\ 8a+4b+2c+d&= 0 \\ c&= 0 \\ 12a+4b+c&= 0 \end{align*}

 

cuya solución es \displaystyle a=1,b=-3,c=0,d=4

 

Dada la función: \displaystyle f(x)=\frac{x^2+ax+b}{x^2+ax+c}

 

Calcula \displaystyle a,\displaystyle b y \displaystyle c, de modo que \displaystyle f(x) tenga en \displaystyle (2,-1) un extremo local y que la curva pase por el origen de coordenadas.

 

El problema se traduce a que ocurran las siguientes condiciones:

 

  • \displaystyle f(0)=0

 

  • \displaystyle f(2)=-1

 

  • \displaystyle f^{(1)}(2)=0

 

significa que debemos calcular a la primer derivada de la función

 

\displaystyle f^{(1)}(x)=-\frac{(b-c)(a+2x)}{(x^2+ax+c)^2}

 

y entonces hacer las evaluaciones correspondientes

 

  • \displaystyle f(0)=\frac{b}{c}=0

 

  • \displaystyle f(2)=\frac{4+2a+b}{4+2a+c}=-1

 

  • \displaystyle f^{(1)}(2)=-\frac{(b-c)(a+4)}{(4+2a+c)^2}=0

 

generando el siguiente sistema de ecuaciones tres por tres

 

    \begin{align*} \frac{b}{c} &= 0 \\ \frac{4+2a+b}{4+2a+c} &= -1 \\ -\frac{(b-c)(a+4)}{(4+2a+c)^2}&= 0 \end{align*}

 

cuya solución es \displaystyle a=-4,b=0,c=8

 

Hallar \displaystyle a y \displaystyle b para que la función: \displaystyle f(x)=a\ln(x)+bx^2+x tenga extremos en los puntos \displaystyle x_1=1 y \displaystyle x_2=2. Para esos valores de \displaystyle a y \displaystyle b, ¿qué tipo de extremos tiene la función en \displaystyle 1 y en \displaystyle 2?

Calculemos  la primer y segunda derivada de la función, esto es para buscar las condiciones para que sean extremos y después para conocer su naturaleza.

 

  • \displaystyle f^{(1)}(x)=\frac{a}{x}+2bx+1

 

  • \displaystyle f^{(2)}(x)=-\frac{a}{x^2}+2b

 

Ahora como queremos que la función tenga extremos en los puntos \displaystyle x_1=1 y \displaystyle x_2=2, se establecen las siguientes igualdades

 

  • \displaystyle f^{(1)}(1)=\frac{a}{1}+2b(1)+1=0

 

  • \displaystyle f^{(1)}(2)=\frac{a}{2}+2b(2)+1=0

 

generando un sistema cuya solución es: \displaystyle a=-\frac{2}{3} y \displaystyle b=-\frac{1}{6}.

 

Ya encontramos los valores que provocan que la función tenga extremos en el lugar indicado, ahora veamos su naturaleza. Para esto necesitamos a la segunda derivada de la función:

 

\displaystyle f^{(2)}(x)=-\frac{-\frac{2}{3}}{x^2}+2\left (-\frac{1}{6} \right )=\frac{2}{3x^2}-\frac{2}{6}

 

Ahora veamos la naturaleza de cada extremo

 

  • \displaystyle f^{(2)}(1)=\frac{2}{3}-\frac{2}{6}=\frac{1}{3}>0, \rightarrow en \displaystyle x_1=1, la función tiene un mínimo relativo

 

  • \displaystyle f^{(2)}(2)=\frac{2}{3(2)^2}-\frac{2}{6}=-\frac{1}{6}<0, \rightarrow en \displaystyle x_2=2, la función tiene un máximo relativo

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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