Extremos relativos

 

Si f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si:

 

Si f'(a) = 0

 

Si f''(a) ≠ 0

 

Máximos relativos

 

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo si se cumple:

 

f'(a) = 0

 

f''(a) < 0

 

Mínimos relativos

 

Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo si se cumple:

 

f'(a) = 0

 

f''(a) > 0

 

Cálculo de máximos y mínimos

 

f(x) = x3 − 3x + 2

 

Para hallar los extremos locales seguiremos los siguientes pasos:

 

1 - Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.

 

f'(x) = 3x2 − 3 = 0

 

x = −1 x = 1.

 

2 - Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella las raíces de derivada primera y si:

 

f''(x) < 0 es un máximo relativo

 

f''(x) > 0 es un mínimo relativo

 

f''(x) = 6x

 

f''(−1) = −6 Máximo

 

f'' (1) = 6 Mínimo

 

3 - Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

 

Calcular los máximos y mínimos de:

 

f(x) = x³ − 3x + 2

 

f'(x) = 3x² − 3 = 0

 

f''(x) = 6x

 

f''(−1) = −6 Máximo

 

f''(1) = 6 Mínimo

 

f(−1) = (−1)³ − 3(−1) + 2 = 4

 

f(1) = (1)³ − 3(1) + 2 = 0

 

Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)

 

Estudio de los extremos relativos a partir del crecimiento

 

Si ya hemos estudiado el crecimiento y decrecimiento de una función habrá:

 

1. Un máximo en el punto de la función en la que esta pasa de creciente a decreciente.

 

2. Un mínimo en el punto de la función en la que esta pasa de decreciente a creciente.

 

Ejemplo

 

Hallar los máximos y mínimos de:

 

 

 

 

 

 

Tenemos un mínimo en x = 3

Mínimo(3, 27/4)

 

En x = 1 no hay un máximo porque x = 1 no pertenece al dominio de la función.

 

Ejercicios para practicar

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Problemas

 

Determinar a, b y c para que la función f(x) = x 3 + ax2 + bx + c tenga un máximo para x=−4, un mínimo, para x=0 y tome el valor 1 para x=1.

 

f(x) =x3 + ax2 + bx + c f′(x) = 3x2 + 2ax + b

 

1 = 1 + a + b + c a + b + c = 0

 

0 = 48 − 8a +b 8a − b = 48

 

0 = 0 − 0 + b b = 0

 

a = 6 b = 0 c = −6

 

Determinar el valor de a, b, c y d para que la función f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d tenga un máximo en (0, 4) y un mínimo en (2, 0).

 

f(x) = ax 3 +bx 2 +cx +df′(x) = 3ax 2 + 2bx + c

 

f(0) = 4 d = 4

 

f(2) = 0 8a + 4b + 2c = 0

 

f′(0) = 0 c = 0

 

f′(2) =0 12a + 4b + c = 0

 

a = 1 b = −3 c = 0 d = 4

 

Dada la función:

 

 

Calcula a, b y c, de modo que f(x) tenga en (2, −1) un extremo local y que la curva pase por el origen de coordenadas.

 

 

 

 

 

 

 

Hallar a y b para qué la función: f(x) = a · ln x + bx 2 + x tenga extremos en los puntos x1 = 1 y x2 = 2. Para esos valores de a y b, ¿qué tipo de extremos tienen la función en 1 y en 2?

 

 

 

 

 

 

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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